Анализ устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах импульсных источников тока программируемой формы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ К АВТОКОЛЕБАНИЯМ НА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ ИМПУЛЬСНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТОКА ПРОГРАММИРУЕМОЙ ФОРМЫ

В.А. Толмачев, Д.В. Осипов

Методом точечных отображений определены границы областей устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах в одноконтурной системе управления источника с ПИ -регулятором тока, ШИП с ШИМ2 и индуктивным сглаживающим фильтром.

В работе рассматривается импульсный источник тока с замкнутой одноконтурной системой автоматического регулирования (САР) тока, структурная схема и временные диаграммы работы которой представлены на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема и временные диаграммы работы САР

САР содержит пропорционально-интегральный регулятор тока (РТ) с коэффициентом передачи Кп и постоянной времени интегрирования Ти; широтно-импульсный модулятор (ТТТИМ), реализующий широтно-импульсную модуляцию второго рода (ШИМ-2) и построенный на основе генератора опорного напряжения (ГОН) и компараторов; индуктивный сглаживающий фильтр (Ф) с постоянной времени Тф и статическим коэффициентом передачи Кф; датчик тока (ДТ) с коэффициентом

передачи Кдт. РТ преобразует сигнал ошибки е(\) = из - Кдт/(^), где из - сигнал задания тока ^), в сигнал управления и у ( ). ГОН формирует опорный сигнал ио(}) пилообразной формы с амплитудой ио, периодом Тк и глубиной модуляции М (0 <М < 1) [1]. Выходной сигнал ШИМ и() представляет собой последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой и, срез и фронт которых на п-м периоде Тк формируются в моменты времени tс п и tф п соответственно.

Возможны различные режимы работы САР. Нормальным (основным) является режим вынужденных колебаний с периодом Тк, задаваемым ГОН. Особыми являются режимы вынужденных колебаний с периодом, не равным Тк. Характерными особыми режимами для САР с ШИМ-2 являются режим автоколебаний на субгармонических частотах и скользящий режим.

Обзор работ, посвященных анализу и синтезу САР с ШИМ-2, позволяет сделать вывод о том, что в них эти диапазоны ограничиваются либо условиями устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах, либо условиями отсутствия скользящего режима. Так, например, в работе [2] предложена методика параметрического синтеза рассматриваемой САР, заключающаяся в таком выборе значений Тф и Кп, чтобы при заданных значениях Тк, из, М = 0.5 и условии Ти = Тф

обеспечить требуемое быстродействие САР и максимально допустимый уровень пульсаций тока /((). При этом выбор значения Кп, определяющего быстродействие САР, ограничен только условиями отсутствия скользящего режима, а устойчивость к автоколебаниям на субгармонических частотах не рассмотрена. Следует отметить, что под условиями устойчивости системы к автоколебаниям на субгармонических частотах специалисты, занимающиеся динамикой систем с вентильными преобразователями, понимают на самом деле условия, при которых такие колебания не возникают [1, 3] В работе [4] выбор значения Кп ограничен только условиями устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах, поскольку возникновение скользящего режима исключено за счет введения дополнительных узлов в ШИМ, в частности ДО-триггера. Необходимо отметить, что подобное схемотехническое решение может быть реализовано лишь при М = 0 или М = 1. Необходимо также отметить, что САР с ШИМ-2 при М = 0.5 обладает лучшими динамическими характеристиками, чем при М = 0 или М = 1 [1]. Таким образом, вопрос о выборе параметров САР с учетом как условий устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах, так и условий отсутствия скользящего режима при 0 < М < 1 является актуальным.

Задачей данной работы является определение областей устойчивости рассматриваемой САР к автоколебаниям на субгармонических частотах и областей отсутствия скользящего режима.

Динамические процессы в САР описываются уравнениями

— = АХ (() + Ви(();

Ж

(1)

,(() = СХ (() + Би(();

,(() =

и о

, если шоё

' t ^

МТк ((1 - М ) - t) о

Т

к1 к у

< МТк;

(1 - М )

/ (() = " (()-и0 ^);

если шоё

' t ^

Т

^ к У

> МТк;

и(( ) = и (1 + в1вп(/к (())),

где X(()=[((); ии (()]Т - вектор состояния линейной непрерывной части (ЛНЧ) САР; ии (() - интегральная составляющая сигнала управления иу ^); и( )= [и((); из ]Т - вектор внешних воздействий на ЛНЧ; /к (t) - коммутационная функция; А, В, С и Б -матрицы коэффициентов:

А =

" 1 "К Ф

0 0

Т 1ф ; в = тф

К п К дт К

п дт 0 0 п

Т и Т и

; С = [-КпКдт 1];Б = [0 Кп].

