CC BY
60
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XXI 1 99 0
№ 5
УДК 629.735.33.015.017.22/.23
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ БОКОВОГО ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТА
А. В. Владимиров
Предложена методика приближенной оценки корней характеристического уравнения (4-го порядка) бокового движения самолета, обеспечивающая наряду с высокой точностью простоту и наглядность при исследовании влияния на корни аэродинамических параметров, определяющих боковое движение самолета.
1. Одной из важцых задач при анализе бокового движения самолета является определение зависимости корней характеристического уравнения от основных аэродинамических параметров. Различные способы решения этой задачи рассмотрены в ряде работ, из которых отметим [1—3].
Эти способы основаны либо на выделении больших параметров, сильно влияющих на корни, определении зависимости корней от этих основных параметров и последующего уточнения полученных зависимостей, с учетом малых параметров [3], либо на задании первого приближения корней характеристического уравнения и его последующего уточнения [1, 2]. Точность этих оценок и сложность их получения сильно зависят от начальных приложений, поэтому представляется целесообразным использовать начальные приближения, связанные со спецификой рассматриваемого класса самолетов. В данной работе для определения начального приближения используется допущение, характеризующее относительно большое демпфирование крена:
X
Здесь и далее используются общепринятые обозначения [1]. Принятое допущение с наибольшей точностью выполняется на основных режимах полета для самолетов с крыльями большого удлинения и самолетов с демпферами крена.
На предварительном этапе синтеза системы управления в боковом канале особый интерес представляет изучение зависимости коэффициента затухания и частоты боковых колебаний от коэффициентов демпфирования рысканья М“у, путевой статической устойчивости
Му и ряда других коэффициентов, что позволяет выбрать структуру обратных связей и оценить параметры системы управления.
Рассматриваемая ниже методика анализа зависимости корней характеристического уравнения от аэродинамических параметров основана на методе корневого годографа. Соотношение для определения корней характеристического уравнения в зависимости от коэффициента
М™у путем выделения определяющих параметров понижения порядка этого соотношения приводится к наиболее простому и удобному для анализа виду.
Рассматриваются уравнения бокового возмущенного движения самолета на режиме прямолинейного горизонтального полета (0 = 0, ,0'=а)1 записанные в связанной системе координат:
Р = 111 р -f- Sin a -f (1>у COS а + —■ у COS а J
ку = Л%$ + М;ушу + МГу*тх-
т _ в), — «)у tg а ,
где
Му = — q-1 - m)j ; Мх = —Л—---------~(тх +ту) .
Рассматривается характеристическое уравнение: pi + Asp3 + A2p2 + AJp-J-A0 = 0 .
Для получения результатов в более общем виде произведем в характеристическом уравнении замену независимого переменного р, вводя новую переменную
д:
В результате получим:
Р* + asp3 + а2 р2 + ciiP + а0 = О , (1)
+ sin a (At* Maxx - Ml M“*)] . (1.4)
Представив характеристическое уравнение в виде
{р - U {р —К?) (Р2 + 2С Р + щ) = О
и приравнивая выражения при равных степенях р, определим зависимость коэффициентов характеристического уравнения от его корней;
а3 = — Хкр — Хсп 4- 2С ; (2.1 )
О-ч — wo + 2С (Хкр + Хсп) + ХКр Хсп ; (2.2)
а\ — — 4 (^кР +^-сп) + 2СХкр Хсп ; (2.3)
я0 = “о-Хкр-Хсп • (2.4)
Рассматриваются самолеты с большим демпфированием крена,, что позволяет, выделяя корень, определяющий движение крена, понизить порядок характеристического уравнения. В данной статье под большим демпфированием крена понимается демпфирование, при котором имеет место неравенство
I АХкр| « 1 , где ДХкр=^-- 1. (3)
X
Допустим также, что
“о« | 2С • Хсп | и | Хкр! » | Хсп| (4)
(на основных режимах полета неравенства (4) выполняются для большинства компоновок самолетов).
