CC BY
22Аномалии в теплоёмкости 90-градусных сверхпроводников системы УБа2СизО 6+х в области
нормального состояния
Наумов В.Н. (naumov@casper.che.nsk.su), Фролова Г.И., Ногтева В.В., Аникеева О.Б.
Институт Неорганической Химии СО РАН
АННОТАЦИЯ
Температурная зависимость теплоемкости образцов 90-градусной фазы YBa2Cu3O6+x с х=0.85, 0.90 и 0.95 была исследована выше Тс. Для разделения теплоемкости на регулярные и аномальные вклады была использована специальная техника. Для всех образцов обнаружены аномалии в интервалах 100-200 К (Т1оте), 205-230 К (Тт) и 260-290 К (Т^. Обнаружено температурное "эхо" от сверхпроводящего фазового перехода при Т ~ 3Тс. Это "эхо" связано с аномалией (Т^, которая обуславливается зарождением сверхпроводимости и, как мы полагаем, отмечает возникновение спаренных носителей заряда без фазовой когерентности. Аномалию (Тт) мы связываем с точкой Нееля в магнитной подсистеме, антиферромагнетизм которой сосуществует со сверхпроводимостью. Зависимость энтропии Sh от х указывает, что Т - процесс существует, по-видимому, только в рамках 90-градусной фазы. Кривые Sm(x) и Sh(x) пересекаются при оптимальных значениях х (~ 0.9). Обнаруженные аномалии отмечают новые линии на фазовой диаграмме соединений YBa2Cu3O6+x.
I ВВЕДЕНИЕ
Во многих свойствах сверхпроводящих соединений YBa2Cu3O6+x (х > 0.4) помимо аномалий, обусловленных сверхпроводящим фазовым переходом при температуре Тс, наблюдаются аномалии в области нормального состояния при Т > Тс (например, [1-5]). Приведенные примеры являются скорее случайной выборкой из большего списка статей, в которых наблюдаются разного рода особенности в области нормального состояния сверхпроводников YBa2Cu3O6+x. Не представляется возможным охватить весь список публикаций, где наблюдаются подобного рода особенности, однако, их наличие сейчас не вызывает сомнения. Среди них можно выделить аномалии и особенности двух типов: особенности, которые не характеризуют критического изменения в исследуемом объекте (т. е. не отражают явления, связанные с фазовым переходом) и особенности, которые являются прямыми или косвенными свидетельствами фазового перехода. Аномалии в теплоемкости - это, за исключением известных случаев (эффектов типа Шоттки), прямое свидетельство явления, связанного с фазовым переходом.
Наблюдение устойчиво проявляющихся в теплоемкости аномалий и сопутствующих особенностей в других физических свойствах YBa2Cu3O6+x в области нормального состояния вызывает вопросы: к какой из подсистем сверхпроводника - к решеточной, магнитной или электронной - они относятся, какие процессы они отмечают. Ожидаемые процессы могут быть обусловлены появлением некогерентных спаренных носителей
заряда [6], открыванием псевдощели в спектре спиновых возбуждений [7], проявлением волн зарядовой плотности [8], или другими явлениями [9-11]. Для выяснения этих вопросов представляются актуальными исследования теплоемкости YBa2Cu3O6+х в области нормального состояния.
В данной работе мы анализируем прецизионные экспериментальные данные о теплоемкости трех образцов сверхпроводящей керамики YBa2Cu3O6+x (х=0.85, 0.90 и 0.95), которые относятся к 90-градусной фазе (температура сверхпроводящего фазового перехода ~ 92 К). Для анализа используется специальная техника, в основе которой лежит высокотемпературное разложение теплоемкости [12-14]. Наше исследование показало, что для всех образцов в интервале температур 100-320 К наблюдаются три аномалии. Полученные результаты свидетельствуют о том, что обнаруженные аномалии в теплоемкости выше Тс отражают характерные свойства YBa2Cu3O6+x-системы, и не могут рассматриваться как проявление несовершенства индивидуального образца.
II ВЫДЕЛЕНИЕ АНОМАЛИЙ
Измерения теплоемкости Ср(Т) образцов YBa2Cu3O6+x были выполнены адиабатическим методом в интервале от гелиевых до комнатных температур. Использовались экспериментальные данные, полученные нами для х=0.85 и х=0.95 и данные, представленные в работе [15] для х=0.90. Характеристики образцов и детали эксперимента приведены в работах [16, 17].
