Анализ устойчивости возмущенного движения системы управления тормозами колесных машин Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

АВТОМОБИЛЕСТРОЕНИЕ И КОНСТРУКТИВНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

УДК 629.113

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТОРМОЗАМИ КОЛЕСНЫХ МАШИН

А.Н. Туренко, профессор, д.т.н., В.М. Колодяжный, профессор, д. физ.-мат. н., С.Н. Шуклинов, доцент, к.т.н., В.И. Вербицкий, доцент, к. физ.-мат. н., ХНАДУ

Аннотация. Выполнен анализ устойчивости возмущенного движения системы автоматического управления тормозами на основе второго метода Ляпунова. Используя преобразования Лурье, получена каноническая форма системы уравнений автоматического управления. Это позволило определить необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы независимо от начального её состояния и конкретного выбора допустимой характеристики регулятора.

Ключевые слова: система, тормозное управление, колесная машина, функция Ляпунова, устойчивость.

АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ ЗБУРЕНОГО РУХУ СИСТЕМИ КЕРУВАННЯ ГАЛЬМАМИ КОЛІСНИХ МАШИН

А.М. Туренко, професор, д.т.н., В.М. Колодяжнпй, професор, д. фіз.-мат. н., С.М. Шуклінов, доцент, к.т.н., В.І. Вербицький, доцент, к. фіз.-мат. н., ХНАДУ

Анотація. Виконано аналіз стійкості збуреного руху системи автоматичного керування гальмами на підставі другого методу Ляпунова. Використовуючи перетворення Лур\&, отримано канонічну форму системи рівнянь автоматичного керування. Це дозволило визначити необхідні та достатні умови асимптотичної стійкості системи незалежно від її початкового стану та конкретного вибору допустимої характеристики регулятора.

Ключеві слова: система, гальмове керування, колісна машина, функція Ляпунова, стійкість.

ANALYSIS OF PERTURBED MOTION STABILITY OF WHEELER VEHICLES

BRAKES CONTROL SYSTEM

A. Turenko, Professor, Doctor of Technical Science, V. Kolodyazhnyi, Professor, Doctor of Physico-Mathematical Science, S. Shuklinov, Associate Professor, Candidate of Technical Science, V. Verbytskiyi, Associate Professor, Candidate of Physico-Mathematical Science, KhNAHU

Abstract. The analysis of the perturbed motion stability of the brake automatic control system on the basis of Lyapunov H second method is carried out. Using transformations of Lurie there has been obtained the canonical form of the system of equations of automatic control. It allowed determining the necessary and sufficient conditions of the asymptotic stability of the system irrespective of its initial condition and a definite choice of the admissible characteristic of the regulator.

Key words: system, brake system, wheel vehicle, Lyapunovas function, stability.

Введение

Процесс управления тормозами колесных машин может происходить при условиях:

□ тормозная сила на колесе имеет значение, близкое к значению силы сцепления колеса с опорной поверхностью или превышающее его;

□ тормозная сила на колесе меньше возможной силы сцепления колеса с опорной поверхностью.

Эффективность торможения в первом случае определяется коэффициентом сцепления колеса с опорной поверхностью и качеством рабочего процесса антиблокировочной системы, обеспечивающей адаптацию управляющего воздействия к условиям качения колеса. Данный случай управления можно охарактеризовать как экстремальный режим управления тормозами. Эффективность торможения во втором случае определяется управляющим воздействием водителя, эффективностью тормозной системы и качеством рабочего процесса регулятора тормозных сил. В этом случае режим управления тормозами характеризуется как доэкстремальный.

Анализ публикаций

Вопросы адаптивного управления в режиме экстремального управления колесными машинами освещены достаточно глубоко [1, 2].

Режим доэкстремального управления тормозами колесных машин исследовался в основном в плане распределения тормозных усилий [3]. Вопросы адаптации тормозного привода, направленные на стабилизацию эргономических параметров управления тормозами, исследованы недостаточно [3].

