CC BY
52АНАЛОГ1Я У РОЗВ'ЯЗУВАНН1 СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
I. В. Корнейчук, астрант,
Дрогобицький державный педутверситет м.1. Франка,
м.Дрогобич, УКРА1НА
В данШ статтi розкрито зм\ст i операцтний склад двох видiв умiнь використання аналоги при розв 'язуванш стереометричних задач: умтня формулювати задачi, аналогiчнi данШ задачi i умтня здтснювати перенесення аналогiчноi задачi платметрп i и розв'язування на розв'язування задачi стереометры. Подано правила-орieнтири по формуванню умть i схеми, яю шюструють технологт використання аналоги при розв'язуванм задач стереометрИ. Згiдно цих схем показан приклади розв 'язування задач про тетраедр.
При викладант шкшьного курсу стереометри вагоме значення мають не лише геометричш факти, що вивчаються школярами, але i методи, яю застосовуються як в самому кура, так i в методищ його викладання. Поряд iз засвоенням знань i набуттям вмнь застосовувати 1х на практиц важливо хоча б ознайомлювати учнiв iз методами, якими користуються в стереомет-ри. Одним iз таких методiв е аналогия.
Аналопею, як вiдомо, називаеться умовивiд, в якому на основi схожосп предмет1в за одними ознаками робиться висновок про схожють цих предмет1в за шшими ознаками. Умовивiд за аналопею здшснюеться так: якщо при порiвняннi двох предмепв А i В встановлюють, що предмет А мае ознаки а, Ь, с, ё, а предмет В володае ознаками а, Ь, с, то роблять здогадний висновок, що предмет В володае також ознакою ё.
Хоча аналогия дае висновки не досто-вiрнi, якi треба ще перевiряти та обгрунтову-вати iншими способами, все ж вона широко застосовуеться як метод тзнання в математи-цi взагалi i в стереометри зокрема. Умовиво-ди за аналопею виступають основним моментом при розробц навчальних ппотез, при встановлени нових закономерностей, методiв розв'язувань задач i доведень теорем. На те, що аналогия може бути корисною при оволодши знаннями i розвитковi творчих здiбностей учив вказують ДПойа, Ж.Ада-
мар, В.В.Давидов, В.А.Крутецький, Ю.М.Ко-ляпн та iH. (див. напр.[3], [5]).
Аналогию як метод тзнання можна з усп1хом застосовувати в ycix темах курсу стереометри, переносячи ряд властивостей платметричних ф1гур на вщповщш просторов1 ф1гури. Деколи доведення властивостей плоских ф1гур майже доств-но переносяться по аналоги на доведення вщповщних властивостей просторових ф1гур. Можна говорити про аналопю м1ж паралельними (перпендикулярними) пря-мими на площин i паралельними (перпендикулярними) площинами в простор^ декартовими координатами i векторами на площиш i в простора геометричними перетвореннями на площит i в просторь Ряд аналопчних властивостей мають трикутник i тетраедр, паралелограм i паралелепшед, прямокутник i прямокутний паралелепшед, квадрат i куб, трикутник i конус, прямокутник i цишндр, коло i куля. По аналоги можна встановити досить глибою зв'язки-вщношення мж стереомет-ричними ф1гурами i вщповщними вщно-шеннями об'екпв тако'', наприклад, дис-ципшни як проективна геометр1я.
Досв1дчет вчител i методисти вико-ристовують аналопю для складання стереометричних задач на баз1 платметричних. Слщ зауважити, що доречною е думка П.К.Магомедбекова про аналопю у скла-данн i розв'язувант задач: „Виходячи 1з структури умов задач, найлегше складати
© КогпеуеИик I.
сгереомегричт задачi, аналопчнг рiзним планiметричним. При цьому вщомо, що майже для кожно'' платметрично" задачi завжди можна (у загальному виглядi) скласти сгереометричну задачу, i до того ж не одну"[4, с. 164].
В методицi математики аналогия виступае також i як дидактичний прийом. Використання аналоги як методу навчання при вивченнi нових понять, при повторены матерiалу, при вщшуканш способу розв'я-зування ряду задач, при складанш нових задач дослщжували методисти П.Ерднiев, Г.Балк, А.Цукарь, А.Жохов та iн. (див. напр.[1], [2], [6]).
