Анализ условий вывода нелинейно-дисперсионных уравнений Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 17, № 5, 2012

Анализ условий вывода

u __и >к

нелинейно-дисперсионных уравнении*

З. И. Федотова, Г. С. ХАкимзянов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: zf@ict.nsc.ru, khak@ict.nsc.ru

При более слабых, чем в работе Green A.E., Naghdi P.M. (J. Fluid Mech. 1976), ограничениях на скорость трёхмерного вихревого течения жидкости над подвижным дном выведена система нелинейно-дисперсионных уравнений мелкой воды для приближённого описания течений со свободной границей. Определены порядки аппроксимации основных гидродинамических величин и уравнений, реализованные при переходе от пространственной модели к приближённой. Для полученной нелинейно-дисперсионной модели найдены законы изменения полной энергии и потенциального вихря.

Ключевые слова: поверхностные волны на воде, нелинейно-дисперсионные уравнения, завихренность, аппроксимация.

Введение

Выводу нелинейно-дисперсионных (НЛД) моделей, где в качестве приближённой скорости выбрана усреднённая по глубине горизонтальная составляющая скорости трёхмерного течения, посвящено несколько широко известных работ [1-6]. Основное различие в подходах к выводу — учёт завихренности: в работах [1, 2, 5] потенциальность трёхмерного течения не предполагается, тогда как в других работах это предположение делается. Любопытным является тот факт, что при отличающихся предположениях на характер течения жидкости и разных способах вывода в итоге получаются эквивалентные определяющие уравнения, представляющие собой разные формы записи одной и той же системы уравнений теории мелкой воды второго приближения.

В настоящей работе приводится вывод НЛД-модели, основанный на разложении по малому параметру вектора скорости трёхмерной (3D) модели идеальной несжимаемой жидкости. При этом условия вывода являются менее ограничительными, в частности, не используются предположение [1] о независимости горизонтальной составляющей скорости от вертикальной координаты и условие [3] потенциальности трёхмерного течения. Выясняется, какую роль в выводе НЛД-модели выполняет дополнительное требование потенциальности. Рассматриваются вопросы, касающиеся законов сохранения НЛД-модели и их связи с законами сохранения 3D-модели, а также вопросы, связанные с формальным порядком аппроксимации основных гидродинамических величин исходной 3D-модели, таких как скорость, ускорение, давление, завихренность, их аналогами из НЛД-модели.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-05-91052-НЦНИ и 12-01-00721), Совета по грантам Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ (грант № НШ-6293.2012.9) и Проекта IV.31.2.1 Программы фундаментальных исследований СО РАН.

1. Постановка задачи для уравнений Эйлера

Пусть слой несжимаемой жидкости ограничен снизу подвижным дном, заданным функцией г = —к(х,у,£), а сверху — свободной границей, описываемой функцией г = п(х,у, £), где £ — время, х, у, г — координаты точки в декартовой системе координат Охуг, ось Ог которой направлена вертикально вверх, а координатная плоскость Оху совпадает с невозмущённой свободной поверхностью. В полной постановке задачи требуется найти вектор скорости и = (и, у, т), давление р и функцию п, удовлетворяющие системе уравнений

V- и + тг = 0, (1)

и4 + (и ^)и + №иг + Vp = 0, (2)

тг + и ■ Vw + wwz + pz = —д, (3)

краевым условиям на свободной границе

(Пг + и ^п — т)

z=n

0,

(4)

р|

1 I z=n

0

и условию непротекания через подвижное дно

(к + и ■ Vk + т)

z=—Ь

0,

(6)

где V = (д/дх, д/ду), и = (и, у) — вектор горизонтальной составляющей скорости, т — вертикальная составляющая скорости, д — ускорение свободного падения, плотность несжимаемой жидкости считается равной единице.

