АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ НА ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ БИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОСТРУКТУР МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.967.23

А. С. Пензарь1, Ю. А. Еремин2

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ НА ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ БИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОСТРУКТУР МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ*

Рассматривается задача дифракции поля плоской электромагнитной волны на бесконечном плазменном наноцилиндре со структурой ядро-оболочка. Решение строится на основе вычислительной схемы метода Дискретных источников. При этом учитывается присутствие эффекта нелокальности как в ядре, так и оболочке цилиндра. В качестве дополнительных граничных условий на поверхности раздела двух металлов используются условия сопряжения с учетом плазмонных свойств материалов. Проводится численное исследование влияния эффекта нелокальности на оптические свойства цилиндрических частиц при их деформации.

Ключевые слова: метод дискретных источников, нанооптика, дифракция, эффект нелокальности.

1. Введение. Поверхностные плазмоны, которые являются следствием гибридизации между поверхностными зарядами и электромагнитными полями, инициировали появление предмета наноплазмоники. Локализованный поверхностный плазмонный резонанс — это коллективные колебания электронов проводимости на поверхности раздела плазмонных металлов при возбуждении падающим светом. Этот эффект позволяет получать сверхвысокое усиление поля и его концентрацию в объемах, на порядки превышающих рэлеевский предел разрешающей способности оптического оборудования. Кроме того, благодаря сильной зависимости полей плазмонных структур от размеров, формы и материала их компонентов, существует возможность гибко контролировать требуемое усиление поля. В результате имеем следующие практические приложения: наноразмерные фотонные схемы [1], оптические усилители [2], спектроскопия комбинационного рассеяния поверхности [3], биосенсорика [4] и др.

Металлические структуры привлекают все более пристальное внимание, благодаря совершенствованию технологии их синтеза, возникшей в конце XX в. [5]. Такие структуры обеспечивают большую гибкость в управлении плазмонным резонансом (ПР), а также в достижении желаемого усиления электромагнитных полей. Это происходит в результате появления дополнительных параметров по сравнению с однородными частицами. Действительно, в случае однородных частиц манипулирование положением ПР в частотной области и его амплитудой достигается за счет варьирования размеров, материала и формы частиц, в то время, как при использовании гибридных частиц появляется дополнительный слой, который существенно расширяет возможности управления. В частности, частицы типа ядро-оболочка, построенные из композитных наноматериалов, стали весьма востребованными для катализа [6], сенсоров [7], фотометрического усиления [8] и солнечных элементов [9].

Когда характерный размер металлических наночастиц становится сравнимым с длиной волны Ферми электронов в используемом металле нм для золота и серебра), возникает так называемая пространственная нелокальность металла [10]. В данной работе для описания нелокальных эффектов используется модель обобщенного нелокального оптического отклика (ОНОО) в рамках метода Дискретных источников (МДИ) [11,12]. Преимущество данной теории заключается в

1 Физический факультет МГУ, студ. магистратуры, e-mail: penzar.asl7Qphysics.msu.ru

2 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ereminQcs.msu.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект №20-01-00558.

том, что моделирование илазмониого затухания не зависит от геометрии частицы, что позволяет применять ее для частиц с разнообразными формами.

Метод Дискретных источников представляет собой строгий численно-аналитический метод. Он основан на представлении решений в виде конечной линейной комбинации полей распределенных мультиполей низшего порядка, удовлетворяющих полуклассическим уравнениям Максвелла, учитывающим наличие продольных полей внутри плазмонных металлов [11]. Таким образом, представления для решений во всех областях удовлетворяют системе уравнений Максвелла и условиям излучения на бесконечности. Соответствующие амплитуды дискретных источников (ДИ) определяются из условий сопряжения, поставленных на поверхностях раздела сред слоистой частицы, включая дополнительные граничные условия. Характерное свойство МДИ состоит в том, что он позволяет оценить реальную погрешность полученного решения посредством вычисления невязки полей на поверхностях раздела слоев. Эти особенности уже позволили использовать МДИ для анализа плазмонных наноструктур с учетом пространственной дисперсии в рамках модели ОНОО [11,12]. Существенное отличие данной работы заключается в том, что теперь и в ядре присутствует продольное поле, и на границе раздела двух плазмонных металлов возникают два дополнительных граничных условия вместо одного.

