АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВЕНТЦЕЛЯ, СОСТАВЛЕННОЙ ИЗ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВЛАГИ В ШАРЕ И НА ЕГО ГРАНИЦЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

DOI: 10.14529/ mmp230406

АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ВЕНТЦЕЛЯ, СОСТАВЛЕННОЙ ИЗ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВЛАГИ В ШАРЕ И НА ЕГО ГРАНИЦЕ

Н.С. Гончаров1, Г.А. Свиридюк1

1 Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация

Впервые изучены детерминированная и стохастическая системы Вентцеля уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной, описывающих процесс фильтрации влаги в трехмерном шаре и на его границе. В детерминированном случае установлена однозначная разрешимость начальной задачи для системы Вентцеля в специфическом построенном гильбертовом пространстве. В случае стохастической системы используется теория производной Нельсона - Гликлиха и строится стохастическое решение, которое позволяет определять прогнозы количественного изменения геохимического режима грунтовых вод при безнапорной фильтрации. Отметим, что для изучаемой системы фильтрации рассматривалось неклассическое условие Вентцеля, поскольку оно представлено уравнением с оператором Лапласа - Бельтрами, заданным на границе области, понимаемой как гладкое компактное риманово многообразие без края, причем внешнее воздействие представлено нормальной производной функции, заданной в области.

Ключевые слова: система Вентцеля; уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной; производная Нельсона - Гликлиха.

Введение

Фильтрация влаги как и ее течение, испарение, падение и т.д. является одним из процессов влагопереноса. Пусть О Е , п > 2, - область с границей Г класса С^. На компакте О и Г задана система из двух уравнений Баренблатта - Желтова -Кочиной [1], описывающая процесс фильтрации влаги

Здесь символом А в (1) обозначен оператор Лапласа в области О, а в (2) тем же символом обозначен оператор Лапласа - Бельтрами на гладком римановом многообразии Г . Символом V = VЕ К х Г, обозначена внешняя по отношению к М. х Г нормаль к К х О. Параметры а, Е К характеризуют среду.

Ранее в [2] мы, следуя традиции [5-7], условие вида (2), в котором порядок производных по пространственным переменным не ниже порядка по тем же в (1), называли краевым условием Вентцеля. Однако намереваясь в будущем рассматривать различные случаи области О и границы Г (например, О - ограниченное связное риманово многообразие с краем Г) считаем необходимым называть (1), (2) системой уравнений, пусть и заданных на множествах разной геометрической размерности. В поддержку

(А — A)ut = aAu + u = u(t, x), (t, x) e R x Q, du

(A - A)vt = >yAv + — + 6v, v = v(t,x), (t,x) G E x Г, tr u = v, на R x Г.

(1)

(2) (3)

этого подхода говорит тот факт, что уравнения (1), (2) описывают один и тот же физический процесс фильтрации влаги. Термин же «краевые условия» следует оставить за уравнениями, заданными на границе (краю) области (многообразия) и имеющих меньший порядок производных по пространственным переменным (см. классический трактат [3], а также [8]). Название «система уравнений Вентцеля» подчеркивает заслуги первооткрывателя [9] нового раздела математической физики.

Разрешимость системы (1), (2) будем изучать в самом простом случае: П = {(г,В,ф) : r G [0, Д),0 G [0, п], ф G [0, 2п]} - шар в R3, а Г = {(В,ф) : В G [0,п),ф G [0, 2п)} - ограниченный шар. В этом случае (1), (2) преобразуется к виду

(А — Ar>e>p)ut = aAr>e>^u + ви, u = u(t, r, В, ф), (t, r, В, ф) G R x П, (4)

(A — Д^)vt = yAg^v + Oru + 5v, v = v(t, В, ф), (t, В, ф) G R x Г, (5)

