Аналог мозаики на гиперболической плоскости положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

векторов, должна быть квадратной. В самом деле, рассмотрим при некотором а € А матрицу х(Ма) = (6-)г€I,j€J^ гДе

1, если Г(%,]) = а, 0, если Г(%,]) = а.

Строками матрицы х(Ма) являются характеристические векторы (х(Та),... , х(Тт ))■ По теореме 1 эти векторы линейно независимы, откуда т = г, где г = гапдх(Ма). Двойственно выполняется п = г, откуда т = п. На основании леммы 1 и теоремы 1 имеем следующий основной результат.

Теорема 2. Для сбалансированной матрицы М следующие условия эквивалентны между собой: М

2) Матрица М является квадратной и Вв1(х(Ма)) = 0 при любом а € А;

М ВеЬ(х(Ма )) = 0 при

некотором а* € А.

1. Розен В.В., Панкратова Ю.Н. Ситуации равновесия и сбалансированные покрытия в играх с упорядоченными исходами // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 105-108.

2. Экланд И. Элементы математической экономики. М,: Мир, 1983.

Гиперболическую плоскость Н положительной кривизны определим [1] как область проективной плоскости Р2) внешнюю относительно некоторой овальной линии 7, называемой абсолютом. Внутренняя область относительно абсолюта, как известно, является полной плоскостью Лобачевского. Геометрия плоскости Н положительной кривизны 1/р2 может быть также реализована в псевдоевклидовом пространстве Я3 па сфере действительного радиуса р с отождествленными диаметрально противоположными точками.

Отличием плоскости H от плоскостей постоянной кривизны в смысле [2] (евклидовой Я2, сферической Б2 и Лобачевского А2) является

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

УДК [514.133+514.174.5]

Л.Н. Ромакина

АНАЛОГ МОЗАИКИ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОИ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

наличие на ней прямых трех типов: гиперболических (эллиптических), пересекающих абсолют в двух действительных (мнимо сопряженных) точках, и параболических, изотропных на Н, касающихся абсолютной линии.

Разбиение плоскости Н (фигуры та плоскости Н)7 все ребра ячеек которого принадлежат изотропным прямым, назовем изотропным.

При построении некоторых разбиений плоскостей Я2, 82, Л2 ячейки разбиения удается объединить в так называемые мозаики [3]. В данной статье построим аналог мозаики в изотропном разбиении на плоскости Н. Потребуются следующие определения.

Валианой точки X плоскости Н назовем множество всех внутренних точек того угла между изотропными прямыми /1? 12 (X € /1? X € /2), который не содержит абсолютной линии. Дополнение вал паны точки X до Н назовем ковалианой точки X. Ковалиана точки X состоит из двух связных частей, ограниченных прямыми /1? /2 и лини ей 7, каждую из которых назовем полуковалианой точки X.

Пусть на Н каждые две из точек А, В, С общего положения принадлежат изотропной прямой, а К = ВС П 7. Совокупность двух отрезков АВ АС и двух лучей ВК7 СК назовем 3-контуром с одной бесконечно удаленной точкой, или кратко: 3-(1)-контуром.

Точку плоскости Н назовем внутренней относительно 3-(1)-контура Ь = АВКС, если она не принадлежит контуру и каждая проходящая через нее прямая пересекает расширение контура (множество Ь и К) не менее чем в двух точках.

Применяя метод, использованный в работе [4] при доказательстве теорем 1,2, несложно доказать следующие утверждения.

АВКС

К ВС В С

2. 3-(1)-контур является выпуклым.

В работе [4] исследованы свойства конечных замкнутых п-коптуров плоскости Н как упорядоченных совокупностей отрезков А1А27 А2А3,..., АП-1АП, АпА1 параболических прямых раз мерности п = 3,4. Показано, что конечные замкнутые 3-контуры не имеют внутренних точек, а простые 4-контуры имеют один независимый инвариант относительно фундаментальной группы С плоскости Н} обладают внутренностью и являются выпуклыми.

