Аналог принципа максимума Понтрягина в одной задаче оптимального управления с переменной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 67

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEMS

Научная статья УДК 517.977.56 doi: 10.17223/19988605/67/1

Аналог принципа максимума Понтрягина в одной задаче оптимального управления с переменной структурой

Камиль Байрамали оглы Мансимов1, Шабнам Шакир кызы Сулейманова2

1 Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан, [email protected] 12 Институт систем управления Министерства науки и образования Азербайджана, Баку, Азербайджан, [email protected]

Аннотация. Рассматривается одна задача оптимального управления системами с распределенными параметрами, описываемая в двух различных областях двумя системами Гурса-Дарбу при предположении произвольности областей управления. Критерий качества является терминального типа функционалом. На основе модифицированного варианта метода приращений доказано необходимое условие оптимальности в форме аналога принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Ключевые слова: система Гурса-Дарбу; задача оптимального управления с переменной структурой; допустимое управление; необходимое условие оптимальности.

Для цитирования: Мансимов К.Б., Сулейманова Ш.Ш. Аналог принципа максимума Понтрягина в одной задаче оптимального управления с переменной структурой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 67. С. 4-11. doi: 10.17223/19988605/67/1

Original article

doi: 10.17223/19988605/67/1

An analogue of Pontryagin's maximum principle in one problem optimal control with variable structure

Kamil B. Mansimov1, Shabnam Sh. Suleymanova2

1 Baku State University, Baku, Azerbaijan, [email protected] 12 Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan, [email protected]

Abstract. In this paper we consider one optimal control problem with distributed parameters described in two different domains by two Goursat-Darboux systems under the assumption that the control domains are arbitrary. The quality criterion is a terminal type functional. Based on a modified version of the increment method, a necessary condition for optimality is proved in the form of an analogue of Pontryagin's maximum principle.

Keywords: Goursat-Darboux systems; optimal control problem with variable structure; admissible control; necessary condition for optimality.

For citation: Mansimov, K.B., Suleymanov, Sh.Sh. (2024) An analogue of Pontryagin's maximum principle in one problem optimal control with variable structure. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 67. pp. 411. doi: 10.17223/19988605/67/1

© К.Б. Мансимов, Ш.Ш. Сулейманова, 2024

Введение

Как отмечено, например, в работах [1-4], многие процессы, являясь сложными, носят многоэтапный характер.

Задачи оптимального управления подобными процессами называются ступенчатыми задачами оптимального управления [1-3], или задачами оптимального управления с переменной структурой [4].

В работах [1-4] и других изучен ряд задач оптимального управления с переменной структурой, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В работе [5] рассмотрена задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая совокупностью обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра в предположении открытости областей управления. Получен аналог уравнения Эйлера и выведены необходимые условия оптимальности второго порядка.

Выводу необходимого условия оптимальности первого порядка и необходимых условий оптимальности второго порядка в задаче оптимального управления, описываемой системами гиперболических уравнений второго порядка с краевыми условиями Гурса (задача оптимального управления системами Гурса-Дарбу), посвящена работа [6]. Получены аналог уравнения Эйлера и аналог условия Лежандра-Клебша. Изучен случай вырождения аналога условия оптимальности Лежандра-Клебша (классически особый случай). Доказаны необходимые условия оптимальности особых в классическом смысле управлений.

В предлагаемой статье рассматривается одна задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая в двух различных областях двумя гиперболическими уравнениями второго порядка с краевыми условиями Гурса (краевая задача Гурса-Дарбу) в предположении, что управляющие функции входят в класс измеримых и ограниченных вектор-функций, а области управления являются непустыми ограниченными и замкнутыми множествами

С использованием введенных сопряженных систем построена формула приращения первого порядка функционала качества.

С помощью аналога игольчатых вариаций Макшейна (см., напр.: [7-11]) доказано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина [7-10].

В качестве следствия из него получен аналог дифференциального принципа максимума [9].