Уравнения приближённых моделей, описывающих динамику длинных поверхностных волн, получаются при определённых предположениях относительно характера течения, рассматриваемого в рамках задачи (1)-(6). При этом искомыми величинами в этих уравнениях обычно являются Н = п + к — полная глубина слоя жидкости, и с = с(х,у,£) — вектор скорости в приближённой модели, связанный каким-либо образом с вектором скорости И(х,у,г,£) трёхмерного течения. Если в качестве с принять осреднённую по глубине горизонтальную составляющую скорости

с = (съ с2) = Н

и ¿г,

(7)

-Ь

то для любой приближённой модели получается одно и то же уравнение неразрывности

Н + V(H с) = 0, (8)

1)

которое следует из уравнения несжимаемости слоя жидкости с учётом граничных условий (4

проинтегрированного по толщине

(6)

V и ¿г — и ■ Vn

ик

z=n

+ т — т =0

z=—Ь z=п z=—Ь

Ь

п

п

Для вывода уравнений движения мелкой воды введём характерные масштабы и перейдём к безразмерным переменным. Пусть Ь — характерный размер по горизонтали,

к0, а0 — характерные глубина и амплитуда волны, а = а0/Л,0, ц = Н0/Ь. В соответствии с масштабами определим безразмерные переменные:

_х_ г - h_n-гtco_ и_ ш _ р х = —, г = —, h = —, п = —, * = ~г, и =-, ш =-, р =—2, (9)

Ь' Л,0' Л,0' ' а0' Ь ' ас0' ацс0' г с02

где со =

В новых переменных задача (1)-(6) примет вид (для упрощения черту над безразмерными переменными здесь и далее опускаем)

V- и + ' = 0, (10)

и4 + а(и ■ V)и + ашиг + а-1Vp = 0, (11)

ц2 (ш + аи ■ V' + ашшг) + а-1(рг + 1) = 0, (12)

(П + аи ^п - ш) \=ап = 0, (13)

Р1=*п = 0 (14)

(Ы + аи ■Vh + аш) н = 0. (15)

Далее, пока не будет сказано иное, используются только безразмерные переменные.

2. Вспомогательные соотношения

В безразмерных переменных осреднённая скорость с определяется соотношением

ап

с = (с1, С2) = Н ! и йг, (16)

-н

а уравнение неразрывности (8) принимает вид

Н + aV ■ (Нс) = 0, Н = ап + Ы. (17)

Для вывода НЛД-уравнений движения будем использовать разложение вектора скорости в ряд по степеням параметра ц2:

и = и0 + ц2и1 + 0(ц4), ш = ш0 + ц2ш1 + 0(ц4). (18)

Так как в длинноволновом приближении изменение величин в направлении оси 0г незначительно по сравнению с изменением в горизонтальной плоскости, будем считать, что главный член и0 разложения горизонтальной составляющей и вектора скорости не зависит от вертикальной координаты г:

М* = 0. (19)

Это предположение является естественным для теории мелкой воды. Следует отметить, что в работах [1, 5] предполагается, что горизонтальная составляющая и вектора скорости вообще от г не зависят, т. е. при выводе НЛД-модели в указанных работах используется более сильное ограничение, чем (19).

С использованием разложений (18) выразим функции и и т через скорость с НЛД-модели. Сначала найдем выражение члена то через и0. Подставляя функции и и т в уравнение неразрывности (10), получим равенство Vu0 + (т0),г = 0, интегрируя которое по вертикальной координате

z

J [V- ио + Ыс] ¿С = 0

-Ь

и учитывая, что функция и0 не зависит от г, имеем

(г + к)V ■ и0 + т0(г) — т0(г)= 0. (20)

Далее используем условие на дне (15). Подставляя в него разложения (18), получаем равенство

кг + а (и0 ■ Vк + т0) = 0, г = —к,

которое можно записать в виде

т01 = Ь = —1 ^к,

и=-ь а где Д0 — оператор полной производной

д

^0 = тг- + аи0 ■ V. д£

Подставляя это соотношение в (20), получаем, что составляющая т0 вертикальной компоненты скорости выражается через и0 следующим образом:

т0(г) = —1 ^к — (г + к^ ■ и0. (21)

а

Далее найдем связь между скоростями с и и. Подставляя разложение (18) в формулу (16), получаем

ап ап

с = -1 У (и0 + ^2и1 + О(^4)) ¿г = и0 + Н J и^г + О(^4). (22)

-Ь -Ь

Отсюда следует, что и0 = с + О(^2), и первую из формул (18) можно переписать в виде

