Analytical approach to dynamic shear load-carrying capacity for brittle materials Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.622, 539.3

Аналитический подход к определению несущей способности хрупких материалов при динамическом сдвиге

X. Yang1, Z.-C. Ou1, C. Yan2, Z. Duan1, F. Huang1

1 Пекинский технологический институт, Пекин, 100081, Китай 2 Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 70803, США

В статье представлены явные аналитические выражения для описания несущей способности хрупких материалов при динамическом сдвиге в условиях нагружения параболическим импульсом. Уравнения получены на основе критерия инкубационного времени разрушения, с помощью которого динамическая несущая способность определяется по квазистатическим параметрам материала, времени инкубации и условиям импульсного нагружения (амплитуда, время нагружения, форма импульса). Полученные численные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Показано, что критерий инкубационного времени разрушения подходит для описания временной зависимости динамического разрушения хрупких материалов при сдвиге и его прогноза. Предложено вместо динамической прочности на сдвиг рассматривать динамическую несущую способность при сдвиге, которая является расчетной характеристикой, а не материальным параметром. При этом влияние увеличения скорости деформации на сопротивление сдвигу следует рассматривать не как свойство материала, а как реакцию хрупких материалов на импульсное воздействие.

Ключевые слова: динамическое разрушение при сдвиге, инкубационное время, динамическая несущая способность, влияние скорости деформации, хрупкие материалы

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_5_66

Analytical approach to dynamic shear load-carrying capacity

for brittle materials

X. Yang1, Z.-C. Ou1, C. Yan2, Z. Duan1, and F. Huang1

1 State Key Laboratory of Explosion Science and Technology, Beijing Institute of Technology, Beijing, 100081, P.R. China

2 Department of Mechanical and Industrial Engineering, Louisiana State University, Baton Rouge, LA, 70803, USA

Some explicit analytical expressions of the dynamic shear load-carrying capacity for brittle materials under a quadratic waveform loading are presented on the basis of the incubation time fracture criterion, by which the dynamic shear load-carrying capacity can be determined from the quasi-static material parameters, incubation time and stress wave loading conditions (loading amplitude, loading duration, and waveform). The numerical results are in good agreement with the previous experimental data. It is found that the incubation time fracture criterion can be adopted to describe the time-dependence of the dynamic shear failure of brittle materials and predict shear failure. Meanwhile, the so-called dynamic shear strength should be the dynamic shear load-carrying capacity, which is a computable result rather than a material parameter, and the strain rate enhancement effect on the shear failure strength cannot be considered as a material property but should be a structure response of brittle materials to stress wave loading conditions.

Keywords: dynamic shear failure, incubation time, dynamic load-carrying capacity, strain rate effect, brittle materials

1. Введение

Известно, что динамическая прочность большинства конструкционных материалов (на растяжение, сжатие, сдвиг) часто гораздо выше ква-

зистатической, что принято рассматривать как результат влияния увеличения скорости деформации на прочность материалов. Основной механизм такого влияния изучен в ряде работ экспе-

© Yang X., Ou Z.-C., Yan C., Duan Z., Huang F., 2022

риментально [1-8], численно [9-12] и аналитически [13-22]. Традиционно динамическое сопротивление разрушению рассматривается как зависящее от скорости внутреннее свойство материалов, противоположное квазистатической прочности. При этом значение динамической прочности при различных скоростях деформации можно определить непосредственно из экспериментальных данных, а зависимость между скоростью деформации и динамической прочностью выразить с помощью эмпирических или полуэмпирических уравнений. Однако такой подход имеет два серьезных недостатка. С одной стороны, критерий динамической прочности не отражает напрямую зависимость динамического разрушения материалов от времени. С другой стороны, он не позволяет объяснить большой разброс экспериментальных данных [10], а подобранные полуэмпирические уравнения на основе таких данных с разбросом часто приводят к сильно различающимся результатам. Например, разные логарифмические и кусочно-линейные функции, используемые для описания влияния скорости деформации на динамическую прочность бетона, не обладают универсальностью для всех случаев [13]. Для решения данной проблемы предложен нетрадиционный подход к рассмотрению динамической прочности. В работах [9, 10] методом численного моделирования показано, что квазистатическая модель материала хорошо предсказывает поведение бетона при высоких скоростях нагружения. Согласно работе [14], влияние скорости деформации на сопротивление разрушению не является внутренним свойством материала, а характеризует отклик структуры. Вместо термина «динамическая прочность» предложен термин «динамическая несущая способность», который подчеркивает влияние характеристик внешнего динамического на-гружения (форма импульса, амплитуда, длительность), а также внешней нагрузки и свойств материала на поведение хрупких материалов при динамическом разрушении. Также получены аналитические выражения динамической несущей способности при различных динамических растягивающих нагрузках [14, 15]. Результаты их применения при изучении растрескивания материалов [16] показали хорошее соответствие с экспериментальными данными (динамическое растяжение, растрескивание хрупких тел). В работе [17] получены общие аналитические выражения для описания динамической несущей способности при растяжении хрупких материалов под дейст-

вием импульсов произвольной формы, которые позволяют описать влияние таких импульсов на динамическую несущую способность при растяжении. На основе модели динамической прочности в зависимости от времени [2] было также показано, что увеличение динамической прочности на сжатие и растяжение является структурным эффектом [18]. Авторы работ [23, 24] предложили вместо традиционного критерия динамической прочности использовать критерий инкубационного времени разрушения для описания временной зависимости динамического разрушения материалов. Исследования временной зависимости от-кольной прочности материалов на основе критерия инкубационного времени [19-22] показали, что откольная прочность существенно зависит от параметров и формы импульса нагрузки.

