ANOVA f tests for with p treatments and b Текст научной статьи по специальности «Математика»

be obtained from the identical sample, so long as both samples are sufficiently similar that any indeterminate errors can be considered the same. An F-test can provide insights into two main areas: 1) Is method A more precise than method B? 2) Is there a difference in the precision of the two methods? To calculate an F-test, the standard deviation of the method which is assumed to be more precise is placed in the denominator, while the standard deviation of the method which is assumed to be least precise is placed in the numerator.

Using the two-piece data set for lead obtained above, the standard deviations of si = 3.2 ppm (least precise) and s2 = 0.9 ppm (more precise) were obtained.

F= si2/ s22 = (3.2)2/(0.9)2 = 10.2/0.8 = 12.8 To further analyse this resultant F-test value, reference to a table of critical values for F is essential. A similar table is found below:

Table 4

Critical Values For F At A 5% Level

Degrees of Freedom (Denominator) Degrees of Freedom (Numerator)

2 3 4 5

2 T9.00 T9.T6 T9.25 T9.30

3 9.55 9.28 9.T2 9.0T

4 6.94 6.59 6.39 6.26

5 5.79 5.4T 5.T9 5.05

Each data set had five degrees of freedom and hence the tabulated F-value is 5.05. In comparison to the calculated F-test, the calculated value of 12.8 is greater than the tabulated value of 5.05. Therefore, it is demonstrated that the more precise method is indeed derived from data set number two [3].

List of references

1. www.csub.edu/~bhartsell/StatisticsReview.doc

2. site.iugaza.edu.ps/nbarakat/files/2010/02/part4.doc

3. Statistical tables where derived from: Douglas, A.S; West, D.M.; Holler F.J., 1992, Fundamentals of Analytical Chemistry, Sixth Edition. Saunders College Publishing, Florida, USA.

4. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов.//Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 1.

5. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Совершенствование профессиональной подготовки экономистов через направленность содержания математического образования // Аграрная наука, творчество, рост: сб. тр. Междунар. науч.-практ. конф. (Ставрополь, 08-14 февраля 2013 г.) / СтГАУ. Ставрополь, 2013. Т. 2. С. 252-254.

ANOVA F TESTS FOR WITH P TREATMENTS AND B

Litvin Dmitry Borisovich

Candidate of Technical Sciences, Docent of Department of Mathematics, Stavropol Sabah Hasan Jasim Al-saedi

PhD student College of Basic Education, Misan University, Iraq

The t test is commonly used to test the equality of two population means when the data are composed of two random samples. We wish to extend this procedure so that the equality

of r > 2 population means can be tested using r independent samples. Thus the hypothesis and the alternative are

H0: M1 = M2 = ... = Mr

H1 : at least two means are not equal,

where

Mj, j = 1,2,...,r is the mean of the j-th population.

classification is sometimes referred to as a completely randomized design [5].

Samples from each of the r populations are collected.

Xij = the i-th observation receiving treatment j

n,

i = 1,2,..., j; j = 1,2,..., r _ 1 nj

Xa. = —V X . = mean of sample j

It is not hard to imagine situations in which it is of interest to compare a number of means. For example, 5 varieties of corn are available, and it is to be determined whether or not the average yield from each variety is the same; a company is testing 3 brands of bicycle tires and wants to know if the average life of each brand is the same; 4 teaching methods are being investigated for their effectiveness; an automotive company wants to determine which of 4 seat-belt designs would provide the best protection in the event of a head-on collision; a drug company would like to compare the effectiveness of 6 different drugs for treating diabetes.

In designing an experiment for a one-way classification, units are assigned at random to any one of the r treatments under investigation. For this reason, the one-way

^2 =

nj -

(XtJ - XQj )2 = variance of sample j

1 7=1

1 Г nj Г X»=17 E 2X, N=£n j

ly 3=1 /=1 3=1

1 r nJ

s 2 =-V V (X.., - X. )2 = variance of all N observations

N -

TE E(Xj - X)2 -

1 /=1 /=1

M, andCT , j = 1,2,...,r j j , denote the mean and

variance of population j.

