Аналог теоремы И. Б. Симоненко об огибающем операторе для операторов в пространствах векторнозначных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ И.Б. СИМОНЕНКО ОБ ОГИБАЮЩЕМ ОПЕРАТОРЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ВЕКТОРНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

© 2005 г. В.Н. Брагилевский, В. С. Пилиди

Algebras of operators of singular and bisingular type are considered. For these algebras, the notions of an envelope of a family of operators are introduced, necessary and sufficient conditions of its existence and uniqueness are given. There are obtained estimates for the essential norm of the envelope operator. The statements of the paper are demonstrated for the case of singular integral operators with continuous operator-valued coefficients.

Теорема И.Б. Симоненко об огибающем операторе [1] дает необходимые и достаточные условия существования оператора локального типа, задаваемого семейством его так называемых локальных представителей. В [2] этот результат перенесен на случай операторов типа бисингулярных (см. также уточнение результата в [3]). В этом случае огибающий оператор задается двумя семействами локальных представителей. Кроме естественного ограничения локальной полунепрерывности семейств возникают еще дополнительные условия, связывающие исходные семейства. В настоящей работе указанные выше результаты переносятся на случай операторов в пространствах век-торнозначных функций.

Пусть E - банахово пространство. Здесь и всюду ниже предполагается, что все банаховы пространства (включая пространства суммируемых функций) являются комплексными и бесконечномерными; предполагается, для каждого из рассматриваемых пространств существует последовательность действующих в нем конечномерных проекторов, сильно сходящаяся к единичному оператору. Через В(Е) (К(Е)) обозначим множество всех линейных непрерывных (всех компактных) операторов, действующих в пространстве E ; пусть X - пространство с (неотрицательной) мерой Lp (X) (здесь и всюду ниже предполагается, что

1 < p < да , причем число p выбрано и зафиксировано) - стандартное пространство комплекснозначных функций, определенных на X . Вместо (X)) и

к(^ (X)) будем писать соответственно В^) и К^). Предположим дополнительно, что X является еще и компактным хаусдорфовым топологическим пространством, причем все открытые подмножества пространства X измеримы.

Определение [1]. Оператор A е В^) называется оператором локального типа, если для любой непрерывной на X комплекснозначной функции р коммутатор рA - AрI является компактным оператором в пространстве Lp (X).

Множество всех действующих в пространстве

Lp (X) операторов локального типа обозначим через

Л(к). Оно является замкнутой подалгеброй алгебры

В^), причем К^) с Л^).

Через Lp (X; E) обозначим банахово пространство

всех сильно измеримых вектор-функций, определенных на X и принимающих значения в про-

странстве E с конечной нормой = (л f (x)||E d^x)}1/p , где м- мера на X .

IL (X ;E)

X

Алгебраическое тензорное произведение Lp (X)+ E естественно вложено в пространство Lp (X; E). Потребуем выполнения следующих условий:

1) линейное многообразие Lp (X)+ E всюду

плотно в пространстве L p (X; E);

2) для любого оператора A е В^) отображение A+1, определенное на линейном многообразии Lp (X)+ E условием

Л+1: £ ^ + Ui ^ X ЛП + Ui , (*)

1 1 допускает продолжение по непрерывности до линейного оператора в пространстве Lp (X; Е) (также обозначаемого через Л+1), причем ||Л+ Ц = ||Л||. В (*)

сумма распространяется на конечное число слагаемых и fi е Lp (X), и1 е Е для всех значений индекса I.

Замечание. Условие 2) выполняется, например, если в качестве пространства Е взять Lp (Т.), где Т

- некоторое пространство с мерой.

Из условий 1) и 2) вытекает, что для любых Л еВ^), В е В(Е) отображение, определяемое условием Л+ В: £ ^ + и1 ^ £ Лfi+Ви1 , допускает

продолжение по непрерывности на все пространство Lp (X; Е), причем это продолжение (также обозна-

чаемое

через A+ B)

\\л+в=|All IB.

удовлетворяет условию

Рассмотрим множество всех линейных непрерывных операторов, действующих в пространстве Lp (X; E) и представимых в виде конечных сумм вида ^^^ + Bi , где Ai е В^), Bi е В(Е) для всех значений индекса i. Замыкание этого множества по норме пространства В^ (X; E)) будем называть

тензорным произведением рассматриваемых алгебр и обозначать через В^)&В(Е). Аналогично вводятся тензорные произведения других алгебр.

Через Д (е) всюду далее будет обозначаться множество всех операторов из в(е) вида aI + T, где а е X , T е К(Е).