При анализе экспериментальной теплоемкости СР(Т) мы полагали, что в температурной области выше Тс она может быть представлена выражением:
Ср(Т) = О(Т) + уТ + ЯА(Т/Т0-1)а + 5С(Т), (1)
где Я - универсальная газовая постоянная. В выражении (1) слагаемое С¥(Т) описывает гармоническую решеточную часть; слагаемое уТ состоит из двух компонент - линейной электронной и линейной ангармонической; слагаемое вида ЯА(Т/Т0-1)а используется для аппроксимации низкотемпературного крыла аномалии, которая устойчиво наблюдается при температурах Т > 250 К в системе YBa2Cu3O6+x и связывается с изменением структуры кислородной подсистемы в плоскости цепочек СиОх [16-19]; слагаемое 5С(Т) описывает аномальную часть теплоемкости, (если она есть). Гармоническая решеточная часть Су(Т) с помощью метода эффективной суммы, основанного на высокотемпературном разложении теплоемкости [12-14], представляется известной функцией температуры с тремя параметрами 02, 04 и 0*, которые соответствуют второму моменту фононной плотности состояний, четвертому моменту и эффективному моменту, характеризующему верхнюю границу фононного спектра. Для каждого из исследуемых образцов численные значения параметров 02, 04, 0* и у (входящие в выражение (1)) были определены с использованием метода наименьших квадратов в интервале температур 100250 К. Затем два первых слагаемых были вычислены и вычтены из экспериментальной теплоемкости Ср(Т) выше 100 К. Параметры А, а и Т0 были определены аппроксимацией остатка выражением ЯА(Т/Т0-1)а в интервале температур выше 250 К (подробнее см. [1618]). Определив таким образом параметры, входящие в выражение (1), мы рассчитали слагаемые С¥(Т), уТ и ЯА(Т/Т0-1)а в интервале температур 100-350 К. Отметим, что эти слагаемые описываются неколеблющимися гладкими функциями. Для образца х=0.85 при 200 К второе слагаемое уТ составляет менее 2% от общей теплоемкости, третье слагаемое ЯА(Т/Т0-1)а не превышает ~1.5% от общей теплоемкости. Для остальных образцов порядки величин такие же. Согласно представлению (1), аномальные вклады 5С(Т) в
теплоемкость исследуемых образцов могут быть получены вычитанием гладких вкладов СУ(Т), уТ и ЯА(Т/Т0-1)а из экспериментальной теплоемкости.
Рис. 1 Аномалии Тт и Т в теплоемкости образца YBa2Cu3O6.85.
Рис. 2 Аномалии Тт и Th в теплоемкости образца YBa2Cu3O6.90.
В температурном интервале выше Тс было выполнено вычитание гладких вкладов (СУ(Т), уТ и ЯА(Т/Т0-1)а) из экспериментальной теплоемкости. В результате обнаружились аномалии в температурных интервалах 110-200 К (Т^), 205-230 К (Тт) и 260-290 К (Т^.
Амплитуды аномалий заметно превышают экспериментальный разброс и отличаются у образцов с разным содержанием кислорода. Эти аномалии представлены на Рис.1-3.
Рис. 3 Аномалии Т1о№, Тт и Т в теплоемкости образца YBa2Cu3O6•95•
Аномалия Т1о№ занимает широкий температурный интервал (110-200 К). Она, возможно, состоит из нескольких компонент (см. Рис.1-3). В ее низкотемпературной части (110-140 К) для всех трех образцов просматривается отдельный пик. Аномалия Тт имеет два пика примерно одной и той же высоты при 208 К и 225 К. Температуры этих двух пиков почти совпадают с температурами магнитных фазовых переходов в чистом СиО: 212 К и 230 К [20, 21]. Оценка, выполненная для образца с х = 0.85, показывает, что эта аномалия не может быть отнесена за счет примеси чистого СиО, ибо потребовалось бы ~20 мольных % примеси для обеспечения наблюдаемого вклада в теплоемкость, что никак не согласуется с характеристикой образца. Аномалия Т локализована в области 260-290 К и имеет максимум при ~ 275 К.
Дальнейшие исследования должны ответить на вопрос о том, к какой из подсистем сверхпроводника - к решеточной, магнитной или электронной относятся эти аномалии и какова их природа. В данной работе мы рассматриваем аномалии Т и Тт. Исследование аномалии Т1о№ мы предполагаем выполнить в другой работе.