Цель и постановка задачи

Следует заметить, что режим доэкстремального управления тормозами характеризуется нестабильностью эргономических параметров, обусловленной действием возмущающих факторов, изменяющихся при эксплуатации:

□ массы колесной машины;

□ коэффициентов эффективности тормозных механизмов;

□ эффективности тормозного привода.

Вследствие этого водителю необходимо адаптироваться к меняющимся характеристикам тормозного управления. Причем влияние некоторых возмущающих факторов он может заранее оценить с определенной достоверностью (например, изменение массы машины после загрузки). Влияние других параметров или их сочетания водитель оценивает по замедлению машины только во время процесса торможения. В этом случае у водителя остается очень мало времени на адаптацию к изменившимся характеристикам тормозного управления.

С целью повышения качества и эффективности доэкстремального режима торможения требуется разработать автоматическую систему управления, которая позволит переложить функции адаптации с человека (водителя) на тормозное управление колесной машины. Заметим, что в этом случае тормозное управление выполняет функции регулятора в нестационарной системе управления объектом-колесной машиной, а водитель выполняет функции звена, определяющего параметры состояния колесной машины.

Обычно система автоматического управления содержит основной контур и контур самонастройки и состоит из объекта регулирования, измерителей, суммирующего прибора, сервомотора и механизма обратной связи. В нашем случае основной контур управления состоит из регулятора □ тормозного привода и исполнительных устройств □ тормозных механизмов. Под объектом регулирования понимается колесная машина, а совокупность измерителей, суммирующего прибора и модулятора управляющего воздействия образует контур самонастройки. Задача контура самонастройки обеспечить инвариантность основного контура управления к внешним воздействиям.

Целью работы является определение необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости системы автоматического управления тормозами в режиме доэкстремального управления независимо от начального её состояния и конкретного выбора допустимой характеристики регулятора. Для достижения поставленной цели необходимо составить систему уравнений системы автоматического регулирования и выполнить анализ ее устойчивости на основе второго метода Ляпунова.

Уравнения возмущенного движения системы управления

Уравнение движения колесной машины при торможении имеет вид [4]

(1)

соп-

где Рв □ сила сопротивления движению колесной машины со стороны воздуха, Рв = квК [К к)]2; Р¥ □ сила дорожного ротивления движению колесной машины, Рц, = т& § V; Рт - тормозная сила на тормозных колесах, Рт =[РП Ц) - Р0 ]ту ; Р] □ сила инерции колесной машины, Р] = та8 ]'Т (^ .

Преобразуем уравнение (1), при этом замедление ]т (^) колесной машины запишем как

■ , ч лк

отрицательное ускорение ]т (^) = —

dt

s dVa

—m„ S„ a

' - Ж (2)

= КвКа [Ка ()]2 + т § V + [Р (') - Р0 ] КТу ,

где та □ масса колесной машины; 5вр □ коэффициент учета вращающихся масс колесной машины; Уа^) □ скорость движения

колесной машины; ^ □ независимая переменная; Iе[^0,] ((0 □ время начала процесса, ^ □ время торможения колесной машины); кв, Ка □ коэффициент обтекаемости и лобовая площадь машины; § □ ускорение свободного падения; ц □ коэффициент дорожного сопротивления; Рп (^) □ управляющее воздействие, подведенное к педали тормоза колесной машины; Р0 □ нечувствительность тормозного управления колесной машины; Кту = /пКу [К32Кртс ] □

коэффициент передачи тормозного управления (/п □ передаточное число педали тормоза; Ку □ коэффициент сервисного усиления

управляющего воздействия, подведенного к педали тормоза; Кт1, Кт2 □ коэффициенты передачи тормозных контуров; Кэ1,Кэ2 □

коэффициенты эффективности тормозных колес; Кртс □ коэффициент регулятора тормозных сил).

Поделив обе части уравнения на произведение □—ma5вр □ и полагая, что на данном участке линеаризации уравнения движения колесной машины Уа ср = const, получим

dVa = — Кв ср у (t)— g V —

dt m„ S„„ a S„„

(3)

m„ S„

■[ P (t) — Po ]

С учетом положений, приведенных в [5], коэффициент эффективности тормозного управления можно представить в виде

к =

j (t) — jw+v (t)

Pn (t) — Po

(4)

где ]№+ч,^) □ замедление колесной машины,

обусловленное силами сопротивления воздуха и дороги.

