CC BY
15
Математические
структуры и моделирование УДК 530.12+524.8
2016. №4(40). С. 24-38
АНАЛИЗ В КОСМИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЯХ НА ОСНОВЕ ГРУППЫ U(1,1): ОСНОВНЫЕ ТАБЛИЦЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО SU(2,2)-ДЕЙСТВИЯ
А.В. Левичев1
профессор, д.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: alevichev@gmail.com А.Ю. Пальянов2,3 к.ф.-м.н., с.н.с. , e-mail: palyanov@iis.nsk.su
1 Институт математики СО РАН им. С.Л. Соболева 2Институт систем информатики СО РАН им. А.П. Ершова
3Новосибирский государственный университет
Аннотация. Хронометрическая теория Сигала исходит из пространства-времени D, которое может быть представлено как группа Ли с причинной структурой, задаваемой инвариантной лоренцевой формой на алгебре Ли u(2). Аналогично пространство-время F представлено группой Ли с причинной структурой, задаваемой инвариантной лоренцевой формой на алгебре Ли u(1,1). Группы Ли G, Gf вводятся как представления SU(2,2), связанные сопряжением конкретной матрицей W из G1(4). Дробно-линейное действие G на D глобально и конформно; оно играет важную роль в анализе пространственно-временных расслоений, основанном на параллелизу-ющей группе U(2): этот анализ проведён Панейтцем и Сигалом в 1980-х гг. Дробно-линейное действие Gf на F (введённое в 2000-х гг. первым автором) тоже конформно. В статье показано, что (несмотря на имеющиеся сингулярности этого действия) группа U(1, 1) может быть выбрана в качестве параллелизующей. Приводятся методы, применением которых нами получены таблицы (аналогичные «таблицам Панейтца-Сигала»), необходимые для (предстоящего) анализа пространственно-временных расслоений на основе параллелизующей группы U(1,1).
Ключевые слова: параллелизации расслоений над пространством-временем, космос Сигала, действия конформной группы SU(2, 2) на U(2) и на U(1,1), DLF-теория.
1. Введение, мотивация и основные обозначения
Группы Ли U(2) и U(1,1) являются одними из основных объектов, рассматриваемых в работе.
В статье установлено, что U(1,1) может быть выбрана в качестве параллелизующей группы. Ниже (в Секциях 2, 3) приводятся методы, применением которых нами получены таблицы (аналогичные «таблицам Панейтца-Сигала»),
необходимые для (предстоящего) анализа пространственно-временных расслоений на основе параллелизующей группы и(1,1). Одним из результатов такого анализа должна стать классификация частиц, «живущих» в пространстве-времени Е.
Под и(2) понимается совокупность всех два на два матриц Z (с комплексными, вообще говоря, элементами), удовлетворяющих соотношению
ZZ* = 1.
Здесь и далее 1 — единичная матрица, а * означает комплексное сопряжение и транспонирование. Напомним, что группа и(2) не является прямым произведением своей центральной подгруппы с подгруппой 5и(2). Двукратное накрытие Б(2) для и(2), состоящее из всех пар вида (р, и), является прямым произведением (групп) 51 и 53 (здесь 53 представлена группой £и(2), т.е. и — это соответствующая матрица, а модуль комплексого числа р равен 1). Накрывающее отображение переводит (р, и) в матрицу ри из и(2). Подразумевается, что на Б(2) введена лоренцева метрика
(^)2 - (^)2. (1.1)
Здесь Ь — параметр на 51, а (^м)2 — стандартная риманова метрика на 53.
Аналогично, под и(1,1) понимается совокупность всех два на два матриц и, удовлетворяющих соотношению
и^и * = 5.
Здесь 5 — диагональная матрица с элементами 1, —1 по главной диагонали.
Двукратное накрытие Е(2) для и(1,1), состоящее из всех пар вида (д^), является прямым произведением (групп) 51 и 5и(1,1); т.е. V — это матрица из 5и(1,1), а модуль комплексого числа д равен 1. Накрывающее отображение переводит (д, V) в матрицу qV из и(1,1). Дальнейшие детали о группах Б(2),и(2),Е(2),и(1,1) и метриках на них приведены в Приложении А.
Нередко две из этих групп (в частности, когда они снабжены двусторонне-инвариантными метриками лоренцевой сигнатуры — см. [6]) обозначаются Б = и(2) и Е = и(1,1).
