Научная статья на тему 'Аналог неравенства Джексона—Черныха для пространства последовательностей, суммируемых с квадратом'

Аналог неравенства Джексона—Черныха для пространства последовательностей, суммируемых с квадратом Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
69
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Виноградов О. Л.

Пусть c = {cν }∞2Δk ( c )ν = c ν+k c ν, ω ( c, n )2 = max Δk ( c ) 2, 1 k n s (c) = 1h ν π∞) c kk=−∞sin( k − ν ) h, h ∈ [ 0, π ]k − ν(при k = ν считаем sin(k−ν)h = h). Основным результатом работы является равенство k−νI II c − s π ( c )Isup Ic∈£2n+1ω(c, n)2I2 = √ 2, родственное результату Джексона—Черныха для пространства L2.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The analog of Jackson—Chernykh inequality for the space of sequences summable with square

A sharp inequality in the space R2 which is analogous to Jackson—Chernykh inequality in the space L2 is established.

Текст научной работы на тему «Аналог неравенства Джексона—Черныха для пространства последовательностей, суммируемых с квадратом»

2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3 (№ 17)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О. Л. Виноградов

АНАЛОГ НЕРАВЕНСТВА ДЖЕКСОНА—ЧЕРНЫХА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СУММИРУЕМЫХ С КВАДРАТОМ*

В этой статье доказывается одно точное неравенство, родственное точному неравенству Джексона—Черныха в пространстве ¿2.

Далее Ьр — пространство 2^-периодических измеримых функций ] с вещественными или комплексными значениями с конечной нормой

(p = 1, 2), L = Li; L[a, Ь] — пространство суммируемых на отрезке [a, Ь] функций; li — пространство последовательностей c = {cv j^L-oo с вещественными или комплексными членами с конечной нормой

В формулах вида sup у/А, inf у/А верхняя (нижняя) грань берется по всем тем эле-feE (f feE (f

ментам f G E, для которых U(f) или V(f) отлично от нуля.

Хорошо известно точное неравенство Джексона—Черныха [1] для пространства L2:

Если точка a G M", то a\,...,an — ее координаты;

n

k=l

(1)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №02-01-01112). © О.Л.Виноградов, 2003

*

Здесь Sn(f) — сумма Фурье порядка n функции f G L2, ^(f, h)2 = sup ||/(•+t) — f Ц2 —

модуль непрерывности первого порядка функции / с шагом h ^ 0 в пространстве L2, я £ N. Константа -щ в неравенстве (1) не может быть заменена меньшей, даже если заменить шаг у модуля непрерывности на число h > При сохранении константы

■щ шаг у модуля непрерывности уменьшить нельзя [2].

Справедлив и аналог неравенства (1) для приближения функций в пространстве L2(R) целыми функциями конечной степени [3].

В данной работе устанавливается аналог неравенства (1), в котором функция f G L2 и последовательность ее коэффициентов Фурье c G £2 меняются местами. Для последовательности c G £2 положим

Afc(c)v = Cv+k - Cv, w(c,n)2 = max ||Afc(c)||2,

1<к<и

1 ^ sin(k - v)h Sh{c)v = - > Cfc-)-he[ 0,7T

n z—' k — V

k= —00

(при к = V считаем _ ^ Величина а>(с, п)2 — аналог модуля непрерывности,

а последовательность вь (с) — аналог суммы Фурье для последовательности с. Действительно, если ](х) = ^ сиетх (сходимость этого и подобных рядов понимается в ¿2),

v=-<x>

то

eh

I !(x)e-^dx = sh(c)l

J-h

и, таким образом,

" \f (x), М < h,

0, h < Ы < n

Er N ivx

sh(c)v e =

v=

в пространстве L2. Если при составлении n-й суммы Фурье функции f в сумме участвовали коэффициенты с номерами, по модулю не превосходящими n, то при составлении последовательности sh(c) в интеграле участвуют значения функции f в точках, по модулю не превосходящих h. При h = п, очевидно, Sh(c) = c.

Замечание 1. Легко видеть, что sh — оператор наилучшего приближения в следующем смысле:

IIе - sh(c)h = min ||c - d||2,

d£Dh

где со

Dh = <j d e £2 : dv eivx = 0, h<x < Л. Теорема 1. Пусть n e N, h e [0, п),

Г> iU\ \\c - sh(c)h

Q„{h) = sup-----.

cei.2 v(c,n)2

Тогда

/ n X-l/2

Qn(h) = V2 I 1 — min max У^ a^ cos/гж )

\ aeAn 1 I

Доказательство. Пусть с € ¿2, /(х) = ^ вгих. Тогда

V"-

v=-<x>

(cv+k - cv)eivx = f (x)(e~ikx - 1).

/ \^V + k

v= — oo

По равенству Парсеваля находим:

ж п

У^ |cv+k - Cv \2 = \f (x)|2(1 - cos kx) dx,

,— ^ J —7T

v= — 00

p2n-h

2n\\c - sh(c)\\l = \f \2.

h

Обозначим для краткости Q = Qn(h)/2,

Rh = jp G L[h,n] : p > 0,/ p , Wn = |w G Rn : wk = J p(x)(1 - cos kx) dx, p G Rh | .