В основном динамическую прочность на сдвиг изучают с помощью экспериментальных методов [3-7], которые показывают, что динамическая сдвиговая прочность связана с увеличением скорости деформации, и на основании результатов которых строят эмпирические уравнения [3, 6, 7]. Теоретическое исследование сдвиговой прочности материалов и лежащих в ее основе механизмов не проводилось в достаточных объемах, в отличие от исследований прочности на растяжение и сжатие. Однако ее изучение является естественным развитием классических представлений об эффекте увеличения скорости деформации, а эмпирические уравнения не имеют достаточного теоретического обоснования. Более подробного рассмотрения также требует предположение о том, что по аналогии с прочностью на разрыв сдвиговая прочность не является внутренней прочностной характеристикой хрупких материалов.

Целью настоящей работы является получение аналитического выражения динамической прочности на сдвиг и разработка теории динамической несущей способности при сдвиге, которые позволят подтвердить предположение, что сдвиговая прочность не является внутренней прочностной характеристикой хрупких материалов. Для простоты принята одномерная модель распространения волны сдвига с граничными условиями параболического импульса кручения, а для характеристики временной зависимости динамического разрушения материалов при сдвиге использован критерий инкубационного времени разрушения хрупких материалов [23, 24]. Критерий инкубационного времени подразумевает наличие подготовительного периода разрушения материала, в

течение которого образуются и развиваются микродефекты [23-25]. Критерий и концепция инкубационного времени широко применяются при решении задач динамического разрушения хрупких материалов [23-26], распространения трещин [27, 28], исследования влияния скорости деформации на динамическую прочность хрупких материалов [14-16, 29-33], динамической деформации металла [34-36] и других (эрозия твердыми частицами [37, 38], кавитация жидкостей, электрический пробой [25]). Концепция инкубационного времени разрушения также использовалась для описания нестабильного роста динамической сдвиговой трещины в хрупких материалах [39].

2. Теоретическая модель и результаты

2.1. Теоретическая модель

В работе рассмотрена однородная полубесконечная одномерная модель линейного упругого стержня (рис. 1), где хс обозначает место разрушения материала. Данная модель часто используется при исследовании динамической прочности на растяжение хрупких материалов [14-17, 29-33]. При воздействии зависящей от времени импульсной скручивающей нагрузки на левый конец цилиндрического стержня равного поперечного сечения в нем возникает и распространяется поперечная волна.

Динамическое уравнение модели имеет вид

д 2ф_ 1 д 2 ф

(1)

Эх2 С2 дг2 '

где ф — угол кручения; Сх = у]О/р — скорость волны кручения; О и р — модуль сдвига и массовая плотность стержня. Для простоты примем, что начальное вращение и начальная угловая скорость равны нулю. Таким образом, начальные условия запишем в виде

ф(x, 0) _ 0.

dt

(2)

Граничное условие крутящего момента имеет вид

М (0, £) = М (3)

где £ — переменная времени на границе.

Аналогично работе [40] получим общее решение приведенной выше начальной краевой зада-

чи:

Ф(x, t) t "f M(Ç)dÇ,

GIp 0

Рис. 1. Распространение одномерной волны кручения в стержне

где Ip — полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

В дальнейшем считается, что граничное условие параболического крутящего момента приводит к параболическому импульсу, что позволяет аппроксимировать действительную кривую истории нагружения в соответствии с работами [3, 5, 7]. Граничное условие параболического крутящего момента (рис. 2) запишем в виде

2 (5)

M (0, Ç) - M (Ç) _ - ko Ç 2,

ko < 0, Ma _

~k0Çl,

где к0, и Ма — параметры, описывающие нагру-жение на границе.

Подставляя граничное условие (5) в общее решение уравнения (4), получим

с к

ф(X, t) _ ■

3GI,

t-

---Ç

Ct Ça

\3

-3Ç 2

P

X

'- ç.

+ça

(6)

Следовательно, максимальная сдвиговая деформация и напряжение в поперечном сечении х стержня могут быть определены по формулам

Г Л 2

у(x, t) _ R дф_ 1

dx G

x

t - C-Ça

- k ç2

(7)

k _ Rk0/Ip < 0,

Рис. 2. Граничное условие параболического крутящего момента

х

/ \ т(х, г) = Оу = к г - С _ (8)

V Ц )

где К — радиус стержня, а амплитуда напряжения та = КМа//р = -к£а2. Без потери общности предположим, что разрушение материала происходит случайным образом при х=хс и г = гс, и для удобства примем время прихода импульса в место разрушения хс/Сх за начальный момент времени, а именно Е = г - хс/Сх. Затем на основе уравнений (7) и (8) перепишем выражения для максимальной сдвиговой деформации и напряжения при хс следующим образом:

у = у

/ Л

Е +С

= 1[ к (^-^а)2 - к Е 2], (9) с

т(Е) = Оу = к(^-^а)2 _к(10) Для описания разрушения хрупких материалов при динамическом сдвиге можно применить критерий инкубационного времени разрушения [23, 24], который подразумевает немгновенность динамического разрушения. Для материалов без искусственных дефектов и концентраторов напряжений критерий инкубационного времени разрушения можно записать в виде [24]

} а(Хс, г= а^

тс'

(11)

где гтс и ас — инкубационное время разрушения и квазистатическая прочность материала; о(хс, г) — растягивающее или сжимающее напряжение в месте разрушения хс. В физическом смысле критерий инкубационного времени подразумевает, что динамическое разрушение происходит при достижении критического значения заданного импульса напряжения. Аналогичным образом, для удобства математических расчетов используем напрямую критерий инкубационного времени для определения разрушения при динамическом сдвиге в виде

с

I т(xc, г= тсгтс,>

(12)

где тс, т(хс, г) — квазистатическая сдвиговая прочность и касательное напряжение в месте разрушения.