Here's one way the data can be arranged once it is

collected

n

Table 1

Treatment of Observations

Treatments 1 2 3... r

Xii X12 X13 Xir Х21 X22 X23 X2r

Observations Xn11 Xn33 Xn22 Xnrr

Means X1 X 2 X 3 X r Xm

Variances 2 2 2 2 S1 S2 S3 Sr 52

The Fixed-Effect Model For One-Way Classification. In order to derive a test which will serve as a basis for choosing between H0 and H1, certain assumptions are necessary. These are (a) r samples are randomly selected from r different populations, each observation independent of all other observations, (b) each of the r populations is normally distributed, (c) each of the r populations has the same variance.

Xu N(pi ,a2)

In other words, the are independent .

Consider the identity

xtj = M + (Mj -И) + (xiJ -Mj). Let ßj = Mj

and

1 ' r r r r

u=n X X njPj=X nj j =X JJ - X nu

N j=1 so that j=1 j=1 j=1 j=1

= Nj —Nj = 0.

s = X. — u

Also, define 1J 1J j , then it is easy to see

that the ''are independent and \ j0

summarize, the assumptions (a), (b), and (c) may be written

Xij =ju + p] +stJ., 1 = 1,2,...,n; j = 1,2,...,r, S ] are independent N(0,a2)

X nj^j = 0 j=1 .

Now the hypothesis and the alternative may be written H0: /3] = 0, j = 1,2,...,r

H1: not all / are zero

ß, ,

Later, when we view the r treatment samples as a

random sample of size r taken from a larger population, the 3 's will also be random variables. The model is then called the

random-effects model and the 3 are called the random effects of the model [4].

The F Test Generalizes the t Test.

Suppose r = 2 and we use the t-test with n1 + n2 - 2 degrees of freedom to test the significance of the difference between the means, i.e.,

M = H\ M ^ th.

Let " "'^"i1 an(* ■■■■>X,h2 be

random samples drawn from the first and second population

respectively. Then ^1 ^^ ^ - are the two sample means. If the two populations are normal with the same variance, then the test statistic

-

1 1

H --

n1 П2

(1)

has the t distribution with n1 + n2 - 2 degrees of

J2

freedom. Where p is the pooled variance,

„2 _ (n — + (n2 — 1K

SP =■

n

n2 - 2

Now consider

Each j is a measure of the deviation of the j-th population mean from the average of all r population means.

If all r means are equal, then every 3 is zero. The 3 are fixed quantities, called the fixed effects of the model.

MSB =

( ХП - ХП2 ) 1 1

(2)

MSw = SSw / (N - r ) = SSw / (n + П2 - 2) =

And

Therefore,

F

msb _ (- )2

MS,

W

r1 1л

—I—

v ni n2 у

(n1— 1)jf + (n2 — 1)J22 c 2 n1 + n2 — 2

Comparing this to the t test statistic in (1), we see that, under the null hypothesis, F= t2. Suppose that c > 0 is the critical value of the F test at some level & ,then F > c iff t2 >

c if t < ^^ or t > ^^ . Thus it makes no difference whether the two-tailed t test or the one-tailed F test is used, they both produce exactly the same result. This justifies an earlier

2

s

remark that the F test may be regarded as an extension of the t

It is customary to summarize the results in a table.

test.

The Analysis of Variance Table.

