CC BY
1ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.95
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 31
АНАЛОГ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ
Аннотация. В работе исследована задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа в смешанной области. Параболическая часть рассматриваемого уравнения состоит из дробной производной по Риману-Лиувиллю, а гиперболическая часть состоит из вырождающегося гиперболического уравнения второго рода. Решение поставленной задачи в гиперболической подобласти найдено как решение задачи Коши, а в параболической подобласти - как решение первой краевой задачи. Для доказательства существования решения задачи используется теория интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Ключевые слова: Уравнение параболо-гиперболического типа, смешанная область, задача Трикоми, задача Коши, первая краевая задача.
AN ANALOG OF THE TRICOMI PROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION WITH RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL DERIVATIVE
Abstract. In this article, the Tricomi problem for a parabolic-hyperbolic type equation in a mixed domain is investigated. Riemann-Liouville fractional derivative participates in the parabolic part of the considerated equation, and the hyperbolic part consists of a degenerate hyperbolic equation of the second kind. The solution of the problem in the hyperbolic sub-domain is found as a solution to the Cauchy problem, and in a parabolic sub-domain as a solution to the first boundary value problem. For proving the existence of the solution of the problem, the theory of second kind Volterra integral equations is used.
Key words: parabolic-hyperbolic type equation, mixed domain, Tricomi problem, Cauchy problem, first boundary value problem.
Введение.В этой работе в области Q = Ц 1Ю2 U АВ для уравнения
Окбоев Акмалжон Бахромжонович, PhD akmaljon12012@,gmail. com Институт математики имени В.И.Романовского АНРУз
Ташкент, Узбекистан
Akmaljon Okboev Bakhromjonovich, PhD akmaljon12012@,gmail. com V.I. Romanovskii Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences
Tashkent, Uzbekistan
0 = \
(1)
сформулируем и исследуем задачи Трикоми, где Ц -область, ограниченная при у > 0
отрезками
прямых y = 0, * = 1, y = 1, * = 0 соответственно, Q - область,
ограниченная при y <0 дугами AC, BC, AB характеристик
У = 0 уравнения (1), 5 е (0,1) а е (-1/ 2,0), а Я - действительное или чисто мнимое число, х) - интегро-дифференциальный оператор порядка а в смысле Римана-Лиувилля
ср( ^) &
d„>( x ) =
—f-
r(-«)J (x-,)a+1'
ç( x ), a = 0, d
a < 0,
dx'
-D0T>(x), a > 0.
Постановка задачи
Определение 1. Регулярным в области Ц решением уравнения (1), называется функция и (х, у), удовлетворяющая в области Ц уравнению (1) и следующим условиям
D,
0y
1u ( x, y ) g С (q i) , uxx (x, y ), D0yu (x, y )eC (Q).
0 < x < 1;
Задача T0. Требуется определить функцию u (x,y), обладающую следующими
свойствами: a) u (x,y) является регулярным решением уравнения (1) в области Ц и
решением класса R^0 в области ; б) на линии вырождения выполняется условие склеивания
limu (x, y) = lim yl~öu (x, y), 0 < x <1;
y—-0 y->+0
lim (-y^ \u (x y)- A- (r,Ä)] = limy1"*\yl-u (x y)
y—-0 Oy y—+0 Oy
в) на границе области Q удовлетворяет граничным условиям
uL0 = y), uL0 = y), 0„ y„1;
u\Ac = x), 0„ x„ 1/2,
где Aa(r,X) - определяется формулой
i _ Aa (r, ä) = Yi fr (C)\_z (1 - z)]P Jp(<r)dz + -0 (1
xf (ä
(2) (3)
8*y
d2
dÇ2
ß)(1 + 2ß) r(Ç)[ z (1-z )]1+ß J i+ß(v) dz,
Yi
Г(1 + 2a) / Г2 (1/2 + a), a = 4^-yz (1 - z), Ç = x - ^/-y(1 - 2z), r(x) = u (x, -0), Jg (z) - функция Бесселя первого рода, J (z)= G(g + 1)(z /2)" g J (z), т.е.
42m
Jg (z)=G(g + 1)^ /2) g№- 1,- 2,- 3,...., а Ф)и V(x) -
g m= 0 m ! G(m + g + 1 )
заданные непрерывные функции.