Отметим, что хронометрическая теория Сигала (см. [9]) основана на пространстве-времени Б. Так как ЭЬР-теория исходит сразу из трёх миров (Э, Ь и Б), то её можно считать обобщением теории Сигала (ЭЬР-теория представлена в [6], в то время как некоторые её исходные положения были намечены уже в [2] (сс. 1302-1303).
Прежде чем приступить к формулировке результатов статьи, напомним, что параллелизация (расслоений над пространством-временем — см. определения и теоремы существования в [9], Секция IV) является важным математическим методом современной теоретической физики. Именно каждому «объекту» сопоставляется его состояние (часто называемое волновой функцией, но этот последний термин целесообразнее употреблять в более специализированной ситуации, а именно — ПОСЛЕ параллелизации). Если в качестве объекта рассматривается элементарная частица («живущая» в некотором мире событий то совокупность её возможных состояний является вполне определённым подпространством множества сечений (бесконечно дифференцируемых, суммируемых
с квадратом и т.д. — в данном случае нет необходимости уточнять эти детали) некоторого векторного расслоения с базой W. На этой стадии состояния ещё не принимают числовых (для скалярной частицы) или Ck-значений (k > 1, для частиц ненулевого спина). Необходим переход от (абстрактных) сечений к параллелизованным сечениям (т.е. к волновым функциям). Затем вводится структура гильбертова пространства и т.д. (нет необходимости детализировать эти этапы в данной статье). Процедура параллелизации определяется выбором параллелизующей (четырехмерной) подгруппы N в группе G, где G — это группа симметрий мира W (в контексте данной статьи G — это (конформная) группа SU(2, 2), см. ниже). Начиная с такого этапа, N как бы заменяет исходный мир событий W (типичная ситуация состоит в том, что группа N является конечно-листным накрытием мира W).
Элементарные частицы и их взаимодействия моделируются в терминах индуцированных представлений группы G. В рамках стандартной теоретической физики G — это десятимерная группа Пуанкаре, а в качестве параллелизую-щей подгруппы практически всегда (зачастую — «по умолчанию») выбиралась векторная группа мира Минковского M. Проводилось индуцирование по подгруппе Лоренца (такой подход был заявлен знаменитой статьёй Вигнера [15]). Проблемы выбора параллелизации не возникало ещё и потому, что, фактически, рассмотрение начиналось с параллелизованных сечений (т.е. с волновых функций).
В работах школы Сигала (см. [13]) чаще всего использовались параллелизации, основанные на группе U(2). Иногда они сравнивались с плоской парал-лелизацией (определяемой векторной группой мира M). На с. 170 известной монографии [1] роль выбора параллелизации обсуждается с точки зрения вопросов, возникающих в квантовой теории поля.
В [6] было предложено рассмотреть другие (кроме D и M) параллелизу-ющие группы. В связи с этим важен результат статьи [3] (см. Теорему 1, ниже), сформулированный в терминах коммутативной D — F диаграммы. На его основе делается вывод, что (несмотря на наличие сингулярностей) осуществима как сама F-параллелизация, так и её (каноническое) сравнение с D-параллелизацией. Термин 'сравнение параллелизаций' был введён в [9], там же были рассмотрены и некоторые примеры. Дело в том, что действие (той или иной) подгруппы группы G может быть реализовано сложно или просто — в зависимости от выбора параллелизации. Одним из основных следствий применения D-параллелизации явилась классификация хронометрических частиц спина 1/2. Таковых оказалось четыре: протон, электрон и два вида нейтрино (см. [12] и [5]). Поэтому вопрос отыскания соответствующей классификации на основе F-параллелизации представляется весьма интересным. Так как пространства-времена F и D связаны конформным (не сводящимся к изомет-рии) преобразованием, то заранее неизвестно набор каких именно частиц будет получен при использовании F-параллелизации. Необходимость рассмотрения F-параллелизации обеспечена ещё и тем фактом, что среди всех вещественных 4-мерных алгебр Ли лишь u(2) и u(1,1) являются редуктивными.
Каждая из групп Ли G, GF, изоморфна SU(2, 2). Именно G состоит из всех
4 на 4 матриц д (с определителем 1), для которых выполняется
д* £д = 5.
Здесь 5 = ^шд{1,1, —1, —1} диагональная матрица. Через W обозначается 4 на 4 матрица
(1.2)
W
Р я Я р
(1.3)
образованная 2 на 2 блоками
10 00
р= ,я =
00 01
Ясно, что
= —1, W2 = 1, р2 = р, я2 = Я, РЯ = ЯР = 0.