2. Задачи дифракции на плазмонных цилиндрах

2.1. Учет эффектов нелокальности. Суть пространственной дисперсии заключается в том, что связь между смещением Л(Ы) и электрическим полем Е(М) становится нелокальной:

П(М) = е(М)Е(М) ^ Л(М) = ! е(М - М')Е(М')йМ'.

Явление пространственной дисперсии также называют эффектом нелокальности, далее мы будем употреблять эти понятия, не делая между ними различия. Следствием эффекта нелокальности (ЭНЛ) является появление внутри металла продольных электромагнитных полей (гс^Еы = 0) за счет формирования объемного заряда, которые в случае биметаллической частицы могут возникать как внутри ядра, так и внутри оболочки. Таким образом, электрическое поле внутри металла перестает быть чисто поперечным (сЦуЕх = 0).

Для учета ЭНЛ введем Ех; — электрическое поле поперечных волн с соответствующим волновым числом кх¿и Еы; — поле продольных волн с волнов ым числом кьц г = 1, 2. Далее введем обозначения для экспериментально измеренной диэлектрической проницаемости металла ет; и вклада в диэлектрическую проницаемость от связанных электронов и ионов с учетом межзонных переходов е^. Связь между этими величинами определяется в соответствии с теорией Друде-Зоммерфельда оптических свойств металлов с учетом выбранной временной зависимости [13]:

1 1 -и2 + г^гш

где — плазмонная частота металла, ^г — частота столкновений электронов, ш — частота колебания электромагнитного поля.

Для продольных и поперечных волновых чисел справедливы следующие выражения:

кХ = к2еъ Цг, к% = еы,

где — величина, характеризующая пространственный масштаб ЭНЛ, в соответствии с ОНОО вычисляемая по следующей формуле [10]:

& = еы; (в2 + А(7г + гш))/(ш2 + гЪ и),

где Ог — коэффициент диффузии электронов, вг2 = З/Ьу"2^., — скорость Ферми.

2.2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу дифракции поля плоской электромагнитной волны на двухслойном (Б и Б2 — внутренний и внешний слой соответственно) бесконечном металлическом наноцилиндре в однородной изотропной среде Бо. Обозначим: {Ешс,Ншс} — поле падающей волны, {Е^— рассеянное поле в Бо, {Ео,;,Но,;} — полное поле в каждой из областей ъ = 1,2, Мо — материальные характеристики среды 1)о5 к = где А — длина волны внешнего возбуждения, ко = к^оМо — волновое число в среде Бо. Также предположим, что поверхности обоих слоев наночастицы дБ; С С2, г = 1,2, а поле падающей волны имеет

гармоническую зависимость от времени вида e

—iwt

Б2

:—

CL2

ai N. \

Ъ2

н

Рис. 1. Геометрия задачи

Запишем полную математическую постановку рассматриваемой задачи дифракции, воспользовавшись основным уравнением для напряженности электрического поля в плазмонной среде, условиями излучения и необходимыми граничными условиями [14]:

гоШ* (М) = гфТг ЕТг (М) + «е| graddivELг (М)], гоШо (М) = -гк^о Ео (М),

rotE, (M) = ik^ И, (M), Ei (M ) = ЕТг (M) + ELi (M), M G D,, i = 1, 2,

rotE0 (M) = ik^o H0 (M), E0 (M) = ES (M) + Einc (M), M G Do,

np x [E2(P) - ES(P)] = np x Einc(P), nP x [И2(P) - (P)] = nP x Hinc(P), np • £L2 E2 (P) = np • £oEo (P), P G dD2, np x [Ei (P) - E2(P)]=0, np x [Hi (P) - И2(P)] = 0, UF2 £L2div E2 = ^Lidiv Ei,