Предположив, что разрушение материала происходит на восходящей ветви (0 < £с < £а) кривой нагружения (рис. 3), напряжение сдвига при £с и хс определим как динамическую прочность на сдвиг т^. На основе уравнения (10) получим

^ = к (* * )2 к с2 (13)

Рис. 3. Разрушение материала на восходящей ветви кривой при х = хс

Ес = Еа у к + Е2 _Еа

1-

(14)

При подстановке напряжения сдвига (10) в уравнение критерия инкубационного времени разрушения (12) в сочетании с уравнениями (13) и (14) определим динамическую прочность на сдвиг. При решении следует рассматривать два возможных сценария (£с - гшс > 0 или £с - гтс < 0), поскольку время инкубации ^пс является параметром материала, не зависящим от условий нагружения [23, 24], а время разрушения £с изменяется в зависимости от скорости нагружения [1, 30, 32] и будет меньше постоянного времени инкубации при ее определенных значениях.

В первом случае £с - гшс > 0 и £с < £а, следовательно,

"} т(С)^= 1 [к(С-Са)2 _кC2]dC = тCtinc. (15)

Е _ь Е _ь

^с Чпс Ьс Чпс

Аналогично случаю растяжения [15], уравнение (15) решим следующим образом:

=т8 _1 ^т + /т2-т т8__1_Ьп^т2 (16)

1с 1с 6 с 2 ^ Е V 12 С

Чтобы изучить влияние увеличения скорости деформации на т^, выразим уравнение (16) как функцию скорости нагружения т = Су (или скорости деформации у). С учетом усредненной реальной скорости нагружения у, на основе уравнений (13) и (14) получим выражение для скорости нагружения

А ' '

т = С у = ^ = к (Ес-2Еа) = >

1 +1

.(17)

< = к(Ес -Еа)2 - кЕ2,

Объединив уравнения (16) и (17) с целью исключения та, уравнение (16) приведем к виду

т?2 - « + 2т+ т^)т?

+ 2тЕа тС +Т2Еа ^ + 3 т24 = 0, (18)

ь <5 <5

1пс — Ъс — Ъа •

Решение уравнения (18), соответствующее т? > 0, получим в виде

т? = 2 тО +т 5а +1 т Ь1пс

--2д/(тО -2т^а)2 + 2тОтгто -3т(19)

Кроме того, согласно условию Ь1пс < Ес < Е3 т?

Ь <5 = <5

1по _ ^с _ ^а

т

Подставляя (19) в (20), определим соответствующую скорость нагружения, которая удовлетворяет уравнению (20):

ЗтОЕа <т <3тО(2^а - О (21)

352 - Ь2 (35 - Ь )'

^Ьа 1пс 1пс/

Во втором случае при Ес - Ь1пс < 0 и Е < Е3, согласно работам [29-33], напряжение при нагрузке в интервале от Ес — Ь1пс до 0 принимается равным 0. Таким образом,

5с

5 с -Ь1пс

0 5с

= | 0?5+|[¿(5-5а)2-*52№ = тХ. (22)

5с -Ь1пс 0

При объединении уравнений (22), (13) и (14) переменная времени в (22) преобразуется в переменную напряжения и уравнение для динамической прочности на сдвиг принимает вид

т?3 + 3та т?2-

12Ь1пс т8 т2 + 9Ь2с

к с а 5а 52 а

та =-к 5а2.

= 0, (23)

Соответствующее решение тс > 0 уравнения динамической прочности в зависимости от т3 и Е3 записывается в виде

т? = т

2с08

—згссо8 3

3т8 Ь

^ '•с'тс

та 5а

' 3т8 Ь ^

2 ''с'шс

2та 5а

-1

-1

(24)

Как и в первом случае, чтобы получить соотношение между т? и скоростью нагружения т, необходимо исключить т3 из (23) путем объединения с уравнением (17):

т?3 - 3т5ат?2 - 3^тт? + бтс^шст25а = 0, (25)

0 <5с < Ь1пс апа 5с < 5а. Удовлетворительное решение уравнения (18) в зависимости от т и Е3 запишем в виде

4л4

2^

т„ = 2а <ть.

т 25а2с08 |е

-т5а, (26)

где

е = 1згссо8 3

'т353а - 3/2 тст\с5а

Л

(27)

стьШс + т252)3 ,

Кроме того, чтобы определить соответствующую скорость нагружения, удовлетворяющую условиям Ес < Ь1пс и Ес < Еа, а также для удобства ис-(20) пользуем неявное уравнение (25) для т? вместо

явного уравнения (26) и поделим обе части (25) на т3:

53 - 35 52 - 3тсЬ1пс5с + бтсЬ1пс5а = 0 (28)

с а с т т

Скорость нагружения в (28) определим как

т = 3тсЬ1пс(25а - 5с) (29)

52(35а-5с) '

Ввиду монотонности уравнения (29) относительно Ес, при Ес < Ьщс < Ез имеем

т > 3тс(25а - ЬШс) > _3т&

Ь1пс (35а - О Также для Ес < Ез < Ьпс

252

т > 31^ > 3т'с(25а - ЬШс)

252 ЬШс(35а - ЬШс)'

(30)

(31)

При объединении двух рассмотренных вариантов динамическая прочность на сдвиг тс? , выраженная аналитически через параметры нагруже-

ния т3 и Е3, может быть представлена в виде

1 Ь2

т8 ---¡пс т +

с б 52 3

т? =

тз-т т8 — ^т2

3 3 с 12 52 а' а

5а V ь <5 <5

1пс — Ъс — Ъа

2со8

1

— 3ГСс08

3

(32)

3т8Ь

с 1пс та 5а

(

3т8Ь

2 с 1пс

2та 5з

Л

-1

-1

ат>а у

0 <5с <Ь1пс апа 5с < 5а. Явное аналитическое выражение для т? можно также записать в виде функции от т и Е3:

