CC BY
7
ные программы экономического развития с учетом выявленных тенденций экономического развития территории.
Литература
1. Шкрабак 1.В. Теритс^альш утворення як системно-конгломератнi структури / 1.В. Шкрабак // Держава та регюни, 2011. - № 3. - С. 82-86.
2. Вяткин В.Б. Синергетическая теория информации: общая характеристика и примеры использования / В.Б. Вяткин // Наука и оборонный комплекс - основной ресурс российской модернизации : матер. Межрегион. научно-практ. конф. - Екатеринбург : Изд-во УрО РАН, 2002. - С. 361-390.
3. Вяткин В.Б. Хаос и порядок дискретных систем в свете синергетической теории информации / В.Б. Вяткин // Научный журнал КубГА. - Краснодар : Изд-во КубГАУ, 2009. - № 03 (47). [Электронный ресурс]. - Доступный з http://www.ej.kubagro.ru/2009/03/pdl708.pdf.
Шкрабак 1.В. Структурна стшгасть економши регюну з позицш си-нергетично'1 теорп шформацй'
Розглянуто теоретичш питання аналiзу структурно!' стшкосп економжи на ме-зорiвнi з позицш синергетично!' теорп шформацй i напрямки ïx практичного вико-ристання у державному управлшш економiчним розвитком територш.
Ключовi слова: синергетична теорiя шформацй, системно-конгломератш об'екти, структурна стiйкiсть, хаос, порядок, економiчний розвиток територiï.
ShkrabakI.V. Structural stability of economy of region from positions of synergetics information theory
In a publication the theoretical questions of analysis of structural stability of economy are examined at mesos level from positions of synergetics information and direction of their practical use theory in state administration by economic development of territories.
Keywords: synergetics information theory, system-conglomerate objects, structural stability, chaos, order, economic development of territory.
УДК 629.1 Ст. викл. 1.1. Верхола1, канд. техн. наук;
доц. А.П. Сеник1'2, канд. фьз.-мат. наук; ад'юнктЮ.А. Чаган1
АНАЛ1З СТ1ЙКОСТ1 НЕЛ1Н1ЙНИХ КОЛИВАНЬ ГУСЕНИЧНОГО ОБВОДУ
Дослщжено вплив змшно! сили натягу, швидкосп поздовжнього руху та нел> ншних сил на стшгасть коливань поздовжньо-рухомого гусеничного обводу. Отри-мано сшввщношення, що визначають зони стшкосп (нестшкостс) та проанатзовано вплив швидкосп поздовжнього руху на 1х конф^уращю.
Ключовг слова: гусеничний обвщ, гнучкий елемент, зони стшкост^ ампл^уда коливань.
Актуальшсть та огляд основних результата. Гусеничний обвщ транспортних засоб1в - це гнучкий елемент маса котрого розподшена майже р1вно-м1рно вздовж 11 довжини. У процеа експлуатацп гусеничних транспортних за-соб1в (ГТЗ), зокрема тд час руху по перешченш мюцевосп, натяг у ведучш та веденш частинах обводу змшюегься, а, отже, впливае на 11 поздовжш та попе-речш коливання. Якщо вивчення процешв у нижнш частит обводу не стано-вить значного штересу, то дослщження динамжи верхньо1 е важливою 1 склад-
1 Академ1я сухопутних вшськ 1м. гетьмана Петра Сагайдачного;
2 НУ "Льв1вська поттехшка"
ною задачею [1-5]. Вона, по-перше, характеризуегься швидюстю поздовжнього руху, по-друге, мае певну згинну жорстюсть, по-трете, 11 пружшм характеристикам властивий нелiнiйний зв'язок мiж перемiщеннями та силою. Все це створюе значнi труднощi тд час аналiтичного дослiдження динамiчних процешв вказа-ного об'екта. Водночас тшьки на базi точних чи наближених розв'язкiв вщповщ-них математичних моделей динамiчного процесу можна проаналiзувати вплив всього спектра фiзико-механiчних, юнематичних i силових чинниюв на основнi параметри коливань та 1х стiйкiсть. Саме питания стшкосп коливних процесiв верхньо! частини гусеничного обводу за умови мало1 11 згинно1 жорсткостi е предметом розгляду цього дослiджения. Адже задача про стiйкiсть динамiчного процесу по сво1й важливостi е рiвнозначною, а в деяких випадках i важливiшою [6], задачi опису динамiчного процесу. Звiдси i випливае актуальшсть поставле-но1 задачi.