и = с + ^2У + О(^4), (23)

где

ап

V = и! — Н I и^г, (24)

-Ь

причём здесь имеет место равенство

ап

J = 0. (25)

-Ь

Из (23) следует соотношение

и = с + 0(^2). (26)

Что касается вертикальной компоненты скорости, то для всех последующих выводов также достаточно её представление с точностью до 0(^2). Формула для получается из соотношений (18), (21), (26):

ш(г) = -1 Вй - (г + й)У- с + 0(^2), (27)

а

где

д

В = — + ас -V. (28)

Отметим, что главная часть вертикальной компоненты скорости ш(г), которую по-прежнему будем обозначать шо, оказалась линейной функцией от координаты г.

Выражения (23), (27) будут использованы ниже для вывода формулы для давления и НЛД-уравнений движения.

3. Вывод уравнений движения НЛД-модели

Для вывода формулы, выражающей давление через переменные НЛД-модели, проинтегрируем уравнение (12) по вертикальной координате с учётом динамического условия (14) и, привлекая формулу (26), перепишем этот интеграл в виде соотношения

ап

р(г) = а^2 / (Вш + ашш^ + 0(^2)) — г + ап (29)

Преобразуем подынтегральное выражение, применяя формулу (27):

Вш + ашшг = —1В2й — (г + й)В (V ■ с) + а(г + й) (V ■ с)2 + 0(^2) =

а

= — #2 — (г + ВД + О(и2).

Здесь

= В (V ■ с) — а (V ■ с)2 , #2 = 1 В2й. (30)

а

Подставляя полученное соотношение в выражение (29), выводим формулу распределения давления по координате г, —й < г < а^:

р = Н — (г + й) — а^2

(Н — (г + й)) Д2 +( Н22 — )Л1

+ 0(А (31)

Используя соотношения (23), (27) и (31), выведем уравнения движения НЛД-модели. Для этого проинтегрируем уравнение (11) по толщине слоя воды и применим динамическое условие (14). Это даёт соотношение

ап / ап

J (и + а(и ■ V)u + аадиг) ^ + 1 ( V Jр ^ — р|г=_^й | = 0, (32)

-к \ -к

которое далее почленно преобразуем. Исключим члены, содержащие давление, применив формулу (31):

/ ап

- [V рйг - р\г=_^Л

а

-н

HVп - ц2

Н з Н 2 \ / Н

VI — Д + Н- дЛ - НVh^нД + Д

+ 0(ц4).

(33)

Вычислим слагаемое с вертикальной компонентой скорости, применив формулы (23)

(27):

ап ап

-Б л + (г + с)

а J шиг йг = -ац J

—Н —Н

а

У г йг + 0(ц4)

ап

-ц2 БЛУ

г=ап

х=—Н

- ац2(^ ■ с) (г + Л)Угйг + 0(ц4).

-н

Интеграл в правой части вычисляем интегрированием по частям, что в силу соотношения (25) приводит к равенству

ап

(г + Л)Уг йг = Н У

г=ап

н

Таким образом, получаем

ап

а шигйг = ц2БЛУ I , - ц2 (БЛ + аН(V ■ с)) УI + 0(ц4).

/ I г— н I г—ап

(34)

н

Наконец, преобразуем группу членов из уравнения (32), содержащую горизонтальные компоненты скорости. Подстановка выражения (23) в соответствующие слагаемые уравнения (32) приводит к равенству

ап ап

У (и + а(и ^)и) йг = J (с + а (с ■ V) с) йг+ -н -н

ап

+ц2 У [У4 + а ((с -V) У + (У -V) с) ] йг + 0(ц4). -н

Дальнейшее упрощение выражения, стоящего при ц2, основано на использовании равенства (25). Нетрудно получить следующие соотношения:

ап

д

ап

У4йг = — Уйг — ап *У\ — Л ¿У\ , = — ап *У\ — Л*У

ь Ял- I 7=ап ь 1г = — Н 7=ап ь

д*

I х=ап

I х=ап

I ,г= —Н'

-н

-Н

ап

ап

(с ■ V) У^г = (с ■ V) / У^г — а (с ■ Vn) У|^=ап — (с ■ Vh) V

I х=—К

-К

-к

= —а (с ^п) У| — (с ■ Vh) У| ,,

4 " \х=ап 4 у \х=—п1

ап / ап \

J (V V) Ыг = (у У^г •VI с = 0.