т

а

xd _

1 s .c 1 . 1

—xc + xÇa +—x tinc —x 2 c 2 inc 2

(xC - 2xÇa)2 + 2xScxtinc - -3 x2ti2nc,

t■ <Ç <Ç or

inc — Ъс — la' "

3xCÇa

< x <

3xC(2Ça - tinc)

3Ça - С tinc (3Ça - tinc)'

W xC x tinc +x 2ç2 cos fe+^

(33)

■x Ça

0 <Ç <t <Ç or x >

" ^ bc — inc ^a '

0 <Ç <Ç <t or x >

" ^ bc — ba — 'inc ^ —

3xÇ(2Ça - tinc) ,

tinc(3Ça - tinc)

3x!t:nc

2Ç2

где

e_— arccos 3

^x 3Ç3 - 3/2 xc x 2tmçÇa

Si

x xt

lc uinc

-x 2Ç2)3

(34)

2.2. Результаты

Из уравнения (33) следует, что динамическая прочность на сдвиг х^ зависит не только от скорости деформации, но и от времени нагружения ^а. Другими словами, при различных значениях £,а при определенной скорости нагружения уравнение (33) приводит к разным результатам. Поэтому перед его применением необходимо сначала определить диапазон влияния ^ на результаты по монотонности изменения х^.

Если tinc < ^с < с помощью уравнения (33) по-

d к

лучим частную производную от хс для qa:

öxd

_ x

где

1 -

dÇa 2xÇa -xSc

V(xc - 2xÇa)2 + 2xscxtinc -1/3 x2ti2n 3xScÇa <x<3xSc(2Ça - tmc)

>0, (35)

3Ç2 -12 JSa ini

<x <-

tinc (3Ça - tinc)

2xÇa >xSc

2xs xt. -1 x2t2 _xt.

2xc -1 xtinc l> 0.

(36)

3 ши ши I и 3

Если £с < гтс и < £а, для удобства вместо явного уравнения (33) запишем частную производную х^ в неявном виде (25):

d2

dÇa

--x

d2

2Çaxd ^

-x t x

с inc 1

dxd

dÇa

d

dÇa У

-2xsctincx2 _ 0.

(37)

Тогда частную производную от хс для £а представим как

öxd dÇa

x (2xctinc x -xd2) xd(2x Ça -xd) + xSctincx

xx„

_d3

[xd(2x Ça -xd) + xctinc x ](6xÇa - 3xd) где в результате преобразования (26)

> 0, (38)

x > 3xc(2Ça tinc), x >3xtnL,2xÇa-xd > 0,

tinc (3Ça - tinc)

2xSctincx _

2Ça

xd2(6xÇa - 2xd)

(39)

6xÇa - 3xc

Из уравнений (35), (38) видно, что при заданной скорости нагружения значение xd монотонно растет с увеличением времени нагружения Ça. В момент динамического разрушения на восходящей ветви кривой нагружения Ça > Ç^ Поэтому при заданной скорости деформации достижение нижнего и верхнего пределов xd в зависимости от Ça происходит, когда Ça равно Ç или стремится к бесконечности.

Для нижнего предела при Ça = Çc сдвиговое разрушение происходит при заданной амплитуде на-гружения, при этом

xd _xa, x _ Gy _i _Ь-. (40)

Çc Ça

Подставляя (40) в (18) и (25), получим выражение для нижнего предела xd :

x _ x _

1 xc

2 c

4 xc2

— xx t x >■

2 c inc, " 2t-

-1 x 2t2

3x tinc

3xc

, 0 < x <

3xc

2t„

(41)

Выражение для верхнего предела xc, когда параметр нагружения Ça стремится к бесконечности при заданной конечной скорости нагружения, получим на основе уравнений (18) и (25):

xd _

1 2xsc -—xt 0 < x <—c

r. inc' .

2 tinc

i

2xs xt x >

lc "inc ; 1 —

2xc

(42)

Следует отметить, что при Еа, стремящемся к бесконечности при заданной скорости нагружения, исходя из уравнений (10) и (17) параболическая волна сдвига приближается по форме к волне с линейно растущей амплитудой:

т = lim k(-2Еа) = -2k;a,

ta

2 (43)

т(Е) = lim (k^2 - 2k^aE) = -2k^aE = TE,

5a ^+<x>

где E имеет конечное значение Ec, а k должно стремиться к нулю. Следовательно, уравнение (42) также является аналитическим выражением т^ в случае линейного изменения нагрузки.

Одним из наиболее важных параметров в предлагаемой модели является время инкубации сдвигового разрушения. Данную величину оценивают в ходе испытаний на динамическое сопротивление сдвигу, например, с использованием разрезного стержня Гопкинсона, по кривым нагружения. Значение tinc можно определить или аппроксимировать путем сопоставления экспериментальной кривой нагружения с изменением критерия инкубационного времени, как описано ниже. В соответствии с критерием инкубационного времени разрушение в испытаниях на динамическое сопротивление должно удовлетворять следующему соотношению:

tc

J Texp(t)dt = TSctinc, (44)

tc —tinc

где Texp(t) — история изменения напряжений сдвига. Величину Texp(t) и время разрушения tc в (44) определяют с помощью системы разрезных стержней Гопкинсона, как описано в работах [41, 42]. Следовательно, единственной неизвестной переменной в данном интегральном уравнении является инкубационное время сдвигового разрушения tinc, которое можно рассчитать с помощью классического численного метода для решения нелинейных уравнений.