Перейдем теперь к рассмотрению теорем об огибающем операторе.

Операторы типа сингулярных

Введем следующие обозначения:

Л(; E )=Л( )&Д (Е), К X = К^ )&Д(E);

К Е = Л^ )&К(е), К = К^ )&К(E).

Пусть КE - множество всех операторов, действующих в пространстве Lp (X; E) и представимых в

виде Л + B, где Л е КX , Б е К E. Множество

Л(X; Е) является банаховой подалгеброй алгебры в(Lp (X;Е)); КX , КЕ, К и КX -собственными замкнутыми двусторонними идеалами

X

в этой алгебре, причем К = К п Ке . Полунорму в

Л(X; Е) по модулю идеала КX будем обозначать • „ : для Л е Л(; Е)

Их =inf {И -1: T еК^ }

х

связываем

Аналогично с идеалами Ке , К и К^ полунормы Е, | | и | •! ш .

Для измеримого множества ¥ с X обозначим через Рр действующий в пространстве Lp (X) оператор умножения на характеристическую функцию множества ¥ .

Операторы Л , Б е Л(; Е) назовем локально эквивалентными в точке Хо е X, если М( - Б)((и +1)) = 0, где точная нижняя грань

и

берется по множеству всех окрестностей и с X точки Хо. Наличие указанного соотношения будем сокращенно обозначать Л1 Б. Запись Л! Б означает, что шГ| (Л - Б)Ри +1)| = 0. Отношение эквивалент-

и

ности в Л(; Е) по модулю идеала Ке будем обозначать знаком % (Л% Б означает, что Б - Л еК ).

Лемма 1. Оператор Л е Л(; Е) принадлежит идеалу КЕ тогда и только тогда, когда для любой точки х е X выполняется соотношение Л= 0 . Оператор Л е

Л^; Е) назовем огибающим семейства {Лх }хеХ с Л(X; Е), если в каждой точке х е X выполняется соотношение Л2 Лх.

Семейство операторов {Лх }xех сЛ^; Е) назовем локально полунепрерывным, если для любых х0 е X, е > 0 найдется такая окрестность и с X точки х0, что для каждой точки х е и существует ее окрестность V с и , для которой Л - Лх ^ 8 I)| < е .

Введем в алгебре Л^; Е) семейство полунорм , х), х е X следующим образом: д(Л, х) = = Л(Ри 81) , где точная нижняя грань берется по

и

множеству всех окрестностей и с X точки х.

Доказательство следующего утверждения является по существу дословным повторением теоремы И.Б. Симоненко об огибающем операторе [1].

Предложение 1. Семейство {Лх}xех с

Л^; Е)

обладает огибающим оператором Л е Л(; Е) тогда и только тогда, когда оно локально полунепрерывно. При выполнении этого условия огибающий оператор Л определяется однозначно с точностью до слагае-

мого

из

К

х

|И|х = sup q(Ax,x) .

xeX

Пусть

задано

имеет место

семейство

равенство

операторов

{Лх }хех с Л(X; Е) и оператор Л0 е Л^).

Определение. Оператор Л е Л(;Е) назовем огибающим для семейства {Лх } X и оператора Л , если Л% 4)8 I, и для любого х е X выполняется соотношение Л2 Лх.

Теорема 1. Семейство {Лх}xеX и оператор Л0

обладают огибающим оператором тогда и только тогда, когда семейство {Лх } X локально полунепрерывно, и для любого х е X выполняется соотношение Лх= Л08 I. При выполнении этих условий огибающий оператор Л определяется однозначно с точностью до компактного слагаемого и для него выпол-

няется оценка

СИ < max1 sup q(Ax, x), |И11 [■ < И

с

xeX

положительной константой с, не зависящей от семейства {Лх }xех и оператора Л0 .

Доказательство.

и

1) Необходимость.

Пусть Л - огибающий пары {Лх } X и Ло. Тогда он является огибающим семейства {Лх } X , следовательно, это семейство локально полунепрерывно.

Зафиксируем точку х е X . Пусть и с X - ее произвольная окрестность. Учитывая, что Л - Л0 8 I еК

E

имеем:

(х - Ло 81)( 81) <

< ( - Ло 81) 81)-(( - Ло 81( 81) <

<( - Лх )( 81) .

Отсюда следует, что Лх^ Ло 81.

2) Достаточность.

В силу предложения 1 существует огибающий оператор Л семейства {Лх } X, который определя-

X

ется однозначно с точностью до слагаемого из К . Покажем, что Л= Ло 81 для любого х е X . Из соотношения Л2 Лх следует, что для любого е > 0 существуют окрестность и1 с X точки х и оператор Т1 е Ктакие, что ||((~Г - Лх )81)- тЦ < е / 2 .

