CC BY
22
УДК 504.43/45.06:(556.53 5:004.01)
АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КОНЦЕНТРАЦИИ КОНСЕРВАТИВНЫХ ПРИМЕСЕЙ ПРИ ДИФФУЗНОМ ЗАГРЯЗНЕНИИ МАЛЫХ РАВНИННЫХ РЕК
В.Ю. Филимонов, О.В. Ловцкая
Институт водных и экологических проблем СО РАН, Барнаул, E-mail: vyfilimonov@rambler.ru
В представленной работе на основе уравнения адвекции-диффузии рассмотрена одномерная модель диффузного загрязнения реки консервативными примесями с учетом дисперсии загрязнителя. Получены асимптотические решения уравнения при больших значениях критерия Пекле. Установлено, что в этом случае стационарные распределения концентрации определяются удельным массовым расходом загрязнителя на границе области. Определены типичные структуры стационарных полей концентрации загрязнителя в русле.
Ключевые слова: водосбор, диффузные загрязнения, продольная дисперсия, сток, массовый расход, поллютант.
DOI: 10.24411/2410-1192-2019-15408
Дата поступления 27.08.2019
Основной причиной современной деградации природных вод является антропогенное загрязнение, источниками которого служат сточные воды промышленных предприятий, коммунального хозяйства населенных пунктов, поверхностные стоки с полей и других сельскохозяйственных объектов, выпадения загрязнителей на водную поверхность и водосборные бассейны с атмосферными осадками [1-2]. Качество вод водотоков определяется результатом их взаимодействия с водосбором и расположенными на нем естественными и антропогенными источниками минеральных и химических веществ, поступающих в русловую сеть. Как следствие, большое значение имеет контроль качества речной воды и, в т.ч., определение интенсивности сброса загрязняющих веществ отдельными точечными и распределенными источниками, представляющими наибольшую потенциальную опасность [3]. Наибольшую сложность с точки зрения моделирования представляют именно распределенные источники загрязнений (диффузные загрязнения) [4], поскольку диффузный сток ха-
рактеризуется определенной протяженностью в пространстве и во времени. Следует иметь в виду, что даже в отсутствие паводковой волны диффузные стоки весьма динамичны, и величина нагрузки от источника тесно связана с метеорологическими условиями, при этом интенсивность стока зависит от целого ряда факторов, которые определяются характером зависимости водообмена между почвенными и грунтовыми водами [5].
Модели диффузного стока зависят от предположения о пространственной однородности поверхности. Модели, которые рассматривают поверхность участка водосбора как однородную, могут быть использованы для масштабов, например, сельскохозяйственного поля или фрагмента урбанизированной территории. Если же модель ориентирована на территорию всего водосбора, то в ней следует учитывать возможность поступления загрязняющих веществ с территории с разным типом ландшафтов.
При анализе распределения концентраций химических элементов на водосборе зачастую пользуются понятием
«геохимическое поле» [6]. Под геохимическим полем (ГХП) понимается пространство, характеризующееся близкими физико-химическими условиями и уровнем содержания химических элементов.
По уровням содержания химических элементов ГХП могут быть сравнительно однородными (без возмущений), плавно изменяющимися, или осложняться локальными аномалиями распределения отдельных компонентов, вызванными природными и техногенными факторами. Распределение удельного массового расхода загрязнителя, поступающего в речное русло с водосбора, будет напрямую зависеть от степени однородности ГХП.
В представленной работе проводится анализ уравнения адвекции-диффузии и его решения для консервативных поллютантов в приближении «медленной» диффузии.
Математическая модель
На рисунке 1 представлена схема, иллюстрирующая диффузный сток загрязнителя на участке водосбора реки.
Уравнение переноса консервативного поллютанта вдоль русла (уравнение адвекции-диффузии) имеет вид [7-8]:
= *(*■<)■ (1)
ч>Ы
% 3
Св
\ 1 - River 1
л| 1 1
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая модель диффузного стока загрязнителя на участке реки AB длиной L:
1 - река; 2 - профиль концентрации загрязнителя в русле; 3 - функция источника загрязнений.
где о - площадь живого сечения русла (м2); с(х,1) - массовая концентрация примеси (кг/м3); (( (х , 1) - объемный расход (м /с); Е - коэффициент продольной дисперсии (диффузии) (м2/с); Ф(х, 0 -массовый расход стока загрязнителя на единицу длины русла (кгм-1/с).