Выполним дискретизацию левой части уравнения (44) по правилу трапеций и решим нелинейное уравнение, используя метод Ньютона-Рафсо-на и квазиньютоновский метод. Экспериментальные кривые деформации, построенные при различных условиях нагружения, дают разные значения инкубационного времени. В работе [31] при оценке времени инкубации разрушения при растяжении образцов гранита были получены значения времени инкубации в интервале от 41.8 до 53.3 мкс вдоль разных осей нагружения. Разные значения времени инкубации для одного и того

же материала обусловлены неоднородностью его структуры. Аналогичным образом изменяется время инкубации разрушения при сдвиге. Поэтому разные оценки могут давать широкий диапазон погрешности при расчетах, на что указывается в работах [31, 43, 44]. С другой стороны, использование инкубационного времени в качестве материальной константы позволило с успехом решить множество инженерных задач [14-16, 2336]. Хотя на данный момент нельзя с уверенностью рассматривать время инкубации как материальную константу, такой подход представляется перспективным.

Для верификации предлагаемой модели используем экспериментальные данные для трех горных пород: песчаника Лонгью [3, 45, 46], мрамора Фаншань [5], зеленого песчаника [7]. В теоретической модели (уравнения (33), (41) и (42)) необходимо определить два параметра материала, а именно квазистатическую прочность тС и время инкубации сдвигового разрушения ¿тс. Значения прочности тС для трех горных пород, полученные в ходе испытаний на статическое сопротивление, составляют 11 МПа для песчаника Лонгью [3], 22 МПа для мрамора [5] и 17 МПа для зеленого песчаника [7]. С помощью предложенного метода определения времени инкубации при сдвиге на основе экспериментальных кривых нагружения для песчаника Лонгью были получены значения tmС = 44, 49 и 47 мкс при скоростях нагружения 440 [45], 870 [46] и 1800 ГПа/с [3] соответственно. С учетом неоднородности материалов горных пород значения ¿тс несколько различаются, поэтому для расчета уравнений (33), (41) и (42) для песчаника Лонгью используем среднее значение 46.6 мкс. Грубая оценка ¿тс для мрамора [5] и зеленого песчаника [7] по экспериментальным кривым нагружения дает 83 и 43 мкс при скоростях нагружения 460 и 800 ГПа/с соответственно.

Сравнение результатов теоретической модели (уравнения (33), (41) и (42)) с экспериментальными данными [3, 5, 7] представлено на рис. 4. Время нагружения Еа в (33) является параметром нагружения. Если Еа = Ес или Еа = уравнение (33) преобразуется в (41) или (42) соответственно. Чтобы показать влияние величины Еа на результаты расчета сдвиговой прочности, для решения уравнения (33) искусственно заданы два конечных значения Еа: больше и меньше инкубационного времени разрушения каждого материала. Как видно из рис. 4, результаты расчетов динами-

Рис. 4. Сравнительные результаты расчетов динамической прочности на сдвиг песчаника Лонгью (а), мрамора Фаншань (б), зеленого песчаника (в)

ческой сдвиговой прочности при различных значениях времени нагружения Ça находятся в области, которая согласуется с экспериментальными данными. Для расчетных данных на рис. 4 и пунктирная, и штрихпунктирная кривые начинаются при скоростях нагружения выше квазистатического значения. С уменьшением времени нагружения Ça начальная точка постепенно смещается от квазистатического значения, потому что заданного времени нагружения недостаточно для разрушения материала при более низких скоростях на-гружения.

3. Обсуждение

Рассмотрим более подробно аналитические решения уравнений динамического сопротивления сдвигу.

Во-первых, хорошее совпадение результатов на рис. 4 указывает на то, что концепция и критерий инкубационного времени разрушения подходят для описания разрушения хрупких материалов при динамическом сдвиге. С одной стороны, можно предположить, что физически, подобно динамическому разрушению хрупких материалов при растяжении, разрушение при сдвиге не происходит мгновенно, а также имеет инкубационный или подготовительный период, в течение которого происходят разрыв микроскопических молекулярных или атомарных связей и формирование мезоскопических дефектов. В соответствии с критерием инкубационного времени [23, 25, 27] подготовительный период характеризуется определенным временем (время инкубации), которое можно трактовать как материальный параметр. В работе [39] инкубационное время разрушения было введено в качестве параметра материала для изучения неустойчивого роста динамической сдвиговой трещины в хрупком материале и определения условий перехода от субрэлеевского режима распространения трещины к сверхсдвиговому. С другой стороны, критерий инкубационного времени широко применяется для описания динамического разрушения хрупких материалов [2326], распространения трещин [27, 28], влияния скорости деформации на динамическое сопротивление хрупких материалов растяжению и сжатию [14-16, 29-33], а также динамической деформации металлов [34-36]. В работах [3, 5, 7] было показано, что влияние скорости деформации на сдвиговую прочность имеет тот же характер, что при растяжении или сжатии. Поэтому для удобства расчетов время инкубации и критерий инкубационного времени разрушения непосредственно используются для описания временной зависимости динамического разрушения хрупких материалов при сдвиге и его прогнозирования.

Во-вторых, из уравнения (32) следует, что динамическая прочность на сдвиг полностью определяется параметрами материала (квазистатическая прочность, время инкубации) и условиями импульсного нагружения, которые характеризуются амплитудой, временем нагружения и формой импульса, о чем также свидетельствуют результаты исследования динамической несущей способности материала при растяжении [15]. В общем случае прочность является неотъемлемым свойством материала при разрушении и не должна зависеть от условий нагружения, таких как

амплитуда, время нагружения и форма импульса. Она является критической величиной, если не учитывать временную зависимость в определении разрушения материала. Иными словами, концепция прочности не подходит для описания разрушения хрупких материалов при динамическом сдвиге ввиду зависимости от условий нагруже-ния. Влияние условий нагружения на несущую способность хрупких материалов учитывается в разрабатываемой нами концепции динамической несущей способности [14]. Как и в случае динамической растягивающей нагрузки [14, 15], данный подход можно применить для случая сдвига и рассматривать динамическую прочность на сдвиг как динамическую несущую способность при сдвиге, которая является расчетной характеристикой, а не материальным параметром.