Границы областей отсутствия скользящего режима, полученные из условий

и

и

Лиу (пТк + *с, «) < Лио (пТк + *с, «)

Л Л 5

Лиу (пТ + МТк + /ф „) < Лио (пТ + МТк + /ф, „)

Л

[1, 2], для рассматриваемой САР определяются неравенством

( ит \ иоТф

< и з <■

Л

и т

к к и__о ф

к дт Кфи - к пТк (1 - М)

о ф

к т м

Для обеспечения устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы Якоби отображения САР в простой неподвижной точке последнего, соответствующей нормальному режиму работы САР, были по модулю меньше единицы [5]. Для определения границ устойчивости рассматриваемой САР к автоколебаниям на субгармонических частотах необходимо, следовательно, получить выражения, задающие отображение, систему уравнений для вычисления значений координат простой неподвижной точки и уравнение для вычисления значений собственных чисел матрицы Якоби.

Решение уравнения (1) на каждом из временных интервалов периода Тк имеет

вид

х(( )=е А(м» )х (о)+1 е А(-е)ви(е)ле.

/0

Перепишем (3) в виде

х(()= - /о)х(/о)+ У(( - /о)и(/о),

(3)

(4)

где Р(()= вА' - фундаментальная матрица ЛНЧ; У(()=|Р((-е)ев - матрица,

/о

учитывающая влияние вектора и(() на решение уравнения (1):

*(( ) =

Тф К п К дт

е~Тф

( I

т„

е

т

-1

; у(()=

к

К п К дт К ф

1 - е

' Л

т

V

- ± Л

Т - / - т е Тф

фф

У

к

Т

Подставляя в (4) /о = пТк, получаем решение уравнения (1) на интервале пТк < / < пТк + /„ п, где и(() = и, в виде

к с, п ■

х() = Ж(( - пТк )х(пТк) + У( - пТк Ж). (5)

Подставляя в (4) /о = пТ + / , получаем решение уравнения (1) на интервале

пТк + *с, п < / < пТк + МТк + п, где и(/) = ^ в

виде

х()= ¥(/-(пТк + /с, я ))х (пТк + /с, я)+ У(/-(пТк + /с, я ))и(пТк + /с, я).

(6)

Подставляя в (4) /о = пТк + мТк + /ф п, получаем решение уравнения (1) на интервале пТк + мТк + /ф п < / < (п + 1)Тк, где и(/) = и, в виде

х(()= ¥(/-(пТк + МТк + /ф, я ))х (пТк + МТк + /ф, я) +

+ у(/-(пТк + МТк + /ф, п ))и(пТк + МТк + /ф, п). (7)

Подставляя / = пТк + /с п в (5), получаем разностное уравнение х (пТк + /с, п) = г(/о, п )х (пТк) + У (/с, п )и(пТк). (8)

Подставляя / = пТк + мТк + /ф п в (6), получаем разностное уравнение

х (пТк + МТк + /ф, п )= Р(МТк + /ф, „ - /с, „ )х (пТк + /с, п )

+

Т

ф

о

+ V(MTK + Тф, „ - tc, „ )и(«Тк + тс, „). (9)

Подставляя t = (п + 1)Тк в (7), получаем разностное уравнение Х((п +1) ) = Е((1 - М)Тк - tф, п )Х(пТк + МТк + Тф, п) +

+ у((1 - М)) - Тф, п )и(пТк + МТк + tф, п). (10)

Подставляя (8) в (9), получаем разностное уравнение

X (пТ + МТк + tф, п)= р(мтк + tф, п )х(пТк)+у(Мтк + tф, п )и(пТк)+

+ V(MTK - тс,п + tф, п)(и(пТк + tc, п)-и(пТк)). (11)

Подставляя (11) в (10), получаем разностное уравнение состояния ЛНЧ САР Х/п +1) ) = / (X (/Тк)) = Р(ТК )Х (пТк) + У(ТК )и(пТк) +

+ V// -М)) - tф, п )/и(пТк + МТк + tф, п)-и(пТк - tc, п ))-

- V(TK - tc, пХи/Т)-и(пТк - tc, п)). (12) Исходя из условия /к (пТк + Тс п )= 0 с учетом (8), получаем нелинейное уравнение