Отметим, что Н.К.Мамадалиев [1, 2] исследовал различные задачи для уравнения (1) при различных значениях X, когда 5 = 1, Х = 0 . В работе [3] изучено нелокальная
краевая задача для уравнения (1) при а = а0 -n,a0 е (1/2,1),n = 2,3,... и 5 = 1. В работе
s
0
[4] поставленна и исследована задача Трикоми для уравнения (1) при а = а0-п,а0 е(1/2,1),п = 2,3,... и д = 1.
Свойства некоторых операторов с функциями Бесселя в ядрах.
Рассмотрим следующие интегральные операторы [5]:
А £[ * (* )] = * ( х)-{* (г)^ - Л
х — к )( х — г)
&,
(4)
(5)
х — к дг
к
х Яг
В £[*(х)] = *(х) + /*(г)-Ло к-*)(*-')
к
Свойство 1. Если ^(х) е С(0,1)П£1 [0,1], дао выражения ^^[^(х)] и [&(*)]
будут определены в (0,1) и принадлежат классу С (0,1). Справедлива следующая теорема и лемма:
Теорема 1[5]. Если * (х)е С [0,1], то для любых к е[0,1] и х е(0,1) справедливы следующие равенства: А^В^ [*(х)] = *(х), В^А^ [*(х)] = *(х), т.е. в классе непрерывных на [0,1] функций операторы (4) и (5) являются взаимно обратными. Лемма 1[5]. При ( <1 и х е [0,1] справедливы равенства
(х - г)-( Л
\(х - г)-( Лг (х - г)] * (г) &г = Г(1 -() {В* [* (х)]}, (6)
/(г - х)-(Л
X - х )(1 - г)] * (г) &г = г(1 -() {в]* [* (х)]}. Исследование задачи Т0
Рассмотрим уравнение (1) в области , т.е. рассмотрим уравнение LаX(и) = 0.
Непрерывное в решение видоизмененной задачи Коши для уравнения La*(и) = 0, с начальными данными
и (х, У)Ц = г(х), 0„ х„ 1; Нш (-у )а (д / ду) \и - А- (г, л)] = у (х), 0 < х <1, в характеристических переменных £ = х - 2^/ - у , } = х + 2^ - у имеет вид
V
и (х, у) = АМ)-2-2+4 3 у2 /(}-г)-((г-£)-( Л-(Мг) &г,
£
где у2 = 2Г(2-2а)/Г2(3/2-а), = х^}-г)(г-£),
V
Аа (г X) = у (V -£)-1-2 3 - г)((г -£)( ((г) &г -
£
- 2(1 }(^((Т1)}(}-г П г-«Л^ [Х2г(г)-'"( г )]&г.
(7)
(8)
(9)
0
Определение 2. Функция u (x, y), определяемая в области формулой (9),
называется решением уравнения La^( u) = 0 из класса при -1/2 <а< 0, если
функция т( x) представима в виде
x
т(x) = sign (x - p) j|x -t| 2/31_p x -1)]T (t)dt,
p
где v(x), Г(х)еС[0,1]ПС1 (0,1) и v\x), T'(x)eL(0,1).
Согласно определению 2, функция u (x,y), определенная в области в виде (9),
называется решением уравнения 0) =0 из класса R 0 , если функция т(x)
представима в виде
x
т(x) = j(x -s) 23 [Л(x -s)JT(s)ds,
0
a v(x),71(jc)eC[0,l]riC1(0,l) и v'{x), Г(х)е1(0,1). Из (10) вытекает, т( x) е С3 [0,1] и
т(0) = 0, т'(0) = 0 .
(10)
(11)
Решения задачи {(1), (7), (8)} из класса R0 в области имеет вид
i _ г ___
u(x,y) = j( v-s)-3 (i -s)-3/-3 [^(j-s)(i-s)JT(s)ds +
I
v _ r _
hj(v-s)-(s-i)-J-3 ^(v-s)(s-i) N(s)ds,
+J (v-s )
i
(12)
где N ( ^) = ( 2т?я-/?)-1 Т ( ^ ) - 42^-1 у2у ( ^ ).