В-третьих, согласно уравнению (33), как и при динамическом разрыве [14-16] или отколе [1922], влияние увеличения скорости деформации на сопротивление сдвигу хрупких материалов зависит не только от скорости деформации или нагру-жения, но и от условий импульсного нагружения, таких как время нагружения Еа и форма импульса. С одной стороны, согласно уравнениям (35), (38) при заданной скорости нагружения динамическая несущая способность при сдвиге (33) монотонно возрастает с увеличением времени нагружения Еа, а результаты расчетов (рис. 4) для различных значений Еа находятся в диапазоне, который хорошо согласуется с экспериментальными данными. С другой стороны, из уравнений (21), (30), (31), (33) следует, что при заданном конечном значении времени нагружения Еа вероятность разрушения хрупких материалов при динамическом сдвиге полностью зависит от квазистатической сдвиговой прочности, времени инкубации и времени на-гружения Еа. Как видно из рис. 4, для заданного времени нагружения Еа (например Еа = 30 или 60 мкс для песчаника Лонгью, Еа = 50 или 90 мкс для мрамора Фаншань, Еа = 35 или 60 мкс для зеленого песчаника) и некоторых скоростей нагру-жения (рассчитанных по формулам (21), (30), (31)) разрушение при динамическом сдвиге не происходит, поскольку данного времени Еа недостаточно, для того чтобы импульс напряжения соответствовал критерию инкубационного времени. Исходя из вышеизложенного, влияние увеличения скорости деформации на сдвиговую прочность хрупких материалов следует рассматривать не как внутреннее свойство материала, а как реак-

цию структуры хрупких материалов на импульсное воздействие.

Наконец, отметим, что хотя динамическая несущая способность при сдвиге является непостоянной величиной и изменяется в некоторых пределах в зависимости от условий импульсного на-гружения (форма импульса, время нагружения Еа), это не означает, что разброс экспериментальных данных по динамической прочности материала полностью обусловлен условиями нагруже-ния. Согласно работам [9, 10], разброс экспериментальных данных является следствием влияния различных факторов, включая неоднородность материала, размер образца и метод нагружения. На основании критерия инкубационного времени разрушения было изучено влияние неоднородности материала на разброс экспериментальных данных по динамической прочности горных пород на растяжение [31]. Авторы [43, 44] использовали доверительный интервал инкубационного времени для обработки конечных экспериментальных данных по динамической прочности, содержащих случайные ошибки. Таким образом, в рамках теории динамической несущей способности для случаев растяжения и сдвига условия импульсного нагружения являются лишь одним из факторов, который обуславливает разброс экспериментальных данных по динамической прочности материалов.

4. Заключение

В работе получены явные аналитические выражения динамической несущей способности хрупких материалов при сдвиге в условиях нагруже-ния параболическим импульсом на основе критерия инкубационного времени разрушения. Для проверки предлагаемой модели рассчитана динамическая несущая способность трех видов хрупких материалов. Численные результаты хорошо согласуются с полученными ранее экспериментальными данными.

Показано, что предлагаемая модель позволяет непосредственно использовать критерий инкубационного времени для описания временной зависимости разрушения хрупких материалов при динамическом сдвиге и прогнозирования разрушения при сдвиге.

В рамках обсуждаемого подхода сдвиговую прочность следует рассматривать как динамическую несущую способность материала при сдвиге,

которая является расчетной величиной, зависящей от параметров материала (квазистатическая сдвиговая прочность, время инкубации) и условий импульсного нагружения (амплитуда, время нагружения, форма импульса).

Как и в теории динамической несущей способности материалов при растяжении, влияние увеличения скорости деформации на сопротивление сдвигу следует рассматривать не как свойство материала, а как реакцию структуры хрупких материалов в условиях импульсного воздействия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Национального фонда естественных наук Китая (проект № 11772056).

Литература

1. Brara A., Klepaczko J.R. Experimental characterization of concrete in dynamic tension // Mech. Mater. - 2006. -V. 38. - No. 3. - P. 253-267. - https://doi.org/10.1016/). mechmat.2005.06.004

2. Fischer I., Pichler B., Lach E., Terner C., Barraud E., Britz F. Compressive strength of cement paste as a function of loading rate: Experiments and engineering mechanics analysis // Cem. Concr. Res. - 2014. - V. 58. - No. 13. -P. 186-200. - https://doi.org/10.1016/jxemconres.2014.01. 013

3. Huang S., Feng X.T., Xia K. A dynamic punch method to quantify the dynamic shear strength of brittle solids // Rev. Sci. Instrum. - 2011. - V. 82. - No. 5. - P. 1-5. - https:// doi.org/10.1063/1.3585983

4. Lukic B., Forquin P.F. Experimental characterization of the punch through shear strength of an ultra-high performance concrete // Int. J. Impact Eng. - 2016. - V. 91. - P. 34-45. -https://doi.org/10.1016/j.ijimpeng.2015.12.009

5. Yao W., He T., Xia K. Dynamic mechanical behaviors of Fangshan marble // J. Rock Mech. Geotech. Eng. - 2017. -V. 9. - No. 5. - P. 807-817. - https://doi.org/10.1016/]. jrmge.2017.03.019

6. Ngo T.T., Kim D.J. Shear stress versus strain responses of ultra-high-performance fiber-reinforced concretes at high strain rates // Int. J. Impact Eng. - 2018. - V. 111. - P. 187198. - https://doi.org/10.1016/jijimpeng.2017.09.010

7. Xu Y., Yao W., Xia K., Ghaffari H. Experimental study of the dynamic shear response of rocks using a modified punch shear method // Rock Mech. Rock Eng. - 2019. - V. 52. -No. 8. - P. 2523-2534. - https://doi.org/10.1007/s00603-019-1744-x