Из условия Лх= Ло 81 вытекает, что существуют окрестность и2 сX точки х и оператор Т2 еКЕ такие, что - Ло81)(и2 81)- Т21| < е / 2. Положим и = и1 п и 2 . Тогда

|(4 - Ло81 ^ 81 )е < < ||( - Лх ) 8 I) - ТЦ + ¡(о 8 I - Лх ) 8 I) - Т21| < е ,

т.е. Л - Ло8 М0 . Из леммы 1 в силу произвольности

~ X

точки х выводим, что Л - Ло 81 еК е , т.е. имеет

место равенство Л - Ло 81 = Т' - Т" для некоторых

Т' е К X, Т" е КЕ. Тогда искомый огибающий оператор Л можно определить равенством: Л = Л - Т ' = Ло8 I - Т'.

Единственность огибающего оператора вытекает

X

из соотношения К пК е =К.

Приведенная в формулировке теоремы оценка является следствием таких двух утверждений

1) существует такая константа с > о , что для любого Л е Л(; Е): с|Л| < шах{|Л\х, |Л|Е }< |Л|;

2) для любого оператора Л е Л(; Е) имеет место равенство |Л8 = | |Л||.

Доказательство первой оценки содержится в [3, гл. 1].

Рассмотрим второе соотношение. Пусть f е Lp (X) - произвольная функция единичной нор-

мы. Выберем последовательность {ип }с Е элементов единичной нормы, слабо сходящуюся к нулю. Возьмем произвольный оператор Т е Ке . Тогда для любого п (= 1, 2, ...) ||Л8 I - Т|| >¡((8 I - Т))/8 ип)>

>||Л/|| - ||Т(/8 ип ) .

Переходя к пределу при п ^ да и учитывая, что 1т п^да ||Т(/ 8 ип)|| = о, получаем: А8 I -Т|| >|\Л/\\ . Отсюда в силу произвольности функции / и оператора Т выводим, что |Л8 ^ >||л|| . Очевидным образом, имеет место симметричная оценка, и требуемое соотношение доказано. Теорема полностью доказана.

Продемонстрируем утверждение теоремы на примере сингулярных интегральных операторов с непрерывными операторными коэффициентами.

Предположим, что Г - простая замкнутая ориентированная кривая типа Ляпунова в комплексной плоскости X. Контур Г с топологией, индуцированной из X, и линейной мерой Лебега удовлетворяет всем условиям, налагаемым на пространство X . Пусть £ - действующий в пространстве Lp (г)

оператор сингулярного интегрирования (£/\г) =

= (п) 11 / (г)(г -г) 1 йт, теГ , где интеграл понима-

Г

ется в смысле главного значения по Коши.

Рассмотрим связанные с этим оператором стандартные проекторы Р± = 1/2 (( ± £). В силу сделанных нами предположений действующие в пространстве Lp (Г; Е) оператор сингулярного интегрирования и

йе/ йе/

ЕЕ

проекторы £ = £г8 I, Р± = Р±81 являются ограниченными.

Пусть А± : Г ^ Д (Е) - непрерывные по норме операторнозначные функции. Представим их в виде А±(г) = а±(г)/ + Т±(г), г еГ, где а±(г)еХ, Т± (г) е К(Е) для каждого г. Из условия следует непрерывность числовых функций а± и непрерывность по норме оператор-функций Т± .

Рассмотрим действующий в пространстве Lp (Г; Е) сингулярный интегральный оператор с непрерывными операторными коэффициентами:

(Л/ )(г) = А+ (г )(Р+Е/)(г) + А- (г)(Р-Е/)(г), г еГ, / е Lp (Г; Е).

Для г о еГ введем операторы Л( еВ(Lp (Г; Е)) равенством

А / )(г) = А+ (г о )(Р+/ )(г)+А- (г о )(Р-Е/)(г), г еГ, / е Lp (Г; Е).

Рассмотрим оператор Ло , действующий в пространстве Lp (г) ,

(Л0 к)(г) = а + (г 0 )(Р+ к)(г) + а - (Г0 )(Р- к)(г), г е Г , к е Lp (г).