где

Д,^ = (r - R)l ((R - r)f) + ^ +

V J (6) A — Я — JL

~ дв2 "T" dip2 ' UR ~ dr

r=R

К данной системе присовокупим условие согласования (3) и снабдим ее начальными условиями

u(0, r, В, ф) = u0(r, В, ф), v(0, В, ф) = v0(В,ф). (7)

Решение задачи (3) - (7) назовем детерминированным решением системы Вентце-ля. Заметим, что преобразовав оператор (6) к декартовым координатам мы получим

Д*,» = + viy + + + у2) £+

(xy(x2+y2+z2) _ „ \ ( 2 , ..гхЧуЧгЛ Si , / 2 , -.2 ,

I х2+у2 ¿¿У I + 1-1 У х2+у2 ду2 + IX -Г у -Г Z J Qz2.

Рассмотрение оператора Лапласа в стандартных сферических координатах мы переносим на наши будущие исследования. Прибегая к стохастической интерпретации уравнений в частных производных, в этой работе затронем исследования недетерминированных задач в необходимой для нас интерпретации, отличительной особенностью которой является иное понятие «белого шума» в смысле производной Нельсона - Гликлиха от винеровского процесса. Термин производной Нельсона - Гликлиха изначально был введен в монографии [11], там же была найдена первая производная случайного процесса. Данная парадигма не только обосновала согласованность с теорией Энштейна - Смолуховского, позволяющего понимать под броуновским движением искомый стохастический процесс, а под производной от этого процесса - «белый шум», но и сподвигла к появлению нового направления изучения стохастических уравнений соболевского типа. Это отражено в исследованиях: дихотомий стохастического уравнения, заданного на многообразии в [12]; применения метода фазового пространства в случае (Ь,р)-ограниченного оператора M в [13].

Статья, кроме введения и списка литературы, содержит две части. В первой части рассматривается существование и единственность детерминированной системы Вент-целя уравнений в шаре и на его границе. Во второй части проводятся абстрактные рассуждения, заключающиеся в построении пространства (H-значных) K-«шумов» и доказательства существования и единственности стохастической системы Вентцеля уравнений в шаре и на его границе.

1. Детерминированная система Вентцеля

Рассмотрим следующий ряд

те

u =

sink9(smkp + cos kp) + +bk cos k9(sm kp + cos kp)^j + exp ^t^+k2 ^ ^(sin kp + cos + (8)

+dk cos k9(sin kp + cos kp) ),

где

2п R

cik = f J щ(г, 9, p)^-^-smk9(smkp + cos kp)rdrdp, 0 0

2n R k

bk = f f щ(г, 9, p) ^^к cos fcfl(sin kp + cos kp)rdrdp, 0 0 R

2п 7Г

ck = / f v0(9,p) sin k9(sin kp + cos kp)d9dp, 00 2п п

dk = / fv0(9,p)cos k9(sin kp + cos kp)d9dp.

0 0

Нетрудно заметить, что построенный ряд выше является формальным решением уравнения (4). Причем, если ряды в (8) равномерно сходятся, то перед нами решение задачи (4), (7), где дии = 0. Учитывая это, можно построить решение задачи (5), (7)

л

V А + к2

Í ó Yk'2 \ f \

V = exp í t 2 I í ck,n eos kp + dk,n sin kp ), (9)

k=l

где в случае а = y, в = ó решения задачи (5) - (7) будут удовлетворять условию согласования (3).

Замыкание линеала span{(Rk)-1(R-r)k sin k9(sin kp+cos kp), (Rk)-1(R-r)k cos k9-•(sin kp + cos kp): k £ N\{1},r £ (0,R),9 £ [0,n],p £ [0, 2п)} порожденное скалярным произведением

R 2п п

(p,^) = J J J p(r,9,p)^(r,9,p)r2 sin 9d9dpdr, 000

обозначим символом А(П). Далее, замыкание линеала span{sin k9(sin kp + cos kp), cos k9(sin kp + cos kp): k £ N,9 £ [0,n],p £ [0, 2п)} по норме, порожденной скалярным произведением

2п п

(p/ф) = J J p(r,9,p)t^(r,9,p)d9dp, 00

обозначим символом A (Г).