Однак, питання використання аналоги як методу навчання математицi, частково в навчаннГ розв'язуванню стереометричних задач, не отримало свого повного розкриття як в теоретичних дослГдженнях, так i в практицi навчання. В методичнГй лiтературi поки що немае достатшх вiдповiдей на питання: „Де i як використовувати аналогию?", „По якому шляху формувати в учшв вмГння використовувати аналогию?" Вщсут-нГй необхГдний опис дiяльносгi вчителя i учнГв в процесi використанння аналоги при навчаннi основним питанням шильного курсу геометрй, не виявленi загальнГ закономГрностГ використання методу аналоги i конкрегнi прийоми його застосування.
Розглянемо можливосп використання аналоги при розв'язуванш сгереомет-ричних задач.
При складаннi i розв'язуванш задач важливо звертати увагу на функщональну структуру задачi, порiвнювати й з iншою, яка зовнiшньо вiдрiзняеться, але мае той самий математичний змiсг. Тим самим будуть видГлятися задачi, якГ розв'язуються однаковими або ж подiбними способами. Пошуки шляхiв в таких ситуацiях полегшу-ються аналопею вiдносно ранiше розв'я-заних задач.
Виходячи з вище сказаного, розробка методики використання методу аналоги при навчанн учнiв розв'язуванню стереометричних задач мае велику шзнавальну та дидактичну цiннiсть i е актуальною методичною проблемою.
ВмГння учнГв використовувати аналогию при розв'язуваннi стереометричних задач мстить двi складовi: по-перше, вмГння формулювати задачi, аналопчнг данiй задачц по-друге, вмГння переносити розв'язування плашметрично'' задачг на розв'язування сгереометрично'' задачг i навпаки.
Вчитель може повщомиги учням правило-орiентир застосування аналоги при знаходженш i формулюваннi задачi плашметрй, аналогично'' данiй задачi сгереометрй, що складаеться iз насгупних трьох крокГв:
■ перерахувати поняття з дано'' ЗАДАЧ1 А (В) сгереометрй (платметрй);
■ всгановиги спГввщношення цих понять з вщповщними поняттями в платметрй (сгереометрй);
■ сформулювати ЗАДАЧУ В (А) платметрй (сгереометрй).
Запропоноване правило-орiентир можна зобразиги насгупною схемою 1:
А
В
Задача стереометр»
Задача плашметрй
Схема 1
При навчанш розв'язуванню задач аналогия викорисговуеться для пошуку г побудови плану розв'язування задачГ. Вчитель може також повщомиги учням правило-орГентир застосування аналоги' при розв'язуванш задач сгереометрй, яке ютогно допомагае учням Г складаеться Гз насгупних етапГв :
■ проаналГзувати умову дано'' стереометрично'' ЗАДАЧ1 А;
■ пригадати, чи не зустрГчали Ви схожу ЗАДАЧУ В;
■ якщо зустрГчали, то вибрати ЗАДАЧУ В, як допомГжну задачу
(можливо вона e розв'язаною задачею або вивченою властивiстю, доведеною теоремою);
■ проаналiзувати факт i споаб роз-в'язання ЗАДАЧ1 В;
■ розглянути можливють застосу-вання факту i способу розв' язання
ЗАДАЧ1 В для розв'язання дано! ЗАДАЧ1 А;
■ викласти знайдене розв'язання. Далi вчитель може прошюструвати учням схему 2, яка виражае технологiю використання аналоги для розв'язуван-ня стереометричних задач.
Схема 2
В процеа вивчення тетраедра на основi аналоги мiж трикутником i тетраедром поступово встановлюемо спiввiдношення мiж елементами цих фiгур. З розгляду-ваних властивостей цих об'екпв можна вивести першi спiввiдношення: трикутник - тетраедр, вершина трикутника - вершина тетраедра, сторона трикутника - грань тетраедра.
Для розв'язування стереометрично! задачi можна використати або лише факт допомiжноi задачi, або лише споаб розв'язування mei задачi, або одночасно i факт i спосiб розв'язування планiметричноi зада-чi. На прикладi двох задач про тетраедр розкриемо можливi випадки використання допомiжноi задачi для розв'язування стереометричних задач. Викладемо методику навчання розв' язуванню цих задач на осжга формулювання i аналiзу допомiж-них задач про трикутник, аналопчних до задач, що розв'язуються.