Here's a common form table 2:

Table 2

Source of Variation SS d,f. MS EMS F

Between groups Within groups SSb SSw r-1 N-r SSB/(r-1) = MSb SSw/(N-r) = MSw 1 r ° + r ! I nj ( Mj И) r 1 j=1 a2 MSB MSw

Total SSt N-1

The partition of the total sum of squares is given by

\2

S I(X„ - Xm)2=s I(Xj - XJ+1 s(X., - Xj )2

J=1 ¿=1 J=1 ¿=1 J=1 ¿=1

SS,

The degrees of freedom (d.f.) are defined as the total number of terms in an expression minus the number of linear constraints among the observations. The degrees of freedom in each of the three term in the above partition are:

r

SSt has N = ]= terms and one linear constraint,

r n] _

Z Z(Xj -X,) = o

j=i /=i

Thus, SSt has N - 1 degrees of freedom.

r

Znj(X] - Xm)2

SSb =

= j=i

has r terms and one linear constraint,

r

I n (Xj - X) = 0

j=1

E( y) = ßo + ß1X1 + •• ßv-1Xv-1 + ßvxv + ••• + ß

'p+b-2 Xp+b-2

= ß° + (p-1) treatment terms + (b-1) block terms

SS.

SSW

(3)

Xi

1 1 if treatment 2, 0 if not;

X p—i — p 1 if treatment p, 0 if not;

X —

p 1 if block 2, 0 if not;

X

p+b-2

1 if block b, 0 if not

Test for Comparing Treatment Means Ho: £ = £ =... = Pp_Y = 0

treatment means are equal.)

(i.e.,

Ho : The p

H

ß

a : At least one of the " parameters listed in

H

H

Thus, SSb has r - 1 degrees of freedom.

SSw has N terms and r linear constraints:

nj -

Z (Xj - Xj ) =0

(i = 1.....r).

So SSw has N - r degrees of freedom. Note that the d.f.'s of the three terms are additive [1].

• ANOVA is better understood as analysis of means. The methods employ ratios of variances in order to establish whether the means of several groups differ.

• An independent sample t test, in which only two group means are compared, is a special case of one-way ANOVA.

• One-way ANOVA simply means that there is only one explanatory variable, while two-way ANOVA implies two explanatory variables.

• The problem of ANOVA is to determine whether there is a statistically significant difference between the means, relative to the spread of the observations in each group.

• If you remember, variance (i.e. the square of standard deviation) is a measure of spread. Hence, this is why the method called ANOVA [2].

Complete Model:

differs from 0 (i.e.

E( y) — ß, +ßpxp +... + ß,

a : At least two treatment means differ.) Reduced model:

F =

p~~p .....p+b-2 2хp+b-2

Test statistic:

(SSEr - SSEC ) / (p -1) _ (SSEr - SSEC ) / (p -1)

SSEC/(n - p - b +1)

MSEn

where

SSEr — SSE j J J i

R for reduced model;

SSE, — SSE _ , ^ , ,

C for complete model;

MSEC — MSE f ,t . ,

C for complete model.

F ^ F

Rejection region: awhere F is based on

V1 — (p — 1)and v2 — (n — p — b + degrees of freedom.

Test for Comparing Block Means

Ho: ßv =ßp+1 = ••• = ß

= 0 H

yp+b-2 (i,e,, 0 : The b block

means are equal.)

H B H

a : At least one of the £ parameters listed in 0

H :

= differs from 0. (i.e., a' At least two block means differ)

Reduced Model:

. E(У) = ß0 +ß1X1 + •••ßp-1Xp-1

n

n

r

Test F =

statistic:

(SSEr - SSEC ) / (b -1) (SSEr - SSEC ) / (b -1)

SSEC /(n - p - b +1)

MSE„

Where

SSEd = SSE ~ i i i i

R for reduced model;

SSEr = SSE _ . ^ , .

C for complete model;

MSEC = MSE ,t . ,

C for complete model.

F > F

Rejection region: a where F is based on

Vi = (b - 1)and v2 = (n - p - b +1)

[3].

degrees of freedom

List of references

1. condor.depaul.edu/gandrus/428/notes/one-way03-1.doc

2. www.cityu.edu.hk/dss/adpam/rm/handout/l12.doc

3. www.uky.edu/~kdbrad2/EDP660/.../ANOVA%

4. 20F%20Test.doc

5. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности разделов математических дисциплин, изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов.//Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 1.

6. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Совершенствование профессиональной подготовки экономистов через направленность содержания математического образования // Аграрная наука, творчество, рост: сб. тр. Междунар. науч.-практ. конф. (Ставрополь, 08-14 февраля 2013 г.) / СтГАУ. Ставрополь, 2013. Т. 2. С. 252-254.

ЗАРЯДОВАЯ СТРУКТУРА МАТЕРИИ

1. Физика заходит на западе.

Оценивая и пересматривая сложившиеся взгляды на строение видимой и невидимой материи, нельзя миновать сознание человека.

Мы видим, что мир разделен на восток и запад и это разделение часто становится причиной конфликтов с трагическим исходом. Причина глубока и лежит в различиях образа мышления, так как разделение на восток и запад проходит через наш мозг, который, как и планета, разделен на полушария, играющие разную роль в приеме и обработке потока информации. Одно из них дает ощущение целостности и предметности мира, другое обеспечивает рациональный анализ наблюдений.

На Востоке сильнее развито чувственное восприятие, дающее цельное представление об окружающем мире и самих себе, нежели на Западе.

Западный ум с недоверием относится к чувствам и интуиции, ориентируясь на формальную логику и ментальные модели, подменяющие, имитирующие реальность. Считается, что в основном благодаря достижениям западной мысли происходит цивилизационный прогресс. Однако, есть не малые основания для сомнения в этом.

Победы рациональной мысли в политике и в социальной сфере оборачиваются великими поражениями. То же можно сказать и о «победах» рациональной мысли в сфере естественных наук.

Первая из естественных наук - физика завела мировоззрение человека в тупик. Успехи физических наук связаны в основном с решением множества практических задач. В то же время, пытаясь объяснить устройство мира, физика вступает в противоречие со своими же основными законами - законами сохранения. Мифы современной физики и «Ересь физического здравомыслия» [1, с. 10] противоречат друг другу, не находя единства.

Вселенная возникает из ничего. Материя ускользает из доступного для опыта наблюдения и объявляется темной. Множатся элементарные частицы и теории о множественности миров, которые существуют лишь в качестве умозрительных моделей.

Никольский Георгий Юрьевич

Инженер ЦНИИ РТК, г. Санкт-Петербург

Законное «безумство» теории, о котором говорил Нильс Бор, это опровержение стереотипов мышления. Однако критерии разумности оказались настолько размытыми, что произошла их инверсия. Западный рационализм физической мысли привел к тому, что воображаемое, а вернее невообразимое заменило реальность или то, что еще как-то согласуется с ощущениями. Образные представления и абстрактные модели разведены по разные стороны баррикад.

Рациональное мышление - разработка математического аппарата должна следовать за интуитивным прозрением на основе образных представлений о явлении, которые и приводят к открытиям. Об этом говорят первооткрыватели, среди которых Макс Планк. Должно произойти озарение и опровержение старых взглядов, прежде чем начнется «нормальное» развитие науки - накопление фактов, разработка теорий, вывод формул, обоснований [1, с. 28].

Для перехода на новый уровень понимания необходимо, чтобы низы или практика применения перестала соответствовать старым теориям, а верхи осознали бы достоинства новых идей. Как бы ни были велики противоречия, не связанные с практикой, они не нарушают ход нормального развития. Прогресс науки - процесс не столько собирательный, сколько скачкообразный. Открытия и прорывы сочетаются причудливым образом с заблуждениями.

В начале 20-го века теория относительности произвела слишком сильное впечатление на физиков, отказавшихся от своих прежних представлений о реальности эфира, замененного пустым, хоть и физическим пространством. Все волны в природе распространяются в средах, а свет остался без проводника, у которого не обнаружили физических свойств, а косвенные улики признали не достаточными. Но это было только начало цепи несуразностей и противоречий, которые привели к мифотворчеству, апофеозом которого стал «Большой взрыв» и «темная материя».

В течение длительного периода времени никто не желал признавать законный статус и права Эфира. Можно