CC BY
31
2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3 (№ 17)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О. Л. Виноградов
АНАЛОГ НЕРАВЕНСТВА ДЖЕКСОНА—ЧЕРНЫХА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СУММИРУЕМЫХ С КВАДРАТОМ*
В этой статье доказывается одно точное неравенство, родственное точному неравенству Джексона—Черныха в пространстве ¿2.
Далее Ьр — пространство 2^-периодических измеримых функций ] с вещественными или комплексными значениями с конечной нормой
(p = 1, 2), L = Li; L[a, Ь] — пространство суммируемых на отрезке [a, Ь] функций; li — пространство последовательностей c = {cv j^L-oo с вещественными или комплексными членами с конечной нормой
В формулах вида sup у/А, inf у/А верхняя (нижняя) грань берется по всем тем эле-feE (f feE (f
ментам f G E, для которых U(f) или V(f) отлично от нуля.
Хорошо известно точное неравенство Джексона—Черныха [1] для пространства L2:
Если точка a G M", то a\,...,an — ее координаты;
n
k=l
(1)
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №02-01-01112). © О.Л.Виноградов, 2003
*
Здесь Sn(f) — сумма Фурье порядка n функции f G L2, ^(f, h)2 = sup ||/(•+t) — f Ц2 —
модуль непрерывности первого порядка функции / с шагом h ^ 0 в пространстве L2, я £ N. Константа -щ в неравенстве (1) не может быть заменена меньшей, даже если заменить шаг у модуля непрерывности на число h > При сохранении константы
■щ шаг у модуля непрерывности уменьшить нельзя [2].
Справедлив и аналог неравенства (1) для приближения функций в пространстве L2(R) целыми функциями конечной степени [3].
В данной работе устанавливается аналог неравенства (1), в котором функция f G L2 и последовательность ее коэффициентов Фурье c G £2 меняются местами. Для последовательности c G £2 положим
Afc(c)v = Cv+k - Cv, w(c,n)2 = max ||Afc(c)||2,
1<к<и
1 ^ sin(k - v)h Sh{c)v = - > Cfc-)-he[ 0,7T
n z—' k — V
k= —00
(при к = V считаем _ ^ Величина а>(с, п)2 — аналог модуля непрерывности,
а последовательность вь (с) — аналог суммы Фурье для последовательности с. Действительно, если ](х) = ^ сиетх (сходимость этого и подобных рядов понимается в ¿2),
v=-<x>
то
eh
I !(x)e-^dx = sh(c)l
J-h
и, таким образом,
" \f (x), М < h,
0, h < Ы < n
Er N ivx
sh(c)v e =
v=
в пространстве L2. Если при составлении n-й суммы Фурье функции f в сумме участвовали коэффициенты с номерами, по модулю не превосходящими n, то при составлении последовательности sh(c) в интеграле участвуют значения функции f в точках, по модулю не превосходящих h. При h = п, очевидно, Sh(c) = c.
Замечание 1. Легко видеть, что sh — оператор наилучшего приближения в следующем смысле:
IIе - sh(c)h = min ||c - d||2,
d£Dh
где со
Dh = <j d e £2 : dv eivx = 0, h<x < Л. Теорема 1. Пусть n e N, h e [0, п),
Г> iU\ \\c - sh(c)h
Q„{h) = sup-----.
cei.2 v(c,n)2
Тогда
/ n X-l/2
Qn(h) = V2 I 1 — min max У^ a^ cos/гж )
\ aeAn 1 I
Доказательство. Пусть с € ¿2, /(х) = ^ вгих. Тогда
V"-
v=-<x>
(cv+k - cv)eivx = f (x)(e~ikx - 1).
/ \^V + k
v= — oo
По равенству Парсеваля находим:
ж п
У^ |cv+k - Cv \2 = \f (x)|2(1 - cos kx) dx,
,— ^ J —7T
v= — 00
p2n-h
2n\\c - sh(c)\\l = \f \2.
h
Обозначим для краткости Q = Qn(h)/2,
Rh = jp G L[h,n] : p > 0,/ p , Wn = |w G Rn : wk = J p(x)(1 - cos kx) dx, p G Rh | .