1. Постановка задачи

Пусть Д ,ti]х[х0,х], г =1,2, - заданные прямоугольники, Д с Яг, и с Я4 - заданные непустые, ограниченные и замкнутые множества, щ (г, х) (и2 (г, х)) - г(д)-мерная измеримая и ограниченная вектор-функция управляющих воздействий (допустимые управляющие функции), ф1 (z) и Ф2 (у) - заданные имеющие непрерывные производные скалярные функции, а(х) и 6. (г), г =1,2, -заданные абсолютно непрерывные вектор-функции.

Допустим, что управляемый двухэтапный процесс в различных областях Д, г = 1,2, описывается краевыми задачами Гурса-Дарбу для нелинейных гиперболических уравнений второго порядка

z£c = ¡1 (г, х, z,щ), (г, х)е Д, (1)

z(t0, х) = а(х),х е X = [х0,х1 ], z (г, х0) = г), г е?1 = [г0, гх ],

Ух = ¡2 (г, х,у,и2), (г, х) е Д, (3)

у (г;, х) = О (z (гх, х)), х е X,

У (^ хо)= ) , г еТ2 = [г1, г2 ]. Здесь (г, х, z, щ) (/2 (г, х, у, и2)) - заданная «-мерная вектор-функция, непрерывная в Д х Я" х

хЯг (Д х Я" х Я4) вместе с частными производными по z(у), О(z) - заданная в Я" непрерывно-

дифференцируемая вектор-функция, управляющие функции щ (г,х), г = 1,2, удовлетворяют ограничениям

щ (г, х) еЫ с К, г е Ц, 1У' ' 1 1 (5)

щ (г, х) еи2 с К9, г е Ц.

Пару (щ (г, х), щ (г, х)) с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением в рассматриваемой задаче (1)-(4).

Будем предполагать, что при заданном допустимом управлении (щ (г, х), щ (г, х)) краевые задачи (1), (2) и (3), (4) имеют единственные абсолютно непрерывные решения (см., напр.: [8-10]) г(г, х) и у (г, х) соответственно.

Рассмотрим задачу нахождения минимального значения терминального типа функционала

1 и2) = ф (^, х1)) + ф2 (у(г2, х^), (6)

определенного на абсолютно непрерывных решениях краевых задач (1), (2) и (3), (4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями. Здесь ф1 (х) и ф2 (х) - заданные скалярные функции, имеющие непрерывные производные.

Допустимый процесс (щ (г, х), щ (г, х), г (г, х), у (г, х)) , доставляющий минимальное значение функционалу (6), назовем оптимальным процессом, а соответствующее допустимое управление (щ (г,х),щ (г,х)) - оптимальным управлением.

Цель работы - вывод необходимого условия оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понт-рягина (см., напр.: [7-9]).

2. Построение формулы приращения функционала для двух допустимых управлений

Пусть (щ (г, х), щ (г, х), г (г, х), у (г, х)) и (щ (г, х) = щ (г, х) + Ам1 (г, х), щ (г, х) = щ (г, х) + Дм2 (г, х), г (г, х) = г (г, х) + А (г, х), у (г, х) = у (г, х) + Ау (г, х)) - два допустимых процесса.

Из этих обозначений ясно, что Аг (г, х) и Ау (г, х) будут решениями следующих краевых задач:

А^х = ¡1 (г,х,г,щ) -¡1 (г,х,г,щ), (г,х)е£>1, (7)

Аг(г0, х) = 0, х е X, Аг (г, х0) = 0, г е Т,

Аух = /2(г,х,у,«2)-/2(г,х,у,Ы2), (г,х)е£2, (9)

Ау(^, х) = G (г (^, х)) - G (, х)), х е X, Ау (г,хо) = 0,г е Т2.