ЗАДАЧА 1. Ребра DA, DB, DC тетраедра ABCD перпендикуляры мiж собою; a, b, c - довжини ребер DA, DB, DC,
h - висота, яка опущена з вершини D. Довести, що 1 = +1+1.
h2 a2 b2 c2
П1сля того, як задача поставлена, вчитель повинен допомогти учням засвогти зм^ задачi, зробити рисунок i визначити на ньому a, b, c, h. Нехай DH e висота тетраедра. При навчанн пошуку i побудови розв'язування цiei задачi можна видшиги три етапи.
Етап 1. Вчитель просить учтв знайти i сформулювати аналопчну задачу з платметри. Вiн може допомогти учням здшснити це наступним чином:
- перерахувати поняття, властивост i формули з дано! задача тетраедр ABCD; ребра DA, DB, DC тетраедра перпенди-кулярн мiж собою; a, b, c - довжини ребер DA, DB, DC , h - висота, опущена з вершини D; формула J_ = _L + _L + _L;
h2 a2 b2 c2
- встановити стввщношення цих понять, властивостей i формул з вщповщ-ними в платметри
В стереометрн В плашметрн
тетраедр ABCD трикутник ABC
ребра DA, DB, DC _ -перпендикуляры сторони CA, СВ -перпендикуляры
a, b, с - довжини ребер DA, DB, DC a, b - довжини сторш CA, СВ
h - висота, яка опущена з вершини D h - висота, яка опущена з вершини С
1111 h2 " a2 + b2 + с2 1 1 1 h2 " a2 +b2
- поеднати поняття, властивосп, формули, щоб одержати плаыметричну задачу i сформулювати """. Отримаемо наступну задачу, яку назвемо допомiж-ною i позначимо "" 1А.
ЗАДАЧА 1А. Дано прямокутний трикутник ABC, в якому сторони СА, СВ - перпендикуляры мiж собою. Нехай a, b - довжини кате^в СА, СВ, h - висота, опущена з вершини С. Довести, що
h2 _ a2 + b2 '
Етап 2. Розв'яжемо ЗАДАЧУ 1А i повщомимо учням про те, що формула в ЗАДАЧ1 1А е справедлива i використо-вуеться для доведення формули в задачi про тетраедр.
А
З подiбностi трикутниюв ADC i BDC випливае рiвнiсть купв ACD i DBC. Позначимо ZACD _ ZDBC _ а.
З названих вище трикутникiв маемо:
CD h CD h
cosa_-_—; sina_-_ —
CA a CB b
Пiднесемо обидвi сторони цих рiвностей до квадрату, отримаемо:
2 h2 . 2 h2 cos а_ —г; sin а_—г . a2 . b2
Додамо обидвi сторони цих рiвностей:
h2 h2 , ,2 ( 1 1 ) , 1 1 1
__ + _1 ^ h 21 + __ I _1 ^ __ + _
a b V a b ) a b h
2
Етап 3. Ставимо учням конкретне завдання: „Застосувати формулу ЗАДАЧ1 1А для доведення формули ЗАДДЧ1 1".
На рисунку позначаемо точку перетину прямих AH i BC буквою K. Оскшьки бiчнi гранi тетраедра е прямокутними трикутниками, то AD е перпендикулярною до площини трикут-ника BDC. Значить AD i DK е перпенди-кулярнi i трикутник ADK - прямокутний. I за результатом допомiжно" задачi для висоти DH i катетiв DA i DK цього трикутника мае мюце рiвнiсть:
1 _ _1_ 1 ; _ 1
DH2 " DA2 DK2 ' h2 ~ a2 DK2 '
Покажемо, що DK е висотою прямокутного трикутника BDC. Справд^ AD е перпендикулярною до площини три-кутника BDC, отже AD i ВС або ВС i AD е перпендикулярнi. Оскшьки DH перпендикулярна до площини трикутника АВС, то DH i ВС або ВС i DH е перпендикуляры. Таким чином маемо, що ВС перпендикулярна до площини, визначено" прямими AD i DH. Тобто ВС перпендикулярна до площини трикутника ADK . Отже, ВС i DK - перпендикуляры. Значить DK е висота у прямокутному трикутнику BDC.