[ (l'Ot H2 + iüJS0£l2E2) • np] = [—^-(rot Hi + ÍüJ£q£LiEi) • Пр], P G <9БЬ

(1)

P2

P1

lim x - - v^H^M)] = г = |M| ^ 00.

r—^^o Г

Здесь np — внешняя единичная нормаль к поверхности dD,. В качестве внешнего возбуждения рассматривается плоская Р-поляризованная волна:

Einc(M) = (-еж sin ^0 + cos ^0)e—iko(x cos +y sin}, Hinc(M) = noe*e—iko(x cos +y sin, (2)

так как для S-поляризации эффекты нелокальности не возникают благодаря тому, что у вектора электрического поля только Е*-компонента является ненулевой, {ex, ey, ez} — базис декартовой системы координат, — угол падения плоской волны, n0 = £0Пусть Im , Im ^ 0, i = = 1, 2, и все среды являются немагнитными. Тогда будем полагать, что граничная задача дифракции (1) с внешним возбуждением (2) имеет единственное решение.

Задача дифракции на круговом цилиндре допускает аналитическое решение, тогда как задачу дифракции на эллиптическом цилиндре необходимо решать численно. В данной работе реализованы оба случая. Для начала аналитически построим решение задачи дифракции на круговом цилиндре, затем построим вычислительный алгоритм МДИ и сравним полученные результаты. Далее применим МДИ для решения задачи дифракции на эллиптическом цилиндре и проведем анализ влияния вытянутости частицы на поглощение энергии. В завершение работы проанализируем влияние пространственной дисперсии.

3. Построение решения задачи дифракции

3.1. Метод собственных функций и вычислительный алгоритм в локальном случае. Перейдем к задаче дифракции на круговом биметаллическом цилиндре плоской Р-поляризованной волны, распространяющейся вдоль оси х, где а^ и а\ — радиусы внешнего и внутреннего слоя соответственно. Перед тем как приступить к построению решения, выпишем векторные гармоники в цилиндрических координатах через которые легко выражаются

электрические и магнитные поля [15]:

М

-к2'п (кг)ё^ 0

N

0 0

kZn(kr)ёin^^

кЯп (кг)ё^' Г 0

где Zn(кг) — функция, являющаяся решением уравнения Бесселя.

Теперь разложим падающее электрическое поле по векторным гармоникам [16]:

Етс(М) = еу ё

— с _

АпМп + ВпN

где Zn = ,1п — цилиндрическая функция Бесселя 1-го рода порядка и, так как волна должна быть ограничена в точке г = 0. Для рассматриваемой поляризации

А — _4п

ко

Вп = 0.

Итак,

те

Вгпс = ±_ ^ емЦког), М1п(ког) = Ъх[еМког)ет^}.

п=-те

Представление для падающего магнитного поля имеет вид

н

1

г п=-те

^ 1пК(ког), ко^ = Ух М

Запишем внутреннее электрическое поле в оболочке А, учитывая, что в локальном случае продольных волн нет:

Е

Т2

г

кт2

-Е+ +Е-=— £ р+ГМ?(кТ2г) + — £ Ря1пмГ(кТ2г),

г

кт2

где Мп+ (кт2 г) = Ух [е* ИУа' (кт2 г)ёт% М2п (кт2 г) = Ух [е* ИУа' (кт2 г)ёт% Аналогично для магнитного поля:

г(2)

н

т2 = нт2

Н+ + н

т2

1 1

— ¿2 РрпК+(кТ2г) + — £ Р^п<~(кт2г),

ш^о

шцо

где

ко^тп+ = Ух Мп+, ко = Ух Мтп .