III ОБСУЖДЕНИЕ Аномалия Т
Результаты анализа экспериментальных данных показывают, что между температурой Т и температурой сверхпроводящего фазового перехода Тс имеет место соотношение (Т ~ 3Тс). Это соотношение, по нашим наблюдениям за множеством образцов (R)Ba2Cu3O6+x-системы, относящихся к 90-градусной фазе (см., например, [18, 22]), всегда выполняется.
Таким образом, аномалию Т можно рассматривать как температурное "эхо", возникающее при температуре 3ТС от сверхпроводящего фазового перехода.
Обнаруженное нами в трех исследуемых образцах YBa2Cu3O6+x температурное "эхо" -не единственный пример такого явления. Такое же температурное "эхо" от сверхпроводящего фазового перехода, возникающее при температуре ~3ТС, наблюдается в теплоемкости соединения NdBa2Cu3O6+x и HoBa2Cu3O6+x [18, 22]. В результате анализа теплоемкости соединений YBa2Cu3O6+x и (R)Ba2Cu3O6+x (Я - редкоземельный элемент), мы пришли к выводу, что наличие аномалии Т характерно для сверхпроводников YBa2Cu3O6+x-системы. Cвязь температуры Т с температурой сверхпроводящего фазового перехода позволяет предполагать, что аномалия Т выявляет некоторый процесс, связанный с появлением сверхпроводимости, например, формирование куперовских пар выше температуры сверхпроводящего перехода [6] или какой-либо другой процесс, вследствие которого образуется псевдощель в спектре одночастичных возбуждений [23].
Особенности в температурной области — Т характерны для сверхпроводников YBa2Cu3O6+x-системы и проявляются в разных свойствах. Например, температурная зависимость производной электросопротивления р'(Т)/р'(200 К) показывает резкое изменение свойств образца YBa2Cu3O6.85 именно в температурной области 260-300 К (см. [16]). Еще один пример аномального поведения электросопротивления образца YBa2Cu3O6.90, получен нами при измерении р(Т) в интервале температур 4.2-550 К (Рис.4) при нагревании образца в специальном режиме.
Рис. 4 Температурная зависимость электросопротивления YBa2Cu3O6.90 при обычной (—1-10 К/мин) скорости нагрева и охлаждения (кривая А) и при нагреве со скоростью —0.01 К/мин от 350 К до 550 К и охлаждении со скоростью —1-10 К/мин (кривая B). На вставке - аномалия Т в теплоемкости YBa2Cu3O6.90.
При нагревании и охлаждении образца с обычной для таких экспериментов скоростью (—10 К/мин) кривые сопротивления при нагреве и охлаждении совпадают (см. кривую А
на Рис.4). При особом режиме изменения температуры образца (нагрев со скоростью ~10 К/мин до 350 К, замедление скорости до ~ 0.01 К/мин и нагрев с этой скоростью до 550 К, быстрое охлаждение со скоростью ~ 10 К/мин) зависимость R(T) идет по кривой В. При последующем нагреве и охлаждении образца со скоростью ~10 К/мин сопротивление образца остается на высокоомной ветви кривой В. Таким образом, мы наблюдаем качественное изменение поведения R(T) при изменение скорости нагрева. Причины такого поведения сопротивления будут обсуждаться в отдельной работе.
На кривой В при понижении температуры наблюдается изменение характера проводимости от полупроводникового к металлическому. Отклонение от полупроводникового хода начинается при ~ 280 К, то есть в температурной области Т (см. вставку на Рис.4). Наблюдаемый температурный ход сопротивления р(Т) можно объяснить тем, что при этой температуре возникает какой-то дополнительный канал проводимости в образце. В противном случае полупроводниковый ход наблюдался бы при понижении температуры и далее. Возможно, этот процесс отражает то же самое явление, которое мы видим при температуре Т в теплоемкости. Одним из вариантов может быть появление некогерентных спаренных носителей заряда (куперовских пар).
Наличие ^-процесса в соединениях YBa2CuзO6+x-системы подтверждается аномалиями и в других их свойствах. В работе [5] представлена температурная зависимость коэффициента теплового расширения а(Т) для монокристаллов YBa2Cu3O6.95 и YBa2Cu3O7 вдоль трех орторомбических осей. При температуре Тс в а(Т) вдоль каждой из осей наблюдается особенность в виде изменения наклона кривой. Кроме того, для образца YBa2Cu3O6.95 подобные особенности наблюдаются вдоль каждой из осей при температуре ~280 К (в наших обозначениях Т^. Здесь так же как и в теплоемкости наблюдаются аномалии при температуре 280 К. Эти аномалии можно рассматривать как дополнительное свидетельство наличия температурного "эха" от сверхпроводящего фазового перехода (280 К : 3 = 93.3 К). Следует отметить, что аномалия в а(Т) при температуре Т наблюдается только для образца х = 0.95 и отсутствует для образца х = 1. Это указывает на то, что ^-процесс зависит от степени допирования образца.