Тогда оператор Л является огибающим семейства

{Л„ } еГ и оператора Л0 •

Операторы типа бисингулярных

Пусть У - топологическое пространство с мерой, удовлетворяющее тем же условиям, что и пространство X. Предположим, что алгебраическое тензорное произведение Lp (X)8 Lp (У), естественно вложенное

в пространство Lp (X х У), образует в последнем

пространстве всюду плотное множество. Кроме того, будем предполагать, что приведенные выше условия, связывающие пространства X и Е, сохраняются и для пар У, Е и X х У, Е . В последнем случае предполагается продолжимость по непрерывности операторов Л81Ьру)81Е и (X)8 Б81Е с алгебраического тензорного произведения LP (X )8 LP (У )8 Е на все пространство Lp ( х У; Е) с

соответствующими равенствами норм для произвольных операторов Л еВ(х), Б еВ(У) (в дальнейшем не будем уточнять, в каком пространстве действует единичный оператор, находящийся в тензорном произведении, полагая, что это ясно из контекста).

Введем следующие множества операторов, действующих в пространстве Lp (X х У; Е):

Л(, У; Е) = Л()*Д (),

Кх =к(х)&Л(у)*Д (е),

КУ = л(х)&К(У)*Д (е),

КЕ = л(х) л(у)&к(е),

Кху = К(х)&к(у)*д (е),

К = К(х)&К(У)*К (е).

Обозначим через кх +Y (KE

Kye ) множество

X У

всех операторов вида Л + Б , где Л е К , Б е К

(соответственно A e К

х

B eK

E'

A eK

Y

Б е Ке ), а через КЕ - множество всех операторов

Операторы Л , Б е Л(х, У; Е) назовем локально эквивалентными в точке х е X, если шТ|(Л - Б)(Ри + /+1)х = 0, где точная нижняя грань

и

берется по множеству всех окрестностей точки х в X. Наличие такого соотношения будем отмечать так: Л3 Б.

Запись Л# Б означает, что

М|(Л - Б)(Ри + /+

1} хЕ = ^ где точная нижняя грань

берется по тому же множеству окрестностей.

Симметричным образом вводится понятие локальной эквивалентности в точках множества У (сокращенно Л4 Б) и отношение ЛЗ Б.

Пусть Л, Б еЛ(х,У; Е), х е X, у е У. Тогда запись Л5 Б означает, что

иТ (Л - Б )(Ри+Pv+1) х+Е = 0.

Здесь точная нижняя грань берется по множеству всех пар (и, т) , где и с X - окрестность точки х;

IX+Y

- полунорма по

V с У - окрестность точки у ;

т^х +У

модулю идеала К .

Запись Л% Б означает эквивалентность операто-

ров

Л , Б е Л(х ,У; Е) по идеалу К

E

т.е. соотноше-

ние Б - Л е К е .

Лемма 2. Оператор Л еЛ((, У; Е) принадлежит

идеалу Кх тогда и только тогда, когда для любой точки х е X выполняется соотношение Л# 0 .

Лемма 3. Имеет место равенство:

КЕГ =Кх пКЕ .

Для Л еЛ(х, У; Е) и х е X положим

^(Л,х) = тТЛ(Ри8 /8 I)х,

где и пробегает множество всех окрестностей точки х в X.

Аналогично определяется семейство полунорм

42 ^ у), у е У .

Оператор Л е Л(х, У; Е) назовем огибающим па-

вида A + B , где A e К

XY

B eK E . Множество ры семейств

Л((, У; Е) - банахова подалгебра алгебры всех линейных непрерывных операторов, действующих в пространстве Lp (X х У; Е); К , Кх , КУ, К Е, К ^,

X+У X у ХУ К^1 , КЕ , КЕ, КЕ - собственные замкнутые

двусторонние идеалы в Л(х, У; Е). Полунормы по

X У

модулю идеалов К, К , К и т.д. будем обозна-

{#L и дои

операторов из

чать соответственно через

IX '

и т.д.

Л(х, У; Е), если для каждых х е X Л3 л\1, у е У

Л4 лУ2 .

Семейство операторов {Лх }хех с Л(х, У; Е) назовем локально полунепрерывным, если для любых х0 е X, е > 0 найдется такая окрестность и с X точки х0, что для каждой точки х с и существует ее окрестность V с и , для которой

Y

( - Ax )((8 I81))

< s .

Симметричным образом определяется локальная полунепрерывность семейства {Ву .

Доказательство следующего утверждения является по существу дословным повторением теоремы об огибающем операторе для билокальных операторов из [3].

Предложение 2. Пара семейств Ах^}:^ и Ар2)}уеУ операторов из Лр,У;Е) обладает огибающим оператором Л е Л^,У;Е) тогда и только тогда, когда каждое из этих семейств локально полунепрерывно, и для любых х е X , у е У Л$5 Л^.