Теперь на основе сопоставления последнего компонента в уравнении (3) и выражения (4) коэффициент эффективности тормозного управления можно записать как отношение

к=. *■>'

m„ 8„

(5)

Введем обозначения: dV $

—- = Уа □ ускорение колесной машины; dt

a =-

□ коэффициент (квазистацио-

та 5в,

нарный);

§ V

р =---- □ замедление колесной машины,

5вр

обусловленное сопротивлением дороги; и = Рп ^) - Р0 □ задающее воздействие тормозного управления.

Уравнение (1), описывающее объект управления (колесную машину) с учетом принятых обозначений и отношения (5), приобретает вид

У = —аУа —Р — ки •

(6)

Данное уравнение (6) имеет линейный характер на определенном участке движения при

действии возмущений. Коэффициент эффективности тормозного управления к в общем случае может быть переменным, например, при снижении эффективности в случае существенного нагрева тормозных механизмов. В рассматриваемом случае коэффициент эффективности тормозного управления к имеет квазистационарный характер.

Невозмущенное движение на этом участке можно представить в виде уравнения (7), описывающего некоторую модель, соответствующую установившемуся движению колесной машины в негруженом состоянии.

(7)

где Км, Км □ соответственно ускорение и скорость движения эталонной модели колесной машины, у которой масса тсн соответст-

вует снаряженному состоянию; ам =

*в КУЫ т 8

сн вр

□ коэффициент (квазистационарный на данном участке линеаризации уравнения движе-

К

ния эталонной модели); км = —— □ посто-

тсн

янный коэффициент эффективности тормозного управления эталонной модели; q □ задающее воздействие управления модели.

Вычитая из (7) уравнение (6), после преобразований получим уравнение возмущенного движения системы

^1 = -°ме1 +(а - °м )К - км q+ки, (8)

где в1 = Ум - Ка и в1 = V ы - К □ отклонение, соответственно, скорости и ускорения при действии возмущений.

Учитывая, что коэффициенты а и ам отличаются незначительно, то второй член в правой части уравнения (8) можно считать несущественным и опустить. Введем обозначения: к = км - Ак , и = q + £ и после преобразований уравнение (8) примет вид

=-амЄі -Щ + к £,

(9)

где Ак □ снижение коэффициента эффективности тормозного управления; £ □ коррекция управляющего воздействия.

Для линейного объекта управления и нелинейного управляющего устройства (тормозного привода) система уравнений автоматического управления имеет вид

х1 = -ам х1 - Дкд + к £ х2 = хі £ = / И

с = -с1х1 + с2 х2 - г£

(10)

где х2 □ отклонение координаты (тормозного пути) колесной машины; х2 = х1 = в □ отклонение скорости движения; х1 =в □ отклонение ускорения колесной машины; /(с) □ характеристика модулятора; с □ входной сигнал модулятора; с1, с2 □ передаточные

числа измерительных цепей; г □ коэффициент обратной связи системы управления.

В матричной форме записи система (10) приобретает вид

х = Ах - Дкд + Ь£

£ = / (с)

с = (сТ, х )-г£

(11)

где А =

0 1 Г хі Г хі Г к 1

0 V ; х = ;х = ;Ь = V 0 V

V Х2 V V Х2 V

сТ =

^-с > с1

V С2

□ матрицы системы; (.,.) □ скалярное произведение векторов.