Теорема. На плоскости Н справедливы следующие утверждения:

1) любые два 3-(1)-контура С-эквивалентны,;

2) любые два конечных замкнутых 3-контура С-эквивалентны. Доказательство. Пусть У = АВКС, У = А'В'К'С' -3-(1)-

контуры с бесконечно удаленной точкой K, K' соответственно. Несобственные точки сторон ÁB7 AC (A'B ',A' C') обозначим соответственно Ai, A2 (A/i,A2). По основной теореме о проективных преобразованиях существует единственное проективное преобразование /плоскости P2, которое репер R0 = {Ai ,A2,A,K} переводит в репер R'0 = {Ai, A'2, A', K'}. Так как вершины реперов R0, RQ образуют автополярные трехвершинники второго порядка относительно абсолютной овальной линии y и единичные точки этих реперов принадлежат абсолютной липни, то в преобразовании / линия 7 является инвариантной. Следовательно, / - преобразование группы G. Реперы Ro, RQ однозначно и одинаково определяют 3-(1)-контуры Y, Y' и конечные замкнутые 3-контуры ABC A'B'C' соответственно. Поэтому преобразование / переводит контур Y в контур Y', контур ABC в контур A'B'C'.

Теорема доказана.

Далее под простым 4-контуром и 3-(1)-контуром будем понимать эти контуры с их внутренностями.

Каждый 3-(1)-контур можно бесконечным числом способов разбить заданным простым 4-контуром, например, отсекая от него заданный 4-контур, имеющий с ним общее конечное ребро. После отсечения получим вновь 3-(1)-контур, согласно доказанной теореме, равный данному. Неограниченно продолжая процесс, заполним данный 3-(1)-контур непересекающимися равными простыми 4-контурами.

Моноэдральное разбиение плоскости H (фигуры плоскости И) простым конечным замкнутым 4-копту ром назовем простым. 3-(1)-контур с заданным на нем простым разбиением назовем черепицей. Разбиение плоскости H заданной черепицей назовем черепичным.

Приведем пример черепичного разбиния плоскости H.

AB BC AC

несобственные точки обозначим Ki5 K2, ^соответственно. Пло скость H оказывается разбитой на 3-(1)-контуры CAKiB, ABK2C, BCK3A и

ABC

контуров. Пусть п одна из этих полуковалиан, например, AKiK3. На линии y выберем точку K так, чтобы пара точек K, K2 разделяла пару Ki, K3, т.е. так, чтобы точка пересечения прямых KK2, KiK3 была внутренней относительно y- Изотропная прямая k (K £ k) разбивает полуковалиану п ^а 3-(1)-контур AKiiKKi3 (Kii = k П AB, Ki3 = k П AC) и две полуковалианы точек Kii и Ki3, каждую из которых также можно разбить на 3-(1)-контур и две полуковалианы, не содержащие этот контур. Продолжая неограниченно таким образом

процесс, плоскость Н разобьем на 3-(1)-контуры. На каждом 3-(1)-контуре зададим определенным образом простое разбиение, превращая тем самым 3-(1)-контуры в равные черепицы. Черепичное разбиение^ построено.

Таким образом, черепица плоскости Н обладает следующими свойствами: является объединением непересекающихся равных простых 4-контуров; может служить разбивающим элементом плоскости Н. Следовательно, ее можно рассматривать как некоторый аналог мозаики в изотропном разбиении на плоскости Н.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М,: Гос. изд-во техи.-теор. лит., 1955. 744 е.

2. Винберг Э.Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 147-259.

3. Коксетер Г.С.М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М,: Наука, 1980. 240 с.

4. Ромакина Л.И. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 14-26.

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО КЛАССА ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В пространстве L2[0,1] рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов Ь(Х)7 порожденный однородным дифференциальным выражением n-ro порядка с постоянными коэффициентами:

£(y,X):= ^ pskXsy(k), psk е C, pon = 0, (1)

s+k=n

и линейно независимыми двухточечными нормированными краевыми условиями специальной структуры:

ЩуА) := Е AsaÍSky(k) (0) = 0, i = ТД

s+k=Ki0 _

Ui(y,X):= Е AsaiSky(k) (0)+ Е ^frsky(k)( 1) = 0,i = l + 1,n,

s+k<Kjo s+k<Xji