CC BY
14
Строительство и архитектура
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ДОПУЩЕННИЙ О НЕСОВМЕСТНОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТИ СОБЫТИЙ ОТКАЗА КОНСТРУКЦИЙ РАЗНЫХ ЭТАЖЕЙ ЗДАНИЯ НА ОЦЕНКУ ЕГО НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЕЙСМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
А.Д.Абакаров
Дагестанский государственный технический университет, г. Махачкала
Одним из основных показателей сейсмостойкости сооружений и критериев принятия оптимального проектного решения с учетом сейсмической опасности территорий является вероятность безотказности сооружения. Здания и сооружения являются сложными строительными системами со многими взаимосвязанными несущими элементами, повреждение которых при землетрясении приводит к перераспределению усилий и изменению расчетной схемы.
При разработке модели оценки надежности таких систем возникают определенные трудности, связанные, в частности, с учетом совместности и зависимости событий отказа конструкций, расположенных на разных уровнях по высоте сооружения. Если пренебречь ими, то надежность многоэтажных зданий можно определить по схеме последовательного соединения элементов
Р = П(1 -б,) (1)
7=1
где б, - вероятность отказа конструкций 7-го этажа здания; п - число этажей.
Для определения границ применимости выражения (1) необходимо оценить влияние допущений о несовместности и независимости событий отказа конструкций этажей на показатели надежности здания. Для этого, в начале, численным интегрированием системы дифференциальных уравнений, составленной для 5-ти этажного крупнопанельного здания, методом статистических испытаний на ЭВМ были определены его поэтажные вероятности отказ б, . В таблице 1 приведены полученные результаты при сейсмическом воздействии смоделированном в виде нестационарного случайного процесса 9-ти бальной интенсивности и предельных уровнях перекоса этажей (1/600)Н и (1/300)Н, где Н - высота этажа (Н=300см.).
Таблица 1
Предельный уровень йг й2 йз й4 й5
перекоса этажа
1 н 0,60 0,50 0,16667 0,03333 0
600
1 н 0,03333 0,03333 0 0 0
300
Как видно из таблицы 1, предельный уровень в=(1/600)Н является низким, в=(1/300)Н - высоким.
Вероятность отказа данной системы при допущении о несовместности и независимости событий отказа определяем в виде
б = 1 -П(1 -б,) (2)
7=1
При в =(1/600)Н, получим 6=0,838840.
Если считать события отказа независимыми, но совместными, тогда из соотношения объединения множеств выражение для оценки вероятности отказа системы получим в виде
5 5 5 5
б=Е а - б: Е а - & Е а - а Е а +
1=1 1=2 1=3 7=4
5 5 5
+аа Е а + 6:03 Е а + 6:6465+6263 Е а + (3)
7=4 5
+636465 -6:6263Е а -6:636465 + 6:62636465
7=4
Подставляя в (3) величины 67 при [0]=(1/600)Н, получим 6=0,838866.
Сравнивая данное значение с полученным по выражению (2), заметим, что неучет совместности событий отказа не приводит к заметным погрешностям. При высоких предельных уровнях отказа, погрешность, связанная с данным допущением, сходится на нет. Например, при 6=(1/300)Н, как по выражению (2), так и по выражению (3) 6=0,065549.
Зависимость между событиями отказа элементов конструкций связана с корреляцией сейсмической реакции этих элементов. Неучет этого обстоятельства дает нижнюю оценку надежности системы, которая оказывается намного меньшей надежности «слабейшего звена» среди этих элементов. Например, вероятность безотказности рассматриваемого крупнопанельного здания при 0=(1/600)Н получается равной 0,016116, тогда как вероятность безотказности конструкций первого этажа, которая является наименьшей по сравнению с вероятностями безотказности других этажей (см. табл.1), равна Рт7п=0,4. С увеличением предельных отказовых уровней конструкций корреляционная зависимость между элементами начинает снижаться. Так, при предельном уровне 0=(1/300)Н надежность здания Р=0,93445, а Рт7п=0,3667. В общем надежность коррелированных последовательно соединенных элементов находится в пределах
п
ПРг <Р<Рт1П.
7=1
п
При слабой корреляционной зависимости Р ^ ПР., а при сильной - Р ^ Рткг.
7=1
Корреляционная связь между элементами в задачах надежности последовательно соединенных систем можно учесть в виде [1,2]
п
Р = РРт1п + (1 -Р) ПР , (4)
7=1
где р - обобщенный коэффициент корреляции.
Определение обобщенного коэффициента корреляции для динамической системы совершающей случайные колебания является сложной задачей [3,4], так как оно связано с определением ковариационных моментов между реакциями масс в расчетной модели, которые, в свою очередь, определяются с учетом взаимной корреляции обобщенных координат.
В итоге получаем симметричную относительно главной диагонали квадратную матрицу коэффициентов корреляции ркг между реакциями масс, расположенных в уровнях к и г расчетной модели, представленной в виде консольного стержня с сосредоточенными массами
7=3
7=4
\РКг\ =
1 Pl2 ••• Pin Р21 1 •• Pin
1
(5)
Рп1 Рп2 .