Приведенный пример показывает, что ^-процесс затрагивает также и решеточную подсистему образца. Это согласуется с идеей о сильной электрон-фононной связи в купратных сверхпроводниках, вследствие чего изменение электронной структуры влечет за собой изменения кристаллической структуры.
Введенному нами понятию температурного эха мы придаем следующий смысл. При относительно высокой температуре происходит зарождение новой фазы в ближнем порядке, которое проявляется как фазовый переход (^-процесс). Еще один фазовый переход, наблюдаемый при более низкой температуре, связан с развитием дальнего порядка этой новой фазы (Тс-процесс).
Аномалия Тт
Аномалия Тт с двумя пиками при температурах ~210 К и ~230 К наблюдается не только в соединениях YBa2Cu3O6+x и в (R)Ba2Cu3O6+x [18, 22]. Похожую аномалию можно заметить и в соединении La2-хSrхCuO4 (см., например, Рис.3 работы [24]). Все эти соединения имеют общую черту - одинаковые CuO2 слои. Возможно, Тт-процесс относится именно к этим слоям.
Нам представляется, что для объяснения аномалии Тт можно использовать имеющуюся в литературе идею о существовании в купратном сверхпроводнике второй магнитной подсистемы, антиферромагнетизм которой сосуществует со сверхпроводимостью. Наличие двух видов антиферромагнетизма обсуждается
теоретически в работе [25], имеются также экспериментальные свидетельства [26-29]. Наличие антиферромагнетизма, сосуществующего со сверхпроводимостью, выявлено с помощью упругого рассеяния нейтронов в сверхпроводниках семейства La2CuO4 [26, 27], а также в сверхпроводниках YBa2Cu3O6+х [28, 29]. Возможно, что аномалия Тт отмечает фазовый переход (точку Нееля) в магнитной подсистеме (YBa2Cu3O6+х), антиферромагнетизм которой совместим со сверхпроводимостью
Энтропия аномалий Тт и Ть
В интервале температур 200-300 К вычислены энтропии Тт- и ^-процессов для всех образцов (Рис.5). Погрешность определения энтропии не превышает 10 %. Приращению энтропии в Тт- и ^-процессах соответствует резкое возрастание зависимости 58(Т) в интервалах 200-230 К и 255-295 К.
200 250 300 Т, К
Рис. 5 Температурная зависимость аномальной энтропии Тт- и Т^ процессов для трех образцов YBa2Cu3Ox (х = 6.85 - светлые кружки, х = 6.90 - черные кружки и х = 6.95 - звездочки).
Рис. 6. Зависимость энтропии аномалии Тт (светлые звездочки) и аномалии Т (черные звездочки) от содержания кислорода в YBa2CuзO6+х•
На Рис.6 представлена зависимость энтропии Тт- и ^-процессов от содержания кислорода. Зависимость Sh(x) представляет собой купол с максимумом как раз в области оптимального допирования (х ~ 6.9). При уменьшающихся значениях х ниже оптимального допирования энтропия Sh(x) снижается. Возможно, что она обратится в нуль на нижней границе 90-градусной фазы соединений YBa2Cu3Ox. При возрастании х выше оптимального допирования энтропия Sh(x) опять снижается. Похоже, что она достигает нулевого значения при х = 7, то есть - что ^-процесса при х = 7 нет. Отсутствие аномалии Т в образцах YBa2Cu3Ox с х = 7 подтверждается также данными о зависимости а(Т) [5] (см. выше). Из этого следует, что ^-процесс сопровождает сверхпроводимость 90-градусной фазы соединений YBa2Cu3O6+х.
Энтропия Sm(x) при возрастании х в интервале от 6.85 до 6.95 резко снижается. Возможно, что она достигнет своего предельного нулевого значения (исчезновение аномалии Тт) в так называемой передопированной области, но при значениях х меньших 7. При уменьшении х в области ниже 6.85 она растет, но ее рост уже замедляется. Возможно, что зависимость Sm(x) пройдет через максимум при некотором значении х и затем будет снижаться, достигнув нулевого значения на нижней границе сверхпроводящей фазы (х=6.4).