8. Loeffler C., Sun Q., Heard W., Martin B., Williams B., Nie X. The effect of loading duration on damage initiation in high-strength concrete // Mech. Mater. - 2020. - V. 140. -P. 103216-1-7. - https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019. 103216

9. Cotsovos D.M., Pavlovic M.N. Numerical investigation of concrete subjected to compressive impact loading. Part 1: A fundamental explanation for the apparent strength gain at high loading rates // Comput. Struct. - 2008. - V. 86. -No. 1-2. - P. 145-163. - https://doi.org/10.1016/j.comp struc.2007.05.014

10. Cotsovos D.M., Pavlovic M.N. Numerical investigation of concrete subjected to compressive impact loading. Part 2: Parametric investigation of factors affecting behaviour at high loading rates // Comput. Struct. - 2008. - V. 86. -No. 1-2. - P. 164-180. - https://doi.org/10.1016/j.comp struc.2007.05.015

11. Ozbolt J., Sharma A., irhan B., Sola E. Tensile behavior of concrete under high loading rates // Int. J. Impact Eng. -

2014. - V. 69. - No. 8. - P. 55-68. - https://doi.org/10. 1016/j.ijimpeng.2014.02.005

12. Saksala T. On the strain rate sensitivity of coarse-grained rock: A mesoscopic numerical study // Rock Mech. Rock Eng. - 2019. - V. 52. - No. 9. - P. 3229-3240. - https://doi. org/10.1007/s00603-019-01772-1

13. Lu D., Wang G., Du X., Wang Y. A nonlinear dynamic uniaxial strength criterion that considers the ultimate dynamic strength of concrete // Int. J. Impact Eng. - 2017. -V. 103. - P. 124-137. - https://doi.org/10.1016/j.ijimpeng. 2017.01.011

14. Ou Z., Duan Z., Huang F. Analytical approach to the strain rate effect on the dynamic tensile strength of brittle materials // Int. J. Impact Eng. - 2010. - V. 37. - No. 8. - P. 942945. - https://doi.org/10.1016/jijimpeng.2010.02.003

15. Ou Z., Yan C., Duan Z., Pi A., Huang F. Dynamic behaviors of load-carrying capacity of brittle materials // Int. J. Impact Eng. - 2012. - V. 42. - P. 59-65. - https://doi.org/10.1016/ j.ijimpeng.2011.11.002

16. Yan C., Ou Z., Duan Z., Huang F. An analytical approach to dynamic spalling of brittle materials // Int. J. Impact Eng. -

2015. - V. 83. - P. 28-36. - https://doi.org/10.1016/jijimp eng.2015.04.001

17. Yan C., Liu R., Li G., Ou Z. General analytical solutions for dynamic load-carrying capacity of brittle materials under an arbitrary incident stress wave // Int. J. Appl. Mech. - 2021. -V. 13. - No. 7. - P. 2150084. - https://doi.org/10.1142/ S1758825121500848

18. Binde E., Reihsner R., Yuan Y., Mang H.A., Pichler B.L.A. High-dynamic compressive and tensile strength of specimens made of cementitious materials // Cem. Concr. Res. -2020. - V. 129. - P. 1-16. - https://doi.org/10.1016/j.cem conres.2019.105890

19. Petrov Y.V., Morozov N.F., Smirnov V.I. Structual macrome-chanics approach in dynamics of fracture // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2003. - V. 26. - No. 4. - P. 363-372. -https://doi.org/10.1046/j.1460-2695.2003.00602.x

20. Petrov Y.V., Smirnov I.V., Utkin A.A. Effects of strain-rate strength dependence in nanosecond load duration range // Mech. Solids. - 2010. - V. 45. - No. 3. - P. 476-484. -https://doi.org/10.3103/S0025654410030179

21. Smirnov V.I., Petrov Y.V. Effect of pulse shape on spall strength // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2018. - V. 59. -No. 2. - P. 303-309. - https://doi.org/10.1134/S0021894418 02013X

22. Михайлова Н.В., Петров Ю.В. Влияние временных параметров импульса воздействия на динамическую прочность в условиях откола // Физ. мезомех. - 2020. -Т. 23. - № 3. - С. 15-21. - https://doi.org/10.1134/S102995 9921010021

23. Petrov Y.V., Morozov N.F. On the modeling of fracture of brittle solids // J. Appl. Mech. - 1994. - V. 61. - No. 3. -P. 710-712. - https://doi.org/10.1115/1.2901518

24. Morozov N., Petrov Y. Dynamics of Fracture. - Berlin: Springer, 2000. - https://doi.org/10.1007/978-3-540-69712-1

25. Morozov N.F., Petrov Y.V. Incubation time based testing of materials // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2006. - V. 25. -No. 4. - P. 670-676. - https://doi.Org/10.1016/j.euromech sol.2006.05.005

26. Berezkin A.N., Krivosheev S.I., Petrov Y.V., Utkin A.A. Effect of delayed crack nucleation under threshold pulse loading // Dokl. Phys. - 2000. - V. 45. - No. 11. - P. 617619. - https://doi.org/10.1134/L1333869

27. Petrov Y.V., Cherkasov A.V., Kazarinov N.A. Instability of critical characteristics of crack propagation // Acta Mech. -2021. - V. 232. - No. 5. - P. 1997-2003. - https://doi.org/ 10.1007/s00707-020-02852-y

28. Kazarinov N.A., Petrov Y.V., Cherkasov A.V. Instability effects of the dynamic crack propagation process // Eng. Fract. Mech. - 2021. - V. 242. - P. 1-12. - https://doi.org/ 10.1016/j.engfracmech.2020.107438

29. Petrov Y., Selyutina N. Dynamic behaviour of concrete and mortar at high strain rates // Mater. Phys. Mech. - 2013. -V. 18. - P. 101-107.