При этом обобщенный коэффициент корреляции может быть определен в виде [1]
2
Р = — Е arcsinРкг ,
лс
(6)
где c=n(n-1)/2 - число комбинации индексов к и r при к<г.
Выражение (6) при единичной матрице ркг дает значение р=1, а при нулевой матрице
Ркг- Р=0.
При расчете надежности невысоких зданий с жесткой конструктивной схемой и других сооружений с преобладающим первым тоном колебаний при сейсмических воздействиях, определение коэффициентов корреляции рш можно упростить исходя из того, что в них вероятности переходов элементов уровня сосредоточения масс в отказовые состояния возрастают сверх вниз (см. табл.1).
Исходя из математической теории множеств степень зависимости между событиями безотказности конструкций уровней к и r Ак и Аг определяем в виде
_ Р(Ак П Аг )-Р( Ак )р( Аг ) рАкАг = Jp(Ax )Р( Аг )[1 -Р(Ак )J[1 -Р( Аг )J (7)
Если события Ак и Аг независимы, то Р(Ак П А ) = Р(АК ~)р(Аг ) и выражение (7) дает 0. А если события зависимы с единичной корреляцией, тогда Р(АК ) = Р(АГ), а Р(Ак П Аг ) = Р(Ак )р(Аг / Ак). Учитывая, что при этом Р(АГ / Ак ) = 1, значение рАкАг по выражению (7) получится равным 1.
Исходя из условия Р(Ак )< Р(Аг), можно считать, что если система не отказала в к-том уровне, то в г-том уровне она также не откажет. Тогда
Р(Ак П А ) = Р(АК )р(Аг / А ) = р(Ак ), так как Р(Аг / Ак)« 1. При этом выражение (7) примет вид
Р = рЮ-р(4Ж) к < r (8)
р" =VPraPCT"-praFPraj • ()
Воспользовавшись (8), оценим влияние зависимости событий безотказности элементов расчетных уровней вышерассмотренного крупнопанельного здания на его надежность.
При # = (1/600)Я получим
р(А ) = 1 - Q = 1 - 0,6 = 0,4 Аналогично: Р(А2 ) = 0,5; Р(А3 ) = 0,83333; Р(А4 ) = 0,96667
Учитывая, что в вероятных расчетах значение надежности системы не может быть равной единице, примем р(А5 )= 0,9999
Подставляя попарно Р(Д) в выражение (8), получим следующую матрицу коэффициентов корреляции.
1 0,8613 0,3652 0,1516 0,008163 1 0,4473 0,1857 0,01000С
|РЛл|= 1 0,4152 0,022400
1 0,053800 1
Обобщенный коэффициент корреляции определяем по выражению (6) учитывая, что
n=5, а
с = n/(n -1)/2 = 10
Тогда
Р = -
2
-• 2,64872= 0,1687
3,14-10
Вероятность безотказности здания находим по выражению (4)
р = 0,4 - 0,1687+(1 - 0,1687) - 0,4 - 0,5 - 0,83333- 0,96667- 0,9999 = 0,2014
А если события Ак и Аг считать независимыми, то
5
Р = ПР = 0,1611
7=1
При высоком предельном уровне перекоса этажей (обычно он таковым и бывает), из таблицы 1 получим:
Р7=0,96667; Р2=0,96667; Рз=0,9999; Р4=0,9999; Р5=0,9999.
В данном случае обобщенный коэффициент корреляции р, определенный аналогично предыдущему случаю, получается равным 0,421. При этом вероятность безотказности здания Р=0,94785, тогда как без учета корреляции она равна 0,93417.
Сравнение этих результатов показывает, что с увеличением предельных отказовых уровней элементов, соединенных по последовательной схеме, влияние корреляционной зависимости между реакциями элементов на показатели надежности системы существенно снижается.
Из данных исследований следует, что вероятность безотказности многоэтажных зданий жесткой регулярной конструктивной схемы при сейсмических воздействиях может быть оценена по выражению (1), позволяющим существенно упростить расчеты. В результате получаем нижнюю оценку безотказности сооружения, использование которой является уместной в условиях отсутствия достоверного прогноза землетрясений.
Библиографический список:
1. Волков Е.Б., Судаков Р.С., Сирицын Т.А. Основы теории надежности ракетных двигателей. -М.: Машиностроение, 1974.-400с.
2. Кудзис А.П. Оценка надежности железобетонных конструкций. - Вильнюс: Макслас, 1985-156с.
3. Петров А.А., Базилевский С.В. Влияние взаимной корреляции между обобщенными координатами при случайных колебаниях линейных систем.
// Строительная механика и расчет сооружений, 1979.-№4-1,с. 42-44
4. Der Kiureghian A. A response spectrum method for random vibration analysis of MDF Systems//Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1981.-vol.9-pp. 419-435.