Введем обозначения

Н (г, х, г, щ, у) = у / (г, х, г, щ), Н2 (г, х, у, ы2, у2) = у 2 /2 (г, х, у, щ), Ащ /1 [г, х] = /1 (г, х, г(г, х), щ (г, х)) - / (г, х, г(г, х), щ (г, х)), Ащ2 /2 [г, х] = /2 (г, х, у (г, х), «2 (г, х)) - / (г, х, у (г, х), щ (г, х)), Ащц х[г, х, у ] = Н (г, х, г(г, х),щ (г, х), у (г, х)) - Н (г, х, г(г, х),щ (г, х), у (г, х)),

щ (г,х)

Н[г, х, _ дН, (г , х, г(г, х), щ (г, х), у (г, х)) дН1 (г, х, г(г, х), щ (г, х), у (г, х)) дг дг дг

дН [г, х, у ] дН (г, х, г (г, х), щ (г, х), у (г, х)) дг дг

(8)

(10)

дн2 [г, х, ш2 ] _ дн2 (г, х, у (г, х), и2 (г, х), ш2 (г, х))

ду ду

м , (г„ х ^^ О (, (г,, х)),

дх - дх

N z (t1, х, = У 2 (t1, х,)О (z (t1, х,)). Здесь для транспонирования используется знак ' (штрих), а у,-(г, х), г = 1,2, - пока неизвестные

«-мерные вектор-функции.

Учитывая тождества (7)-(10) и введенные обозначения, а также считая вектор-функции у (г, х), г = 1,2, достаточно гладкими (например, абсолютно непрерывными) и применяя формулу Тейлора, приращение функционала качества (6) представляется в виде:

, . ,__. , . дф (z(г,,х,)) ,,, ||Ч дN'(у2,z(г,,х,))

АБ(щ,щ ) = Б (щ,щ)- S (щ,щ) =-^-— Az (^, х) + О (||^z (^, х )||)---—^-— Лz (^, х) +

хдм • ^, z (г,, х)] ,

-о2 (|| Аг ( ^, х )||) +1-~-- Аz ( г, х) dx +1 о3 (||Аг (^, х )||) dx +

Ау (г2, х,) + о4 (||Ау (г2, х, ДО + И^2^ Аz (г, х) dxdt -

¿о х0

хг дш (г, х) , . р дш (г, х) / ч . / ч / ч

- I 41—- Аz (г, х) dx - I —^—— Аz (г, х ) dx + ш (^, х )Аz (^, х ) +

дх , дг

х ¿о

ч х д 2 ш' (г х) + ш2 (г2, х )Ау (г2, х ) +II-2 ( , Ау (г, х) dxdt +

¿1 х0

+1 дш2 (tl, х) Ау (г, х) dx -1дШ2 (г, Xl) Ау (г, х ) dx - | дШ2 х) Ау (г2, х) dx -

х г хо

г х г X дн [г х ш ] , ч гX дА-,, Н [г, х, ш ] , ч

Н [г, х , ш ]dxdt -11^X, Аz (г , х)dxdt -11 ^) ^ , Т,] Аz (г , х)dxdt -

¿0 х ¿о х3 ¿о х

г х1 ¿2 х1 ¿2 х1 х 1

-110 (А(г, х)||)dxdt -11 А-хН[г, х, ш2]dxdt -11 —2[ , X, ш2] Ау (г, х)dxdt - (11)

¿о хо хо хо ду

X х дА-,, Н, [г, х, ш ] , ч х /и , чи\

-11 ——Ау (г, х) dxdt -110 (II Ау (г, х)||)dxdt.

дz ^ ^

г1 хо ¿1 х

"

Здесь ||а|| - норма вектора а = (а,а2ап)', определяемая формулой = |, а о(а) - величина

1=1

более высокого порядка малости, чем а , т.е. 0(0) ^ о при а ^ 0.