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Для любых u0 £ А(П) и v0 £ А(Г) таких, что выполнено (3), и для коэффициентов а, в, Y,ó, А £ R, таких, что выполнено следующее условие а = y, в = ó, а А = k2, где k £ N, существует единственное решение (u, v) £ (R; А(П)®А(Г)) задачи (3) - (5).

2. Стохастическая система Вентцеля

Пусть П = (П, А, Р) - полное вероятностное пространство с вероятностной мерой Р, ассоциированное с а-алгеброй А подмножеств множества П, а К - множество действительных чисел, наделенное борелевой а-алгеброй. Измеримое отображение £ : П ^ К называется случайной величиной. Множество случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией образуют гильбертово пространство Ь2 со скалярным произведением (£^£2) = Е^£2.

Пусть I С К - интервал. Измеримое отображение п : I х П ^ К, назовем стохастическим процессом, для каждого фиксированного ш € П функцию п(',ш) : I ^ К - его траекторией, а для каждого фиксированного £ € I случайную величину п(£, ■) : П ^ К - его сечением. Стохастический процесс п = п(£), £ € I, назовем непрерывным, если п.н. (почти наверное) все его траектории непрерывны (т.е. при п.в. (почти всех) ш € А траектории п(',ш) являются непрерывными функциями). Множество непрерывных стохастических процессов образует банахово пространство, которое мы обозначим символом С(1; Ь2) с нормой

Пусть Ао — а-подалгебра а-алгебры А. Построим подпространство С Ь2 случайных величин, измеримых относительно А0. Обозначим через П : Ь2 ^ - ортопро-ектор. Пусть £ € Ь2, тогда П£ называется условным математическим ожиданием случайной величины £ и обозначается символом Е(£|А0). Зафиксируем п € С(1; Ь2) и £ € I, через N7 обозначим а-алгебру, порожденную случайной величиной п(£), и обозначим ЕП = Е(-|Л7).

о

Определение 1. Пусть п € С(1; Ь2). Производной Нельсона - Гликлиха П стохастического процесса п в точке £ € I называется случайная величина

если предел существует в смысле равномерной метрики на К.

о

Если производные п (£, ■) Нельсона - Гликлиха стохастического процесса п(£, ■) существуют во всех (или п.в.) точках интервала I, то мы говорим о существовании

о

производной Нельсона - Гликлиха п (£, ■) на I (п.н. на I). Множество непрерывных стохастических процессов, имеющих непрерывные производные Нельсона - Гликлиха

о

п образуют банахово С!(1; Ь2) пространство с нормой

Определим далее по индукции банаховы пространства Сг(1; Ь2), I € М, стохастических процессов, чьи траектории п.н. дифференцируемы по Нельсону — Гликлиху на I до порядка I € {0} и N включительно. Нормы в них задаются формулами

||п||оь2 = 8пр(Бп(£,ш))1/2.

Здесь будем считать производную Нельсона - Гликлиха нулевого порядка исходным

случайным процессом, т.е. П(0) = П- Отметим еще, что пространства Сг(1; Ь2), I Е {0} и N для краткости будем называть пространствами <шумов>.

Перейдем к построению пространства случайных К-величин. Возьмем Н - вещественное сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом

те

{фк}, монотонную последовательность К = {Ак} С такую, что ^ А| < а так-

к=1

же последовательность } = (ш) С Ь2 случайных величин такую, что ||ь2 < С, при некоторой константе С Е и при всех к Е N. Построим Н-значную случайную К-величину

те

С(ш) = X] Ак&(ш)фк• к=1

Пополнение линейной оболочки множества {А&фк} по норме

. 1/2

|нкЬ2 = I ^ Ак \к=1

называется пространством (Н-значных) случайных К-величин и обозначается символом НкЬ2. Как нетрудно видеть, пространство НкЬ2 — гильбертово, причем построенная выше случайная К-величина £ = £(ш) Е НкЬ2. Аналогично, банахово пространство (Н-значных) К-«шу.мов> С1 (I; НкЬ2), I Е {0} и N определим как пополнение линейной оболочки множества {А&Пк фк} по норме