В уравнениях (11) неизвестными функциями времени является матрица-столбец х и скалярная величина £ . Дифференцируя систему (11), получим описание скорости изменения параметра для оценки состояния системы управления. Для приведения системы уравнений к нормальной форме записи перейдем к новым переменным, а именно, пусть

у = Ах - Дкд + Ь£ = х с = (сТ ,х)-г£ '

(12)

Тогда после дифференцирования и замены переменных в системе (11) получим

или

у = Ах + Ь£

с = (сТ, х )-г£ £ = / (с)

у = Ау + ь£ с = (сТ, у )-г£ £ = /(с)

(13)

Преобразуем второе уравнение системы (13), подставив значение у

с = I

--сТ (ау + Ь£)-г£ = сТАу + ((сТ,ь) - г)£, обозначив

г * = -(( ст, Ь )-г );

* і ^

с = Ас,

и учитывая, что сТА = (АТ с) , получим

с = (с*) у - г*£ . После проведенных преобразований и введенных обозначений система уравнений (10) приобретает вид

у = Ау + Ь£

с = (с*)Ту-г*£. (14)

£ = / (с)

Упростим систему (14), подставив в первое и второе уравнения значение £ .

у = Ау + Ь/ (с)

ЧТ *.. . (15)

с =

(с*) у -г */(с) ]

Потребуем, чтобы определитель линейного преобразования (12) был отличен от нуля

-а„ 0 к

М

1 0 0

= к • с2 Ф 0 . (16)

В этом предположении дифференциальные уравнения возмущенного движения (11) и (15) будут взаимно эквивалентны. Это озна-

чает, что из абсолютной устойчивости относительно переменных у и с следует абсолютная устойчивость относительно переменных х, £,и наоборот.

Условия устойчивости можно отыскать и по системе (15) в матричной форме [6, 7], но метод, предложенный Лурье [8], более простой. Метод Лурье основан на переходе к каноническим переменным и позволяет независимо от начального состояния системы и конкретного выбора допустимой характеристики /(с) регулятора определить необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы (11).

Для перехода в системе (15) к каноническим переменным выполним линейное преобразование

и = Лу

с неособенной матрицей Л-1 =Ю/||. Для

компонентов уравнений (15) линейное преобразование имеет вид

у = Л 1и, у = Л 1и .

После линейного преобразования система (15) примет вид

Л 1и = АЛ 1и + Ь/ (с)

с = (с*) Л-1и - г * / (с)

Преобразуем первое уравнение, умножив его слева на матрицу Л

ЛЛ-1и = ЛЛЛ-1и + ЛЬ/(с) .

Тогда, учитывая равенства ЛЛ-1и = Еи = и и обозначив В = АЛЛ-1, И = ЛЬ , g = (Л-1 )т с , найдем

и = Ви + И/ (с) І с = gтu - г*/ (с)|

(17)

Будем задавать не матрицу Л, а матрицу В, считая, что она представляет нормальную форму Жордана для матрицы Л [9]. Для определения нормальной матрицы Жордана

найдем корни характеристического уравнения

где Е =

det( А - ХЕ) =

Г1 01

-а„ - Х 0

М

1 -Х

V0 1V

□ единичная матрица. Раскрывая определитель, получим

Х'(Х + ам ) = 0;

отсюда найдем корни характеристического уравнения: Х1 = -ам и Х2 = 0 .

Так как только один корень характеристического уравнения равен нулю, а второй корень простой, то нормальная матрица Жордана

Из этих уравнений независимыми являются только два. Поэтому два неизвестных элемента матрицы Л можно выбрать произвольно, выполнив при этом условие detЛ Ф 0 . Предположим, что а11 = 1; а22 = 1. Тогда из найденных уравнений (18) определим

= п =1 = 1

а12 = 0, а21 = Л = .

Х1 ам

Теперь матрица Л вполне определена

Г1 0 ^

Л =

а. V

Обратная матрица Л 1

для матрицы Л имеет вид [9] ГЛи Л 21

В= % 0 1 % 01 Л-1 = А Л12 А Л 22

=

V 0 Х 2 V V0 0 V V А А V

В уравнениях (17) нужно найти матрицы И и g , а для этого нужно знать матрицу Л и обратную матрицу Л-1.

где Лк- □ алгебраическое дополнение элементов ак матрицы Л; А det Л □ определитель матрицы Л .

Обозначим

Л =

Га11 а121

Vа21 а22 V

Алгебраическое дополнение элемента а^ равно его минору, умноженному на (-1)к+1 [10]. В нашем случае

Матрицу Л будем искать, пользуясь формулой [9]

ВЛ = ЛЛ .