В общем случае нестационарного течения (паводковые волны, осадки и т.п.) уравнение (1) должно быть дополнено уравнениями Сен-Венана и неразрывности [9] с соответствующими начальными и граничными условиями. Однако уравнение (1) допускает ряд упрощений, т.к. его можно рассматривать как стационарное в случаях, когда рассматриваемый интервал времени (время наблюдения) много меньших времен существенного изменения внешних условий. Последнее справедливо с хорошей точностью для осенне-летнего периода, исключая случаи выпадения дождевых осадков. Зависимости ( ) ( ) считаются второстепенными и их обычно заменяют соответствующими средними (эффективными) значениями.
В пренебрежении продольной дисперсией (диффузией) первый интеграл от стационарного уравнения (1) приводит к соотношению:
((всв - ((АсА = Р, (2)
где - значения концентраций
поллютанта на нижнем и верхнем створе, - соответствующие объемные расходы (рис. 1).
Массовая интегральная скорость стока поллютанта (кг/с) на исследуемом
участке представлена функцией:
ь
^ = | Ф( х)с1х (3)
0
Условие (2) довольно часто используется для оценки массового расхода загрязнителя. Однако для его гарантированного использования, как следует из уравнения (1), необходимо выполнение оценочного условия:
1 / а = Е/1V = 1 а/ К <1, (4)
где V - средняя скорость течения на исследуемом интервале, - пространственный масштаб дисперсии. Величина является известным из теории тепло-массопереноса диффузионным критерием Пекле [10], который характеризует соотношение между диффузионным и конвективным переносом. Для проверки выполнения условия (4) необходима информация о величине коэффициента продольной дисперсии Е. Между тем, достоверные и однозначные сведения об этой величине отсутствуют. В [11] коэффициент продольной дисперсии при-
3 2
нимает значения от 1 до 10 (м/с) и зависит существенным образом как от параметров русла (ширина, глубина, коэффициент шероховатости и т.д.), так и от сезона наблюдения, что делает эту величину практически неопределяемой априори. Однако например, при скорости течения V « 1 м/с, Е «103 м2/с и пространственных масштабах в несколько километров пренебрежение влиянием диффузии может привести к неверным результатам.
Выполнение условия (4) оправдано для значительных пространственных масштабов наблюдения и незначительной величине продольной дисперсии, что физически правдоподобно. Тогда, анализ (1) при а» 1 можно рассматривать как поправку на продольную дисперсию.
Уравнение (1), с учетом (4) для стационарных течений, может быть преобразовано к виду:
(5)
йс 1 й2с , ч ----г = <рт,
йг а йгА
где г = х/Ь - обезразмеренная координата, <р(г) = Ь Ф(г)/Q - функция источника загрязнений (имеющая размерность концентрации). Будем предполагать, что концентрации загрязнителя на границах исследуемого участка русла известны (измерены) (рис. 1):
с( 0) = сл; = св, (6)
а <р(г) является гладкой и непрерывной функцией, имеющей конечную произ-
водную любого порядка на интервале . Кроме того, будем считать, что точечные источники сброса загрязнителей на данном интервале отсутствуют. Очевидно, если функция ( ) не известна, решение уравнения (1) невозможно, поскольку пространственное распределение плотности стока является внешним фактором. Однако можно предположить, что в ряде случаев (оговоренных выше) удельный массовый расход стока можно считать величиной постоянной, либо меняющимся плавно и незначительно. Это может быть справедливо, например, в случае стока с сельскохозяйственных полей или урбанизированных территорий, когда ГХП объекта является близким к однородному.
Первый интеграл для уравнения (5) (градиент концентрации) имеет вид:
^ = ехр(аг) х
[В - а/02<р(Оехр( - а^й в где В - константа интегрирования. Рассмотрим интеграл в (7) при условии . Вполне очевидно, что в этом случае основной вклад в интеграл даст малая окрестность точки ^ = 0, если функции ( ) является медленно меняющейся (более строго, см. [12]). Поэтому:
/02<Р( 0е хР( - «0 й ,.7 (8) <р( 0 )/0ехр( - «Ой ^ + 1 / а).
Интеграл в правой части (8) дает основной вклад в уравнение (7) при больших значениях параметра . Несложно показать, что интеграл (8) можно представить в виде разложения по степеням обратных значений параметра. Приближенное равенство (8) выполняется тем точнее, чем больше значение параметра а и чем ближе к однородному является распределение (р(г).
На основании (7), (8) легко получить решение (5), (6): ( )
св~сА~(Ро (почг е
е*2-1 )+<р 0 г + сл.