—К V—к /

Эти формулы вместе с (34) позволяют получить равенство

ап

(и + а(и ■ V)u + аадиг) = Нс4 + аН (с ■ V) с—

к

ц

ап + а (с ■ V(аn)) + ВЫ + аН(V-с)

У| — ц2

Ы + а (с — ВЫ У^=_к + 0(ц4)

где выражения в квадратных скобках обращаются в нуль: первое соотношение

(ап)4 + а (с ■ V(ап)) + ВЫ + аН(V ■ с) = 0

выполнено в силу уравнения неразрывности (17), которое может быть записано в эквивалентной форме

ВН + аН(V- с) = 0, (35)

а справедливость тождества

Ы + а (с ■ — Вй = 0

вытекает из определения (28). Таким образом,

ап

(и + а(и ■ V)u + ашиг) = Нс + аН (с -V) с + 0(ц4).

(36)

к

Возвращаясь к уравнению (32) и делая соответствующие подстановки согласно выполненным преобразованиям, а также отбрасывая члены порядка 0(ц4), получаем искомое векторное уравнение движения НЛД-модели:

с4 + а(с ■ V)c + Vn = ц2

Н Ч Н Д1 + Н *>) — ™ (? * + Дг

(37)

Уравнения (17), (37) описывают распространение длинных волн с дисперсией на подвижном дне и по форме совпадают с полученными в [6]. В случае неподвижного дна они сводятся к уравнениям из работ [3, 4]. Подчеркнём, что при получении НЛД-уравнений в [3, 4, 6] течение предполагалось потенциальным, а вывод осуществлялся с использованием потенциала скорости.

Из формулы (31) следует, что давление в НЛД-модели вычисляется по формуле

р = Н — (г + Ы) — ац2

(Н — (г + Ы)) Я2 +| Н2 — ^

#1

(38)

Таким образом, здесь в отличие от теории мелкой воды первого приближения имеет место квадратичная зависимость р от вертикальной координаты. Если через Р обозначить проинтегрированное по толщине слоя давление (38)

ап

/И2 {И3 И 2 \

р^ = — - а^Ч -3- Д + — ДЛ , (39)

-н

то уравнение движения (37) запишется аналогично уравнению изменения импульса в газовой динамике:

IV Р IV к

(40)

, 1 VP 1

ct + а(с ■ V)c +--— = ——p

a H a H

z=-h

при этом

/ Н 2 \

р = И - а^2 — Д + ИДИ . (41)

г=—Ь \ 2 у

Умножая уравнение (17) на с, а (40) на Н и складывая результаты, приходим к записи НЛД-уравнения движения с дивергентной левой частью:

(Hc)t + aV ■ (Hсс) + 1 VP = 1 Vhp

a a

, (42)

z=—h

где сс — тензорное произведение вектора с на себя. В случае ровного дна это уравнение принимает консервативный вид.

4. Анализ условий вывода

При описанном выводе НЛД-уравнений учитываются два предположения: возможность разложения вектора скорости U в ряды по параметру и независимость главного члена u0 горизонтальной составляющей вектора скорости u от вертикальной координаты. Предположение о потенциальности течения не используется, т. е. допускается что ш = rot U = 0.

Посмотрим, какой порядок по параметру ^ будут иметь отдельные компоненты вектора вихря при указанных выше условиях вывода НЛД-модели. Из формул (9) получаются следующие соотношения для обезразмеривания компонент вихря ш = (ш^ш2,ш3):

_ _ h0 _ _ h0 _ _ h0 Ш1 — -Ш>1, Ш2 — -Ш2, Ш3 — -Ш3.

ac0 ac0 ac0^

Далее черту над ш опустим. Компоненты вихря в безразмерных переменных имеют вид

22 Ш1 = ^ Wy - Vz, 2 = Wx + Uz, Ш3 = Vx - Uy.