За аналогичною плаыметричною задачею маемо, що
1 1 + 1 _ — + —
DK2 DB2 I одержуемо
1 1
DC2 b2
11
b2 с2
h a'
Отже, ЗАДАЧА 1 розв'язуеться iз подвшним застосуванням формули допомiжно" задача Тут факт допомiжно"
с
аналопчно'1' задачi використовусться як ютинне посилання.
Шсля того, як учш засвоши розв'язування ще'1' задач^ необхiдно повiдомити 1'м наступну шформащю:
- Тетраедр АБСБ називаеться прямокутним при вершиш Б, якщо ребра БА, ББ, БС , яю виходять з Б, перпендикуляры мiж собою.
- прямокутний трикутник в плашметрп i прямокутний тетраедр в стереометра е аналопчними ф^урами.
ЗАДАЧА 2. Точки Б1, С1,Б, ввд-повiдно лежать на ребрах АВ, АС, АЕ тетраедра АБСБ. Довести, що
де V
AB1C1D1 i VABCD
Ущап = AB • Л('\ • ADi
Vabd AB • AC • AD е вiдповiдно об'емами тетраедрiв AB1C1D1 i ABCD .
Викладемо методику навчання пошуку i побудови розв'язування ЗАДАЧ1 2:
Вчитель пропонуе учням сформу-лювати аналогiчну задачу в плашметрп: ЗАДАЧА 2А. Точки B1, C1 вiдповiдно лежать на сторонах ЛВ i АС трикутника
ABC. Довести, що Sabici = ABi • ACi, де
S
АБС
AB ■ AC
S AB C i SABC e вiдповiдно площами
трикутникiв AB1C1 i ABC .
Назвемо цю задачу допомiжною до ЗАДАЧ1 2.
Розв'язування допомiжноi задачi в цьому випадку е необхщне. Вчитель вимагае вщ учнiв розв'язати цю задачу i допомагае i^ знайти рiзнi способи розв'язування. Для анашзу пропонуеться наступний хiд розв'язування ЗАДАЧ 2А.
1 СПОС1Б. Застосовуеться формула обчислення площi трикутника за двома сторонами i кутом мiж ними:
S = —ab sin C 2
Для трикутника ABC 1
(2. 1 )
SABC = - AB ■ AC ■ sin A
Для трикутника ABiCi
sa1b—c1 = 2 ab— ^ ac— ^ sin a •
З двох останшх р1вностей
отримуемо:
Sa
AB— ■ AC—
Sabc AB ■ AC Задачу розв'язано.
2 СПОС1Б. Проведемо висоти трикутника ABjCi i ABC з вершин С i C¡
на пряму АВ. Позначимо основи цих висот вщповщно буквами Н \ Н].
А
Застосуемо формулу обчислення площi трикутника через сторону i вщповщну висоту.
1
(2.2)
S = - ah 2
Для трикутника ABC отримуемо
SABC = 2 AB ■ CH •
Для трикутника AB¡C¡
SAB—C— = 2 AB1 ■ C1H1 •
З двох останшх рiвностей отримаемо
S
AB— C—
AB— C H
iJJi
SABC AB CH З шшого боку, оскiльки трикутники
ACiHi i ACH подiбнi, то C—H— = AC—
Тому
S
CH AC
'АБ1С1 = АБ1 • АС1 (2 3)
Бабс АБ • АС ЗАДАЧА 2А розв'язана. Вчитель допомагае учням проанатзу-вати ц способи розв'язування ЗАДАЧ1 2А i розглянути можливосп застосування цих способiв для розв'язування даноi стерео-метричноi задачi. Учнi зауважують, що в першому способi розв'язування ЗАДАЧ1 2А використовуеться формула (2.1), але для тетраедра необхiдна формула, аналогична формулi (2.1) поки що невщома. Вчитель повинен повщомити учням про те, що така формула для тетраедра е, але вона доводиться дуже важко. Тому не будемо шукати розв'язок ЗАДАЧ1 2 в такому напрямку.