С учетом допущений (3) и (4) из соотношений (2.1)—'(2.4) получим следующие аналитические оценки корней характеристического* уравнения (1):
^кр —' 1 > (5.1)
Юо ~ ; . (5-2)
Г ~ а° . Лсп " > (5.3)
«1
Хсп ~ Л\ . (5.4)
Используя оценки корней (5.1) — (5.4) в качестве первого приближения, найдем поправку к оценке (5.1) корня, определяющего движение крена. По определению имеем
Хкр=-1-ДХкр. (6)
Для оценки этого корня из соотношений (1.1) и (1.2) получим
му е1Уп1
'МШХ ' МШХ
ДЧ = dr. + + *с, (П
Рассматривая разность коэффициентов а2—аь уточним с учетом соотношения (6) оценку величины 2С—хсп [см. (5.4)]:
а2 — Я] = (2£— Хсп) (1 + ДХкр) -(- а»о Хсп -(- ДХкр (— шо~Ь 2С*Хсп) .
Используя введенные выше допущения (3) и (4) и оценку (5.2) квадрата недемпфированной частоты, получим
2С - Хсп = а2 — ах + а0 + at АГхкр . (8)
Подставляя соотношение (8) в (7) и используя выражения (1.1) — 0-4) коэффициентов характеристического уравнения через аэродинамические коэффициенты, получим следующее выражение для оценки величины Д^кр:
f МР / (Mwx + gjV^l — Af“y I Мтх) 'l cos a gj V sin a ■AX = ---------I -LJ!------—-y 1 x -1------------------------------f- —- + Sin a -
(A^>j2\ Mmx Mwx
X
g\V му\ Щ M“y( g/v
------sin a------ ---------------I sina-i------— COS a ) +
Mmx Мшх I Mmx\ Ma,x
X
му мшу ( givn*\ /f М*у / му-g/v
1 :-—— 11 / J1----—- I COS a — Sin a —------------- I +
(s7)’ \ 7 J / I (
,r< \
X \ X
Щ /M*x+glV giv \ g!Vn\ /M'“y M'"x му
_j------I ---------cos a -j-sin a I -j-I---------y———
мтх му J му уму
В выражении (9) имеются следующие малые параметры:
giv glv4 Яу-giv
,_, ) » a --------------- >
Max M‘"x Mmx
XX X
g/Vnl/M01 у Мшх Mmy\
2 I у ух.
'<0
(9)
Мтх \ мшх
(м:*у
и
му /му <^\.
Пренебрегая этими параметрами, получим
Д>.кр =
Wx (My+glV \ Щ му/ giv \ мтх му
COS a sin а ) + ----——I sin a-f —— cos a
Мшх
x
(M^xY Mmx\ Mwx / (МмхУ
\ X ) X \ X ) ^ ЛГ j
M?y M9X Mmx + giv
У
-------- COS a -j- ------------------- COS a
(му у Мшх
X
Следует отметить, что оценка величины ДХкр является также оценкой применимости данной методики.
Далее, представив характеристическое уравнение в виде
{р + 1 + ДХкр) {р3 + /?а + Ь1 р Ь0) =0
и приравнивая выражения при равных степенях р, получим следующие соотношения для коэффициентов Ьг характеристического уравнения пониженного порядка
Ра + Ь2 р2 + р + Ь0 = 0 ,
(10)
где
Ь1
мюу ё1У4 _
-------1— ---------А^-кр .
м/ м/
2 -** (а
м ух м/
Д>кр I 1
Му у''
м/,
г=^Гй, (С05 а (Му М“у — мау м1) + эш а (му М?у \М*Х)
л«^м1))/(1 + дХкР).
Используем уравнение (10) для получения корневого годографа по коэффициенту £ = МуУ ! Мхх
к [ Р3 + Р (^—Д^-кр^) +
[V му
Щ
уму [мУУ
(1 + дхкр)
Р3 4~ Р* ( — —— — + Р а1 + ао
I V му )
(И)
а. М*х Мшу
х ух
- * п*
+ Д^кр | 1------------:——г; + Д^ч
(й?)2 (К*)2 {КхУ \ у (?>)2
ч(-Щ МУ - МУ Ща + Шму а) / (1 + Д*КР)
У(*/) Используя допущение
До
< 1, которое практически всегда имеет
место, разложим знаменатель на сомножители
{р — ^сп0) [р2 4- 2Со р 4- шо),
где
ао
«1
2£о — — — Д Хкр — ,
У му «.