п=-те

те

п=-те

п=-те

Теперь запишем внутреннее электромагнитное поле внутри ядра Б (вместо комбинации функций Ханкеля первого и второго рода в и М" будет стоять функция Бесселя, так как требуется ограниченность в г = 0):

ЕТ1 = 7— Рг1пм1(кТ1г), ш1{кТ1г) = V х [еМкТ1г)е

кТ1___

НТ1 = — V Рггга^(А;Г1г), Ао^ = V х м!

^Мо _

Осталось записать искомое рассеянное электромагнитное поле снаружи цилиндра:

Е5

^ X] РегпМ^(к0г), М^к0г) = V х [е,я(1)(А:ог)ет^],

=- V реГ^(ког), ко^п = V х М^.

Теперь запишем систему уравнений, используя граничные условия:

^ЕТ1 (Й1Й1) -Е+ (^201) -Е-2 (Й2«1)

НТ1 (к101) -Н+ (^201) -Н-2 (^201)

0 Е+ (к202) Е-2 (к202)

\ 0 Н+ (^202) Н-2 (^202)

\

-Е5 (ко«2) -Н5 (коЙ2)У

/Рг \

Ы/

/

0 0

\

Егпс(ко02) УНгпс(коа2)У

(3)

причем от электрического поля берется лишь ^-компонента, а от магнитного ¿-компонента. Решая систему (3) для каждой п-й гармоники (это возможно, так как система {ет^} ортогональна), находим явное выражение для ре:

_ 64 — 63 • С _ 043(022^11 — 021^12) + 042(021^13 — огзоц)

Ре — -^ —

044 — 034 • С'

0зз(022011 - 021012) + 032(021013 - 0230ц) '

где 0^ и Ьг — компоненты матрицы левой части и вектора правой части соответственно. Далее считаем полное сечение рассеяния и полное сечение экстинкции, используя следующие формулы

М:

2 те 2 те аехг = ~^лк~ Е (2п + 1)Де(ре), (2п + 1)\'Ре

га=—те га=—те

(4)

3.2. Метод собственных функций и вычислительный алгоритм в нелокальном случае. Запишем электрическое поле продольных волн внутри ядра

Еь1

£ г"^1 (£¿1 г), Ь^1 (£¿1 г) = У[7„(ЛЬ1 г)егга^],

(5)

и в оболочке ^2:

ЕЬ2 = Е+ + Е

те . те

2 «,=—те 2 «,=—те

В области Б2

в 2 и Ьга2 вместо функции Бесселя (5) присутствуют функции Ханкеля 2-го и 1-го рода соответственно, как и в локальном случае.

Используя новые граничные условия, запишем полную систему уравнений:

0 0

Е^с (ко а2) Нпс(ко а2) 0 0

\рЬ1/ \еоЕтс(коа2))

/рА

Р+

Р-

А ■ Ре =

Р-2

Р-2

(6)

/ЕТ1 (кхах)

НГ1 (к1а1) 0 0 0

—Вт1 \ 0

-Е+2 (к2а,1) -Н+2 (к2а1) Е+2 (к2а2) Н+2 (к2а2) 0

ВТ

еЬ2 Е+2 (к2а2)

—Е-2 (к2а1) Н-2 (к2а1) Е-2 (к2а2) —2

Н-2 (к2а2)

0

В

т2

е^2 Е—2 (к2а2)

0 0

—Ей (ко а2) —Н5 (ко а2) 0 0

—еоЕй (коа2)

—Е

Е+

Ь2 (к2а1) 0

^ (к2а1) 0

А+

+2

В+

Ь2

еь2 Е+2

—Е

Е

Ь2 (к2а1) 0

^ (к2а1) 0 А—

Ь2

е^2 Е — 2 (к^2 а2 )

(к^2 а2

Решая систему (6), находим явное выражение для ре в нелокальном случае:

Еь1 (к^Д 0 0 0

—АЬ1 —В\

Ре =

аз2 — а72 ■ С

Вб(аз2 — а72 ■ С)

аз2 — а72 ■ С

Ьз — Ь7 ■ С Ъ4(аз2 — а72 ■ С) — аю(Ьз — Ь7 ■ С) азз — а7з • С

+ 07-04 Н---;-—- • {£>2--Я 1 ^

с . (аз4 — а74 ' С) 0 . В6 ,-п азз — а7з ' С г, л

Вз + 7-ТТГ-О! + ъ-^2--

(аз2 — а72 ■ С) В5 аз2 — а72 ■ С

А.