Постановка задачь Вiдомо [4, 5], що математичною моделлю як поз-довжшх, так i поперечних коливань гнучких привщних елементiв (зокрема i гусеничного обводу), як рухаються iз сталою швидкiстю напрямленою вздовж осi абсцис, е диференщальне рiвияння
ди ди д2и д4и „ | ,1Ч
и,—,—,——44 I' (1) дt дх дх2 дх4 I
д 2и (х г) + ^ 9 2и (X' х) _(_ у 2 ^Зи^) =ег дг2 дхдг { р ) дх2
де: и (х, г) - поперечне (поздовжне) перемщення дослiджуваного об'екта, V -поздовжня складова швидкостi верхньо! частини обводу (V = 2/ V0' V0- швид-кiсть поздовжнього руху транспортного засобу), Щ) - поздовжня сила натягу для випадку поперечних коливань (модуль пружност для випадку поздов-жнiх коливань), р - погонна маса гусеничного обводу,
I ди ди д 2и д 4и I /1 и,—,—,——-,в | - певна функцiя, яка описуе нелiнiйнi силовi чин-
^ дг дх дх2 дх I
ники та перюдичне збурення, в = /г, / - його частота.
До диференщального рiвияния (1) долучаемо однорiднi крайовi умови
и (х г)|х=0 = и (X'г)|х=г = ^ (2)
якi узгоджуються iз умовами безвiдривного контакту верхньо! частини гусеничного обводу та ведучого i напрямного колiс.
Примiтка 1. Ддтримукш ролики можна моделювати як точково прикла-денi дакш сили. Цей випадок може бути предметом окремих дослiджень.
Надалi вважатимемо, що сила натягу гнучкого елемента змiнюеться вщ-повiдно до закону
5 = 50 + й^в, (3)
де 51- стал1 Вона узгоджуеться iз динамiкою руху ГТЗ по перешченш мю-цевость Зауважимо, що бiльш складнi випадки представлення сили у досль дженш формально не вiдрiзняються вiд вказаного за умови, що спектр зов-шшшх частот перiодичного збурення не знаходиться у ращональному зв'язку. Нехай ГТЗ рухаеться по поверхнi з незначними геометричним розмiрами перешкод. У цьому разi 50 >> та диференцiальне рiвняння (1) набувае вигляду
д2м (x, t) (x, t) f S0 v 2 |д2м (x, t)
3f2 dxdt [ p J dx2 =
У ■ (4)
Si д2м „| дм дм д2м д4м л|
——-cos3t + sf I м,—,—,—-,■■;—J,в I p дx ^ дt дx дx дx4 J
Отже, подальшi дослщження стосуються знаходження впливу парамет-piB V, S0, S1, ц та право! частини рiвняння (4) на стшюсть коливань верхньо! вики гусеницi■
Методика розв'язування поставлено! задачi побудована на описаннi коливного процесу за допомогою асимптотичних методiв знаходження розв'яз-ку крайово! задачi (4), (2) з наступним аналiзом впливу тих чи шших паpаметpiв на сшввщношення, що визначають його стшюсть. 1снують piзнi пiдходи асим-птотичного розв'язання вказано! задачi: метод послщовних наближень Пуанкаре, метод Бубнова-Гальоркша, метод, в основi котрого покладено хвильову те-оpiю руху та ш. Ми ж, з метою подальшого дослiдження стiйкостi, викорис-таемо метод Бубнова-Гальоpкiна, який, на наш погляд, бiльше адаптований для розв'язання поставлено! задач^ хоча не зовам точно описуе форму динaмiчного процесу. Вщповщно до цього методу, функщю м (x,t) подаемо у виглядi
u(x, t) = ^ Тк(t)Xk(x), причому функцi! Хк(x) вибираемо так, щоб кpaйовi умови
к
(2) справджувались та вони утворювали повну ортонормовану систему функцiй■ Останне не екшвалентно тому, що форма поперечних коливань описуеться фун-кцiею Хк (x) чи нaвiть лiнiйною комбшащею обмеженого числа вказаного вигля-ду функцi!■
Це дае змогу тсля певних перетворень iз (4) отримати звичaйнi дифе-pенцiaльнi piвняння для знаходження невщомих функцiй Тк (t)
idiJ^p-V^j^T^T.cosS. + ^^k <5> де f( Тк' f в 2 Of ( м, I -1 • 0^) X' )'<x-
Нaйбiльш цiкaвим i одночасно важливим iз теоретичного погляду та умов експлуатацп ГТЗ е випадок, коли змiннa складова сили натягу гусениц мае частоту, яка близька до частоти власних коливань. Припускаеться, що швидюсть поздовжнього руху е менша за критичну (V2 < S0/p). Тодi вико-нуеться умова ю « ц, а дифеpенцiaльне piвняння (5) трансформуеться до
^ + ю2Т = ю2аТ + уТ cosSt + sf (Tk,—,в |. (6)
dt2 ^ dt J
Нехай правою частиною piвняння (1) е функцiя
дм дм д2м д4м „) , дм , (дм )2 д2м
f I м,—,—,—г,--,—4,в| = -к1 — + к21 — I —2 + k3cose + k4sine, (7) ^ дt дx дx2 дx4 J дt \дx J дx2
I! фiзичний змiст полягае у тому, що сила тертя мiж окремими ланками гусеницi пpопоpцiйнa швидкостi (кутовш чи лiнiйнiй), а нелiнiйнa складова вщ-
5. Iнформацiйнi технолог!' галузi 347
новлювально! сили задовольняе нелiнiйний технiчний закон пружносл. Вщпо-вiдно до (6), будемо мати
d-Tr + o2T = co2aT + yT cosSt - p— + ST3 + Hicos6> + H 2sin0, (8)
dt2 dt
де: p = ki, S = 4k2[k^j , Hi = 2кз, H2 = 2kA.