Подчиняя решение (12) краевому условию (3), получаем уравнение относительно
N (л):
j(v- s >
- s) 3 s -J
^/(v- s ) s
N (s)ds = ¥ J 1, 0 <j< 1.
Последнее уравнение, в результате применения равенства (6), можно привести к виду, удобному для дальнейшего исследования:
DJ № [v-'N (v)Ji=?(3Т)
¥
, 0<v< 1.
(13)
Применяя к обеим частям уравнения (13) последовательно операторы Ц°л , Ал и учитывая равенства (л) = / (л), & (л) = & (л), а также структуры
функции N (л), получаем
T (x ) = пЧ x)+Щ33 Ai'
¥
ч
3
0
Подставляя это значение Т (х) в (10), находим соотношение между г( х) и у( х) на отрезке [0,1], получаемое из области :
х
г(х) = У/(х-) 2( I-р[Х(х-^)]^(5)ds +
+
2ео8 пр
х
/( х - 5 )-2( I-р[Х( х - 5 )] 8(А\Х
(
V 2
0„ х„ 1, (14)
Г(11)/0
где у = 2 • 42(-1 усо5п(.
Согласно условиям задачи Т0, в уравнении (1) и в условиях (2) можно перейти к пределу при у — + 0 (например, см. [6], [7]). В результате получим следующие
соотношения:
т"(х)-Г(1 + д)у(х)-Х2т(х) = 0, 0„ х„ 1, г (0) = Нш у1- (у) = а, г(1) = Нш у1-^ (у) = Ь.
(15)
...... , _ (16)
у—>+0 у—>+0
Если считать, что у( х) - известная функция, то при Хе Я или Хг е Я, Хг ф пт, т е X задача {(15), (16)} имеет единственное решение [8]
г(х) = а + х(Ь - а) +
1 1 +Х2 |о (х, г; X) \а + г (Ь - а)] &г + Г (1 + д) /о (х, г; X) V (г)&г, (17)
0 0
где О(х, г;Х) - функция Грина задачи {(15), (16)}
5ЛХ(х - г) яИХг
О (х, г;Х) =
Х>?ИХ 5кХх5ИХ(г -1)
0 < х < г,
Х>?ИХ
г < х < 1.
Из формулы (17), в силу равенства (11), вытекают следующие равенства а = 0, Ъ = 0 и
1
г (х) = Г(1 + д)/о(х,г;Х^(г)&г. (18)
0
(18) является основным соотношением между г(х) и у(х) на отрезке [0,1], получаемое из области Ц .
Теперь из соотношений (18) и (14) найдем неизвестные функции г(х) и у(х). С этой целью, из (18) и (14) исключим функцию г( х) :
1 х
Г(1 + д)]О (х, г;Х^( г) &г = уъ {(х2( I р[Х( х-С)>(0 +
+
2 ео8 пр Г(1)
х
/(х - 5)-2( 7-р[Х(х - 5)]
Ж, 0„ х„ 1, (19)
0
Продифференцируем это равенство дважды по х. Затем, от полученного равенства почленно вычтем равенство (19). В результате, имеем интегральное уравнение
относительно у( х) :
2'( 2' + 1)уз
v( х )-
Г(1+д)
/ (х - 5)-2'-2 7-(-1 \Х (х - 5 )] V (5) = б (х) ,0 < х < 1 , (20)
где
б ( х ) =
4р( 2( +1) «»' (х - г)-2(-2 7 - (-г [Х( х - г )]ф(г) л,
Г(1+д)Г(1 -') /
Ф(г ) = г' А,Х
Так как а е (-1/2,0), то '= а-1/2 е(-1,-1/2) и -2'-2е (-1,0) . Поэтому ядро
интегрального уравнения (20) имеет слабую особенность. Пусть выполнены следующие условия:
Vт) (0) = 0, т = 0,1,2, v"'(5 / 2) = sPv0 (5), р > -2 - 2', v0 (5) е С [0,1]. (21) Докажем, что 0 (х) е С [0,1] П С1 (0,1) и (х) е Ь (0,1) . С учетом (21) и (4), имеем
ф( г ) = -£%[ (1 - ^ - V -
() 8Г(2 + ')1( ) ^ ^ 2 )
Х2г
2.4+2' 1
ф(г ) =
32Г(2 + ') 0
^Лу 5 (1 - 5) ] 1(1 - г)
,1+р
V
V ?) а- ■
8Г( 2 + ')
|(1 - г
'г- Л г1+2' 1
— \аг
2 ) 8Г(1 + ')
1(1 - ')
3 у/"
2 У- -
- ]4!<'- -1
2,3+2 ' 1
—г Л
— а--
V 2 )
+ -
4.5+2' 1
тг '(2'')^(2 - Л Х'ЯМ ]* А1 - - С" V"! Т)