(1.4)
(1.5)
Сопрягая матрицу 5 матрицей W, получаем
5 = ^гад{ 1, — 1, — 1, 1}, которая задаёт другую 'копию' (обозначаем её Ср) группы 5и(2, 2). Именно Ср состоит из всех 4 на 4 матриц д (с определителем 1), для которых выполняется
Соответствие
д*5д = д = WgW
(1.6) (1.7)
является изоморфизмом групп Ли С, Ср.
Каждая д из С является 4 на 4 матрицей, задаваемой 2 на 2 блоками
А, В, С, В:
Г А В
д
С В
(1.8а)
Аналогично каждая
д
А В
С В
Известно, что дробно-линейное действие
д^) = ^ + В + В)
1
(1.8Ь)
(1.9)
группы С (см. [10], с.35) определено на всей Б = и(2). Дробно-линейное (определённое лишь локально) действие
д(и) = (Аи + В)(С и + В)
1
(1.10)
группы Ср на Е = и(1,1) было введено в [6].
Замечание 1. Так как в Секции 3 мы рассматриваем лишь действие (1.10), то (для упрощения обозначений) знак тильды там будет опущен. Тем самым общий элемент группы Ср будет обозначаться через д (с блоками А, В, С, Б).
2. Коммутативная О-Г диаграмма и смежная проблематика
Пусть дана 2 на 2 матрица У. Через W(У) обозначаем матрицу (ГУ + Q)(QУ + Р)-1, если она определена. Задаём вложение (многообразия) Е в Б формулой
Z = W (и) = (Ри + Q)(QU + Р)-1. (2.1)
Нетрудно проверить, что (2.1) определено для любой и из Е. Отображение W конформно, но в данной статье это свойство не используется.
Формула (2.1) — это частный случай (см. [8], с. 32) формулы Свидерского. Легко проверяется, что обратное отображение
и = W {2 ) = (Р2 + Q)(QZ + Р )-1 (2.2)
определено для тех (и только тех) 2, которые не принадлежат тору Т, состоящему из всех матриц К в Б вида
K
0 p q 0
(2.3)
Здесь p, q могут быть произвольными комплексными числами с модулем 1.
Следующее важное утверждение (в нём используются обозначения (1.9), (1.10)) доказано в [3]:
Теорема 1 (D — F диаграмма). Если g(U) определено, то
g(W (U)) = W (g(U )). (2.4)
Замечание 2. В [3] не было исследовано, когда (т.е. при каких U из F) правая часть (2.4) определена. Конечно же (см. нашу формулу 1.10), она определена тогда и только тогда, когда определитель матрицы CU + D не равен нулю. Однако это условие оказывается менее удобным для применения, нежели приводимое ниже (в Теореме 2).
В [7] доказано следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть g принадлежит Gf, а U — матрица в F. Матрица g(U) определена тогда и только тогда, когда g(W(U)) не принадлежит тору T.
Замечание 3. На основании Теоремы 2 можно сказать, что сингулярности SU(2,2)-действия в F являются ручными.
Теоремы 1, 2, с учётом полученных ранее результатов (см. [9], [6], [8]), дают основание утверждать, что анализ пространственно-временных расслоений на основе параллелизующей группы U(1, 1) математически возможен. Его
осуществление (и сравнение с результатами, основанными на параллелизу-ющей группе U(2)) представляет несомненный интерес. По аналогии с [9], Глава V, этот (новый) анализ следует начать с рассмотрения скалярных расслоений. Вместо группы изометрий K (с алгеброй Ли R ф su(2) ф su(2)) пространства-времени D нужно будет взять группу изометрий KF (с алгеброй Ли R ф su(1,1) ф su(1,1)) мира F. При построении базиса скалярных представлений вместо 'левой' и 'правой' алгебр Ли su(2) (см. [9], Секция 5.4) будут выбраны 'левая' и 'правая' алгебры Ли su(1.1). Так как речь идёт о представлениях над полем комплексных чисел, то сравнение двух 'картин' ('компактной' — на основе U(2), и 'некомпактной' — на основе U(1,1)) будет вполне осуществимо. Здесь имеется в виду хорошо известный 'унитарный трюк'. В целом, упомянутые вопросы интересны как математически (ковариантность волновых операторов, инвариантные формы в пространствах индуцированных представлений, классы специальных функций и др.), так и с точки зрения приложений в физике: см., например, [5, сс. 88-89], где предлагается отождествить инвариантное подпространство т.н. спэннорного [12] представления с совокупностью состояний протона (что объяснило бы стабильность протона).