Ichkl2 = sup Y^ Ак D n

ч !/2

(m)

__, __, к

i€l \k=1 m=1

где последовательность «шумов» {nk} С C1 (I; L2), l E {0} U N. Как нетрудно видеть, вектор

) = ^ AkПк

k=1

лежит в пространстве С1 (I; НкЬ2), если последовательность векторов {пк} С С1 (I; Ь2) и все их производные Нельсона - Гликлиха до порядка I Е {0} и N включительно равномерно ограничены по норме || • ||огь2 -

Пример. Вектор, лежащий во всех пространствах Сг(К+; НкЬ2), I Е {0} и N

те

WK(i,w) = ^ Ak вк (t,^ )фк, к=1

где {вк} С C1 (I; L2) — последовательность броуновских движений, называется (H-значным) винеровским K-процессом.

Пусть теперь U (F) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {фк} ({^к}). Введем в рассмотрение монотонную после-

те

довательность K = {Ак} С {0} U R такую, что ^ Ак < Символом UKL2 (FKL2)

к=1

обозначим гильбертово пространство, являющееся пополнением линейной оболочки случайных К-величин

те /те

С = X] £к Vк, £к е Ь.2, С = X] V к Скфк, Ск е Ь2

по норме

k=1 \ k=1

те /те

IU = £ AkDCk IMIF = »k DZk k=1 k=1

Заметим, что в разных пространствах (UkL2 и FkL2) последовательность K может быть разной (K = {Ak} в UkL2 и K = {»k} в FkL2), однако все последовательности, отмеченные символом K, должны быть монотонными и суммируемыми с квадратом. Все результаты, вообще говоря, будут верны при разных последовательностях {Ak} и {»k}, однако простоты ради мы ограничимся случаем Ak = »k. Пусть A : U ^ F - линейный оператор. Формулой

те

AC = Ak Ck Apk (10)

k=1

зададим линейный оператор A : UkL2 ^ FkL2, причем если ряд в правой части (10) сходится (в метрике FkL2), то C G domA, а если расходится, то C G domA. Традиционно определяются пространства линейных непрерывных операторов L(UkL2; FkL2) и линейных замкнутых плотно определенных операторов. Справедливы

Лемма 1. (i) Оператор A G L(U; F) точно тогда, когда A G L(UKL2; FKL2). Как нетрудно видеть,

тете

II ACIIf < ^ A2DCkIIA^kIIF < const £ AkDCk = const ||C||u-k=1 k=1

(ii) Оператор A G C7(U; F) точно тогда, когда A G CI(UKL2; FKL2).

Простоты ради положим U = {u G W|(Q) 0 W22(r) : dRu = 0}, F = L2(П) 0 L2(r). Далее, по алгоритму, изложенному выше, построим пространства случайных K-величин . Случайная K-величина C G UKL2 имеет вид

C = AkCk Pk, (11)

k=1

где } - семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа Дгд< е д) ортонормированных в смысле скалярного произведения (•, •) из Ь2(П). Рассмотрим линейную стохастическую систему Вентцеля уравнение фильтрации влаги в шаре и на его границе. В этом случае (1), (2) преобразуется к виду

(А - = аАГ!в<п + вп, П е Сте(Е+; И^2), (12)

(А - Дв<)гн = 1Дв<<П + дпП + 5пп е Сте(Е+; ИЛ), (13)

где

А — j2i I j2f_ Я — JL

~ Эв2 ^ dip2 ' — dr

r=R

К данной системе присовокупим условие согласования и снабдим ее начальными условиями

п(0) = По (14)

Решение задачи (12) - (14) назовем стохастическим решением системы Вентцеля.