~2
<«о ~ а,
и представим (11) в следующем виде:
к \Р2 + Р
1 =
V Мтх
X
(р + ^спо) (р® + 2С0 Р + ®о)
(12)
где
-2 g (В! —
1
(13)
(й>)2
В уравнении (12) параметры «во и ев? обычно являются большими,
ё — —
определяющими значения корней, а параметры — , ДХКР, Хсп от-
V М х г 0 х
носительно малыми. Положив малые параметры равными нулю, получим
_ к
~Р (Р2 + “о)
При & = 0 из уравнения (13) следует, что корень соответствующий спиральному движению и коэффициент затухания равны нулю.
Для оценки влияния малых параметров при определении корня, соответствующего спиральному движению, и коэффициента затухания к их значениям, получаемым из приближенного соотношения (13), прибавим соответственно ХСПо и —С0, которые определяются полюсами корневого годографа (12).
Введем далее замену независимого переменного
Р
Р=— •
(Й0
Тяжелый неманевренный самолет
Режим полета і 2 3 4 5 6 7 8 9
Н, км 0,0 0,0 0,0 0,0 6,1 6,1 6,1 12,2 12,2
М 0,20 0,25 0,45 0,65 0,50 0,65 0,80 0,70 0,80
V, км/час 242 305 550 796 568 739 910 744 849
а, град 8,5 5,7 3.1 0,0 6,8 2,5 0,0 7.3 4,6
V г -0,09 -0,10 -0,14 -0,20 —0,08 —0,10 -0,12 -0,05 -0.06
щ — 1,33 —1,63 -3,19 -5,45 -2,05 —2,96 —4,12 —1,45 -3,05
м\ —0,17 -0,25 -0,81 —1,82 -0,42 -0,92 —1,62 —0,40 -0,60
Мхх -0,98 —1,10 -1,12 — 1,47 -0,65 —0,80 -0,97 -0,40 -0,47
ж* 0,17 0,13 0,07 0,02 0,07 0,05 0,02 0,04 0,03
Ж} —0,32 -0,19 —0,37 -0,25 -0,37 -0,31 -0,29 -0,31 -0,38
м/ -0,21 -0,22 -0,24 -0,34 -0,14 —0,19 -0,23 -0,09 -0,11
Окончательно получим следующее приближенное преобразованное уравнение пониженного порядка, соответствующее корневому годографу
по коэффициенту А =
М"у
У
Мшх
X
~ =?
Р2+ — ш0
р(р2 + о
(14)
Причем если (о/) — корни уравнения (14), то связь этих корней
с корнями исходного характеристического уравнения имеет вид
—«о '.ю0.Л5"дг, (15.1)
ХСП — —ХСп • + ^сп0
(15.2)
(15.3)
2. На примере двух самолетов различных классов — тяжелого неманевренного В-747 и маневренного самолета Р-4С в широком диапазоне режимов полета проведено сравнение точных значений корней характеристических уравнений с оценками данной работы и оценками работ [1]—[3]. Исходные данные, необходимые для проведения расчетов, были взяты из работы [4].