для вычисления значения t

^ с, п

/с (^ п, Х/пТк)) = c(F(tc, п )Х(пТк) + V(tc, п )и(пТк))+

+ ш/ + т„, п)-Мтг = 0. (13)

Исходя из условия /к (пТк + мТк + tф п )= 0 с учетом (11), получаем нелинейное уравнение для вычисления значения tф п

/ф(Тс,п, tф, п, Х/т))= ФМТК + tф, п)Х(пТк)+ V(MTK + tф, п)и(пТк)+

+ V(MTK - тс, п + Тф, п)/и(пТк + тс, п)-и(пТк)))+

+ ш/ + мТк + тФ п)- и0 ((1(/-МГ)Т ^ ) = 0 . (14)

Исходя из принципа действия ШИМ-2, значения Тс п и Тф п не могут быть отрицательными и ограничены "сверху":

0 < Тс,п < МТк ; 0 < Тф, п <(1 - М). (15)

При введении обозначений

Х/п +1)) = Х; Х/Т)= Х ; Тсп = Тс; Т^п = Тф;

и/Т ) = и/ + МТк + Тф, п )= [и,из ]т = и и; и(пТк - Тс, п )= [0,М ]т = и п выражения (12)-(15) примут вид

Х = F(TK )Х + V(TK )ии + ((/ -М) - Тф)- V(TK - Тс )))ии - ип); (16.1)

/с (Тс, Х) = С/ )Х + V(tc )ии) + Бип - МТ/т = 0; (16.2)

/ф (те, Тф, Х )= Ф(мтк + Тф )Х + v(мтк + Тф К -

- v((Tк - те + Тф)и - и))+ БГи - и0 ^"Тф) = 0; (16.3)

0<Тс <МТк; 0<Тф <(1 -м)тк . (16.4)

Совокупность выражений (16) представляет собой нелинейное двумерное отображение первого порядка, заданное неявно.

Значения координат простой неподвижной точки [х*, tc *, Хф* ] находятся в результате решения системы нелинейных алгебраических уравнений

Е(гк)х* -X* + V(Тк)ии +(у((1 -м)гк -^*)-у(гк -хе*))(ии -ип)= 0;

их

C(F(tc*)х* + у(tc*)ии)+ Бип -мт^ = 0;

с((мтк + ^* )х* + у(мтк + Хф* )и - у(мтк - tc *+^

ио ((1 - М) - tф *)

и - ип ))-

(17)

+ БП

= 0,

(1 - м )

полученной подстановкой X = X = X*, Хс (X*)= Хс *, tф (tc *, X*)= tф* в (16). Уравнение для вычисления матрицы Якоби I имеет вид

I = « = Цт.)- ^У

dX

ШХ

(и - и )+ду

ип

х=(1-м )тк -ф дх ш

(и - и А,

ип

х=Тк-Хс дх

(18)

где

Шхф

сСх

_дх

/ф

дх

= с

^т,+)+с-

Х=МГК -Хс +Хф

(и - и ) V и и)дх

дХф

д/ф = с ' с№

дХф СХ д/с

ШХс_ дх

сх д/с

X +

Х=МТк +Хф

су

СХ

и и -

х=МТк +Хф

су

СХ

Х =МТк-Хс +Хф

(и и - и п )

ио

(1 - м)

дХс

дх

дХс

СХ

X+су

Х=Хс Шх

и „

и о

мтк

Анализ собственных чисел матрицы Якоби (18) в простой неподвижной точке (17) показал, что при значениях параметров САР, выбранных с учетом условия отсутствия скользящего режима (2), все эти числа по модулю меньше единицы. Следовательно, при выборе значений параметров САР с учетом условия отсутствия скользящего режима, обеспечиваются и условия устойчивости к автоколебаниям на субгармонических частотах.

Литература

1. Глазенко Т.А., Синицын В.А., Толмачев В.А. Сравнительный анализ динамических характеристик транзисторных широтно-импульсных преобразователей // Электротехника. 1988. № 3. С.70-75.

2. Толмачев В.А., Кротенко В.В. Параметрический синтез системы управления программируемого источника тока, построенного на основе транзисторного ШИП // Изв. вузов. Приборостроение. 1999. Т. 42, № 9. С. 49-54.

3. Справочник по преобразовательной технике / Под ред. И.М. Чиженко. Киев: Техника, 1978. 447 с.

4. Белов Г.А. Полупроводниковые импульсные преобразователи постоянного напряжения: Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1994. 96 с.

5. Охоткин Г.П. Анализ и синтез САР тока с ПИ-регулятором и ШИМ-1 // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике / Материалы III Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. С. 153-159.

с