Теорема 2. Для любого п0 Е иКЬ2(П) и коэффициентов а,в,7, А Е К, таких, что а = 7, в = а А = к2, где к Е N существует единственное решение п Е Сте(К+; иКЬ2) стохастической системы Вентцеля (12) - (14) .

Доказательство. Существование и единственность решения доказывается по аналогии с детерминированным случаем в силу справедливости леммы 1. □

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (код проекта 23-21-10056).

Литература

1. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 852-864.

2. Гончаров, Н.С. Неединственность решений краевых задач с условием Вентцеля / Н.С. Гончаров, С.А. Загребина, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2021. - Т. 14, № 4. - С. 102-105.

3. Favini, A. Multipoint Initial-Final Value Problem for Dynamical Sobolev-Type Equation in the Space of Noises / A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Electronic Journal of Differential Equations. - 2018. - V. 2018, № 128. - P. 1-10.

4. Favini, A. The Multipoint Initial-Final Value Condition for the Hoff Equations in Geometrical Graph in Spaces of K-«Noises» / A. Favini, S.A. Zagrebina, G.A. Sviridyuk // Mediterranean Journal of Mathematics. - 2022. - V. 19, № 2. - Article ID: 53.

5. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Sectorial Operators in Space of «Noises»/ A. Favini, G.A. Sviridyuk, N.A. Manakova // Abstract and Applied Analysis. -2015. - V. 2015. - Article ID: 697410.

6. Favini, A. One Class of Sobolev Type Equations of Higher Order with Additive «White Noise» / A. Favini, G.A. Sviridyuk, A.A. Zamyshlyaeva // Communications on Pure and Applied Analysis. - 2016. - V. 15, № 1. - P. 185-196.

7. Favini, A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Radial Operators in Space of «Noises» / A. Favini, G.A. Sviridyuk, M.A. Sagadeeva // Mediterranean Journal of Mathematics. - 2016. - V. 13, № 6. - P. 4607-4621.

8. Lions, J.L. Problems aux limites non homogenes et applications / J.L. Lions, E. Magenes. -Paris: Dunod, 1968.

9. Гончаров, Н.С. Задачи Шоуолтера - Сидорова и Коши для линейного уравнения Дзекце-ра с краевыми условиями Вентцеля и Робена в ограниченной области /Н.С. Гончаров, С.А. Загребина, Г.А. Свиридюк // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2022. - Т. 14, № 1. - С. 50-63.

10. Вентцель, А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А.Д. Вентцель // Теория вероятности и ее применения. - 1959. - Т. 4, № 2. - С. 172-185.

11. Gliklikh, Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics, Theoretical and Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. - London; Dordrecht; Heidelberg: Springer, 2011.

12. Kitaeva, O.G. Exponential Dichotomies in Barenblatt - Zheltov - Kochina Model in Spaces of Differential Forms with «Noise»/ O.G. Kitaeva, D.E. Shafranov, G.A. Sviridyuk // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. - 2019. - V. 12, № 2. - P. 47-57.

13. Goncharov, N.S. Stochastic Barenblatt - Zheltov - Kochina Model on the Interval with Wentzell Boundary Conditions / N.S. Goncharov // Global and Stochastic Analysis. - 2020. -V. 7, № 1. - P. 11-23.

Никита Сергеевич Гончаров, аспирант, кафедра «Уравнения математической физики», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Георгий Анатольевич Свиридюк, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Уравнения математической физики», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 3 августа 2023 г.