3. Основные результаты: отыскание Таблиц I, III и IV
Последовательность, в которой мы излагаем необходимые сведения/результаты (для предстоящего использования F = U(1,1) в качестве парал-лелизующей группы), аналогична той, которая имеется в работах [11] и [9] для случая D = U(2). В частности, сохраняется нумерация таблиц (в упомянутых двух статьях приведено десять таблиц): каждой D-таблице соответствует её F-аналог. Важно иметь в виду, что все как чисто математические результаты школы Сигала, так и их многочисленные приложения в теоретической физике были получены на основе применения информации, приведённой в этих D-таблицах. Поэтому получение F-аналогов этих таблиц представляется важным (и совершенно необходимым для реализации нашей программы, изложенной в конце предыдущей секции). На данном этапе нами получены Таблицы I, III и IV (см. Приложение Б). Отметим, что Таблицу II (мы её не приводим) легко составить на основе Таблицы I (см. её второй столбец) и Таблицы III. Мы не приводим D-таблицы, так как они доступны в сети [11], [9]. Кроме того, они имеются в [4]. Матрицы Ly (в их блочной форме) приведены в третьем столбце нашей Таблицы I, они являются базисными элементами алгебры Ли su(2, 2). В приведённых там блоках через s, b0, &ь b2, b3 обозначены следующие 2 на 2 матрицы:
" 1 0 " 0 i 01 i0 i0
s = А = А = 3 -о А =
0 -1 i 0 -1 0 0 -i 0i
Отметим, что каждая Ьу получена сопряжением (с помощью матрицы Ш — см. наше (1.2) выше) из соответствующего элемента Ю-таблицы I. Их коммутационные соотношения (для любого из случаев Ю, Е) таковы:
Ьтк] = — етЬ/1к,
где под (6-1,60,61,62,63,64) понимается набор (1,1, —1, —1, —1, —1). Индексы г,] принимают значения —1,0,1, 2, 3,4 с г < ]. Через Ь^ будут обозначаться соответствующие векторные поля на и(1,1). Они задаются действием (1.10). Считаем, что всегда Ьу = — откуда следуют соотношения Ь^ = —Ьц.
Лоренцева метрика на Ю инвариантные векторные поля
и(2) задаётся следующим условием: лево-
Хо — Ь_ 10, Х1 — Ьт4 — Ь23, Х2 — Ь24 — Ьз1 , Хз — Ьз4 — Ь
-10,
1 = Ь14
23
2=
24
31 ,
34
12
(3.1)
образуют ортонормированный репер. Именно скалярный квадрат вектора Х0 равен 1, а каждого из оставшихся трёх векторов — минус единице. Известно, что это условие согласовано с выбором (1.1) метрики на Ю(2), т.е. накрывающее отображение является изометрией. Векторные поля (3.1) использованы в качестве базисных во втором столбце Ю-таблицы I. Их аналогом для случая Е являются поля
И
0=
Ью — Ьу2, И1 = Ь-11 — Ьо2, И2 = Ь—12 + Ьо1, И;
Ь
34,
(3.2)
фигурирующие во втором столбце нашей Таблицы I.
Лоренцева метрика (как на Е(2), так и на Е) задаётся условием ортонор-мированности полей (3.2). Именно скалярный квадрат вектора И0 равен 1, а каждого из оставшихся трёх векторов — минус единице. Как известно, лево-инвариантные векторные поля генерируют правые сдвиги. Именно полям (3.2) отвечают сдвиги на
(3.3)
соответственно. В (3.3) под С, 5 понимаются гиперболические косинус и синус вещественного аргумента ¿.
Базис право-инвариантных векторных полей на Е вводится так:
' 6й 0 " С " " С 5 " ' 0
0 6—а —С 5 С 0 6й
^0 = Ь_ 10 + Ь12, = Ь_ 11 + Ьо2, ^2 = Ь_ 12 — Ьо1, </3
Ь
34.
(3.4)
Он фигурирует в нашей Таблице IV, в которой приведены действия рассматриваемых векторных полей на (введённые в Приложении А) переменные
V— 1, 1>о, V! , 1>2, 1*3, 1>4.