Для первых двух компонент вихря удобно использовать следующее представление:

01

(ш1, ш2) = (^Vw - uz ) ^ 0 01 ^

^ 0 •43)

Учитывая условие (19), получаем

^2Vw - uz = O(^2), (44)

откуда следует, что = (k = 1, 2). Третья компонента вихря вычисляется по

формуле

шз = ш + O(^2) = O(1), ш =(с2)х - (ci)y . (45)

Здесь функцию ш можно трактовать как завихренность течения приближённой модели.

Вернёмся к началу вывода НЛД-уравнений и условие (19) заменим предположением о том, что первые две компоненты вихря имеют порядок O(^2), т.е. имеет место соотношение (44). По-прежнему рассмотрим разложение (18). Тогда справедливо равенство

O(^2) = ^2Vw - и^ = ^2Vwo - (uo)z - (ui)z + O(^4),

а из него следует соотношение (19). Таким образом, показано, что приведённый вывод НЛД-уравнений (17), (40) можно осуществить на основе предположения (44), из которого следует независимость главного члена в разложении (18) горизонтальных компонент вектора скорости от z.

Как уже отмечалось, вывод НЛД-модели в основном выполняется в предположении потенциальности (ш = rot U = 0) исходного трёхмерного течения. В работе [7] потенциальность течения не предполагалась, но изначально было введено более сильное, чем (44), предположение ш1 = ш2 = 0, или

uz = ^2Vw, (46)

позволяющее получить НЛД-уравнения (17), (37). Оказывается, что из условия (46) следует потенциальность течения. Для доказательства используем известное для случая идеальной жидкости уравнение Гельмгольца

^ = а (ш ■ V3) U, (47)

at

где

— = — + a (u— + V— + w—^ V =( — — — dt dt \ dx dy dz J , 3 \ dx, dy, dz

Если величины ш1 = ш2 = 0 подставить в два первых скалярных уравнения системы

(47), то получим соотношение

шзи,г = 0,

откуда с учётом того, что в общем случае uz = 0, следует ш3 = 0, т. е. течение является безвихревым (ш = 0).

В свою очередь условие (46) позволяет не только вывести уравнения (17), (37), но и вычислить в явном виде член u1 в разложении вектора скорости (18):

ui(z) = -(z + h) (VO^ + Vh(V ■ u,)) - V(V ■ uo) + ui|z=_h. (48)

Эта формула получается, если в равенство (46) подставить разложения (18), приравнять коэффициенты при одинаковых степенях и выполнить интегрирование полученного уравнения по толщине слоя жидкости. Привлекая формулу (24), легко получить

H Л (VDh , _Л , (H2 (z + h)2\

V = (д — г — ЫД— + Vh(V ■ с) ^ + — ^ V(V ■ с). (49)

Как следует из результатов, представленных в предыдущих разделах, конкретное выражение и1(г), или У(г), благодаря свойству (25) не влияет на вид НЛД-уравнений. Однако выражение У(г) согласно формуле (23) позволяет вычислить отклонение горизонтальной составляющей и(г) скорости трёхмерного течения от осреднённой по глубине скорости с.

5. Закон изменения энергии

Важной характеристикой системы уравнений гидродинамики является закон сохранения энергии [5, 8-10]. Обратимся к трёхмерным уравнениям гидродинамики (10)—(12) и выпишем соответствующее им уравнение энергии. Умножая (11), (12) на компоненты скорости и, V и т и складывая полученные выражения, приходим к уравнению

дК дК 1 т

— + а(и ■УК) + ат— +-(и ■ Узр) + - = 0, (50)

дГ дг а а

где К = (и2 + V2 + ^2и>2)/2 — кинетическая энергия. Прибавляя к (50) уравнение для потенциальной энергии П = г/а2

¿П т

----= 0,

аГ а

получаем уравнение для полной энергии

¿(К + П) 1/тт „ ч ( )+-(и ■ Узр) = 0.

ас а

Если к последнему прибавить уравнение неразрывности, умноженное на (р/а + К + П),

то получим закон сохранения полной энергии в консервативной форме:

д (К + П) ^ „ , (51)

+ аУз ((К + П+ ^)и) =0.