Щодо другого способу розв'язування ЗАДАЧ1 2А, то учнi зауважують, що тут використовуеться формула (2.2) i аналопч-на формула для тетраедра доведена. Це формула обчислення об'ему тетраедра за площею i висотою
1
(2.4)
V = - БН 3
Отже, шукати розв'язок ЗАДАЧ1 2 будемо таким способом.
Проведемо висоти тетраедра ABCD i AB1C1D1 з вершин D i D1 на площину
ABC.
Bi
/ н Ci \
Позначимо основи висот вщповщно буквами H i H1. Для тетраедра ABCD за формулою (2.4)
V =1V DH
' ABCD з ° ABC ' LJn
Для тетраедра AB1C1D1
V = • DH
r ABCD 3 ABC 11
1з цих двох рiвностей отримуемо
VAB1C1D1 = SAB1C1 • D1H1 (2.5)
VA¡
SABC DH
За результатами ЗАДАЧ1 2А маемо
piBHiCTb
C ^ (2.3)
Sabc! = ABi • ACi
VABC AB • AC
Тому для розв'язування ЗАДАЧ1 2 необхщно довести, що
П Н = АП± (2.6)
. Щ АП . .
Але ця рiвнiсть випливае iз подiб-носп трикутникiв АВ1Н1 i АПН, яку легко довести.
Отже, можна розв'язувати ЗАДАЧУ 2 наступним способом. Спочатку застосувати формулу (2.4) для тетраедрiв АВСБ i АВ1С1Б1 i отримати рiвнiсть (2.5). Пстм
довести рiвнiсть (2.6) i використати 11 i результат допомжно! задачi (рiвнiсть (2.3)), одночасно замнивши в рiвностi (2.5). За допомогою вказаного аналiзу, учш можуть самi викласти розв'язування ЗАДАЧ1 2.
При навчаннi цим задачам досягаються наступнi цiлi:
- удосконалюеться спосiб вико-ристання аналогй при розв'язуванш стерео-метричних задач;
- розкриваються деяю властивосп тетраедра i спецiальнi види ще! фiгури;
- встановлюються деяю властивосп трикутника, зокрема прямокутного;
- виробляеться в учшв вмiння знаходити i формулювати стереометричнi задачi, аналогiчнi до ранiше розв'язаних, або вiдомих результапв плашметри.
1. Балк М., Балк Г. Поиск решения. -М.: Детлит, 1983 - 143с.
2. Жохов А.Л. Методика применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся восьмилетней школы: Автореф. дисс. . .канд. пед. наук.: 13.00.02. -М, 1979. - 20с.
3. КолягинЮМ., Луканкин Г.Л Основные понятия современного школьного курса математики. Пособие для учителей. Под ред. АИМаркушевича. -М. : Просвещение, 1974. - 382с.
4. Магомедбеков П.К. Очерки преподавания геометрии в школе. - Махачкала: Дагучпедгиз, 1970. - 194с.
5. Пойя Дж. Математика и правдоподобные рассуждения./ Пер. с англ. И.А. Вайнштейна. - 2-е изд., исправ. - М.: Наука, 1975. - 464с.
6. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. - М.: Учпедгиз, 1960. -152 с.
Резюме. Корнейчук И.В. АНАЛОГИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. В данной статье раскрыто содержание и операционный состав двух видов умений использования аналогии при решении стереометрических задач: умения формулировать задачи, аналогичные данной задаче и умения осуществлять перенос аналогичной задачи планиметрии и ее решения на решение задачи стереометрии. Представлены правила-ориентиры по формированию умений и схемы, которые иллюстрируют технологию использования аналогии при решении задач стереометрии. Согласно этим схемам показанные примеры решения задач о тетраэдре.
Summary. Korneychuk I. ANALOGY INN SOLVING OF SOME PROBLEMS ON STEREOMETRY. In the paper two types of student/ abilities to solve the problems on stereometry by the analogy method are considered. These are abilities to set the problems analogous to the given one and the ability to transform the problem ofplane geometry and its solution into the solution of the stereometry problem. The rules-landmarks on the formation of student,/ capacities to solve stereometry problems by analogy are introduced. The diagrams of the analogy usage for solving stereometrical problems are given. According to them the examples of solving problems on tetrahedron are shown.
Надшшла доредакци 19.12.2005р.