Тогда
г2п-к , /12
<Э = 8ПР -^-—-• (2)
!еЬ2 тах Г„ \/(х)|2(1 — сов кх) ¿х
Для комплексных пространств ¿2 и £2 это очевидно в силу взаимной однозначности соответствия между ними. Для любой функции /, принадлежащей комплексному ¿2, функция
д{х) = I |/(х)Р+^|/(-х)7
принадлежит вещественному ¿2 и четна, поэтому ее коэффициенты Фурье си(д) вещественны. Дробь в правой части равенства (2) не меняется при замене / на д, так что равенство (2) верно и для вещественного случая. Полагая р = \/\2, имеем
2
max J2n p(x)(1 - cos kx) dx
1 r l<k<n 0
= mf -
pEL f2n-h p
Jh p
<5 = inf
-2n-h
1<k<u
max Jh p(x)(1 - cos kx) dx
mf
PEL r'2n-h p
P>° Jh p
2n-h
h I
max fh p(x)(1 - cos kx) dx
inf
/' ' ' ' '7Г
p
h
C'K
(x
Г
= inf max / p(x)(1 — cos kx) dx = inf max wk. peRh !<k<n,/h wewn l^k^n
Таким образом, Q 1 есть расстояние от нуля до выпуклого множества Wn в пространстве Rn с нормой ||w||TO = max \wk \. По формуле двойственности (см., например, [4],
l^k^n
с. 28)
n
inf max wk = max inf akwk
E wki<i k=1 k=1
(максимум по a достигается из соображений компактности). В силу неотрицательности wk при вычислении верхней грани по а можно ограничиться неотрицательными ak. Но при любых фиксированных неотрицательных ak имеем
n n п
inf > ak wk = inf > ak / p(x)(1 — cos kx) dx =
wW ti peRh ti Jh
n n n
= inf / p(x)y^ ak (1 — cos kx) dx = min ak (1 — cos kx). PtRh. h h<x<n^
h h k=i k=i
Преобразуя дальше выражение для Q-1, находим
Q 1 = max min > ak (1 — cos kx) =
k=1
(n \ n
1 — max ak cos kx \ =1 — min max ak cos kx.
h^x^^—' I aeAn h^x^n z—'
k=1 / k=1
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 1 проведено по схеме, примененной в [5]. Обозначим через НП множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше n с нулевым средним. В [6] А. Г. Бабенко решил следующую экстремальную задачу: найти величину
m(n) = inf mes {x е [0, 2п] : Tn(x) > 0). Он установил, что т(п) = ¿ру, а экстремальным полиномом является
Т* (х) = У^ sin-cos кх
nV ' ^ n +1
k=1
I 1 \/ N -1
п 2n+ 1 \ / П
= I sin-- cos2 —--X I I cos ж — COS
п +1 2 ) \ п +1
При этомт, как видно, полином Т* четный, его коэффициенты положительны и ТП* (х) ^ 0 при ж € •
Из этого результата следует, что если к = то <5 = 1, а если к < то <5 > 1. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть п € N. Тогда
Q
Ш=А
Qn(h) > л/2 при h G
О, *
n +1
Замечание 2. Аналогия с неравенством для пространства ¿2 не является полной. Если в неравенстве (1) увеличить шаг модуля непрерывности (увеличив, вообще говоря, правую часть) или увеличить порядок суммы Фурье (уменьшив, вообще говоря, левую часть), то константу все равно уменьшить нельзя. Если же в неравенстве
с — в(с) п)2
4 ' 2
увеличить шаг модуля непрерывности (увеличив, вообще говоря, правую часть) или увеличить индекс у (уменьшив, вообще говоря, левую часть), то константа \/2 уменьшится.
Действительно, пусть < к < 7Г,
( к \ кп 1 п кп
Рк = 1--ГТ с°8 —ГТ н--ГТ —ГТ 8111'
n +1 n +1 n +1 n +1 n +1
/ n 1 ^^i 1 п T*(x)
il„-i(i) = - + 2_^рк cos кх =-г sin
2 ' ' п + 1 П + 1 COS Ж — COS —тт
k=i n+l
— известный многочлен П. П. Коровкина,
Pn(x) = Kn-i(x)(cos x — cos h) =
pi — po cos h n pk-i — 2pk cos h + pk+i
•sr-л Pk-i - ¿рк СОИ ft -I- pk+1 / --- COS rvX.
2 ^ 2
k=i
Тогда все коэффициенты многочлена Рп положительны, так как po = 1, pi = cos w
n+l '
pk-i — 2pk cos h + pk+i f п \ 1 п . кп
— pk cos--cos h H--sin-sin- > 0.
2 у n +1 J n +1 n +1 n +1
Кроме того, Pn ^ 0 на отрезке [h, п]. Многочлен
— _ _ pi - po cos h
1 n 2
имеет нулевое среднее и положительные остальные коэффициенты; max Рп(х) < 0.
h^x^n
Поэтому при < h < 7Г будет
min ma^ ak cos kx < 0
aeAn h^x^n z—' k=i
и Qn{h) < a/2.
Summary
Vinogradov O. L. The analog of Jackson—Chernykh inequality for the space of sequences summable with square.
A sharp inequality in the space i2 which is analogous to Jackson—Chernykh inequality in the
space L2 is established.
Литература
1. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.
2. Arestov V. V., Chernykh N. I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and function spaces. Proc. Conf. Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.
3. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Известия ВУЗов. Математика. 1972. Т. 121, № 6. С. 65-73.
4. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М., 1976.
5. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Математические заметки. 1986. Т. 39, № 5. С. 651-664.
6. Бабенко А. Г. Об одной экстремальной задаче для полиномов // Математические заметки. 1984. Т. 35, № 3. С. 349-356.
Статья поступила в редакцию 8 октября 2002 г.