дГ V а

Рассмотрим усреднённую по толщине слоя полную энергию, подставив в выражение К вместо компонент скоростей их разложения согласно формулам (23), (27):

ап

Н /(К + П)Ог =

1

2Н

-н

аП - ч 2

ЛЛ , 2 ' ^ - - — \ г

(с ■ с) + 2^2(с ■ V) + ^ -+ (г + к)У ■ с + — ¿г + 0(/)

а а2

-н

где

Е + О(^), (52)

„ (с ■ с) Н - 2к 2 /Н2 ч2 Н.„

Е = + 0 2 + — (У- с)2 + —(У ■ с)£к +1 ;

2а2 V 6 4 2а" ' 2а2

Учитывая связь (52) между усреднённой полной энергией трёхмерного течения и функцией Е, последнюю естественно отождествлять с полной энергией течения, описываемого в рамках приближённой НЛД-модели.

Выведем уравнение для полной энергии Е. Для этого умножим векторное уравнение (40) на с и учтём равенство

(с ■ (с ■ У)с) = (с ■ У^)

В результате получим

В' ЭД + -Н У(ср) — оН(р V. с +

2 / -Н аН \ а

,г= —К

а2Н

р

(53)

,г=—К

Используя формулы (35), (39), (41) и обозначения (30), получаем следующую цепочку равенств:

( Р V ■ с + —р

аН

а

х=—К

Ну с ВЫ 2

2а а2 Ц

ВН ВЫ

2а2 + ~

а2

ц2

Н2 Н \ В- / Н

+ V ■ с + - -Д1 + Д2

3 2 у а у 2

с)2ВН + НВ Ы + |(V с)В2Ъ+

Н

ВЫ

ВЫ

+—В(V ■ с)ВЪ + — (V ■ с)ВН + —-В2-

2а

2а

а2

В

Н — 2-2а2

ц2

Н2 — п^пЛ , ПЛВ-)2

В( 1Г(^Я + П2ас)В^ + ^ 2а2

В

(с ■ с)

С учётом последнего равенства уравнение (53) примет вид

1 -ВТ + — V- (сР) = —^р

аН

а2Н

,г= —К

или

I+- <с-ут»+-Н у-(сР )=- ¿Н?

,г=—К

Если это уравнение умножить на Н, а уравнение неразрывности (17) на Т и сложить результаты, то уравнение для полной энергии в НЛД-модели будет иметь дивергентную форму записи левой части, идентичную левой части уравнения для полной энергии в газовой динамике:

дНТ / Р

-ЙТ+^ НсТ + -Н

"2 Р

а

(54)

,г=—К

Это уравнение можно вывести непосредственно из закона сохранения (51). Если уравнение (51) проинтегрировать по толщине слоя жидкости и выполнить выкладки надлежащим образом, то получается соотношение

ап

К

- (К + П)

+ аVз ((К + П+ -2)и)

-нТ „ / / Р \\

+ -V ( Н с ( Т + —) ) + р

а2Н

а2

г=—К

+ 0(ц4) = 0,

(55)

т. е. уравнение (54) с порядком 0(ц4) аппроксимирует усреднённый по глубине закон сохранения полной энергии исходной гидродинамической системы. Учитывая (52), уравнение (54) можно назвать законом изменения полной энергии НЛД-модели.

При = 0 (в случае стационарного дна) уравнение энергии (54) принимает дивергентный вид и может быть сведено к закону сохранения энергии из работы [5].

Заметим, что если в выражениях Е и Р отбросить члены порядка 0(^2), то получим закон сохранения энергии уравнений мелкой воды первого приближения, имеющий фундаментальное значение в классической теории мелкой воды [9].

6. Уравнение для потенциального вихря

Прежде всего отметим, что для уравнений мелкой воды в случае, когда скорость модели определяется по формуле (16), характерно наличие вихря ш = 0 даже тогда, когда исходное трёхмерное течение предполагается потенциальным. Понятие потенциального вихря ш/Н и его свойства играют важную роль в описании длинноволновых движений в океане. Известно, что для уравнений мелкой воды первого приближения потенциальный вихрь сохраняется вдоль траекторий жидких частиц [11]:

я = 0. (56)

Для НЛД-уравнений (17), (40) имеет место аналог закона сохранения потенциального вихря. Выведем его, используя для двумерных векторов операции, обозначаемые так же, как векторное произведение и операция rot для трёхмерных векторов. Результатом действия этих операций на векторы a, b Е R2 (a = (ai, a2), b = (bi, b2)) будут не векторы, как в R3, а скаляры, определяемые по формулам

rot а = (a2)x — (a1)y, a х b = a1 b2 — a2b1.

