CC BY
45
82 Проблематика транспортных систем
компонентов воды способствует уменьшению прочности фундаментов на 5-7% в течение 2-3 лет.
Библиографический список
1. Караулов Е. В. Каменные конструкции. Их развитие и сохранение. - М., 1966. - 240 с.
2. Дашко Р. Э. Анализ и оценка геоэкологического состояния подземного пространства Санкт-Петербурга // В сб: Сергеевские чтения. - М.: ГЕОС, 2001. - Вып. 3. -С. 72-78.
УДК 539.3
М. Д. Креминская
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ФОРМЫ ЯДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ВЫРОЖДЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются дифференциальные уравнения, которые могут быть сведены к уравнению Вольтера второго рода с ядром дифференциального уравнения и вырожденным ядром.
Приводится анализ применения квадратурных методов решения уравнений Вольтера, построенных на совместном применении замкнутых формул и формул операторного типа.
Приводятся аппроксимации невырожденного ядра исходного уравнения.
Приведенные решения совпадают с решениями по прямому методу граничных интегральных уравнений.
уравнение Вольтера, ядро дифференциального уравнения, ядро интегрального уравнения, матрица-функция, аппроксимации.
Введение
Наша цель - представить деформируемые модели в виртуальных окружениях. В современном математическом моделировании это обычно делается с помощью различных дискретных методов.
В динамике сплошных сред существует необходимость моделирования различного рода сингулярностей. Здесь к трудностям задач динамики добавляются трудности учета нерегулярностей. Известно, что метод конечных элементов неэффективен в случае удлинения областей вследствие невозможности описания с необходимой точностью поведения модели при дискретизации как для двумерных, так и для трехмерных линейно-упругих задач и задач теории потенциала.
2006/3
Proceedings of Petersburg Transport University
Проблематика транспортных систем
83
Интегральные уравнения теории потенциала вывел Георг Грин [1]. Метод интегральных граничных уравнений был существенно развит Фредгольмом [2], который доказал существование решения уравнения с помощью предельной дискретизации. Фредгольм использовал метод потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения задачи теории упругости однородных тел, когда на границе тела заданы смещения. Современные возможности численной реализации позволили улучшить постановку задач, связанных как с уравнениями Фредгольма первого и второго рода, так и с интегральными уравнениями нефредгольмовского типа.
В конце 70-х - начале 80-х годов численные методы решения граничных интегральных уравнений теории упругости получили существенное развитие и стали успешно конкурировать с методами конечных элементов и конечно-разностными методами, а при решении многих пространственных задач, например для тел с концентраторами напряжений (угловыми точками, ребрами, вырезами и трещинами), оказались эффективнее. Это касается также ряда задач, сводящихся к решению уравнений Гельмгольца, Пуассона, Лапласа.
Методы интегральных уравнений рассматривались до последнего времени как некий тип аналитического метода, не связанный непосредственно с приближенными методами. В формулировке Бреббия выявилась связь конечных и элементов и граничных интегральных уравнений [3].
В статье описаны некоторые особенности и аппроксимации, имеющие значение при машинной реализации смешанных методов (граничных интегральных уравнений и вырожденных граничных интегральных уравнений).
1 Постановка задачи
При решении задач механики деформируемых систем используются дифференциальные уравнения.
Рассмотрим уравнение вида
Представленное уравнение может быть сведено к уравнению Вольтера
d2 у
dx2
при начальных условиях
у(0) = Со, /(0) = Ci.
второго рода
j(=) J K (x, X)jXd x + f * (x),
x0
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2006/3
84
Проблематика транспортных систем
где функция
dx2 ’
ядро дифференциального уравнения
K (x, Х)= -(a1( x) + a2( x)(x -X));
свободный член предстает в виде
f * (x) = f (x) - C^( x) - C2 xa2( x) - C0a2( x).
2 Анализ решений поставленной задачи
В достаточно общем случае линейное интегральное уравнение может быть записано как
g (x) y (x) - K (x, X) y (x )d X = f (x), xeQ,
где K(x, X) - ядро интегрального уравнения;
f(x) - правая часть уравнения с областью определения Q ;
X - параметр уравнения, часто полагаемый равным ±1; y(X) - искомая функция с областью определения Q, переменной или постоянной.
В первом случае имеет место уравнение Вольтера, во втором - уравнение Фредгольма.
Функции K(x, X), f(x) g(x), параметр X и области Q и Q считаются заданными, а уравнение y(X) - искомой.
При g(x) = 0 исходное уравнение есть уравнение первого рода вида
\ K(^ Х)У (X)dX = f (x), x eQ,
W
и для уравнения Вольтера Q = Q, а для уравнения Фредгольма Q Ф Q.
Если g(x) Ф 0, то исходное уравнение допускает деление на g(x), так что можно рассматривать уравнение вида
y(x) -1[K(x,X)У(x)dX = f (x), f eW.