(9)
Здесь первое слагаемое определяет вклад диффузии, второе вклад конвективного переноса в общий перенос пол-лютанта (уравнение 5). Уравнение (9) удобнее представить в виде:
в(г)=£т1( екг-1)+К2, (10)
где ( )/ / ,
Р о/СА.
Анализ зависимостей
Проанализируем частный случай зависимости (10) при отсутствии диффузионного стока ( ).
В этой ситуации можно говорить о локализованном в точке источнике загрязнений (рис. 1). При этом вполне естественно полагать .
На рисунке 2 представлены зависимости (10) при К = 0 и различных значениях параметра а. Как следует из рисунка, при зависимость вырождается в константу или сА. Это следует непосредственно из уравнения (5) при . Предположение о постоянстве концентрации загрязнителя является основным при рассмотрении стационарных задач [4]. Однако наличие продольной дисперсии приводит к снижению концентрации загрязнителя при рассмотрении стационарного распределения вследствие диффузионного переноса.
Вообще говоря, значение концентрации не является произвольным, а зависит от параметра а. Таким образом, ( ) , и каждому значению а соответствует единственная зависимость из семейства ( ). С этой точки зрения резкие изменения ( ) вблизи границы физически вряд ли возможны при указанных выше условиях.
Таким образом, изменение концентрации загрязнителя на участке отсутствия стока свидетельствует о влиянии диффузии.
Зависимость (10) при фиксированных значениях [ и различных значениях параметра а представлена на рисунке 3.
Как следует из рисунка 3, семейство зависимостей ( ) определяют седло с сепаратрисами , и седло-
вой точкой . Прямая делит
плоскость на две части: (область
ниже демаркационной линии) и (область выше демаркационной линии). Из-за того, что граничные концентрации заданы произвольно, необходимо ввести ряд ограничений на соотношения между параметрами, основанных на очевидных физических представлениях. При , диффузия отсут-
ствует, и перенос поллютанта осуществляется конвективным потоком. При наличии диффузии диффузионный поток будет препятствовать конвективному переносу, поскольку диффузионный и конвективный поток в случае роста концентрации направлены в противоположные стороны. Это приведет к тому, что концентрация загрязнителя в любой точке будет выше, чем при отсутствии диффузии. Следовательно, кривые распределения концентрации должны располагаться выше предельной зависимости . Кроме того, физические причины возможного снижения концентрации при К > [ (рис. 3) отсутствуют. Таким образом, условие , или в размерном виде ( ) ( ) , является необходимым. Данное условие можно обобщить:
((вСВ-((АСА>Р, (11)
Следовательно, решения при не
имеют физического смысла.
Как следует из уравнения (10), при зависимость вырождается в линейную:
в = (Зг (12)
Очевидно, что такой случай нереализуем, поскольку это означает, что процесс дисперсии поллютанта будет происходить значительно быстрее процесса его конвективного переноса. Однако зависимость (12) позволяет ограничить интервал изменения концентраций при всех возможных значениях числа Пекле :
Кг < в (г) < (Зг. (13)
Рис. 2. Зависимость (10) при /? = — 3 и различных значениях параметра а
Рис. 3. Зависимость (10) при различных значениях параметров:
1 - 5, (3=4; 1 '- 5, р=-4.
В заключение заметим, что зависимость (10) при заданных значениях концентраций на границах, определяется значением двух параметров К, а. С этой точки зрения при наличии эмпирической информации о концентрационных полях поллютанта имеет смысл говорить о рассмотрении обратных задач по определению указанных параметров.
Выводы
Проведен анализ стационарного уравнения адвекции-диффузии при загрязнении русла консервативными примесями на участке для граничных условий первого рода. Решение уравнения
рассмотрено в приближении больших значений диффузионного критерия Пекле. Показано, что в этом случае возможно асимптотическое решение уравнения в виде рядов по обратным величинам критерия. Установлен вид главного члена разложения, который определяется удельным массовым расходом поллютанта на границе области. Проведен анализ решений, установлены необходимые критерии, определяющие выбор решения. Полученные зависимости можно использовать при рассмотрении обратных задач при диффузионном загрязнении малых русел.
Работа выполнена в рамках Госзадания по проекту «Изучение гидрологических и гидрофизических процессов в водных объектах и на водосборах Сибири и их математическое моделирование для стратегии водопользования и охраны водных ресурсов» (0383-2016-0002, 0383-2019-0003).
Список литературы
1. Кочарян А.Г., Лебедева И.П. Диффузные источники загрязнения на водосборных территориях и оценка их токсического воздействия на водные и почвенные экосистемы // Природообустройство. - 2015. - № 5. - С. 40-44.