В1 = а22 — В2 = а2з —

С =

а72

а35 • к + азб

а7б + а75 ■ к'

к=

067^56 — О 66^57 а65а57 — а67а55

а21 а17 а17 а12а21

-;-:---(а!5 • к + оцб--а56--а55 • к)--.

а7б + а75 • к ац а57 а57 ац

а7з а21 а17 а17 а1за21

---:---(а!5 • к + а!б--а56--а55 • к)--.

а7б + а75 • к ац а57 а57 ац

Вз =

"77 , • ^(а15 • Л + а16 - ^а56 - ^а55 -к), В4 = В3/а77,

а7б + а75 ■ к ац а57 а57

В5 = а4з — а42 ■

озз — 073 • С аз2 — а72 • С'

Вб = а44 — а42 ■

аз4 — а74 ■ С аз2 — а72 • С'

где а^ и Ь — компоненты матрицы левой части и вектора правой части соответственно. По аналогии с локальным случаем считаем по записанным выше формулам (4) сечения рассеяния и экстинкции, так как поле во внешней области не меняется.

3.3. Метод дискретных источников. Рассмотрим задачу дифракции плоской электромагнитной волны на биметаллическом эллиптическом цилиндре. Будем строить представление для полей вне и внутри рассеивателя на основе вычислительной схемы метода дискретных источников [18]. В рамках данного подхода решение поставленной задачи дифракции строится как суперпозиция полей электрических и магнитных ДИ, которые являются аналитическими решениями системы уравнений Максвелла. В каждой из областей г = 1, 2, выбираются различные ДИ, вид которых определяется на основе решений соответствующих уравнений Гельмгольца: цилиндрической функции Бесселя ^э(') в ядре частицы, комбинации функций Ханкеля первого и второго рода Н(1)(-) и Н((2) (■) в оболочке частицы и функции Ханкеля первого рода (■) снаружи частицы. Расположим дискретные источники {Мп} на вспомогательной поверхности внутри цилиндра так, чтобы фокусы эллипса находились внутри этой поверхности:

хп = 0.5 • (&1 + \Jh\- а2г) сое (рп, уп = 0.5 • оц эт (рп, гп = О,

<Рп =

2пи А

0

Таким образом, записываем представления полей с помощью системы ДИ: N N

Е

п=1

Е

«,=1 «,=1 1 N N

N1 = Е Р^(е* ^ас1(7о (£¿1 ДММ„ ))) , EN = Е яо1)(кеймм„ ))) ,

п=1

N 1

п=1

N _

Е?2+ = Е Рп+ («*(е* Я(2)(кТ2 Лмм„ ))), Е^2_ = Е р^ (го^ Я(1) (^ Лмм„)) "=1 "=1

N + N _

= ЕР"2 (е^^ас1(яо2)(£¿2^мм„))), = ЕР"2 (е^^аё(Я,(1)(^ймм„))

(7)

N

п=1

Н

N + 1

Е^2 (^Гг0(кт2Еммп))

П=1

Н

п=1

N

Е^2 (^ыШ^егН^(кт2Кммп))

п=1

где Иммп = \/{х - хп)2 + (у - уп)2.

Также целесообразно ввести следующие потенциалы:

N + N _

Ф^ (дмм„) = Е Р^2 Яо2) (£¿2 Лмм„), Ф^ (дмм„) = Е Р^ Яо1) (£¿2 Лмм„),

п=1

п=1

N

ф£1 (ймм„) = Е Р^1 Дмм„).