Таким образом, имеем

ЯН

ш = rot c, rot ct = wt, rot (c ■ V)c = ujV ■ c + (c ■ Vw) = —ш--+ (c ■ Vuj).

aH

Легко проверить, что для произвольных гладких функций f и g справедливы равенства

rot Vg = 0, Vg х Vg = 0, rot (fVg) = Vf х Vg, (57)

Vf х V(Dg) = D(Vf х Vg) — V(Df) х Vg + a(Vf х Vg)V ■ c, (58)

Vf х V(Dg) = НЯ (Vf^V^ — V(Df) х Vg. (59)

Последнее равенство следует из (58) после замены в нём выражения V ■ c согласно уравнению неразрывности в форме (35): V ■ c = —ЯН/аН.

Если применить операцию rot к уравнению (40), то с учётом выражений для давления (39), (41) и отмеченных выше свойств операторов получим

УН

rot (ct + (c ■ V)c) — х

Н 3 Н 2

НVH — а^2 ( H2RiVH + — VRi + HR2VH + — VR2

3 2

fVH H.

+

( Ri + 17VRi + VRH х Vh = 0,

V 2 2

или

НВ{н) + (HУЯ Х УЛ1 + 2УЯ Х + 2 У(ЯД1) Х Vh + УД2 х = 0- (60)

Используя равенства (57)-(59), имеем

VH х VRi = VH х V (D(V ■ c)) - aVH х V (V ■ c)2 = D (VH х V(V ■ c)), ' VH х VDh) ( V(HV ■ c) х Vh

VH х VR = HD ^-OH-J + HD -^-J - V (D(HV ■ c)) х Vh,

V(HRi) х Vh = V (HD(V ■ c)) х Vh - aV (H(V ■ c)2) х Vh = V (D(HV ■ c)) х Vh,

D(Dh) (VDh х Vh4

/VDh х Vh\

V aH J

Следовательно, уравнение (60) примет вид

VR2 х Vh = V—-- х Vh = HD

a

D

'5 H . 1 /HV- c\ m

H + M VУ х V(V ■ c) + H) х Vh+

+HV (H2Th) «'DhJj

0. (61)

Из (61) следует, что в НЛД-модели генерируется потенциальный вихрь ш/H, который не сохраняется вдоль траекторий, как это имеет место в классической теории мелкой воды (56), однако вдоль траекторий сохраняется величина, взятая в квадратные скобки уравнения (61). Выясним физическое содержание этой величины в случае, когда первые две компоненты вихря трёхмерного течения "почти" равны нулю: = O(^4) (k = 1, 2), или

^2Vw - uz = O(u4). (62)

Тогда в формуле (23) компонента V определяется по явной формуле (49). Введём обозначения

u = c + ^2V, ш3 = rot u = ш3 + O(^4). (63)

Таким образом, величина ш3 с точностью O(^4) аппроксимирует вертикальную компоненту вихря ш3 трёхмерного течения и является третьей компонентой вектора вихря течения, горизонтальная компонента скорости которого совпадает с u. Выпишем выражение функции ш3, основываясь на формуле (49) для V:

ш3 = rot c + ^2rot V = ш +

v( f - h) хЧ +

+У ^ - г - ^ V ■ с^ х Уй + ^ЯУЯ - (г + й)х У(У ■ с)

Для второго и третьего членов в квадратной скобке справедливы равенства

У Ц Я - г - Ы V - с ) хУй = У ( Я' ' ] х Уй - (г + й)У(У ■ с) х Уй,

' Н \ Н

НУН - (г + к)Ук ) х У(У ■ с) = нУН х У(У ■ с) - (г + к)Ук х У(У ■ с).

