CC BY
217
УДК 621.9.07
Р. Хевер
Астраханский государственный технический университет
АНАЛОГИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Введение
Метод электромеханических аналогий (ЭМА) изначально разрабатывался в основном для решения задач электроакустики, для создания моделей различных полей с целью внедрения в механику методов анализа и расчета электрических цепей при исследовании различных динамических процессов. В результате этого внедрения в механике при исследовании сложных и разветвленных систем применяют операционное исчисление и механические законы Кирхгофа. Механические системы изображаются в виде контурных схемоцепей, состоящих из комплексных механических сопротивлений [1]. Электромеханические приводы, нагрузка у которых представляет собой сложную механическую цепь, описываются уравнениями на основе законов и методов электротехники и с электрической, и с механической сторон, что обеспечивает наглядность и удобство анализа системы в целом.
Аналогии механических систем
Механические системы с сосредоточенными параметрами разделяются на системы с линейным и угловым (крутильным) перемещением, которые описываются подобными уравнениями. Поясним аналогию между системами с крутильными и линейными перемещениями на конкретном примере.
На рис. 1 и 2 изображены механические системы с одной степенью свободы. На рис. 1 масса т под действием силы ^(0 совершает продольные колебания в вертикальном направлении. Свободному перемещению массы препятствует сила трения. В крутильной системе (рис. 2) к диску с моментом инерции J приложен переменный во времени момент Ы(^). Диск совершает крутильные колебания на стержне податливостью ек, одна сторона которого закреплена. Вращательному движению стержня препятствует сила трения.
Рис. 1 Рис. 2
Для систем на рис. 1, 2 составим уравнения динамического равновесия:
д2у „ 1 .
т^+*т *+е;у=т (1)
J7j + А'т ТТ + -? = "(')' (2)
дг д ех
Из сопоставления уравнений (1) и (2) аналогия между продольными и крутильными колебаниями очевидна.
Электрические модели в виде цепей из пассивных элементов для механических систем с продольными и угловыми перемещениями могут быть построены по двум системам ЭМА.
Электрические модели
Рассмотрим пример аналогии между механической и электрической системами [2].
На рис. 3, а приведена простейшая механическая система, состоящая из двух масс -m1 и m2, соединенных пружиной податливостью e и расположенных на поверхности. Силы трения, препятствующие перемещению масс mi и m2 по этой поверхности, характеризуются коэффициентами Si и S2. К массе гп\ приложена механическая сила /'(/) произвольной формы.
V2
Fifi
Si
m2
S2
Fit),
Vi
V2
m1
WVA-
Ш5,М m2 шS2 U
б
Рис. З
На рис. 3, б построена механическая цепь системы, состоящая из двухполюсных элементов. Скорость перемещения узлов 1 и 2 (полюсов) характеризуется соответствующими мгновенными значениями у1 и у2.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение механической системы, имеет вид
m
m
i “Г + Si Vi + - f (Vi - V2 )dt = f (t); dt
“V^ + S2V2 - i f (Vi - V2 )dt = 0.
(2)
На рис. 4 изображены две электрические цепи. Дифференциальные уравнения, составленные по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, представлены соответственно в виде систем:
Lilt"+rii + С f (/i - /2 )dt = e(t);
L2 ~t + r2*2 - ~Cf (/i - ^2 )dt = 0
dt
dU
Ci^ + g Ui +1 f Ul d t = / (t); dt L
i d t dU
(З)
(4)
i
+ g 2U с 2-------------f U L dt = 0.
d t 2 с2 LJ
а
e
i75
и
./''ГУЧ.
Ф
X
ь2
_ГУ^\.
і
т
Г2
а
Рис. 4
Из сравнения систем дифференциальных уравнений для механической системы (2) и электрической (3) и (4) следует, что электрические цепи (рис. 4) имеют аналогичное с механической системой математическое описание и, следовательно, являются электрическими моделями - аналогами рассмотренной механической системы.
Согласно исследованиям и в соответствии с [3] можно представить связь между параметрами механической и электрической систем по I и II системам ЭМА в следующем виде (табл.).
Соотношение между параметрами механической и электрической систем
Механическая система Электрическая система
I система ЭМА Обозначение II система ЭМА Обозначение
Обобщенная координата Заряд q Магнитное потокосцепление ¥
Обобщенная скорость Ток і Напряжение и
Обобщенная сила Напряжение u Ток і
Виртуальная работа - Udq - іії¥
Обобщенная масса Индуктивность L Емкость С
Подтатливость Емкость C Индуктивность L
Сопротивление трения Омическое сопротивление R Омическая проводимость ё
Количество движения Потокосцепление Li Потокосцепление ¥
Рассеяние энергии Рассеяние энергии т2 2 Рассеяние энергии ёи2 2
Потери Потери Потери
Кинетическая энергия Магнитная энергия Си2 2 Электрическая энергия Си2 2
Потенциальная энергия Электрическая энергия .і! 2С Магнитная энергия VI 2L
Заключение
Аналогия между механической и электрической системами по рис. 4, а в литературе получила название «сила - напряжение», аналогия по рис. 4, б - «сила - ток».
Из рассмотренного примера следует, что эквивалентирование основано на аналогии соответствующих видов энергии (рис. 5).
Рис. 5
Если кинетическая и потенциальная энергии механической системы эквивалентны энергии магнитного и электрического поля соответственно, то моделирование параметров данной системы осуществляется по I системе ЭМА, если наоборот - по II системе ЭМА.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нуберт Г. П. Измерительные преобразователи неэлектрических величин. - Л.: Энергия, 1970. - 360 с.
2. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. - М.: Энергия, 1969. - С. 101-103.
3. Веников В. А. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики). - М.: Высш. шк., 1976. - 480 с.
Статья поступила в редакцию 30.11.2006
ANALOGIES OF MECHANICAL SYSTEMS:
EXAMPLES OF ELECTRIC MODELS BUILDING
R. Khever
In this article the author reveals the notion of electromechanical analogies. He gives the description and analysis of different methods of modeling and also the method of electromechanical analogies.