Отже, поставлена задача звелась до знаходження розв'язку та побудови зон стшкосп звичайного нелшшного диференцiального рiвняння (8). У досль джуваному випадку розв'язок рiвняння (8) будемо шукати у виглядi [7]
T = r cosot + s sin cot + (о2 - ¡I2) ((cos ¡t + H2sin ¡t). (9)
Невiдомi коефiцiенти r, s знаходимо шляхом пiдстановки (9) у (8) iз ура-хуванням спiввiдношення (7). Це дае змогу отримати амплпудне спiввiдношення
2 12 3 j2
ю2а + ~^Sa2 + ку2 \ -у2 + т2р2 (o2-I2)-2 |[|®2а + 3 Sa2 + ky2 j + y2 + ®2P2j(Hi2 + H2) + . (10)
+2 [m2a + 4Sa2 + ky2 j (H2 - H12) y - 4mpH1H2y j
Нехай H2 = ±H1. Алгебра!чне рiвняння (10) у вказаному випадку тран-сформуеться в б^адратне, яке мютить параметр а (розбалансування частот). Якщо H1 = H 2, матимемо
m2a = --4sa2-ky2±^y2-m2p2 +H2a-2±H1a-1 (o2-¡2^J^y-oP) y+H2a-2 . (11)
Тут верхньому знаку рiвняння (11) вщповщають дiйснi коренi i вони бу-
H 2 H 2
дуть невщ'емними за: а) a2 <—-1——, б) a2 < . 21—
4 (mp-y)y а)2р2 -y2
в) y2 -ю2р2 + H2a-2 + H1a-1 (o2 -/2)-^4(y-mp)y + H2a-2 > 0.
H2 H2 Нижньому - дiйснi кореш за умов: а) a2 < —-1——, б) a2 <-1-
4 (cop-y)y ю2р2-y2'
в) y2 - o2в2 + H2a~2 > Ha1 (o2 - ¡i2)-1^4 (y-mp)y + H12a"2 .
Подiбно знаходимо амплiтуднi сшввщношення, як вiдповiдають проти-лежним за знаками коефщентам змушуючо! сили. Рiзниця в цьому разi полягае у тому, що p замiнюеться на (-в).
Якщо величини змушуючо! сили е рiзними (H1 ф H2), то амплпудне стввщношення набувае вигляду
3
ю2а = —Sa2 -ky2 ±
4
1
Г2-т2р2+
X аР-а+Зза2 +ку2-И+йрА| +1 А|®2а+38а2 +ку2+у\~юРх\
2 V)
(12)
Отримаш результати дають змогу представити резонанснi значення ам-плiтуди гнучкого елемента для рiзних значень стало! складово! сили його натягу та рiзних значень швидкост поздовжнього руху. На рис. представлено резонан-снi кривi для випадку I = 6м, р = 50кг / м, Б0 = 20000Н, Б1 = 2000Н, к1 = 130, к = 2
а)
N \ \
ч ч \ \
\ \ ч ^ \ А 0.041 V.