Кривая Sm(x) пересекеает кривую Sh(x) в точке оптимального допирования. В этой точке энтропии Тт- и ^-процессов сравниваются. Возможно, что это соотношение и определяет точку оптимального допирования.
Фазовые переходы при температурах Tm и Th
В данной работе были названы гипотетические процессы, которые могли бы быть причиной аномалий Tm и Th.
Предполагается, что аномалия Tm выявляет магнитный фазовый переход (точку Нееля) во второй магнитной подсистеме исследуемых образцов. Следует обратить внимание на совпадение температур двух пиков аномалии Tm с температурами двух магнитных фазовых переходов в соединении CuO. Выше было показано, что аномалия Tm не может быть отнесена за счет примеси чистого CuO в исследуемых образцах. Ранее обсуждалась идея, что некоторые характеристики YBa2Cu3O6+x-соединений близки к соответствующим характеристикам соединения CuO [20, 21]. В таком случае можно предположить, что это относится к соответствующим характеристикам второй магнитной подсистемы.
Мы предполагаем, что аномалия Th отмечает начало зарождения сверхпроводимости с формированием псевдощели в спектре одночастичных возбуждений. Это зарождение и формирование может быть следствием образования куперовских пар выше температуры сверхпроводящего фазового перехода [6], или - антиферромагнитных флуктуаций ближнего порядка, или - флуктуаций волн зарядовой плотности, или - других причин [23]. Аномалия в теплоемкости в виде пика при температуре Th свидетельствует, что этот процесс происходит как истинный фазовый переход, а не просто кроссовер. Этот вывод согласуется с утверждением, высказанным в работе [25], о том, что переход в псевдощелевую фазу сопровождается некоторым "скрытым" нарушением симметрии. Малость амплитуды наблюдаемой аномалии можно объяснить микроскопическими (наноскопическими) размерами областей, в которых они происходят. Однако, возможность ее экспериментального наблюдения обуславливается большим их количеством в образце (их число ненамного меньше числа Авогадро).
На фазовой диаграмме сверхпроводников YBa^^O^ характеристические температуры Tm- и ^-процессов отмечают линии, разделяющие разные фазовые состояния. Наши данные позволяют поставить точки на каждую из этих линий.
IV ИТОГИ
Для трех образцов сверхпроводящих керамик YBa2Cu3O6+x (x=0.85, 0.90 и 0.95) разделение теплоемкости на регулярные и аномальные компоненты было выполнено в температурной области нормального состояния. Точное описание регулярных вкладов с использованием развиваемой нами техники позволило выявить аномалии в температурных интервалах Tlow (110-200 К), Tm (205-230 К) и Th (255-285 К) для всех исследованных образцов.
Обнаружено, что между температурой Th и температурой сверхпроводящего перехода Te имеет место соотношение 3Tc ~ Th. Таким образом, аномалию Th можно рассматривать как высокотемпературное "эхо" от сверхпроводящего фазового перехода. Анализ данных показал, что такое высокотемпературное "эхо" наблюдается для сверхпроводящих образцов YBCOx и (R)BCOx системы, причем не только в теплоемкости, но и в других свойствах. Мы полагаем, что аномалия Th отмечает начало некоторого процесса, который связан с возникновением сверхпроводимости. Этот процесс приводит к возникновению псевдощели в спектре одночастичных возбуждений (например, за счет образования связанных носителей заряда (куперовских пар), или - антиферромагнитных флуктуаций в ближнем порядке, или - флуктуаций волн зарядовой плотности, или др.).
Для объяснения аномалии Tm мы используем имеющуюся в литературе идею о существовании в купратном сверхпроводнике второй магнитной подсистемы,
антиферромагнетизм которой сосуществует со сверхпроводимостью. Мы полагаем, что аномалия Tm (230 К) представляет собой фазовый переход (точку Нееля) в этой магнитной подсистеме.
Рассмотрены зависимости энтропий Tm- и ^-аномалий от содержания кислорода. Зависимость энтропии Sh(x) аномалии Th показывает, что ^-процесс сопровождает сверхпроводимость 90-градусной фазы соединений YBa2Cu3Ü6+x: его энтропия имеет максимум в области оптимального допирования и, возможно, исчезает на границах этой фазы. Зависимости Sh(x) и Sm(x) пересекаются в точке оптимального допирования. Можно предположить, что равенство энтропий Tm- и ^-аномалий определяет точку оптимального допировании сверхпроводника.