При выполнении этих условий огибающий оператор Л определяется однозначно с точностью до слагае-

мого из К " , и для него выполняется оценка c\A\xr < maxlsup q1

( x )sup q2 (( y )|| A0I |[< |A|

[xeX yeY

с константой c > 0

Ai'U,

Пусть заданы семейства операторов рх . X. {г.у2^}уеУ из алгебры Л(Р ,У; Е) и оператор

Ло е Л^)&Л(У) .

Определение. Оператор Л еЛ((,У;Е) назовем

огибающим для тройки А1^}^ , {лр2)}уеУ ' Ло, если

для любого х е X Л3 Л^1, для любого у е У

А4 а(2) и Л% Ао81.

Следующая теорема дает критерий существования огибающего оператора в рассматриваемом случае.

Теорема 2. Тройка Ах^ , Лр2)}уеУ , Ло обладает огибающим оператором тогда и только тогда,

когда семейства

|л?)1х.х. т,

>y.Y

локально полу-

непрерывны, и для любых x e X , y e Y выполняются соотношения:

A()5 A(2), A() A081, A^2)3 A081.

При выполнении этих условий огибающий оператор A определяется однозначно с точностью до компактного слагаемого, и для него выполняется оценка

c\A\ < max] sup qi (W, x) sup q2 ($2),yI)| ] < A

]xeX yeY J

с константой c > 0, не зависящей от семейств

{42)Ly и °перат°ра A0.

x )xeX -

Доказательство.

1} Необходимость. Пусть существует огибающий

оператор Л для указанной тройки. Тогда он является огибающим двух семейств ЛXl)}xех и Лу2^}уеу •

Следовательно, они локально полунепрерывны. Из предложения 2 также следует, что имеет место экви-

валентность

A«5 A(?).

y

(1)

XY

не зависящей от семейств

В силу эквивалентности Л3 Л\> для произвольной точки х е X и любого е > 0 существуют окрестность и с X точки х и оператор Т е Кх, такие, что

|(а - Л^)8 т I)-тЦ < е/2 . Учитывая, что Л - Ло81 е Ке , получаем:

(л(х)- Ао81)(Ли8 ШI) <

\XE

< |)л«-Ло81)(Ли8 т I)+ Т1 -)Л - Ао8 )8181) =

= |(а -Л^))8 т I)-тЦ< е .

Последнее означает, что ЛР): Ло 81. Эквивалент-

аУ2)З

Доста вует огибающий

{ЛX■'}x.х. А?>1

ность лу'd A081 доказывается аналогично.

2) Достаточность. В силу предложения 2 существует огибающий оператор Л пары семейств который определяется одно-

'yeY :

-XY

значно с точностью до слагаемого из К

Покажем, что Л# Ло 81 для любого х е X . Зафиксируем х е X и е>0 . В силу соотношения Л3 Лх1) существуют окрестность и1 с X точки х и

оператор 71 e КX такие, что

(л - М

\РЩ 8 I81)-Ti

< s /2 .

Из соотношения

A^h A081 находим, что суще-

ствуют окрестность и 2 с X точки x и оператор

T2 e КE такие, что

- Ao 81 р 8181)-T2

< s/2.

|(A - Ao8 I)(P„8 I81)XE < ||(a - A^8 I8 I)-7 (4o 8 I - AW)(P„2 8 I8 I)- T2

<s.

Это означает, что Л - Ло 8 !#0 . В силу леммы 2

~ X

Л - Ао81 еК е . Из симметричного соотношения

~ У

Л - Ло 81 е Ке и леммы 3 получаем, что

~ XV

Л - Ло 81 е Ке . Следовательно, имеет место равенство Л - Ао8 I = Т' - Т" для некоторых Т' е К,

Т" е Ке . Тогда искомый огибающий оператор Л можно определить равенством:

Л = Л - Т = Л0 81 - Т".

Единственность огибающего оператора и приведенная в формулировке теоремы оценка доказываются по аналогии с предыдущим случаем.

Теорема доказана.

Утверждение доказанной теоремы может быть проиллюстрировано с помощью бисингулярных интегральных операторов с операторными коэффициентами и плотностями интегральных операторов типа

Ростовский государственный университет_

Коши.

Литература

1. Симоненко И.Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеро-вость. Ростов н/Д, 1986.

2. Пилиди В.С. // Изв. Сев.-Кавк. НТТВТТТ Естеств. науки. 1973. № 4. С. 109 - 110.

3. Пилиди В.С. Бисингулярные операторы и операторы близких к ним классов: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1990.

_14 февраля 2005 г.