а

Пусть вектор-функции V, (г,х), 1 = 1,2, являются решениями соответственно следующих краевых задач:

д 2ш, (г, х ) дН,[г, х]

дгдх дz

(12)

. / ч . / ч дМ , z (I, х )1

дш, (г,х,^ дщ, (г,,х)_ ^ дх ' (l, )J

= о, 7 =-^-(13)

дг дх д2

Ъ (*i>xi ) = -

(t, X)) дN (ъ ,z (S, X))

дz dz

дV2 (t,x) _дИ2[t,x,ъ2]

StSx

dy

(14)

дЪ (t2, X) Q дъ2 (t,X)

= 0,

dx dt

дъ2 (t2,X) _ дФ2 (У (t2,xi))

dx

Тогда формула приращения (11) примет вид:

ti xi

ду

(15)

,, \} дА-их)Н \t, x, ъ ] , ч AS (u, U ) = "J J А^, xH [t, x, Ъ ]dxdt - J J —u—^—--Az (t, x) dxdt -

t2 xl

-JKt, x)И2[t, X,

дz

¿(0 x0

J J ^,x)Иг\[,xъ] Ay(t,x)dxdt + 0l(¡Az(t,,x)||)-o2(|Az(t,x

11 x

11 x

t, X ) ) +

11 x

t2 x

(16)

+

| О3 (I Аг (г!, хах + о4 (| Ау (г2, х)||) -11 о5 (|| Аг (г, х)||) яМ -11 о6 (|| Ау (г, х)||) ЛЛ.

Для дальнейших изложений нам понадобятся оценки норм приращений состояний. Из оценок, установленных и приведенных в работах [11, 12] и др., следует, что

Ч х

ц^ < A{{||au (х,, fifr s|dsd x,

(x,s )f2 [x S]||dsd X + ||Az (t!, x)

\\Ay(t, x)|| < L2

где L = const >0, i = 1,2, - некоторые постоянные.

Учитывая неравенство (17), из неравенства (18) получим, что

|| Ay (t, x)|| < L3

(17)

(18)

А^ЛКs|dsdx +I I Au1 (x,s)fi[xs|dsdx

¿1 xo

¿0 xo

(19)

( L = const > o - некоторая постоянная).

3. Необходимое условие оптимальности

Данные оценки позволяют получить необходимое условие оптимальности в форме аналога принципа максимума Л.С. Понтрягина. Имеет место

Теорема. Для оптимальности допустимого управления (щ (г, х), ы2 (г, х)) необходимо, чтобы соотношения

тах Щф,г(0, $), VI, ^(0, £)) = Щф,гф, $), щ(0, $), ^(0, £)), (20)

у1еи1

тахН 2 (0, у(0, V2, у (6, = Н2 (0, уф, щ (0, & ^(0, (21)

V2 еи2

выполнялись для всех (0, ^)е[г0, ^ )х[ х0, х ) и (0, , г2 )х[х, х ) соответственно. Перейдем к доказательству теоремы.

Пусть (0,^)е[г0,г)х[х,х) - произвольная точка Лебега (см., напр.: [10]) оптимального управления щ (г, х), V е и - произвольный вектор, е > 0 - произвольное достаточно малое число такое, что 0 + е < ^, ^ + е < х , а щ (г, х) = 0, (г, х) е Ц .

Тогда специальное приращение допустимой управляющей функции щ (t, x) можно определить по формуле

[v -щ(t,x), (t,x)e[ee+s)x[^, Ащ1 (t,x;£) = •{ (22)

1V ' [о, (t,x)ed\[e,e+s)x[^,^+s).

Здесь \ означает разность множеств Д и [e, e + s)x[^, ^ + s).

Через (Az(t,x; s),Ay(t,x;s)) обозначим специальное приращение состояния (z(t,x),y(t,x)), отвечающее специальному приращению (22) управляющей функции щ (t, x).

Из оценок (17) и (19) следует, что

I Az (t, x; s)||< Z4s2, (t, x) e Д,

||Ay (t, x; s)||< L5s2, (t, x )e D2, где L+3 = const >0, i = 1,2, - некоторые постоянные.

Поэтому из формулы приращения (16) следует, что вдоль оптимального управления (щ (t, x), щ (t, x))

S (щ (t, x) + Ащ (t, x; s),и2 (t, x)) - S (щ (t, x), щ (t, x)) = -s2A H [e, щ ] + o(s2) > 0.

Отсюда получаем неравенство

AHe, s, щ] < 0.

Этим условие максимума (20) доказано.