Вообще, Таблицу IV (с учётом данных столбца 3 Таблицы I) можно считать исходной (для дальнейшего нахождения инфинитезимального действия группы Ср). В оставшейся части данной секции мы приводим соответствующие сведения и аргументацию (см. Теоремы 3 и 4, Леммы 1- 5 и сопутствующие им обозначения). Эта аргументация основана на дробно-линейном действии, поэтому она применима как в Ю-, так и в Е-случае. Отметим, что ни в [11], ни в [9] подобной аргументации не было приведено.
Теорема 3. Векторные поля Ь^, Ит, Jk задаются Таблицей IV.
Справедливость этой теоремы будет установлена на основе нескольких вспомогательных утверждений.
В дальнейшем, если т - зависящая от параметра £ величина на Е(2) (или на Е), то под т понимается её производная по вычисленная при £=0. Если дифференцируется выражение, заключённое в скобки, то результат записывается в виде: (...) Под Ь (см. нашу Таблицу IV) понимается векторное поле (т.е. линейный дифференциальный оператор первого порядка), соответствующее матрице Ь (как правило, Ь — это одна из матриц, приведённых в последнем столбце Таблицы I).
Замечание 4. Через А, В, С, Б обозначаются блоки матрицы д = ехр(£Ь). Тем самым мы упрощаем обозначения Секции 1 (см. Замечание 1 в её конце): в формуле (1.10) опускаем тильду. Такое упрощение уместно, так как действие на Ю в данной секции не рассматривается.
Лемма 1. Действие оператора Ь на переменные г_ьг0 может быть найдено из уравнения
2(г_1 + г^0)(^_1 + ¿г0) + (г_ + ¿г0)2((е£(Си + Б)) = ((е£(Аи + В)). (3.5)
Доказательство. Если и = д(и) в (1.10) определено, то это соотношение эквивалентно
С>(Си + Б) = Аи + В. (3.6)
Из (3.6) следует
(е£([/)(е;£(Си + Б) = (е£(Аи + В). (3.7)
Напомним (см. Приложение А), что (е£([/) = (г*_1 + гг)0 )2 и (е£и = (^_1 + ¿г0)2. Для того чтобы найти действие оператора Ь на переменные достаточно продифференцировать обе части соотношения (3.7) по £ и положить £ = 0. Получаем искомое (3.5). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Действие оператора Ь на переменные ¿ьг2,г3,г4 может быть найдено из уравнения
(V _1 + ¿¿0) V + (¿_1 + + и (Си + Б) = (Аи + В). (3.8)
Доказательство. Напомним (см. Приложение А), что через V обозначена матрица из $и(1,1) в разложении и = (г_1 + ¿г0^. Аналогично, и = (г_1 + ¿г0)/. Чтобы получить соотношение (3.8), достаточно продифференцировать (3.6) по £ и положить £ = 0. Не забываем, что при £ = 0 выполнены соотношения А = Б = 1,В = С = 0. Согласно (3.5) множитель (гг_1 + ¿гг0) в (3.8) уже подсчитан. Лемма 2 доказана.
Обозначим через а, Ь, с, ( производные от матриц А, В, С, Б по вычисленные при £ = 0. Матрицы а, Ь, с, ( приведены в третьем столбце Таблицы I для каждой Ь = Ьу. Через £гМ обозначается след матрицы М, а элементы 2 на 2 матрицы М нумеруются так:
М1 М2 М = 1 2
М3 М4
Лемма 3. Выполняются (3.9) и (3.10):
(&£(Си + £)) = ¿гй + ¿г(си), (3.9)
(&£(Аи + В)) = (¿га)^6^и + ¿г(Ь7), (3.10)
где через ¿7 обозначена матрица
и4 —и3 и7 = 4 — 3
—и2 и1
Доказательство: непосредственный подсчёт.
Так как в столбце 3 таблицы I два блока всегда равны нулю, то при составлении таблицы IV уместно использовать следующие два утверждения (Леммы 4 и 5).
Лемма 4. Если а = й = 0, то (3.5) упрощается до
2(1— 1 + ¿10) + (1—1 + ¿10)2£г(сУ) = ¿г(ЬУ). (3.11)
Если же Ь = с = 0, то (3.5) эквивалентно
2(1—1 + г10 )(г— 1 — г10) + ¿гй = ¿га. (3.12)
Доказательство: применение формул (3.9), (3.10) в (3.5).
