CC BY
23Прикладная эконометрика, 2018, т. 52, с. 46-61. Applied Econometrics, 2018, v. 52, pp. 46-61.
Н. А. Петров, Т. А. Ратникова1
Анализ совместного распределения биржевых и арт-индексов: попытка копулярного подхода
Цель данной работы состоит в исследовании связи традиционных финансовых и биржевых индексов с индексами, характеризующими доходность рынка объектов искусства. Обнаружение подобной связи позволит оптимизировать выбор структуры инвестиционного портфеля и осуществлять хеджирование рисков. Применение традиционных инструментов анализа корреляционных зависимостей (например, VAR-моделей), опирающихся на гипотезу о наличии совместных нормальных распределений анализируемых показателей, в данном случае оказывается неэффективным. Подход с использованием копул представляется более целесообразным из-за возможности учесть нелинейные иерархические структуры взаимосвязей. Для моделирования функции совместного распределения доходностей нескольких индексов (на полотна Матисса, живопись в целом, цены золота, акций арт-компаний и индекса S&P500) в работе сделана попытка использования вложенных архимедовых копул различных конфигураций. На основе имеющихся данных можно сделать вывод, что распределение доходностей перечисленных выше индексов чувствительно к конфигурации копулы. Анализ парных копул в большинстве случаев не позволил обнаружить связи между индексами. Однако учет иерархии в структуре копулы позволяет увидеть, что зависимость пары доходностей «финансовых» индексов (S&P500 и Shares) и индекса полотен Матисса выше, чем зависимость между этой парой и индексами Art Global (на живопись в целом) и Gold.
Ключевые слова: рынок искусства; ценовые индексы; арт-индексы; гедонистическая ценовая функция; многоуровневая регрессия; совместное распределение; архимедовы копулы. JEL classification: C15; C21; C43; C58; D44; G15.
1. Введение
Рынок произведений искусства — это рынок не только «эстетических» благ, но и инвестиций. Доходности вложений в объекты искусства обычно анализируют с помощью так называемых «арт-индексов», которые показывают динамику изменения стоимости арт-объектов. Эти индексы невозможно построить тем же способом, что и финансовые индексы, по причине неоднородности объектов искусства. Для построения арт-индексов
1 Петров Никита Александрович — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва; le-snap@yandex.ru.
Ратникова Татьяна Анатольевна — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва; taratnikova@yandex.ru.
существует особый, принятый в научной среде инструментарий. Самые распространенные | здесь методы включают метод гедонистических регрессий и метод повторных продаж. Ме- § тод гедонистических регрессий (и его дополнения) позволяет «разложить» цену объекта на ^ цену его составляющих или цену его отдельных характеристик и выделить, таким образом, очищенную от вклада стоимости характеристик объекта временную динамику цен (Higgs, ^ 2012; Kräussl, van Elsland, 2008; Chanel et al., 1994; Chanel, 2002; Renneboog, Spaenjers, ^ 2015; Edwards, 2004). Метод повторных продаж позволяет получить индекс с помощью из- ¿й мерения цены покупки и перепродажи одной и той же картины (Mei, Moses, 2002; Beggs, ч Graddy, 2008). Эти методы, хотя дают не полностью идентичные результаты, т. к. опираются 1 на различные данные: выборки объектов, проданных единожды, и выборки неоднократно проданных объектов, несколько отличающиеся по своему качественному составу, но улавливают схожую тенденцию и могут применяться оба в зависимости от доступных данных (Петров, Ратникова, 2017).
Информация об арт-индексах может быть использована как для анализа доходности вложений непосредственно на рынке искусства, так и с целью построения инвестиционных стратегий, в которых принимается во внимание возможность включения арт-объектов в инвестиционные портфели наряду с прочими инвестиционными инструментами.
Основными упоминаемыми в литературе подходами к формированию портфелей, включающих стандартные или специально рассчитанные арт-индексы, являются корреляционный анализ (Higgs, 2012; Edwards, 2004), CAPM модели (Edwards, 2004) и классическая модель Марковица (Kräussl, van Elsland, 2008). Также можно встретить применение инструментов анализа временных рядов: векторную авторегрессию, исследование статистической причинности по Грэнджеру, анализ функций импульсного отклика (Botha et al., 2016; Kräussl, Logher, 2010).