Составим произведение ВЛ и ЛЛ

А = det

1 0 ±1

= 1;

Л11 = 1; Л12 = ;Л21 = 0;Л 22 = 1

ВЛ =

ГХ, 01 Га,, а12 1 ГХ1а11 Х1а121 0 0

V 21 а 22 V

V

ЛА =

ГаДп 1 Г Х, 01 ГХ-

11 12

Vа21а22 V

V1 0 V V

а,, +а.

1 11 12 Х1а 21 +а 22 0

01

Следовательно, обратная матрица

Г 1 01

л-1 =

-— 1

V °м V

Так как матрицы ВЛ и ЛЛ равны, то должны быть равны соответствующие элементы

Х^ц = Х^ц +а12 0 = Х^ 21 +а

22

Х1а12 = 0

0 = 0

. (18)

Определим векторы И и g по формулам [9]

! = ЛЬ =

Г 1 °1Гк 1 Г к 1

V ам V

V 0 V

V ам V

а

У

; = (Л-1)с* = (Л-1)' А'с =

11

1--------

а

V0 1 У

-а„

11

V 0 0 V

V г2 V

(

аи Г1 + Г2

Система уравнений (11), записанная в скалярной форме после замены переменных х и £ , соответственно, на и и , с примет вид

V = -|е^2 • 2 -/(с)с . (21)

Внесем в выражение (21) значения производных 21 и с из уравнений (19)

V = -12 [Х1 2 + /(с)]-/(с)[е2 - г*/(с)], или

й 1 = Хи +И1 / (а) й 2 = К/(а)

а = glйl +g2й2 -г /(а)

где ^ = к;И2 = — ^ = амг1 + г2;g2 = 0-а„

Заменим переменные й на канонические г по формулам

В результате замены переменных и обозначений коэффициентов имеем каноническую форму записи уравнений системы управления

V = -|Х^2 - (|+ е )21/(с) + г*/2 (с). (22)

Поскольку функция V определенно-отрицательна относительно переменных 21 и с и не зависит от 22, то устойчивость движения системы управления будет обеспечиваться при определенно-положительном значении ее полной производной (22).

Для анализа устойчивости движения системы управления рассмотрим два математически возможных варианта:

□ вариант первый: коэффициент е1 > 0, и,

Тогда равенство (20) примет вид

г1 =Х1г1 +/ (а) г2 = / (а)

а = е^ - г*/(а)

где <?1 = glИl = (амг1 + г2)к ; е2 = g2И2 = 0

// ч \ Г Г к 1 1

Г * = “((с\ Ь )-Г ) = - (“г1 +г2)

(19)

= г + г1к.

Условия абсолютной устойчивости движения системы

Для определения достаточных условий абсолютной устойчивости составим следующую функцию Ляпунова [9]

V = -е^ г2 - 2^/(а) + г /(а)

что можно записать и так

V = -е1Х1

" / (а)" 2 * е '

г1 ^ _ 1 Х1 _ + Г + 1

/2(а) .(23)

Эта функция будет определенно-положительна относительно 21 и с, если при е1 > 0 будет выполняться условие

г’ +^ > 0. Х,

(24)

Преобразуем условие (24), подставив значе-

ния е1 и Х1

1 а

V = “| е1 г2 -{ / (а)<і а. (20)

2 п

Очевидно, что функция V определенноотрицательна относительно переменных 21 и с и не зависит от 22. Вычислим полную производную от функции V по времени

-а

га„, > кг2.

М 2

И окончательно условие обеспечения устойчивого движения системы управления в первом варианте примет вид

У

г >к^.

(25)

г + с1к > 0 ^ г > -с1к .

Область абсолютной устойчивости системы автоматического управления тормозами колесной машины, в соответствии с условием (25), можно представить в виде рис. 1.

Минимальное и максимальное значения па-

7 С2

раметра к— для данного линеаризованного

М

участка движения определяются коэффициентом эффективности тормозного управления к, параметрами колесной машины в снаряженном состоянии и средней скоростью ее движения на этом участке. При этом необходимо также соблюдать условие (16).