Следовательно,

Г Н 1 1 1

(64)

Ш3 = и +

Н 1 1

—УН х У (У ■ с) + - У(Н У ■ с) х Ук + — У (Н - 2к) х УОк 3 2 2а

Таким образом, в квадратной скобке (61) размещается величина ш3/Н, поэтому это уравнение может быть записано в компактной форме

О (|) = 0, (65)

совпадающей с формой записи уравнения (56) для потенциального вихря модели первого приближения. Уравнение (65) означает, что сохраняющейся вдоль траекторий величиной является не вихрь скорости с НЛД-модели, а вихрь приближённой скорости и трёхмерного течения.

Если предположить, что донная поверхность является стационарной, то (61) сводится к уравнению для потенциального вихря из работы [5], где исходное течение также не предполагается потенциальным.

Заключение

В представленной работе система НЛД-уравнений (17) и (37) была получена путём введения малого параметра ^ и разложения компонент скорости в ряды по Ниже приведены результаты по достигнутому порядку аппроксимации гидродинамических величин и уравнений.

Горизонтальные компоненты средней скорости 3В-модели аппроксимируются точно (по определению), а распределение компонент скорости и(г) по г аппроксимируется с порядком 0(^2) в случае вихревых течений и с порядком 0(^4), если 3В-течение потенциально, что вытекает из формул (18), (26), (48), (49). Вертикальная составляющая ^(г) вектора скорости и аппроксимируется линейной по г функцией с порядком 0(^2) (см. (27)).

Распределение давления по г, как и среднее давление по толщине слоя жидкости, аппроксимируется с точностью до 0(^4), что следует из формулы (31).

Среднее ускорение 3В-модели аппроксимируется ускорением НЛД-модели с порядком 0(^4) (см. (36)).

В случае вихревых течений завихренность описывается соотношениями (44), (45), причем ш3 аппроксимируются с порядком 0(^2), а при условии (62) — с порядком 0(^4).

Уравнению несжимаемости, проинтегрированному по глубине с учётом кинематических краевых условий, точно соответствует уравнение неразрывности (17). Проинтегрированные по слою воды уравнения движения согласно условиям вывода аппроксимированы с точностью 0(^4).

Осреднённая по глубине полная энергия 3В-модели отличается от полной энергии НЛД-модели величиной порядка 0(^4). На такую же величину различаются и уравнения, описывающие изменение полной энергии в проинтегрированной по глубине 3В-мо-дели и приближённой модели, что следует из формул (52), (55).

Список литературы

[1] Green A.E., Naghdi P.M. A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth //J. Fluid Mech. 1976. Vol. 78, pt 2. P. 237-246.

[2] Ertekin R.C., Webster W.C., Wehausen J.V. Waves caused by a moving disturbance in a shallow channel of finite width // Ibid. 1986. Vol. 169. P. 275-292.

[3] Железняк М.И., ПЕлиновский Е.Н. Физико-математические модели наката цунами на берег // Накат цунами на берег: Сб. науч. тр. / Ин-т прикл. физики АН СССР, 1985. С. 8-33.

[4] ВольцингЕр Н.Е., Клеванный К.А., ПЕлиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

[5] Базденков С.В., Морозов Н.Н., ПогуцЕ О.П. Дисперсионные эффекты в двумерной гидродинамике // Докл. АН. СССР. 1987. Т. 293, № 4. C. 818-822.

[6] Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на нестационарном дне // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, № 4. C. 114-126.

[7] Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Полные нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на плоскости и сфере // Труды Междунар. конф. "Современные проблемы прикладной математики и механики: Теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко, 2011. http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/37730/42330/Fedotova.pdf

[8] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 622 с.

[9] ВольцингЕр Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 208 с.

[10] Fedotova Z.I., Karepova E.D. Variational principle for approximate models of wave hydrodynamics // Rus. J. of Numerical Analysis and Math. Modelling. 1996. Vol. 11, No. 3. P. 183-204.

[11] ДолжАнский Ф.В. Лекции по геофизической гидромеханике. М.: Ин-т вычисл. математики РАН, 2006. 378 с.

Поступила в 'редакцию 25 апреля 2012 г., с доработки — 31 июля 2012 г.