Для доказательства соотношения (21) предположим, что (e,^)e[tj,t2)x[x0,x) - произвольная точка Лебега управления щ(t,x), v2 e U2 - произвольный вектор, ц > 0 - произвольное малое число такое, что e + ц < t2, ^ + s < х, а щ (t, x) = 0, (t, x) e Д.

Тогда специальное приращение допустимой управляющей функции щ (t, x) можно определить по формуле

Au(tx- wiv2 -щ2(t,x), (t,e + ^ + , (2ъ

щx;ц) '[о, (t,x)ed\[e,e + ^)x[^,^ + ц). ( )

Учитывая формулу (23), из оценки (19) получаем, что

|| АУ (t, x; ц)||< Дц2, (t, x) e D2. (24)

Учитывая оценку (24) и формулу (23), из формулы приращения (16) получаем, что вдоль оптимального управления (щ (t, x), щ (t, x))

S (щ (t, x), щ (t, x) + Ащ (t, x; ц)) - S (щ (t, x), щ (t, x)) = = -ц2[н 2(e, s, y(e, ¡a, V2, щ 2(e, S)) = H2(e, s, y(e, a «2(e, а щ 2(e, Ш+о(ц2) > 0.

Из последнего разложения следует, что

avh 2[e, s, Щ2] < 0.

Этим соотношение (21) и, следовательно, теорема доказаны.

Замечание. Из доказанной теоремы можно получить аналог дифференциального принципа максимума.

Пусть функции f (t, x, z, щ ), f (t, x, y, щ ) непрерывно-дифференцируемы также по щ и щ соответственно, а множества Ut, i = 1,2, выпуклы.

При сделанных предположениях из аналога принципа максимума Понтрягина получается

Следствие (дифференциальный принцип максимума). Вдоль оптимального управления (щ (t, x), щ (t, x)) выполняются условия

c>Hj(9,Ç,z(9,Ç),щ(9,Ç),Vl(9,^ q ÔHl(9,Ç,z(9,Ç),vt,уД9,Ç))

-U (9, Ç) — max-v,

0Ц VieUi ÔUj

(9, ti )x[ x0, Xi ),

ÔH2(9,Ç,j(9,Ç),u2(9,Ç),y2(9,Ç)) ffl я ÔH2(9,Ç,j(9,Ç),v2,у2(9,Ç))

- u2(9, ç)=max - V2 ,

¿Ц V2eU2 OU2

(9, t2 )X[ ^ X1 ) • Доказательство следствия проводится по схеме, аналогичной схеме из работ [9, 11].

Заключение

В работе рассматривается задача оптимального управления с переменной структурой с распределенными параметрами, описываемая в двух областях различными краевыми условиями Гурса для двух гиперболических уравнений второго порядка (задача оптимального управления системами Гурса-Дарбу). Введена сопряженная система в классической форме, и построена формула приращения первого порядка функционала качества, носящая конструктивный характер.

Применяя двумерный аналог игольчатой вариации Макшейна, доказано необходимое условие оптимальности в форме аналога условия максимума Л.С. Понтрягина.

Из доказанного условия оптимальности получен аналог дифференциального условия максимума.

Список источников

1. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами // Доклады АН СССР. 1967. Т. 176, № 4. С. 754-756.

2. Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления // Журнал вычисли-

тельной математики и математической физики. 2006. № 10. С. 1758-1770.

3. Розова В.Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами с неинтегральным функционалом // Вестник РУДН.

Сер. Прикладная и компьютерная математика. 2002. № 1 (1). С. 131-136.

4. Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник Московского университета.

Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 1987. № 2. С. 36-41.

5. Мансимов К.Б., Аликберов А.А. Необходимые условия оптимальности второго порядка в одной задаче управления

с переменной структурой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 43. С. 4-15.

6. Мансимов К.Б., Сулейманова Ш.Ш. К оптимальности особых в классическом смысле управлений в одной задаче опти-

мального управления системами с переменной структурой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 44. С. 10-24. doi: 10.17223/19988605/44/2

7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. :

Наука, 1984. 384 с.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И. и др. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011.