п=1

Данные представления полей (7) удовлетворяют уравнениям Максвелла и условиям излучения

поставленной задачи дифракции. Неизвестные амплитуды ДИ {р"1 , р"2 , р"2 ,рП,р^2 , р^2 , р^1} определяются с помощью метода коллокаций из условий сопряжения как на поверхности частицы, так и на границе металл-металл между ядром и оболочкой, записанных в следующем виде:

(ЕЙ (Р2) + Е£ (Р12)) ■ ^2 = (EN(Р12) + Егпс(Р12)) ■ ^2, Н$, (Р12) ■ е^ = (HN(Р12) + Нгпс(Р12)) ■ е^, £¿2 (Е$, (Р12 ) + EN2 (Р12 )) ■ П2 = ^ (Р2 ) + ЕгПС(Р12 )) ' "2, (Е51 (^) + е£(^)) ■ tl = (Е$(^) + Е£№1)) • tl,

(8)

(Н^1 (^11) + Н&(^)) ■ ег = (Н&(^) + Н& (^)) • ег, ^ £¿2 ^ (*£+ (р11) + ф£_ (р11 )) = ^ £¿1 1 (Р11),

Р2

(£Т2 - £¿2)Е^2 (Р11) - £¿2Е£2 (Р11Л ■ П1

ш.

Р1

(£Т1 - £¿1 )Е£ (Р11) - £¿1 Е£ (Р11Я • П1

где П; и ^ — векторы нормали и касательной к поверхности цилиндра дБ; соответственно, {Р^} точки коллокации, расположенные на поверхности цилиндра дБ;:

2п1

^ = Ьг сов^г, ук = сцепку, ^ =0, ^ = —.

1

Получившаяся система .линейных алгебраических уравнений (8) выбирается переопределенной: число точек коллокаций Ь больше точек источников N. Амплитуды ДИ определяются методами минимизации невязки в норме Ь2 как псевдорешение данной системы. Определим диаграмму рассеяния с помощью следующей формулы [19]:

en (M )

—iker

= F(P)

1

|Emc(M)|

Используя асимптотику функции Ханкеля [20], получим

ПГ 7Г N

F{ip) = J — exp(-'i-) Pn • exP(ike(Xn COS LP + yn sin Lp)).

e n=1

Нам понадобится сечение рассеяния, которое представляет собой суммарную интенсивность рассеянного поля:

@sca = / |F(^)|2dQ.

Jn

Также определим сечение экетинкции, определяющее количество потерянной энергии плоской волной при дифракции, с помощью следующей формулы [21|:

аетЛ = —2у — (ЯоР(п - Lpo) - 1т^(7г -

4. Результаты моделирования. В качестве материалов будем брать серебро и золото. Выпишем все используемые параметры, где 1 серебро, 2 золото:

ПшР1 = 8.99 эВ, ир = 1.39 • 106 м с-1, А = 9.62 • 10-4 м2с-1, ^ = 0.025 эВ,

ПшР2 = 9.02 эВ, uf2 = 1.39 • 10е мс—1\ D2 = 8.62 • 10

4

м2сhj2 = 0.071 эВ.

Данные величины взяты из работы [22]. Показатели преломления серебра и золота с учетом частотной дисперсии, щ и П2 соответственно, определим с помощью работы [23]. Количество гармоник для аналитического решения выберем равным М = 5, так как 62 <С А. Количество точек ДИ и точек коллокации выбиралось равным N = 50 и Ь = 80 соответственно.

a2 = 6 nm, a1 = 3 nm, Ф0=0

a2 = 6 nm, ai = 3 nm, Ф0=0

300

320

340 360 A, [nm]

О 1 x 2 О 3

x 4

---6

380

400

О 1

x 2

О 3

х 4

---6

300 350 400 450 500 550 600 A, [nm]