Рассматриваемые режимы полета, соответствующие им размерные аэродинамические производные бокового движения и ряд других параметров, а также значения корней характеристического уравнения и их оценки представлены в табл. 1, 2. Кроме того, на рис. 1 ,а, б и 2, а, б
Маневренный самолет
Таблица 1
Режим полета 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Н, км 0,00 0,00 0,00 4,57 10,66 10,66 10,66 13,71 13,71
М 0,20 0,80 1,10 0,90 0,60 0,90 1,20 1,50 2,15
V, км/час 252 979 1347 1044 640 961 1280 1593 2283
а, град 11,70 0,30 —0,30 0,50 9,40 2,60 1,60 2,60 1,40
ё в тпь -0,09 -0,33 —0,48 -0,21 -0,05 -0.09 —0,15 —0,11 -0,13
щ — 10,40 -26,30 -47,00 —27,40 -10,70 -18,30 —14,10 -11,70 —8,67
щ —1,44 -15,60 -38,20 —11,50 — 1,66 —4.97 —12.30 —9,90 —8,37
-—со м/ -1,43 —3,04 -3,11 -2,27 —0,79 -1,24 —1,38 -1,00 —1,08
М/ 0,02 0,03 -0,01 0,02 0,01 0,05 0,03 0,01 0,01
МУ —0,92 -0,81 -0,80 -0,63 —0,30 -0,39 -0,31 -0,32 -0,21
мту -0,21 -0,73 -1,20 -0,53 -0,13 -0,23 —0,39 —0,30 -0,27
Режим 1 2 3 4 5 6 7 8 9
полета
Точные значения корней
^кр -1,11 —1,22 —1,22 -1,55 —0,74 -0,91 -1,05 —0,46
^сп -0,04 -0,04 —0,01 -0,02 —0,00 -0.01 —0,01 0,00
5 —0,06 -0,07 -0,13 -0,21, —0,05 -0,08 —0,12 —0,04
<а 0,73 0,74 1,05 1,38 0,86 1,07 1,30 0,78
Оценки данной работы
^кр -1,09 -1,20 — 1,20 -1,56 —0,73 -0,90 -1,06 —0,45
''•сп -0,04 —0,05 -0,02 -0,02 —0,00 —0,01 -0,01 0,00
£ -0,07 -0,08 —0,14 -0,21 —0,07 —0,09 -0,12 —0,05
0,71 0,72 1,04 1,38 0,85 1,06 1,30 0,78
Оценки работы [1]
^Кр -0,76 —0,93 —0,99 —1,50 -0,42 -0,72 — 1,01 -0,30 0,36
''■СП -0,17 —0,13 -0,03 —0,02 -0,01 —0,01 -0,01 0,00 —0,01
6 -0,17 -0,18 -0,24 -0,24 —0,21 —0,18 -0,15 —0,12 —0,13
<й 0,57 0,61 0,96 1,32 0,78 1,00 1,26 0,75 0,90
Оценки работы [2]
^Кр -2.85 -3,38 — 1,54 -1,71 —0,88 —0,97 -1,05 -0,50 -0,58
^сп —0,08 -0,07 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,00 -0,01
6 0,78 0,97 0,02 —0,14 0,00 -0,06 -0,13 -0,02 —0,02
<0 2,10 2,51 1,17 1,47 0,77 1,03 1,30 0,67 0,81
Оценки работы [3]
^кр —0,79 -0,97 -1,03 — 1,47 —0,50 -0,75 -0,97 -0,31 -0,37
^сп 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-0,19 -0,17 -0,16 -0,17 -0,14 —0,12 -0.11 -0,09 —0,10
(О 0,47 0,53 0,94 1,33 0,76 1,00 1,26 0,74 0,89
корни, соответствующей колебательной составляющей бокового движения, представлены в комплексной плоскости.
Анализ, полученных результатов позволяет отметить следующее. Во-первых, в рассмотренных случаях данная методика обеспечивает оценки корней, более точные или сравнимые по точности с результатами рассмотренных работ [1]—[3], особенно это касается оценок коэффициента демпфирования '
Во-вторых, во всех рассмотренных случаях параметр ДХкр=^----------1
М“ х
_ х
мал, ДАКр<0,1 ^-0,2, что свидетельствует о широкой применимости изложенной в данной работе методики оценки корней.