Большая часть результатов таких исследований свидетельствует о том, что, несмотря на относительно низкую доходность вложения в арт-объекты, присутствие этих вложений дает возможность диверсифицировать портфель и снижать риски. Показывается, что объекты искусства могут быть включены в портфель либо исключительно на основании низкой корреляции между доходностью арт- и финансовых индексов (Higgs, 2012; Edwards, 2004), либо при построении оптимального портфеля с учетом «весовых» ограничений (Kräussl, van Elsland, 2008). В работе (Botha et al., 2016) на основании анализа временных рядов показателей рынка Южной Африки делается заключение, что цены на искусство могут зависеть от прироста капитала, но не от цен на недвижимость и государственные облигации, что также дает возможность диверсифицировать портфель.
Уязвимом местом подобных исследований является то, что совместный анализ арт-индексов и других финансовых и товарных индексов проводится в предпосылках классической теории, опирающейся на гипотезу о наличии совместного нормального распределения исследуемых показателей. При этом в работах, посвященных анализу финансовых данных (Князев и др., 2016; Пеникас, 2010), отмечается, что классический корреляционный анализ часто оказывается недостаточным, т. к. совместные распределения индексов допускают существенные отклонения от нормальности (асимметричность, «тяжелые хвосты» и нелинейную зависимость). При использовании инструментария копулярных моделей можно отказаться от ограничений, связанных с нормальностью, в пользу возможности анализа более реалистичных моделей распределений, и получать в итоге более адекватные результаты.
Основная цель данного исследования — проанализировать взаимосвязь финансовых и арт-индексов не на основании классической теории, как это делается в подавляющем
большинстве публикаций по этой теме, а с помощью аппарата копула-функций, который становится все более востребованным при анализе финансовых индексов. Данная работа впервые (насколько известно авторам) предлагает использовать модели копула-функций для совместного анализа показателей финансового и арт-рынков.
Предыдущие исследования (Петров, Ратникова, 2017) показали, что инструментарий построения индексов (например, гедонистический метод или метод повторных продаж) позволяет конструировать арт-индексы любой периодичности, разнообразного уровня и охвата: разные сегменты рынков, ценовые категории, направления искусства или художники — на основании данных об аукционных продажах. Таким образом, для дальнейшего анализа можно рассчитать несколько индексов разной степени частотности, взаимосвязи или вложенности, которые можно затем применять при построении копула-функций и для получения некоторых выводов об инвестиционной привлекательности объектов искусства.
Статья организована следующим образом. В разделе 2 рассматривается методология конструирования арт-индекса на полотна конкретного художника, в данном случае Анри Матисса. В разделе 3 содержится краткий экскурс в теорию копул и методологию их построения с акцентом на вложенные архимедовы копулы. Раздел 4 посвящен краткому описанию арт- и биржевых индексов, процедуры их предварительной обработки с целью выделения части, не поддающейся анализу в рамках линейных моделей, и результатам применения ко-пул к моделированию взаимосвязей выделенной части. В заключительном пятом разделе приводятся выводы.
В работе (Петров, Ратникова, 2017) была сконструирована модель для выделения годового ценового индекса с помощью введения группировки по годам продажи:
где для 7-й продажи на аукционе в период t:
ln pit — логарифм цены проданного объекта в долларах в год продажи t; a0, g и b — fixed effect коэффициенты (детерминированные коэффициенты); at — random effect коэффициент (случайный временной эффект), подчиняющийся нормальному распределению N (0, о2а);
X7 — непрерывные переменные (площадь, площадь в квадрате, номер лота); Di — фиктивные переменные, отражающие качественные характеристики (техника, основа, подпись, опыт художника, факт отсутствия информации об опыте, город, аукционный дом);
sf — ошибка, подчиняющаяся нормальному распределению N(0, ое).
В работе будет также использоваться квартальный индекс, который конструируется на основе параметров a.
Для дальнейшего анализа временной ряд индекса целесообразно преобразовать в ряд логарифмической доходности:
2. Построение арт-индекса
ln Pt = а0 +а + X'ß + D'r + e,
a
a, — a,
■t-i
rt = ln
= ln a, — ln a,
•t-i
a
•t—i
a
t—i
Этот прием позволяет обеспечить сопоставимость различных индексов (Князев и др., |
2016) и частично снять проблему нестационарности. Далее ряд доходностей очищается от §
временной составляющей, поддающейся моделированию с помощью подхода Бокса-Джен- ® кинса АЫМА.
С помощью подхода АЫМА моделируются ряды остатков, как для доходности рассчитанного арт-индекса, так и для доходностей других индексов. Полученные таким образом ^ остатки представляют собой самую сложную и не поддающуюся линейному анализу компо- ¿й ненту доходности. Совместное распределение временных рядов остатков может быть сконструировано и проанализировано с помощью аппарата копула-функций. 1
3. Модели копула-функций для анализа совместного распределения индексов
3.1. Определение копула-функции
Копула — это такая многомерная функция распределения С(и1, ..., иё), ui е [0,1], i = 1,ё, определенная на ё-мерном единичном кубе, каждое частное распределение у которой равномерно на интервале [0,1].