На фазовой диаграмме (T-x) соединений YBa2Cu3O6+x-системы процессы Tm и Th отмечают линии, которые разделяют соответствующие фазовые состояния.
ЛИТЕРАТУРА
1. И.Г.Гусаковская, С.И.Пирумова, Л.О.Атовмян. СФХТ,3 (1990) 1980.
2. B.Bucher, P.Steiner, J.Karpinski, E.Kaldis, and P.Wachter. Phys.Rev.Lett. 70(1993)2012.
3. D.N.Basov, R.Liang, B.Dabrovski, D.A.Born, W.N.Hardy, T.Timusk. Phys.Rev.Lett. 77(1996)4090.
4. S.Bhattacharya, M.J.Higgins, D.C.Johnston, A.J.Jacobson, J.P.Goshorn, J.T.Levandovski. Phys.Rev.Lett. 60(1988)1181.
5. P.Nagel, V.Pasler, C.Meingast, A.Rykov, S.Tajima. Phys.Rev.Lett.85(2000)2376.
6. V.J.Emery, S.A.Kivelson, Ü.Zachar. Phys.Rev.B 56(1999)6120.
7. A.T.Bootroyd, A.Mikherjee, and A.P.Murani. Phys.Rev.Lett. 77(1996)1600-1603.
8. I.Eremin, M.Eremin, S.Varlamov, D.Brinkmann, M.Mali, and J.Roos. Phys.Rev. B 56(1997)11305.
9. J.M.Tranquada. Physica C 282-287(1997)1661.
10. О.Н.Бахарев, М.В.Еремин, М.А.Теплов. Письма в ЖЭТФ 61(1995)499.
11. В.А.Ацаркин, Г.А.Васенева, В.В.Демидов, М.Гутманн, Г.Беттгер. Письма в ЖЭТФ 69(1999)567.
12. V.N.Naumov, Phys. Rev. B 49 (1994) 13247.
13. V.N.Naumov, G.I.Frolova, T.Atake. Thermochim.Acta 299(1997)101.
14. В.Н.Наумов, Г.И.Фролова, В.В.Ногтева.
Химия в интересах устойчивого развития 8(2000)109-111.
15. R.Shaviv, E.F.Westrum, R.J.C.Brown et al. J.Chem.Phys. 92(1990)6794.
16. В.В.Ногтева, В.Н.Наумов, А.Н.Лавров. ЖФХ 72(1998)1798.
17. В.Н.Наумов, Г.И.Фролова, В.В.Ногтева, Т.Атаке.
Химия в интересах устойчивого развития 9(2001) (будет опубликовано).
18. В.Н.Наумов, Г.И.Фролова, В.В.Ногтева, Н.И.Мацкевич, Р.В.Мак-Калум. Химия в интересах устойчивого развития 8(2000)205-210.
19. V.N.Naumov, E.V.Kholopov, V.V.Nogteva, N.I.Matskevich, and Yu.G.Stenin. Phys. Rev. Lett. (submitted).
20. A.Junod, D.Eckert, G.Triscone, J.Muller and W.Reichardt. J.Phys.:Condens.Matter 1, 8021 (1989).
21. Т.И.Арбузова, И.Б.Смоляк, А. А. Самохвалов, С.В.Наумов. ЖЭТФ 113(1998)1026.
22. V.N.Naumov, G.I.Frolova, T.Atake. (to be published).
23. М.В.Садовский. УФН 177, 539 (2001).
24. C.P.Moca, Boldizar Janko. Cond-mat/0105202.
25. S.Chakravarty, R.B.Laughlin. Б.К.МОГГ, C.Nayak. Cond-mat/0005443.
26. Y.S.Lee, R.J.Birgeneau, M.A.Kanster, Y.Endoch, S.Wakimoto, K.Yamada, R.W.Erwin, S.-H.Lee, G.Shirane. Phys.Rev. B 60(1999)3643.
27. J.M.Tranquada, N.Ichikawa, and S.Uchida. Phys.Rev. B 59(1999)14712.
28. Y.Sidis, C.Ulrich, P.Bourges, C.Niedermayer, L.P.Regnault, N.H.Andersen, and B.Keimer. Phys.Rev.Lett. 86(2001)4100.
29. J.A.Hodges, Y.Sidis, P.Bourges, I.Mirebeau, M.Hennion, and X.Chaud. Cond-mat/0107218.