5

Рис. 2. Сравнение полных сечений экстинкции аехЛ для кругового цилиндра с радиусами ядра ах = 3 нм и оболочки а2 = 6 нм. Численная схема МДИ: 1,3 — ОНОО и 2, 4 — локальное приближение. Аналитическое решение методом собственных функций: 5, 7 ОНОО и 6, 8 локальное приближение: а кривые 1, 2, 5, 6 соответствуют конфигурации Au-Ag, кривые 3, 4, 7, 8 Ag: б кривые 1, 2, 5, 6 соответствуют конфигурации Ag-Au, кривые 3, 4, 7, 8 Аи

На рис. 2 приведено сравнение двух предложенных подходов на примере полного сечения экстинкции. Графики, представленные сплошными линиями, получены с помощью аналитического

a. = 5 nm, a2 = 10 nm, Au-Ag

a. = 5 nm, a2 = 10 nm, Ag-Au

300

320

340 360 A, nm

380

400

20

15

-1

---2 E

-3 J!

---4

-5 (1) b

---6

---4

---6

600

Рис. 3. Полные сечения экстинкции. рассчитанные методом Дискретных источников для двухслойного цилиндра с эллиптическим сечением для конфигураций Au-Ag (о) и Ag-Au (б); 1. 2 ОНОО и локальное приближение для кругового цилиндра: 3. 4 ОНОО и локальное приближение для эллиптического цилиндра с коэффициентом вытянутости г = 1.5 при угле падепия <^>0 = 0; 5, 6 — ОНОО и локальное приближение для эллиптического цилиндра с коэффициентом вытянутости г = 1.5 при угле падения <^>о = п/2; г = 6/0

решения методом собственных функций. Также на графиках нанесены точки, соответствующие результатам, полученным но вычислительной схеме МДИ и демонстрирующим хорошую степень точности предложенной модели. Данный рисунок демонстрирует, что учет эффекта нелокальности оказывает значительное влияние на интенсивность рассеяния и некоторое влияние на положение максимума плазмонного резонанса. На рис. 2,а показано, что при добавлении золотого ядра к однородной серебряной частице интенсивность уменьшается, а ник резонанса смещается в коротковолновую область. Таким образом, возможно менять положение пика резонанса с помощью изменения конфигурации частицы. Из рис. 2,6 видно, при добавлении серебряного ядра к золотому однородному цилиндру начинает появляться небольшой пик в районе 340 нм, характерный для серебряной частицы.

Рисунок 3 наглядно показывает влияние вытянутости частицы на спектральные характеристики рассеяния: при падении волны вдоль большей оси и увеличении вытянутости частицы пик резонанса смещается в коротковолновую область, а амплитуда резонанса уменьшается. При падении волны вдоль малой оси, наоборот, пик сдвигается в длинноволновую область, а амплитуда увеличивается. Также все графики демонстрируют, что в нелокальном случае амплитуда резонанса меньше, чем в локальном случае.

5. Заключение. Для анализа рассеяния электромагнитных волн на плазмонном двухслойном эллиптическом наноцилиндре была предложена вычислительная схема на основе МДИ, учитывающая эффект нелокальности, присутствующий в обоих слоях цилиндра, в рамках теории обобщенного нелокального оптического отклика. Тестирование разработанного алгоритма проведено с помощью сравнения полученных с помощью МДИ результатов с аналитическим решением, полученным методом собственных функций для цилиндра с круговым сечением. Установлено, что учет ЭНЛ приводит к снижению амплитуды плазмонного резонанса. Показано, что при деформации сжатия частицы происходит смещение положение пика плазмонного резонанса в длинноволновую область спектра и рост его интенсивности, в то время как при деформации растяжения пик плазмонного резонанса смещается в коротковолновую область, и его интенсивность уменьшается. Таким образом, получены результаты, демонстрирующие важность учета вклада ЭНЛ в спектральные характеристики рассеяния наночастиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Stock rii a n M.I. Nanoplasnionic sensing and detection // Science. 2015. 348. P. 287 288.