2. Chaudhry F.N., Malik M.F. Factors affecting water pollution: A Review // J. of Ecosystem & Ecography - 2017. - V. 7. - P. 1-3.
3. Narendran N. A review on environmental problem due to water pollution // Int. J. of Scientific Engineering and Research - 2015. - V. 3. - № 4. - P. 43-45.
4. Михайлов С.А. Диффузное загрязнение водных экосистем. Методы оценки и математические модели: аналит. обзор. Сер. Экология. Вып. 56. - Барнаул: Изд-во «День», 2000. - 130 с.
5. Раткович Л.Д., Маркин В.Н., Глазунова И.В., Соколова С.А. Факторы влияния диффузного загрязнения на водные объекты // Природообустройство. - 2016. - № 3. -С. 64-75.
6. Kitaev N.A. Multidimensional analysis of geochemical fields // Mathematical Geology.
- 1991. - V. 23(1). - P. 15-32.
7. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. -М.: Наука, 1982. - 320 с.
8. James A. Mathematical models in water pollution control. - Wiley, 1978. - 420 p.
9. Кучмент Л. С. Формирование речного стока. Физико-математические модели. -М.: Наука, 1983. - 209 с.
10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
11. Brown L.C., Barnwell T.O. The enhanced stream water quality models QUAL2E and QUAL2E-UNCAS. - University of California. Berkeley, 1994. - 194 p.
12. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы, ряды. - М.: УРСС, 2009. - 544 с.
References
1. Kocharyan A.G., Lebedeva I.P. Diffuznye istochniki zagryazneniya na vodosbornykh territoriyakh i otsenka ikh toksicheskogo vozdeystviya na vodnye i pochvennye ekosistemy // Prirodoobustroystvo. - 2015. - № 5. - S. 40-44.
2. Chaudhry F.N., Malik M.F. Factors affecting water pollution: A Review // J. of Ecosystem & Ecography - 2017. - V. 7. - P. 1-3.
3. Narendran N. A review on environmental problem due to water pollution // Int. J. of Scientific Engineering and Research - 2015. - V. 3. - № 4. - P. 43-45.
4. Mikhaylov S.A. Diffuznoye zagryazneniye vodnykh ekosistem. Metody otsenki i ma-tematicheskiye modeli: analit. obzor. Ser. Ekologiya. Vyp. 56. - Barnaul: Izd-vo «Den», 2000. - 130 s.
5. Ratkovich L.D., Markin V.N., Glazunova I.V., Sokolova S.A. Faktory vliyaniya dif-fuznogo zagryazneniya na vodnye obyekty // Prirodoobustroystvo. - 2016. - № 3. - S. 64-75.
6. Kitaev N.A. Multidimensional analysis of geochemical fields // Mathematical Geology.
- 1991. - V. 23(1). - P. 15-32.
7. Marchuk G.I. Matematicheskoye modelirovaniye v probleme okruzhayushchey sredy.
- M.: Nauka, 1982. - 320 s.
8. James A. Mathematical models in water pollution control. - Wiley, 1978. - 420 p.
H3eecmun AO PW. 2019. № 3 (54)
9. Kuchment L.S. Formirovaniye rechnogo stoka. Fiziko-matematicheskiye modeli. - M.: Nauka, 1983. - 209 s.
10. Loytsyansky L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza. - M.: Drofa, 2003. - 840 s.
11. Brown L.C., Barnwell T.O. The enhanced stream water quality models QUAL2E and QUAL2E-UNCAS. - University of California. Berkeley, 1994. - 194 p.
12. Fedoryuk M.V. Asimptotika, integraly, ryady. - M.: URSS, 2009. - 544 s.
ANALISIS OF STATIONARY DISTRIBUTION OF CONSERVATIVE IMPURITIES CONCENTRATION DURING SMALL RIVERS DIFFUSE POLLUTION V.Yu. Filimonov, O.V. Lovtskaya
Institute for Water and Environmental Problems of the SB RAS, Barnaul, E-mail: vyfilimonov@rambler.ru
In the present paper, we consider a one-dimensional model of diffuse water pollution by conservative impurities in small rivers. The model is based on the stationary advection-diffusion equation taking into account the pollutant dispersion. The asymptotic solutions of the equation were obtained for large values of the Peclet number. It was found that in this case the stationary distributions of concentration are determined by the specific mass consumption of the pollutant at the boundary of the region. The typical structures of stationary fields of pollutant concentration in the river were established.
Keywords: catchment, diffuse pollution, longitudinal dispersion, runoff, mass flow rate, pollutant.
Received August 27, 2019