W
Последнее уравнение есть уравнение Фредгольма или Вольтера второго рода.
Если
g(x) ° l, f(x) ° 0,
2006/3
Proceedings of Petersburg Transport University
85
Проблематика транспортных систем то будем иметь
y (х) -lj K (х, X) y (x)d X = 0, x eQ .
Q
Такое однородное уравнение используется для постановки и решения задач по отысканию собственных значений и собственных функций.
Для системы линейных интегральных уравнений будем иметь
П
gi(x)yt(х)-1Z{Kij(х,s)yj(s)ds = f(x)’ (x = Qii = 1 П).
J =1 Q
При этом y(s), f(x), £(х) - векторные функции;
К (х, s) - матрица-функция.
3 Анализ выбора аппроксимации
3.1 Ядро дифференциального уравнения невырожденное
При численном решении интегральных уравнений входящие в них интегралы заменяются конечными суммами.
Метод квадратур (конечных сумм) состоит в непосредственном использовании расчетных выражений, полученных путем замены интегральных операторов конечными суммами на основе применения различных квадратурных формул. Имеет место большое количество квадратурных формул. К ним относятся: формула прямоугольника, общая формула трапеций, общая формула Симпсона, формула Гаусса, формула Чебышева и др.
При решении интегральных уравнений с помощью ЭВМ находят применение формулы прямоугольника и трапеций, являющиеся формулами замкнутого типа. Ряд квадратурных методов решения уравнений Воль-терра построен на совместном применении замкнутых формул и формул операторного типа. Первые применяются при вычислении на малых промежутках.
Выбор квадратурных формул при решении уравнений должен зависеть как от свойств ядра уравнения, так от характера искомого решения. Это порождает большое число подходов и способов применения метода квадратур.
Рассмотрим интегральные уравнения Фредгольма второго рода
b
y (х) -1[ K (х, X) y (х )d X = f (x)
a
и воспользуемся какой-либо формулой численного интегрирования. Отбрасывая погрешности Rn и полагая последовательно х = х^ получим:
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2006/3
86
Проблематика транспортных систем
y(xw-l£hiK(Xf),xj'^yiXf) = fix?>), hi = x,-xM.
, =1
Приведенные равенства представляют собой систему n линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных y(x,n>), т. е.
У, - 1Ё AK(x(п>,x(n% = f; f= f (x(n>).
j=1
Для решения последних уравнений могут быть применены стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Матрица системы уравнений не обязательно должна быть симметричной.
Решение систем уравнений с симметричной матрицей в ряде случаев предпочтительней решения уравнения с несимметричной матрицей. Здесь шире класс точных и итерационных методов, которые могут быть применены для решения таких систем.
Система с несимметричной матрицей может быть преобразована к виду с симметричной матрицей. Для этого умножим i-е уравнение рассматриваемой системы на А,. Будем иметь
Ay-1± A,AjK (Jn >, x? >) yj = Cf.
j=1
В такой системе матрица симметрична.
Другой прием симметризации состоит в следующем. Умножим i-е
уравнение рассматриваемой системы на ^/A~ и положим
лДУ, = z,.
Тогда получим систему
j=1
Для этой системы при А, > 0 разброс собственных значений матрицы меньше, чем матрицы предыдущей системы.
3.2 Ядро дифференциального уравнения вырожденное
В случае вырожденного ядра в интегральном уравнении возможно применение метода, приводящего решение к конечному виду. Для этого приближенное решение может быть найдено путем замены ядра K(x, ^) на близкое вырожденное ядро K(x, ^):
2006/3
Proceedings of Petersburg Transport University
Проблематика транспортных систем
87
К (*, X) =Е“/ (* )Р,- (X),
J =1
где ai(x),..., aq(*) Р^),..., Pq(^) - линейно независимые функции.
Тогда решение, к примеру, интегрального уравнения второго рода с постоянными пределами интегрирования близко к решению уравнения вида
b
У(*) - XJ К(x, x) y(x)d (x) =ЙХ
или
г 4
У(*) = f(*) + afVa j(*)b j(x) у(x)d x.
J z—i j
j=1
Вводя обозначение
b
Aj = Jb j (X) У (X)d X,
a
получим
q
у(*) = f (*)+aZ Aj a(*) •
j=1
Подставляя последнюю зависимость в исследуемое уравнение, будем иметь
aZ a a(*) - 1J Ai a(*) -1J Z a(*)b (X)(f (X)+aZ A aj(X))d X =0 •
i=1 a = a i 1 = J 1
Полученное уравнение можно представить как
q
Z Bi ai(*)=0,
i=1
где
B = A
J b (X) f (X)dX - 1Z Aj J bi (X)a j (X)dX
a J =1 a
Вследствие линейной независимости функций ai(*) нужно положить Bt = 0.