Тогда

г2п-к , /12

<Э = 8ПР -^-—-• (2)

!еЬ2 тах Г„ \/(х)|2(1 — сов кх) ¿х

Для комплексных пространств ¿2 и £2 это очевидно в силу взаимной однозначности соответствия между ними. Для любой функции /, принадлежащей комплексному ¿2, функция

д{х) = I |/(х)Р+^|/(-х)7

принадлежит вещественному ¿2 и четна, поэтому ее коэффициенты Фурье си(д) вещественны. Дробь в правой части равенства (2) не меняется при замене / на д, так что равенство (2) верно и для вещественного случая. Полагая р = \/\2, имеем

2

max J2n p(x)(1 - cos kx) dx

1 r l<k<n 0

= mf -

pEL f2n-h p

Jh p

<5 = inf

-2n-h

1<k<u

max Jh p(x)(1 - cos kx) dx

mf

PEL r'2n-h p

P>° Jh p

2n-h

h I

max fh p(x)(1 - cos kx) dx

inf

/' ' ' ' '7Г

p

h

C'K

(x

Г

= inf max / p(x)(1 — cos kx) dx = inf max wk. peRh !<k<n,/h wewn l^k^n

Таким образом, Q 1 есть расстояние от нуля до выпуклого множества Wn в пространстве Rn с нормой ||w||TO = max \wk \. По формуле двойственности (см., например, [4],

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

l^k^n

с. 28)

n

inf max wk = max inf akwk

E wki<i k=1 k=1

(максимум по a достигается из соображений компактности). В силу неотрицательности wk при вычислении верхней грани по а можно ограничиться неотрицательными ak. Но при любых фиксированных неотрицательных ak имеем

n n п

inf > ak wk = inf > ak / p(x)(1 — cos kx) dx =

wW ti peRh ti Jh

n n n

= inf / p(x)y^ ak (1 — cos kx) dx = min ak (1 — cos kx). PtRh. h h<x<n^

h h k=i k=i

Преобразуя дальше выражение для Q-1, находим

Q 1 = max min > ak (1 — cos kx) =

k=1

(n \ n

1 — max ak cos kx \ =1 — min max ak cos kx.

h^x^^—' I aeAn h^x^n z—'

k=1 / k=1

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 1 проведено по схеме, примененной в [5]. Обозначим через НП множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше n с нулевым средним. В [6] А. Г. Бабенко решил следующую экстремальную задачу: найти величину

m(n) = inf mes {x е [0, 2п] : Tn(x) > 0). Он установил, что т(п) = ¿ру, а экстремальным полиномом является

Т* (х) = У^ sin-cos кх

nV ' ^ n +1

k=1

I 1 \/ N -1

п 2n+ 1 \ / П

= I sin-- cos2 —--X I I cos ж — COS

п +1 2 ) \ п +1

При этомт, как видно, полином Т* четный, его коэффициенты положительны и ТП* (х) ^ 0 при ж € •

Из этого результата следует, что если к = то <5 = 1, а если к < то <5 > 1. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть п € N. Тогда

Q

Ш=А

Qn(h) > л/2 при h G

О, *

n +1

Замечание 2. Аналогия с неравенством для пространства ¿2 не является полной. Если в неравенстве (1) увеличить шаг модуля непрерывности (увеличив, вообще говоря, правую часть) или увеличить порядок суммы Фурье (уменьшив, вообще говоря, левую часть), то константу все равно уменьшить нельзя. Если же в неравенстве

с — в(с) п)2

4 ' 2

увеличить шаг модуля непрерывности (увеличив, вообще говоря, правую часть) или увеличить индекс у (уменьшив, вообще говоря, левую часть), то константа \/2 уменьшится.

Действительно, пусть < к < 7Г,

( к \ кп 1 п кп

Рк = 1--ГТ с°8 —ГТ н--ГТ —ГТ 8111'

n +1 n +1 n +1 n +1 n +1

/ n 1 ^^i 1 п T*(x)

il„-i(i) = - + 2_^рк cos кх =-г sin

2 ' ' п + 1 П + 1 COS Ж — COS —тт

k=i n+l

— известный многочлен П. П. Коровкина,

Pn(x) = Kn-i(x)(cos x — cos h) =

pi — po cos h n pk-i — 2pk cos h + pk+i

•sr-л Pk-i - ¿рк СОИ ft -I- pk+1 / --- COS rvX.

2 ^ 2

k=i

Тогда все коэффициенты многочлена Рп положительны, так как po = 1, pi = cos w

n+l '

pk-i — 2pk cos h + pk+i f п \ 1 п . кп

— pk cos--cos h H--sin-sin- > 0.

2 у n +1 J n +1 n +1 n +1

Кроме того, Pn ^ 0 на отрезке [h, п]. Многочлен

— _ _ pi - po cos h

1 n 2

имеет нулевое среднее и положительные остальные коэффициенты; max Рп(х) < 0.

h^x^n

Поэтому при < h < 7Г будет

min ma^ ak cos kx < 0

aeAn h^x^n z—' k=i

и Qn{h) < a/2.

Summary

Vinogradov O. L. The analog of Jackson—Chernykh inequality for the space of sequences summable with square.

A sharp inequality in the space i2 which is analogous to Jackson—Chernykh inequality in the

space L2 is established.

Литература

1. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

2. Arestov V. V., Chernykh N. I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and function spaces. Proc. Conf. Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.

3. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Известия ВУЗов. Математика. 1972. Т. 121, № 6. С. 65-73.

4. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М., 1976.

5. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Математические заметки. 1986. Т. 39, № 5. С. 651-664.

6. Бабенко А. Г. Об одной экстремальной задаче для полиномов // Математические заметки. 1984. Т. 35, № 3. С. 349-356.

Статья поступила в редакцию 8 октября 2002 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.