Режим полета 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Точные значения корней
^■кр -1.15 -3,10 —3,12 —2,33 -0,65 — 1,32 —1,40 -0,99 — 1.08
^сп -0,01 -0,00 -0,00 —0,00 —0,01 -0,01 —0.00 0.00 —0,00
С —0,28 -0,50 -0.83 -0,33 -0,16 -0,11 —0,26 -0,21 -0,20
03 1,81 3,98 6.15 3,44 1,82 2,43 3,56 3,22 2,93
Оценки данной работы
^кр — 1,11 -3,09 -3,14 -2,33 -0,59 — 1,30 — 1,40 -0,98 — 1,08
^•сп —0,01 -0,00 -0,00 -0,00 -0,02 —0,01 -0,00 -0,00 —0,00
—0,30 -0,50 -0,82 -0,33 -0,18 -0,12 -0,26 -0,22 -0,20
со 1,76 3,97 6,13 3,43 1,80 2.42 3,56 3,22 2,92
Оценки работы [1]
^•кр —0,86 -3,01 -3,16 -2.24 -0,37 -1,03 — 1,33 —0,95 —1,05
^сп -0,02 —0,00 -0.00 -0,00 -0,02 -0,01 -0,00 0,00 -0,00
& -0.42 —0,54 -0,81 —0,38 —0,29 —0,25 —0,29 -0,23 —0,21
<0 1,84 3,92 6,10 3,40 1,82 2,39 3,55 3,22 2,92
Оценки работы [2]
^•кр — 1,81 -3,24 -3,12 -2,39 -0,89 —1,40 — 1.42 -1,02 —1,09
^сп —0,05 -0,00 -0,00 —0.00 -0,03 —0,01 —0,00 -0,00 -0,00
£ 'ж 0,04 -0,43 -0,83 -0,31 —0.04 -0,08 -0,25 -0.20 -0,19
со 1,43 4,01 6,17 3.42 1,32 2,27 3,51 3,14 2,89
Оценки работы [3]
^Кр -0,79 -3.02 -3,12 —2,24 —0,47 — 1,12 -1,35 -0,97 -1,06
^сп 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
6 -0.43 -0,38 -0,60 —0,29 -0,23 -0,18 -0.21 -0,17 —0,14
V 1,14 3,95 6,13 3,41 1,80 2,38 3,55 3,22 2,92
Предложенная методика может использоваться не только для определения зависимости значений корней от аэродинамических параметров, но и для определения коэффициента демпфирования рысканья и значений корней, соответствующих максимальному коэффициенту затухания (например, как функции коэффициента демпфирования рысканья при фиксированных других аэродинамических параметрах).
При обратном преобразовании значений корней из плоскости преобразованного корневого годографа в плоскость исходного годографа
мту
при малых значениях коэффициента &= —(& ^0,2 -5-3) использовала*
лись соотношения (15.1), (15.2) и (15.3), обеспечивающие «сшивание»
Тяжелый неманейренный самолет * 5-7-режимы полети
И.км~
<ы,с
г
12
/
! I У\
о.*
ю
5
5 6 7
-----точное решение
^Т5 —•*-■- о цени и по данной работе
—о— » по работе [/]
—о- .< » М
—А— п » М
-0,3 -0,2
-01
О
Рис. 1
значений корней на плоскости преобразованного и исходного годографа при & = 0. Однако при оценке экстремальных значений корней и
коэффициента корневого годографа их нельзя считать малыми и поэтому, по-видимому, целесообразно не «сшивать» корни при &=0, а использовать следующие соотношения связи корней на плоскости преобразованного годографа с корнями исходного характеристического уравнения:
(16.1)
6=-(?'■»„ +С„)-Л?"*, (16.2)
Хсп = - (^„ • а)0 + Ц,) Ъш/ , (16.3)
где приняты те же обозначения, что и в соотношениях (15.1) — (15.3).
МанеВренный самолет 5-1-режимы полета
На рис. 3 представлены зависимости значений корней и коэффициента преобразованного годографа (15), соответствующих максимальному демпфированию, от отношения (01/шо, определенные в рассмотренных примерах расчета по исходным уравнениям и по предлагаемой методике. Приводимое сравнение показывает, что как видно, предлагаемая методика дает приемлемую для оценок корней точность.
3. Используя данную методику, проведем качественное исследование зависимости корней характеристического уравнения от определяющих аэродинамических параметров.
На рис. 4 и 5 представлен корневой годограф, соответствующий соотношению (14) («преобразованный» годограф), при варьировании
коэффициента = от нуля до бесконечности для различных значе-
о)0
to I—і—і—і L
0 S,25 0,50 075 1,0
i.a
0,5
0
(
і—L»ZJ_________________I_I_I_I_I
' 025 0,50 0,75 1,0
Ш, jfO g UifldJQ
Рис. 4
0
0.8
0.2
— 0,7
— 0,0 0.*
— 0,5
— Oft 0.0
Vo.zs
Uj 0.8
hK* lH;
1,0
Ю
OA 0.8 1,2 U к Zv
-T Г- I I ’II | І і
_(і),/шв=3,8
0* 0,8 1.2 lt6 k' Z.0
Рис. 5
ний отношения . Как показали многочисленные расчеты, отношено
ние ^- < 1 , поэтому его значения больше единицы здесь не рассмат-
О>0
риваются.