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2006/3
88
Проблематика транспортных систем
Тогда
где
A -i£pa = (b, f),
j=1
b
(P,, f) Jp, (X) f (X)d X.
a
После решения последней системы будем иметь
q
У(x) » f (x) + ^Х Ajaj(x)-
j=1
3.3 Замена ядра дифференциального уравнения на вырожденное
Если ядро исходного уравнения не является вырожденным, но может быть заменено им с определенной степенью точности, то возможно получение приближенного решения, которое будет содержать погрешность, вызванную аппроксимацией ядра.
Применительно к задачам механики стержней, пластин и оболочек такие решения строились Д. Д. Работяговым [4] и др.
Так, для пластины, у которой края x = 0 и x = l шарнирно оперты, а два других края - произвольно закреплены, изогнутая поверхность может быть представлена в виде ординарного синусоидального ряда. Зная выражение для прогибов, можно по известным формулам получить все компоненты напряженного состояния пластины в любых ее сечениях. Такие решения более предпочтительны, чем решения в виде двойных рядов. Это связано с тем, что полученные решения могут удовлетворять более общим граничным условиям. При определении внутренних усилий в пластинах одинарные ряды сходятся значительно быстрее, чем двойные.
В случае прямоугольной плиты на упругом основании, шарнирно опертой по двум продольным краям, за функцию поперечного распределения прогиба может быть принята синусоидальная функция. В силу ортогональности функций и их производных все побочные коэффициенты системы дифференциальных уравнений, имеющие непарные индексы, обращаются в нуль. В соответствии с этим система распадается на отдельные независимые уравнения для каждого номера n разложения.
Решение исследуемого уравнения может быть представлено в следующем виде:
W (hh) KWW KW j KWM KWQ ' w0 ' FW
j(h) KjW Kjj KjW KjQ j0 + Fj
M (h) KMW KM j KMM KMQ M0 FM
Q(h _ KQW KQj KQM KQQ _ _ Q0 _ _ fq _
2006/3
Proceedings of Petersburg Transport University
Проблематика транспортных систем
89
где Kww, Kwp,..., Kqq - коэффициенты влияния;
Wo, фо, Mo, Qo - величины обобщенного прогиба, угла поворота, момента, поперечной силы в сечении, принятом за начало отсчета;
Fw, Fp, Fm, Fq - функции, учитывающие заданную внешнюю нагрузку.
Для пологой оболочки двоякой кривизны при шарнирно подвижном опирании краев решение разрешающего уравнения в перемещениях может быть представлено интегралом типа
У = X АеХ , 0,2< fnm/h < 3.
i=1
При выполнении неравенств
> 3, frmih - 0,2
их использование ведет к значительным вычислительным трудностям.
Представляя компоненты напряженно-деформированного состояния в виде разложений в ряд по тригонометрическим функциям, получим решение в форме начальных параметров:
Здесь
L = KLo + Fl-
| а, и w Q T S Q M ]T;
о о | а, и wo Q wo T 1o So Qo Mo
k11 k12 k18
k = k 21 k 22 k 28
_ k81 k 82 1 CO CO
X и г ^ Fw Fq Ft FS Fq Fm 1
При этом Uo Vo wo ... Mo - начальные параметры; kii, ki2, ..., ^88 - функции влияния;
Fu, FV, ..., Fm - функции, зависящие от вида внешней нагрузки и ее расположения на поверхности оболочки.
ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС
2oo6l3
90
Проблематика транспортных систем
Заключение
Приведенные решения совпадают с решениями по прямому методу граничных интегральных уравнений, где для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются фундаментальные функции. В результате получаются реальные граничные значения.
Библиографический список
1. Green G. An assay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity and magnetism. - Nottingham, 1828.
2. Fredholm I. Sur une classe d’equation fonctionelles, Acta Mathematica, 27, 1903.
3. Brebia C. A. (Ed.) Reccent Advances in Boundary Element Methods, Proc. Ist Int. Conference Boundary Element Methods, Southampton Universiti, 1978, Pentech Press, London, 1978.
4. Работягов Д. Д. Аналитическая механика пологих оболочек. - Кишинев: Шти-инца, 1973.
5. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наукова думка, 1986.
6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984.
7. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, 1960.
УДК 531:693.542
А. Н. Лялинов, О. К. Осминкин, В. И. Рузаев, С. В. Кузаков
ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ДИСКОВОГО РАБОЧЕГО ОРГАНА ДЛЯ ЗАГЛАЖИВАНИЯ СВЕЖЕОТФОРМОВАННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛОСКИХ ИЗДЕЛИЙ
Исследуется сложное движение заглаживающего диска по поверхности свежеотформованного железобетонного изделия. Теоретически определяются скорости и ускорения любой точки плоскости диска в инерциальной системе координат.
подвижная система координат, неподвижная система координат, скорость переносная, скорость относительная, скорость абсолютная, ускорение переносное, ускорение относительное, ускорение Кориолиса.
Введение
Широкое внедрение в практику промышленного строительства изделий и конструкций полной заводской готовности является основным тре-
2006/3
Proceedings of Petersburg Transport University