2. О n 11 о n R. F.. S о r g e г V. J.. Zcntgraf Т.. et al. Plasmon lasers at deep subwavelength scale //

Nature. 2009. 461. P. 629 632.

3. Ding S.Y., Yi J., Li J.F., et al. Nanostructure-based plasmon-enhanced Raman spectroscopy for surface analysis materials // Nat. Rev. Mater. 2016. 16021. P. 1-16.

4. Jeong Y., К о ok Y.-M., Lee К., К о lib W. G. Metal enhanced fluorescence (MEF) for biosensors: General approaches and a review of recent developments // Biosensors and Bioelectronics. 2018. 111. P. 102-116.

5. Oldenburg S.J., Averitt R.D., Westcott S.L., Halas N. J. Nanoengineering of optical resonances // Chem. Phys. Lett. 1998. 288. P. 243-247.

6. Gawande M. В., Goswami A., A s e f а Т., et al. Core-shell nanoparticles: synthesis and applications in catalysis and electrocatalysis // Chemic. Soc. Rev. 2015. 44. P. 7540-7590.

7. Frost R., Wad ell C., He 11 man A., et al. Core-shell nanoplasmonic sensing for characterization of biocorona formation and nanoparticle surface interactions // ACS Sensors. 2016. 1. N 6. P. 798-806.

8. Phan A.D., Nga D.T., Viet N. A. Theoretical model for plasmonic photothermal response of gold nanostructures solutions // Opt. Commun. 2018. 410. P. 108-111.

9. Zhang W., S a 1 i b a M., Stranks S. D., et al. Enhancement of perovskite-based solar cells employing core-shell metal nanoparticles // Nano Lett. 2013. 13. N 9. P. 4505-4510.

10. R a z a S., Bozhevolnyi S.I., W u b s M., M о r t e n s e n N. A. Nonlocal optical response in metallic nanostructures. Topical Review //J. Phys. Condens. Matter. 2015. 27. N 18. P. 1-19.

11. Eremin Yu., Doicu A., Wreidt T. Numerical method for analyzing the near-field enhancement of nonspherical dielectric-core metallic-shell particles accounting for the nonlocal dispersion // Opt. Soc. Am. A. 2020. 37. N 7. P. 1135-1142.

12. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Квазиклассические модели квантовой наноплазмоники на основе метода Дискретных источников // ЖВМиМФ. 2021. 61. № 4. С. 34-62.

13. Климов В.В. Наноплазмоника. М.: Физматлит, 2009.

14. В о а г d m a n A. D., R u р р i n R. The boundary conditions between spatially dispersive media // Surface Science. 1981. 112. N 1-2. P. 153-167.

15. Dong Т., Shi Y., Liu H., et al. Optical response of cylindrical multilayers in the context of hydrodynamic convection-diffusion model //J. Appl. Physics. 2016. 120. N 12.

16. R a z a S. Plasmonic Nanostructures — A Hydrodynamic Approach: MSc Thesis. Technical University of Denmark (DTU Fotonik), 2011.

17. H и 1 s t H. Light Scattering by Small Particles. Garden City: Dover Publications, Inc., 1981.

18. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Анализ влияния эффекта нелокальности на рассеивающие свойства плазмонного наноцилиндра методом дискретных источников // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2016. № 5. С. 31-36.

19. Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. Wiley, 1983.

20. К о r n А., К о r n M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw-Hill, 1961.

21. Boy a L. J., Murray R. The optical theorem in N dimensions// Amer. Phys. Soc. 1994. 50. N 5. P. 4397-4399.

22. W u b s M., M о r t e n s e n N. A. Nonlocal Response in Plasmonic Nanostructures. Springer, 2017.

23. Johnson P. В., Christy R. W. Optical constants of the noble metals// Phys. Rev. 1972. 6. N 12. P. 4370-4379.

Поступила в редакцию 03.12.2021 Одобрена после рецензирования 20.12.2021 Принята к публикации 24.12.2021