Проанализируем зависимость коэффициента затухания и час-
Жу _ ffl+Щ а й?
тоты от параметров М/, ^гх , св0— 2 и й2 ~ '
г Жх
~ ,~н _ _ —г, используя результаты расчетов, представлен-
V М°х [АРу + М\ а)
ные на рис. 4 и 5, и соотношения (15.1), (15.2), (15.3).
Ж у
Увеличение коэффициента к = ^— вплоть до некоторой вели-
М°х
X
чины приводит к увеличению демпфирования, причем тем больше,
*“2 —
0)|
чем меньше отношение -=т. Для —, лежащих в диапазоне 0 < — <
“о «о “о
<— при больших значениях коэффициента & возможно слияние 3
пары комплексно-сопряженных корней и образование пары дейст-
<о ^ 1 1 —
вительных корней. Когда — = — и 1г — -^и>0, реализуется *трой-
тд з уз
ная“ точка, а для > — корни, соответствующие колебатель-
ш0 3
ному движению, не „сливаются“ ни при каких значениях коэффициента
Очевидно, что большие значения отношения СО1/Ю0 нежелательны,,
так как они приводят к значительному снижению максимально дости-
жимого демпфирования и, в частности, к снижению эффективности демпфера рысканья. Кроме того, при больших значениях отношения-(01/юо и коэффициента & может иметь место нежелательно большая спиральная устойчивость (см. рис. 4).
Представляет интерес случай малых значений т\, когда уменьшается собственная частота и более сильно начинает проявляться ее зависимость от параметров, которые при обычных значениях т\ считаются малыми. Данная методика дает следующую оценку недемпфированной частоты при т\ — 0:
ж
х Мшх 2 х
Щ --------—------------- • 1 — Afx *ЛГ*
Щс Mlx + glV
1 +
(Жх)2 Жх
V х ) х
При малых т?у увеличивается отношение т/юо, что, как отмечалось выше, приводит к снижению эффективности демпфера рысканья. Для
6—«Ученые записки» № 5 ■ 84.
увеличения эффективности демпфера рысканья в путевом канале системы штурвального управления могут быть использованы обратные связи по углу скольжения Р или угловой скорости крена (0Ж.
4. При малых значениях коэффициента зависимость (к') линейна по № (см. рис. 5), а недемпфированная частота практически не зависит от Из соотношения (14) при &'=О имеем
—
dk'
дш'
Ik’
l-(^L
. “о
k'-0
= 0.
ft' = 0
Таким образом, при малых к,' с учетом соотношений (15.1), (15.2) получим
1 — («ч/а*)2
‘ ДГ
5 = Со № +
Мш У
У
= — Ml — Л&а-ЛО ЛО -ь дх
кр
(17.1)
(17.2)
При малых значениях отношения ан/соо (а>1/(Оо^0,2ч-0,3) зависимость 1 (&') линейна по а недемпфированная частота практически постоянна и при относительно больших значениях О применимости
оценок (17.1), (17,2) в зависимости от величины отношения он/соо можно судить, в частности, по рис. 5.
ЛИТЕРАТУРА
1. Загайнов Г. И., Суханов В. Д. Приближенное аналитическое определение корней характеристического уравнения бокового возмущенного движения самолета.—Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1399.
2. Соркин Д. А. Упрощенная методика расчета боковой динамической устойчивости самолета. — Труды ЦАГИ, 1968, вып. 1098.
3. Б ю ш г е н с Г. С., С т у д н е в Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение, 1979.
4. Н е f f 1 е у R. К-, Jewell W. F. Aircraft handling qualities data. —NASA CR-2144, 1972.
Рукопись поступила 2/VI 1990 г.