Лемма 5. Если а = й = 0, то (3.8) упрощается до
(V—1 + г1о)(1— 1 — ¿1о)У + У + (1—1 + ¿1о)УсУ = (1—1 — ¿1о)Ь. (3.13)
Если же Ь = с = 0, то (3.8) эквивалентно
(V—1 + г1о)(1— 1 — г1о) V + У + Уй = аУ. (3.14)
Доказательство: применение формул (3.9), (3.10) в (3.8).
Замечание 5. Применение формул (3.11)-(3.14) завершает доказательство Теоремы 3.
Теорема 4. Разложения векторных полей Ь^ по базисным полям Ит задаются (вторым) столбцом Таблицы I.
Доказательство: проверка правильности этих разложений легко осуществима на основе Таблицы IV.
Оставшаяся часть основного текста статьи посвящена получению Таблицы III. В ней используются координаты р, д, г, ¿: они введены соотношениями (А8) Приложения А.
Ограничимся доказательством справедливости разложения = дг + дд, остальные разложения отыскиваются аналогично.
Так как = Ь—10+Ь12, то (см. нашу Таблицу IV и Приложение А) значение векторного поля в точке (д, У) многообразия Е(2) можно отождествить с элементом (0,М) линейного пространства Е2 ф Е4. Здесь
М = —13 + «14 —12 + ¿11 —12 — ¿14 —13 — ¿14
Применяя соотношения (А8) Приложения А, получаем разложение
/о = дг + дд.
4. Приложение А: Соглашения о группах Щ2), 11(1,1) и их 2-накрытиях
Помимо введённого в Секции 1 2-накрытия Е(2) группы и(1,1) определим соответствующее разложение и = ^ для матрицы и из Е. Рассмотрим прямую сумму Е6 = Е2 ф Е4 двух евклидовых пространств: Е2 с прямоугольными координатами г_1,г0; Е4 с прямоугольными координатами г1,г2,г3,г4. Каждая точка в Е(2) — это такой набор (г_1 ,г0,г1,г2,г3,г4), что выполнены условия А1, А2:
г_12 + ¿02 = 1, (А1)
¿32 + ¿42 - ¿12 - ¿22 = 1. (А2)
Ясно, что Е(2) есть прямое произведение окружности 51 с элементами д = г_1 + ¿г0 и подгруппы $и(1,1). Известно, что $и(1,1) имеет топологию прямого произведения 51 и Я2.
Матрица V из 5и(1,1) задаётся так:
V
¿4 + ¿¿3 ¿1 + ¿¿2
г1 — ¿¿2 ¿4 — ¿¿3
(А3)
Накрывающее отображение из Е(2) в и(1,1) переводит пару (¿_1 + ¿¿0, V) в матрицу (¿_1 + , элемент группы и(1,1):
и = (¿_1 + ¿¿0) V. (А4)
Если дана матрица и в и(1,1), то сомножители (¿_1 ф^и0) и V определяются с точностью до знака, так как каждому и соответствуют два накрывающих элемента в Е(2): (¿_1 ф ) и (—¿_1 — ¿¿0, — V). В этом смысле координаты ¿_1,¿0,¿1,¿2,¿3,¿4 можно использовать для параметризации как точек в Е(2), так и в и(1, 1).
В [14] была доказана единственность $и(2, 2)-действия в Ю(2), накрывающего дробно-линейное 5и(2, 2)-действие (1.9) в Ю. 5и(2, 2)-действие в Е(2), накрывающее дробно-линейное $и(2, 2)-действие (1.10) в Е, введём следующим образом. Сначала построим аналог W(2) отображения (2.1). Каждой паре (д, V) из Е(2) сопоставляем такую пару (р, и) из Б(2), что р = (¿4 ф ¿¿^/(¿^ Ф ¿42)1/2. Отметим, что положительность квадратного корня в знаменателе обеспечена принадлежностью матрицы V группе $и(1,1). Требуем коммутативности диаграммы
(р, и)
(д, V)
ри
gV = W (ри)
(А5)
Тем самым, матрица и из $и(2) определяется однозначно. Напомним, что вторая вертикальная стрелка в (А5) — это биекция (2.2) между (частью) Ю и (всем) Е.
Теперь задаём 5и(2, 2)-действие в Е(2) требованием коммутативности диаграммы
F(2)
р(2)
D(2)
D(2)
(A6)
В (А6) нижний уровень — это действие в Ю(2), а каждая из вертикальных стрелок — это только что введённое отображение Ш(2).
Нетрудно проверить, что для таким образом введённого $и(2, 2)-действия в Е(2) следующая диаграмма коммутативна:
р(2)
р(2)
F
F
(A7)
Другими словами, SU(2, 2)-действие в F(2) накрывает таковое в F. Отметим, что действие в F(2) не является глобально определённым (так как действие в F не является таковым).