30. Petrov Y.V., Smirnov I.V., Volkov G.A., Abramian A.K., Bragov A.M., Verichev S.N. Dynamic failure of dry and fully saturated limestone samples based on incubation time concept // J. Rock Mech. Geotech. Eng. - 2017. - V. 9. -No. 1. - P. 125-134. - https://doi.org/10.1016/jjrmge.2016. 09.004

31. Martemyanov A., Selyutina N.S., Katorina A. Incubation time criterion analysis of rock materials under dynamic loadings // Proc. Struct. Integr. - 2017. - V. 6. - P. 336343. - https://doi.org/10.1016/j.prostr.2017.11.051

32. Smirnov I.V., Lamzin D.A., Konstantinov A.Y., Bragov A.M., Lomunov A.K. A unified experimental-theoretical approach to predict the critical stress characteristics of failure and yielding under quasi-static and dynamic loading // Eng. Fract. Mech. - 2020. - V. 225. - P. 1-11. - https://doi.org/ 10.1016/j.engfracmech.2018.10.023

33. Selyutina N.S., Petrov Y.V. Fracture of saturated concrete and rocks under dynamic loading // Eng. Fract. Mech. -2020. - V. 225. - P. 1-18. - https://doi.org/10.1016Zj.eng fracmech.2018.11.052

34. Selyutina N.S., Petrov Y.V. Prediction of the dynamic yield strength of metals using two structural-temporal parameters // Metals. - 2018. - V. 60. - No. 2. - P. 240-244. - https:// doi.org/10.1134/S1063783418020221

35. SelyutinaN.S., Petrov Y.V. Comparative analysis of dynamic plasticity models // Rev. Adv. Mater. Sci. - 2018. - V. 57. -P. 199-211. - https://doi.org/10.1515/rams-2018-0065

36. Yan Ch., Liu R., Ou Zh.-Ch. Analytical model for dynamic yield strength of metal // Phys. Mesomech. - 2019. -

V. 22. - No. 4. - P. 333-339. https://doi.org/10.1134/ S102995991904009X

37. Argatov 1.1., Dmitriev N.N., Petrov Y.V., Smirnov I.V. Threshold erosion fracture in the case of oblique incidence // J. Frict. Wear. - 2009. - V. 30. - No. 3. - P. 176-181. -https://doi.org/10.3103/S1068366609030052

38. Evstifeev A., Kazarinov N., Petrov Y.V., Witek L., Bed-narzA. Experimental and theoretical analysis of solid particle erosion of a steel compressor blade based on incubation time concept // Eng. Fail. Anal. - 2018. -V. 87. - P. 15-21. - https://doi.org/10.1016/j.engfailanal. 2018.01.006

39. Grigoriev A., Shilko E. Influence of fracture incubation time on dynamic crack propagation in brittle solids // EPJ Web Conf. - 2019. - V. 221. - P. 01013-1-6. - https://doi.org/ 10.1051/epjconf/201922101013

40. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. -Amsterdam: Elsevier, 1973. - https://doi.org/10.1016/B978-0-7204-0325-1.50006-0

41. Xia K., Yao W. Dynamic rock tests using split Hopkinson (Kolsky) bar system—A review // J. Rock Mech. Geotech. Eng. - 2015. - V. 7. - No. 1. - P. 27-59. - https://doi.org/ 10.1016/j.jrmge.2014.07.008

42. Zhang Q.B., Zhao J. A review of dynamic experimental techniques and mechanical behaviour of rock materials // Rock Mech. Rock Eng. - 2014. - V. 47. - No. 4. - P. 14111478. - https://doi.org/10.1007/s00603-013-0463-y

43. Volkova M., Volkov G., Granichin O., Petrov Y. Sign-Perturbed Sums Approach for Data Treatment of Dynamic Fracture Tests // 2017 IEEE 56th Annual Conference on Decision and Control (CDC). - Melbourne, Australia: IEEE, 2017. - P. 1652-1656. - https://doi.org/10.1109/CDC.2017. 8263887

44. Volkova M., Granichin O., Volkov G., Petrov Y. On the possibility of using the method of sign-perturbed sums for the processing of dynamic test data // Vestnik St. Petersb. Univ. Math. - 2018. - V. 51. - No. 1. - P. 23-30. -https://doi.org/10.3103/S1063454118010132

45. Huang S., Xia K., Dai F. A Dynamic Punch Method to Quantify the Dynamic Shear Strength of Brittle Solids // Dynamic Behavior of Materials, V. 1: Conference Proceedings of the Society for Experimental Mechanics Series / Ed. by T. Proulx. - New York: Springer, 2011. - P. 157-163. -https:doi.org/10.1007/978-1-4614-0216-9_22

46. Huang S., Xia K., Dai F. Establishment of a dynamic MohrCoulomb failure criterion for rocks // Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. - 2012. - V. 13. - P. 55-60. - https://doi.org/ 10.1515/IJNSNS.2011.120

Поступила в редакцию 01.12.2021 г., после доработки 16.02.2022 г., принята к публикации 21.02.2022 г.

Сведения об авторах

Xiao Yang, Dr., Beijing Institute of Technology, P.R. China, 3120170083@bit.edu.cn Zhuo-Cheng Ou, Prof., Beijing Institute of Technology, P.R. China, zcou@bit.edu.cn Cheng Yan, Doct. Stud., Louisiana State University, USA, cyan9@lsu.edu Zhuoping Duan, Prof., Beijing Institute of Technology, P.R. China, duanzp@bit.edu.cn Fenglei Huang, Prof., Beijing Institute of Technology, P.R. China, huangfl@bit.edu.cn