Отсюда, в силу v"'(5/2) = spv0(5),р >-2-2'^0(5)еС[0,1], следует, что Ф(^)еС[0,1], поэтому б(х)е С [0,1]. Теперь вычисляем б'(х):
(22)
б' (х ) = - 'ОПХ2 1 (х-г)"'-17-'-1 [Х( х-г)]ф(г) &г
+
Г0-')
4'( 2' +1) сов п'
+
Г(1 -') 0
4'сов п'Х х
х
/(х - г)-2'-2 \Х (х - г)] ф " ( г)аг
Щ^К х-'Г-Т_-л [Х( х-')]Ф"(') аг
Отсюда, согласно (21) и (22) следует, что <2'(х) е С(0Д)П£(0Д). Следовательно, е(х)еС[0,1]ПС1(0,1) ие'(х)е1(0,1).
0
0
В силу свойств ядра и правой части интегрального уравнения (20), согласно теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода [9], оно имеет единственное решение.
После нахождения функции v( х) из (20), функция т( х) находится по формуле (18). После этого решение задачи T0 в области Ц определяется по формуле (12), а в области Ц - как решение первой краевой задачи для уравнения L1 (u) = 0 с условиями (2) и lim yl~su (х, y) = т( х), 0„ х„ 1, определяется по формуле [10]
-s„
У
y^+0
1
u (x, y) = JV (t) G (x, y; t,
0
I (x, y) = JV (t) G (x, y; t, 0) dt + Jfa (s) Gt (x, y; 0, s) ds - Jfa (s) Gt (x, y; 1, s) ds, где
G(x,y;t,s) = ^ [(x-1 + 2m,y-s)-T(x +1 + 2m,y-s)],
m=-oi
» f £ \ ш -k ' ' 2
1 W i £ \ ^ 7
Г( x, y)=±y «2 [- y ] л , ti(-)=g ) > *
Таким образом, доказана следующая основная
Теорема 2. Если Я - действительное число или чисто мнимое число, отличное от inn, n е Z, а заданные функции удовлетворяют условиям (21) и
(У), (У) е С [0,1] lim y1-Vi (У) = 0, Jim y1-V2 (y) = 0 , то задача To имеет
единственное решение.
Литература
1. Мамадалиев, Нуманжон К. "О представлении решения видоизмененной задачи Коши." Сибирский математический журнал 41, no. 5 (2000): 1087-1097.
2. Мамадалиев, Назиржон Камилжонович. "Об одном подходе к решению задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа." Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 9.1 (2007): 66-68.
3. Urinov AK, Okboev AB. Nonlocal boundary-value problem for a parabolic-hyperbolic equation of the second kind. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020 Sep;41(9):1886-97.
4. Окбоев А.Б. Задача Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа // Бюллетень Института математики. -Ташкент. 2020. №1. -С. 95 - 103
5. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. -Ташкент: Фан, 1997. 168 с.
6. S. Kh. Gekkieva, A boundary value problem for the generalized trans- fer equation with a fractional derivative in a semi-infinite domain. Izv. Kabardino-Balkarsk. Nauchnogo Tsentra RAN 1 (8) (2002), 6-8.
7. Berdyshev, A. S., A. Cabada, and E. T. Karimov. "On a non-local boundary problem for parabolic-hyperbolic equation involving Riemann-Liouville fractional differential operator."
8. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. -Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.
9. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. - Москва: Физматгиз, 1959. - 232 с.
10. Mamchuev, M.O. Solutions of the Main Boundary Value Problems for a Loaded Second-Order Parabolic Equation with Constant Coefficients, Differ. Uravn., 2016, vol. 52, no. 6, pp. 789-797.