F-аналогом полярных D-координат (фигурирующих в D-таблицах II, III) являются t,p, q, r:
v-i = cos t,v0 = sin t, v1 = Cq sinhp,
v2 = Sq sinh p, v3 = Sr cosh p, v4 = Cr cosh p. (A8)
Под Cq, Sq, Sr, Cr в (А8) понимаются косинус и синус соответствующего аргумента. Обозначения dt,dp,dq, dr соответствующих векторных полей на F используются в Таблице III.
5. Приложение Б: Таблицы I, III и IV
Таблица I
Символ генератора Векторное поле на Е как линейная комбинация Н, Матрица генератора
£-10 («32 + «42)Я0 + («1^4 + «2^з)Я1 + («1^3 - «2^4)#2 / &3 0 \ 0.5 ■ 3 V 0 -63 у
¿-и («1^4 - «2«3)Н0 + («42 - «22)Н1 + («3«4 - «1«2)#2 /561 о А 05 ■ 1 V 0 -561 У
£-12 -(«1«3 + «2«4)Н0 - («1«2 + «3«4)Н1 + («42 - «12)Н2 0.5 У 5б2 0 ^ V 0 -562 у
£-13 V 0 г У 05 ■ V -г °У
£-14 /0 1 А 05- V 1 Ч
£01 («1«3 + «2«4)Н0 + («1«2 + «3«4)Н1 + («32 - «22)#2 0.5- 0 ^ V 0 -562 у
£02 («1«4Н0 + (V - «32)Н1) + («3«4 - «1«2)Н2 /561 0 \ 05- 1 V 0 561 У
£03 ( 0 -Л 05- V -5 0 у
£12 (V + «22)Н0 + («1«4 + «2«3)Н1 + («1«3 - )Н2 63 0 05- 3 V 0 63 У
£23 0 61 05- Ч V 61 0 У
31 0.5- ^ 0 М V 62 0 у
£04 0 63 0.5- 3 V -63 0 у
£14 / 0 в61 \ 05- Ч V -561 0 У
£24 0.5 ■ ( 0 М V -562 0 у
4 со Н3 V г 0 У 05- V0 -
Таблица III: коэффициенты разложений по д4,др,дд, дг
Векторное поле д4 др д« дг
Но = ¿-10 — ¿12 0 0 -1 1
Н1 = ¿-11 — ¿02 0 sin(q-г) (еоШ p)еos(q-г) -(1апЬ p)cos(q-г)
Н2 = ¿-12 + ¿01 0 ео8(я-г) (еоШ р^ш(г^) ОапЬ p)sin(q-г)
¿0 = ¿-10 + ¿12 0 0 1 1
¿1 = ¿-11 + ¿02 0 sin(q+г) (еоШ p)еos(q+г) ОапЬ p)cos(q+г)
¿2 = ¿-12 — ¿01 0 еos(q+г) -(еоШ р^п^+г) -(1апЬ p)sin(q+г)
со 1 0 0 0
Таблица IV
¿ ¿^-1 ¿10 ¿11 ¿12 ¿13 ¿14
¿-10 0 0 0 0 14 —13
¿-11 0 0 0 14 0 12
¿-12 0 0 14 0 0 11
¿-13 1-1^4 2 1-1214 — 101114 — 101214 —101314 10(1 — 142)
¿-14 2 —1-11014 —1-11114 — 1-11214 —1-11314 1-1(1 — 142)
¿01 0 0 0 13 12 0
¿02 0 0 13 0 11 0
¿03 — 1-1^0^ 3 2 1-1213 — 101113 — 101213 10(1 — 132) —101314
¿04 2 1 310 2 —1-11013 — 1-11113 — 1-11213 1-1(1 — 132) —1-11314
¿12 0 0 — 12 11 0 0
¿23 1-11011 2 —1-1211 10(1 + 112) 101112 101113 101114
¿31 — 1-11012 2 1-1212 — 101112 — 10(1 + 122) — 101213 — 101214
¿14 2 —12102 1-11012 1-11112 1-1(1+ 122) 1-11213 1-11214
¿24 2 —11102 1-11011 1-1(1+ 112) 1-11112 1-11113 1-11114
4 3 — 10 1-1 0 0 0 0
Н0 0 0 12 —11 14 —13
Н1 0 0 —13 14 — 11 12
Н2 0 0 14 13 12 11
Н со — 10 1-1 0 0 0 0
¿0 0 0 — 12 11 14 —13
¿1 0 0 13 14 11 12
¿2 0 0 14 —13 — 12 11
Литература
1. Baez J.C., Segal I.E., Zhou Z. Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory. Princeton University Press, Princeton, 1992.