472 с.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М. : URSS, 2013. 272 с.

10. Плотников В.И., Сумин В.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький : Изд-во Горьковского гос. ун-та, 1986. 87 с.

11. Мансимов К.Б. Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса-Дарбу. Баку : ЭЛМ, 2010. 360 с.

12. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1990. 151 с.

References

1. Velichenko, V.V. (1967) Optimal'noe upravlenie sostavnymi sistemami [Optimal control of composite systems]. DAN. USSR.

176(4). pp. 754-756.

2. Ismaylov, R.R. & Mansimov, K.B. (2006) Ob usloviyakh optimal'nosti v odnoy stupenchatoy zadache upravleniya [On optimality

conditions in one stepwise control problem]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 10. pp. 1758-1770.

3. Rozova, V.N. (2002) Optimal'noe upravlenie stupenchatymi sistemami s neintegral'nym funktsionalom [Optimal control of step

systems with non-integral functionality]. VestnikRUDN. Ser. Prikladnaya i komp'yuternaya matematika. 1(1). pp. 131-136.

4. Nikolsky, M.S. (1987) Ob odnoy variatsionnoy zadache s peremennoy strakturoy [On a variational problem with a variable struc-

ture]. VestnikMoskovskogo universiteta. Ser. Vychislitel'naya matematika i kibernetika. 2. pp. 36-41.

5. Mansimov, K.B. & Alikberov, A.A. (2018) The second order necessary optimality conditions in a control problem with variable

structure. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 43. pp. 4-15. DOI: 10.17223/19988605/43/1

6. Mansimov, K.B. & Suleymanova, Sh.Sh. (2018) On the optimality of controls that are special in the classical sense in one problem

of optimal control of systems with a variable structure. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychisli-telnaya tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 44. pp. 10-24. DOI: 10.17223/19988605/44/2

7. Pontryagin, L.S., Boltyansky, V.G., Gamkrelidze, R.V. & Mishchenko, E.F. (1984) Matematicheskaya teoriya optimal'nykh

protsessov [Mathematical Theory of Optimal Processes]. Moscow: Nauka.

8. Gabasov, R., Kirillova, F.M., Alsevich, V.V. & Kalinin, A.I. (2011) Metody optimizatsii [Optimization Methods]. Minsk: Chetyre

chetverti.

9. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (2013) Printsip maksimuma v teorii optimal'nogo upravleniya [The maximum principle in the theory

of optimal control]. Moscow: URSS.

10. Plotnikov, V.I. & Sumin, V.I. (1986) Metody optimal'nogo upravleniya sistemami matematicheskoy fiziki [Methods for optimal control of systems of mathematical physics]. Gorky: Gorky State University.

11. Mansimov, K.B. & Mardanov, M. Dzh. (2010) Kachestvennaya teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami Gursa-Darbu [Qualitative Theory of Optimal Control of Goursat-Darboux Systems]. Baku: ELM.

12. Vasiliev, O.V., Srochko, V.A. & Terletsky, V.A. (1990) Metody optimizatsii i ikh prilozheniya [Optimization Methods and their Applications]. Novosibirsk: Nauka.

Информация об авторах:

Мансимов Камиль Байрамали оглы - профессор, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией «Методы управления в сложных динамических системах» Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан); заведующий кафедрой «Математическая кибернетика» Бакинского государственного университета (Баку, Азербайджан). E-mail: [email protected]

Сулейманова Шабнам Шакир кызы - диссертант лаборатории «Методы управления в сложных динамических системах» Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан). E-mail: [email protected]

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Mansimov Kamil B. (Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory "Control Methods in Complex Dynamic Systems" of the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan; Head of the Department of Mathematical Cybernetics, Baku State University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected] Suleymanova Shabnam Sh. (Dissertation Candidate at the Laboratory "Control methods in complex dynamic systems" of the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 28.12.2023; принята к публикации 03.06.2024 Received 28.12.2023; accepted for publication 03.06.2024