4 \ \
\ \ \
^ \ \ \
\ \ ., \
\ \ 002- \
\ \ \ \
м —1-1—1- \\ -1—1-
-0.1 -0.05
б)
\ \
\ \
\ \
" \ \
»а V о"4"
\
\
4 \ N
^ \ ч-
\ \ \ \
\ \ 0.02- ' N \
\ \ \ \
\\ \\
-1-1—1- Ч -1—1-
-0.1 -о.оз
Рис. Резонансш значення амплтуди коливань верхньоI в '/тки гусеничного обводу
для: а) У=5 м/с; б) У=8 м/с
Якщо змушуюча сила змiнюeться вщповщно до синусо!дального закону, то диференщальне рiвняння (6) набувае вигляду
+ т2Т = т2аТ + уТ соъЗг -в— + 8Т 3 + Н 8т0. с1г2 с1г
(13)
Його розв'язок знаходимо, як i у описаному випадку. Пюля нескладних перетворень отримуемо систему алгебра!чних рiвнянь для визначення зон стiйкостi коливань
2а + 4 8 а2 + к у2 + у\^ г -тр$ = 0,
^®2а + 38а2 + ку2 - у^s + твг + (а>2 - ц2) 1Н = 0. I! розв'язок {г, я} визначаемо залежностями
т2а + -48а2 + ку2\ -у2 + т2р2 г = -(а>2-и2)арН ,
т2а + 48а2 + ку2 | -у2 + ю2р2
з = -(®2-/и2) ^®2а + 38а2 + ку2^^^Н .(14)
Зaлежнiсть для визначення зон стшкосп коливань вiд параметру розба-лансування частот а набувае вигляду
а
3
ю2а =—Sa2 -ky2 ±
4
co2a + — Sa2 + kv2 + Y I 4 ' ')
Вона e базовою для побудови зон стшкосп розв'язку рiвняння (13). Без особливих труднощш наведену методику можна перенести i на випадок поль гармонiчного збурення. Для нього, вщповщно до принципу одночастотностi ко-ливань у нелшшних системах, домiнуючий вплив будуть мати гармонiки, частота котрих e близькою до частоти власних коливань або пов'язана iз нею раць ональною залежнiстю.
Висновки: а) iз зростанням швидкостi руху гусеничного обводу ширина резонансноï зони збшьшуеться; б) величина коефiцieнта нелiнiйноï складовоï вiдновлювальноï сили впливае на кут нахилу резонансних кривих до ош а ; в) коефщент параметричного збурення у впливае на ширину резонансноï зони подiбно, як i швидюсть поздовжнього руху гнучкого елемента: iз збiльшенням коефiцieнта у ïï ширина зростае.
Л1тература
1. Li-Qun Cheng. Analysis and Control of Transverse Vibrations of Axially Moving Strings / Cheng Li-Qun // Applied Mechanics Reviews. - 2005. - Vol. 58. - P. 91-116.
2. Wei Zhang. Vibration control of an axially moving string system: Wave cancellation method / Zhang Wei, Cheng Li-Qun // Applied Mathematics and Computation. - 2006. - № 175. - P. 851-863.
3. Pellicano F. Complex dynamics of high-speed axially moving systems / F. Pellicano // Journal of Sound and Vibration. - 2002. - № 258(1). - P. 31-44.
4. Кузьо I.В. Динамiчнi процеси у середовищах, яга характеризуються поздовжшм ру-хом, та вплив крайових умов на ампл^уду i частоту 1х коливань / I.B. Кузьо, С.В.Харченко, М.Б. Согал // Вiбрацiï в техшщ i технолопях. - 2007. - № 3 (48). - С. 53-56.
5. Мартинщв М.П. Одне узагальнення методу Д'Аламбера для систем, яга характеризуються поздовжшм рухом / М.П. Мартинщв, М.Б. Согал // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Украши. - 2003. - Вип. 13.4. - С. 64-67.
6. Белман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. - М. : Изд-во "Иностранная лит-ра", 1954. - 216 с.
7. Назар I.I. Метод Ван-дер-Поля у дослщженш перюдичних збурень рухомих однови-мiрних систем / I.I. Назар, Б.1. Согал // Ошташзащя виробничих процеав i техшчний контроль у машинобудуванш та приладобудуванш. - Львiв, 2006. - № 560. - С. 71-75.
Верхола И.И., Сенык А.П., Чаган ЮА. Анализ устойчивости нелинейных колебаний гусеничного обвода
Исследовано влияние сменной силы натяжения, скорости продольного движения на устойчивость колебаний продольно-подвижного гусеничного обвода. Получены соотношения, которые определяют зоны их устойчивости (неустойчивости) и проведен анализ влияния скорости продольного движения на их конфигурацию.
Ключевые слова: гусеничный обвод, гибкий элемент, зоны устойчивости, амплитуда колебаний.
Verhola I.I., Senyk A.P., Chagan Yu.A. Buckling analysis of nonlinear oscillations of caterpillar outline
Effect of replaceable force of tension, speed of longitudinal motion on stability of oscillations of longitudinal-mobile caterpillar outline is probed. It is received ratio which determine zones of their stability (instability) and the analysis of effect of speed of longitudinal motion on their configuration is carried out.
Keywords: caterpillar outline, flexible element, stability zones, oscillation frequency.
- co2p2 + a-1H (a)2 - v2)ю2в2 + ^