2. Гуц А.К., Левичев А.В. К основам теории относительности. Доклады Академии Наук СССР. 1984. № 277. C. 1299-1303.
3. Kon M., Levichev A. Towards Analysis in Space-Time Bundles Based on Pseudo-Hermitian Realization of the Minkowski Space // Journal of Functional Analysis. 2016. (submitted).
4. Левичев А.В., Левичева В.Ю. Анализ в космических расслоениях. Выпуск 1: Основы хронометрии и скалярное расслоение. Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 1993.
5. Levichev A.V. Segal's chronometry: emergence of the theory and its application to physics of particles and interactions // The Search for Mathematical Laws of the Universe: Physical Ideas, Approaches and Concepts, eds. MM Lavrentiev and VN Samoilov (Novosibirsk: Academic Publishing House). 2010. С. 69-99.
6. Levichev A.V. Pseudo-Hermitian realization of the Minkowski world through DLF theory // Physica Scripta. 2010. Т. 83, N. 1. С. 015101.
7. Levichev A. A Contribution to the DLF-theory: on singularities of the SU(2,2)-action in U(1,1) // Journal of Modern Physics. 2016. (accepted for publication).
8. Levichev A.V., Feng J. More on the Mathematics of the DLF Theory: Embedding of the Oscillator World L into Segal's Compact Cosmos D // AJUR. 2013. V. 11(3-4). P. 29-33.
9. Paneitz S.M., Segal I.E. Analysis in space-time bundles I: General considerations and the scalar bundle // Journal of Functional Analysis. 1982. V. 47. P. 78-142.
10. Segal I.E. Mathematical Cosmology and Extragalactic Astronomy. New York: Academic Press, 1976.
11. Segal I.E., Jakobsen H.P., 0rsted B., Paneitz S.M., Speh B. Covariant chronogeometry and extreme distances: Elementary particles // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1981. Т. 78, N. 9. С. 5261-5265.
12. Segal I.E. Is the Cygnet the quintessential baryon? // Proc. Natl. Acad. Sci. 1991. V. 88. P. 994-998.
13. Segal Archive, MIT, http://math.mit.edu/segal-archive/ publications_03_09_08.pdf
14. Werth J.-E. Conformal group actions and Segal's cosmology // Rep. Mathematical Phys. 1986. V. 23(2). P. 257-268.
15. Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group // Annals of Mathematics. 1939. V. 40 (1). P. 149-204.
U(1,1)-BASED ANALYSIS IN SPACE-TIME BUNDLES: THE TABLES OF THE INFINITESIMAL SU(2,2)-ACTION
A.V. Levichev1
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, Senior Researcher, e-mail: alevichev@gmail.com
A.Yu. Palyanov23 Ph.D. (Phys.-Math.), Senior Researcher, e-mail: palyanov@iis.nsk.su
1Sobolev Institute of Mathematics 2A.P. Ershov Institute of Informatics Systems 3Novosibirsk State University
Abstract. Segal's Chronometric Theory is based on the space-time D which can be represented by a Lie group with a causal structure determined by an invariant Lorentzian form on the Lie algebra u(2). Similarly, the space-time F is represented by a Lie group with a causal structure determined by an invariant Lorentzian form on the Lie algebra u(1,1). The Lie groups G, GF are introduced as two representations of SU(2, 2) which are conjugate via particular matrix W from G1(4). Linear-fractional G-action on D is global and conformal; it is instrumental in the analysis of space-time bundles which is based on the parallelizing group U(2). The latter analysis was carried out by Paneitz and Segal in 1980s. Linear-fractional GF-action on F (introduced by Levichev in 2000s) is also conformal. Despite singularities of the latter action, the group U(1,1) can be chosen as the parallelizing one. In the paper we obtain tables (similar to the "Paneitz-Segal tables") which are necessary in order to perform the analysis of space-time bundles based on the parallelizing group U(1, 1).
Keywords: parallelizations of space-time bundles, Segal's cosmos, conformal group SU(2,2) actions on U(2) and on U(1,1), DLF-theory.
Дата поступления в редакцию: 23.07.2016