Область абсолютной устойчивости системы автоматического управления в этом случае имеет вид, представленный на рис. 2.

Рис. 1. Устойчивость движения системы управления при е1 > 0

□ вариант второй: коэффициент е1 < 0 и, соответственно, 1^1 = —е1.

Теперь равенство (22) приобретает вид

V = еЛ^12 + г72Н. (26)

Функция V, определенная равенством (26), будет определенно-положительной относительно г1 и с, так как А,1 = —ам < 0 при всех е1 < 0 , если выполняется условие

г > 0 .

(27)

Подставив значение г , окончательно получим условие устойчивости во втором варианте

Рис. 2. Устойчивость движения системы управления при е1 < 0

Выводы

В соответствии с первым вариантом условия устойчивости возмущенного движения, коэффициент обратной связи г системы управления тормозами колесной машины должен быть больше нуля.

Минимально допустимое значение коэффициента обратной связи г определяется минимально допустимым значением коэффициента эффективности тормозного управления кт1П [11] и максимальной скоростью модели колесной машины Ум тах . Данная скорость должна соответствовать максимальной технической скорости колесной машины в снаряженном состоянии.

Максимальное значение коэффициента обратной связи г определяется максимально допустимым коэффициентом эффективности тормозного управления ктах [11] и минимальной скоростью модели колесной машины Ум тт , которая должна быть равна минимальной устойчивой скорости движения колесной машины.

Второй вариант условия устойчивости возмущенного движения системы, то есть в случае отрицательного значения коэффициента е1, возможен только при отрицательном зна-

а

г

чении коэффициента эффективности тормозного управления к (см. систему (19)). Фактически это означает, что заданному усилию на педали тормоза соответствует определенное ускорение колесной машины. То есть данный вариант условия устойчивости соответствует тяговому режиму и не приемлем для анализа устойчивости возмущенного движения системы управления тормозами колесной машины.

Литература

1. Ревин А.А. Повышение эффективности, устойчивости и управляемости при торможении автотранспортных средств: дис. □ докт. техн. наук: 05.05.03 / Ревин Александр Александрович. □ Волгоград, 1983. □ 522 с.

2. Ревин А.А. Автомобильные автоматизи-

рованные тормозные системы: техническое решение, теория, свойства: монография / А.А. Ревин. □ Волгоград:

Изд-во Ин-та качеств, 1995. □ 160 с.

3. Богомолов В.А. Создание и исследование систем управления торможением автотранспортных средств: дис. □ докт. техн. наук: 05.22.02 / В. А. Богомолов. □ Харьков, 2001. □ 537с.

4. Литвинов А.С. Автомобиль: теория эксплуатационных свойств: учебник для вузов по специальности «Автомобили и автомобильное хозяйство□ / А.С. Литвинов, Я.Е. Фаробин. □ М.: Машиностроение, 1989. □ 240 с.

5. Туренко А.Н. Формирование граничных условий статической характеристики тормозного управления колесной машины / А.Н. Туренко, С.Н. Шуклинов // Тематичний випуск: Транспортне ма-

шинобудування: зб. наук. пр. □ Харюв: НТУ «ХПШ □ 2009. □ № 47. □ С. 26СВ3.

6. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования /

B.А. Якубович // ДАН СССР. □ Т. 143, № 6. □ 1962. □ С. 1304П307.

7. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. 1. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний / В.А. Якубович // Автоматика и телемеханика. □ 1964. □ Т. 25, № 7. □

C. 1017П028.

8. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования / А.И. Лурье. □ М.-Л.: Гостехиз-дат, 1951. □ 217 с.

9. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Меркин. □ М.: Наука, 1971. □ 312 с.

10. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. □ М.: Наука, 1984. □ 833 с.

11. Савельев Б.В. Обоснование статической характеристики тормозной системы автомобиля: автореф. дис. на соискание учен. степени канд. техн. наук: 05.05.03 «Автомобили и тракторы» / Б.В. Савельев. □ М., 1988. □ 21 с.

Рецензент: М.А. Подригало, профессор, д.т.н.,

ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 15 августа

2011 г.