MSC 93E10 DOI: 10.14529/mmp230406

AN ANALYSIS OF THE WENTZELL STOCHASTIC SYSTEM OF THE EQUATIONS OF MOISTURE FILTRATION IN A BALL AND ON ITS BOUNDARY

N.S. Goncharov1, G.A. Sviridyuk1

1 South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

The deterministic and stochastic Wentzell systems of Barenblatt-Zheltov-Kochina equations describing moisture filtration in a three-dimensional ball and on its boundary are studied for the first time. In the deterministic case, the unambiguous solvability of the initial problem for the Wentzell system in a specifically constructed Hilbert space is established. In the stochastic case, the Nelson-Glicklich derivative is used and a stochastic solution is constructed, which allows us to predict quantitative changes in the geochemical regime of groundwater under pressureless filtration. For the filtration system under study, the non-classical Wentzell condition was considered, since it is represented by an equation with the Laplace-Beltrami operator defined on the boundary of the domain, understood as a smooth compact Riemannian manifold without an edge, and the external influence is represented by the normal derivative of the function defined in the domain.

Keywords: Wentzell system; Barenblatt-Zheltov-Kochina equation; Nelson-Glicklich derivative.

References

1. Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Liquids in Fissured Rocks. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1960, vol. 24, no. 5, pp. 1286-1303.

2. Goncharov N.S., Zagrebina S.A., Sviridyuk G.A. Non-Uniqueness of Solutions to Boundary Value Problems with Wentzell Condition. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modeling, Programming and Computer Software, 2021, vol. 14, no. 4, pp. 102-105. DOI: 10.14529/mmp210408

3. Favini A., Zagrebina S.A., Sviridyuk G.A. Multipoint Initial-Final Value Problem for Dynamical Sobolev-Type Equation in the Space of Noises. Electronic Journal of Differential Equations, 2018, vol. 2018, no. 128, pp. 1-10.

H.C. ToHMapoB, r.A. CBHpHgroK

4. Favini A., Zagrebina S.A., Sviridyuk G.A. The Multipoint Initial-Final Value Condition for the Hoff Equations in Geometrical Graph in Spaces of K-"Noises". Mediterranean Journal of Mathematics, 2022, vol. 19, no. 2, article ID: 53. DOI: 10.1007/s00009-021-01940-0

5. Favini A., Sviridyuk G.A., Manakova N.A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Sectorial Operators in Space of Noises. Abstract and Applied Analysis, 2015, vol. 2015, article ID: 697410. DOI: 10.1155/2015/697410

6. Favini A., Sviridyuk G.A., Zamyshlyaeva A.A. One Class of Sobolev Type Equations of Higher Order with Additive "White Noise". Communications on Pure and Applied Analysis, 2016, vol. 15, no. 1, pp. 185-196. DOI: 10.3934/cpaa.2016.15.185

7. Favini A., Sviridyuk G.A., Sagadeeva M.A. Linear Sobolev Type Equations with Relatively p-Radial Operators in Space of "Noises". Mediterranean Journal of Mathematics, 2016, vol. 13, no. 6, pp. 4607-4621.

8. Lions J.L., Magenes E. Problems aux limites non homogenes et applications. Paris, Dunod, 1968.

9. Goncharov N.S., Zagrebina S. A., Sviridyuk G. A. The Showalter-Sidorov and Cauchy Problems for the Linear Dzekzer Equation with Wentzell and Robin Boundary Conditions in a Bounded Domain. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2022, vol. 14, no. 1, pp. 50-63. DOI: 10.14529/mmph220106

10. Ventcel' A.D. On Boundary Conditions for Multidimensional Diffusion Processes. Theory of Probability and Its Applications, 1959, vol. 4, pp. 164-177. DOI: 10.1137/1104014

11. Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics, Theoretical and Mathematical Physics. London, Dordrecht, Heidelberg, Springer, 2011.

12. Kitaeva O.G., Shafranov D.E., Sviridyuk G.A. Exponential Dichotomies in Barenblatt-Zheltov-Kochina Model in Spaces of Differential Forms with "Noise". Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modeling, Programming and Computer Software, 2019, vol. 12, no. 2, pp. 47-57. DOI: 10.14529/mmp190204

13. Goncharov N.S. Stochastic Barenblatt-Zheltov-Kochina Model on the Interval with Wentzell Boundary Conditions. Global and Stochastic Analysis, 2020, vol. 7, no. 1, pp. 11-23.

Received August 3, 2023