Анализ влияния перекосов подвижных элементов на параметры ред Текст научной статьи по специальности «Физика»

Медведева С.Н., Чернецов М.В.

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕКОСОВ ПОДВИЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПАРАМЕТРЫ РЕД

В настоящей работе ставятся и решаются две параллельные задачи:

- определение требований к точности выполнения элементов конструкции РЕД ;

- выбор адекватного математического аппарата для описания физических процессов в РЕД.

Задачу анализа решим на основе использования классического для электростатики уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат [1]

1 В . др. 1 В2р В2р _

-----(г—) + ---у + —Ьт = 0,

г дг Зг г да дг

(1)

где р - потенциал поля; г,а,г - координаты.

Рассмотрим проблему учета перекоса пластин конденсатора, решив задачу оценки емкости между двумя пластинами, образующими двугранный угол ОС (рис.1). Допустим, что потенциалы пластин соответственно равны р =0 и р = и .

С учетом конструктивных особенностей РЕД в сечении параллельном плоскости х0 и, будем иметь картину изображенную на рис.2, где Ь - исходное начальное расстояние между РЭ и ПЭ; 1 - длина подвижного элемента на оси г, точка 0 соответствует ЦЭС.

Так как предполагается, что в пространстве между пластинами отсутствуют свободные заряды, то поле описывается уравнением Лапласа (1). Потенциал р зависит только от угла а и из условий симметрии не зависит от координаты 2 и радиуса г. Следовательно,

: 0.

Согласно этому уравнению общее решение

За

р = Сіа + С2.

(2)

(3)

Рис.1. Расположение пластин в цилиндрической системе координат.

По условию, при сс = 0; $>=<^=0, и при сс = дс ,

р = р = и , следовательно:

С 2 = 0, Сі

У_

а’

V

(р = —а.

а

Напряженность поля имеет только одну а-ю составляющую

В„

сІ(р С[ V

-'а ' 7 — — ~ '

га ос г осг

Из последнего выражения можно определить плотность заряда на пластинах

Б = єє0Е =

_К_

- ,2

Для определения значения искомой емкости вычислим заряд:

т/ г0 +1/2 і к тл

0=££»1 С

а г * а

г0-1/ 2 0

і +1/2

,~1/2

(4)

(5)

(6)

где Ь - ширина пластины по оси г (ширина ПЭ).

Если принять обозначение г§-$шсс = Ь, то, опираясь на определение электрической емкости, получим

\ + (1/2Ьу$та

V ""¿Г111

£ = ££оА]п

1-(//26)-эта

(8)

Близкий к представленному результат получается при использовании так называемого метода средних потенциалов [2,3] . Для расчета емкости конденсатора, образованного ПЭ и РЭ, разобьем условно плоскость РЭ вдоль продольной оси на бесконечно малые участки длиной <$х . В результате емкость между РЭ и ПЭ можно рассматривать как состоящую из плоских элементарных конденсаторов

ас-.

££01гс}х Ь +х- tgd5

(9)

где, очевидно, Проинтегрировав

/ . / „ —сое а,—со^а .2 2 .

х , получим

(см.рис.2)

с„

- ее0 Н

<1х

//2 сое а

Г

-1/2 со$а Ъ + хШа ШМ

££о^1п

+ м 1 _ <3- | г~- вт а

1 м 1 о 1

вт а

(10)

Если учесть, что при малых а (10) практически совпадают. Из получить зависимость Са в асимптотическом виде

имеет место приближенное равенство а«tgа, то результаты (8) и полученных формул, используя разложение в ряд Тейлора, можно

С„

ее0 Н1

Ь

, 1а ( 4Ь а

1-----1 + —а-----------

4ЬI 31 3

Соответствующее относительное изменение емкости будет описываться выражением

8„ =

АС

С

1а (, 4Ьа

— 1 +------

4ЬI 31

(11)

(12)

Как следует из Например, при I = 10

(12), при мм, Ь = 1

перекосах

4о

емкость

С„

претерпевает незначительные изменения.

мм и а

С составляет 17,5%, но по мере уменьшения Ь

зариация сс

чувствительность существенно возрастает. Отмеченный факт можно целенаправленно использовать при построении датчиков малых перемещений.

Следует обратить внимание на адекватность использованных методов анализа. Формула (8) опирается на классическую электростатику и предполагает, что все точки поверхности каждого тела (пластин) имеют одинаковый потенциал, а поверхностная плотность зарядов в общем случае изменяется от точки к точке. Метод средних потенциалов, использованный при выводе формулы (10), является приближенным. "В основу его положено заведомо неправильное предположение, что на поверхности каждого тела заряды распределены с одинаковой плотностью, а различные точки одного и того же проводящего тела имеют неодинаковые потенциалы" [1, стр.581]. С точки зрения реальных физических

процессов, происходящих в РЕД, оба метода хорошо описывают процессы в статике, но имеют серьезные ограничения по точности описания при РЕД в динамическом режиме. В последнем случае следует учесть протекание зарядов по поверхности РЭ и для расчетов следует использовать методы электродинамики, которые, однако, более сложны, громоздки и неудобны для практического применения.

В качестве выхода из изложенной ситуации автором предлагается использовать графоаналитические методы анализа, позволяющие: 1) имитировать участки измерительных цепей датчиков с

распределенными емкостными параметрами рядом Т-образных резистивно-емкостных схем замещения; 2) осуществлять предельный переход к простым схемам замещения с сосредоточенными параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белевцев А.Т. Потенциометры. - М.: Машиностроение, 1969. - 328 с.

2. Андреев А.Н., Чернецов М.В., Чернецов В.И. Преобразователь перемещений в напряжение для бесконтактных потенциометрических датчиков // Датчики систем измерения, контроля и управления: Сб. научн. тр.- Пенза: Изд-во ПГТУ, 1996. С. 95-106.

3. Чураков П.П. Синтез и обработка сигналов в устройствах измерения параметров электрических цепей. Дис....докт. техн. наук. - Пенза, 1998. - 448 с.

х е