Теорема Шкляра утверждает, что для совместной функции распределения Н (х1,..., хё ) случайных величин Х1,...,Хё, которые имеют частные функции распределения F1,..,Fd, существует копула С такая, что
Н(х1,...,хё) = С(^^ (х1),...,^ (хё)).
Множество копула-функций можно разделить на семейства. Основными являются следующие.
• Гауссовская копула (Благовещенский, 2012)
С (щ,...,па;□) = Фё (Ф-1 («1),...,Ф-1 Щ)| 0; □),
где Ф (•) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины, Фё (х | т; т £ — функция распределения ё-мерного нормального закона с математическим ожиданием т и ковариационной матрицей Гауссовская копула — наиболее распространенный представитель более широкого семейства эллиптических копул.
• Архимедова копула (Благовещенский, 2012)
с («1,..., «ё|ф) = ф(ф—1 («1 )+...+Ф—1 Щ)),
где Ф — функция-генератор копулы, для которой должны выполняться следующие условия: Ф определена в R+ = [0, да) , имеет ё - 2 производных, (—1)* Ф(к)(и )> 0 для к = 0, ..., d - 2 и всех и £ R+, функция (—1)2Ф(ё—2) — строго убывающая в R+ и выпуклая.
В работе Благовещенского (2012) упоминается еще третье семейство — креативные копулы.
При анализе доходностей финансовых индексов с помощью гауссовских копул сложно моделировать несимметричные распределения с тяжелыми хвостами. В отличие от них архимедовы копулы, как отмечается в работе ^ауи, Т^е, 2010), достаточно хорошо описывают парные совместные распределения.
В качестве функции-генератора можно использовать несколько альтернатив, например, Князев и соавторы (2016) в результате тщательных исследований приходят к выводу, что при использовании полупараметрических оценок наилучший (согласно критерию Колмогорова-Смирнова) результат показывает дуальная копула Гумбеля. В данном исследовании, в котором впервые подход копул применяется к нестандартному набору индексов, используется предельно простой вид генерирующей копула-функции из семейства архимедовых копул — обычная парная копула Гумбеля:
где в — параметр ассоциативности, представляющий собой меру нелинейной зависимости между аргументами функции и и V, в> 1.
Как нетрудно заметить, применяя парную копулу Гумбеля к моделированию совместного распределения, можно получать зависимости, симметричные относительно перестановок аргументов. Это может быть нереалистичным ограничением, избежать которое позволяет использование иерархических или вложенных копул.
Иерархические архимедовы копулы (HAC, Hierarchical Archimedean Copulas) были впервые предложены в работе (Joe, 1997). При этом подходе не ограничиваются использованием одной генерирующей копула-функции, а формируют иерархическую структуру, в которой частные функции распределения и копулы связываются в подгруппы на различных уровнях. Это позволяет создавать структуры произвольной конфигурации при сохранении относительной простоты вычислений.
Модели вложенных архимедовых копул подразумевают, что зависимость внутри и между разными группами частных распределений может быть различной.
В случае, когда зависимость между двумя парными «внутренними» копулами моделируется «внешней» копулой, формула вложенной архимедовой копулы выглядит следующим образом:
где С11 и С12 — «внутренние» архимедовы копулы, С21 — «внешняя» архимедова копула.
Как было упомянуто в (Hofert, Scherer, 2011), цены на обеспеченные долговые обязательства компаний в одной отрасли могут иметь более сильную зависимость, чем для компаний из разных отраслей.
Аналогичный подход может быть применен для анализа индексов (в том числе арт-индексов). С одной стороны, можно предположить, что доходности различных арт-индексов (в том числе полученного в данной работе индекса на полотна Анри Матисса) имеют достаточно сильную взаимосвязь. С другой стороны, можно ожидать существенную зависимость между индексами на объекты искусства и индексами цен других активов альтернативного инвестирования (например, золота), и, наконец, иная взаимосвязь может быть между этими показателями и другими биржевыми индексами.
C(u,v;0) = exp{ -[(-lnu f +(-lnv ) f } ,
3.2. Вложенные архимедовы копулы
3.3. Выбор модели копула-функции 8
I
В данной работе для построения копул используется полупараметрический метод. В рам- ^ ках этого подхода частные распределения доходностей моделируются с помощью непараметрической оценки эмпирической функции распределения. Далее на их основе максими-
зацией функции псевдоправдоподобия производится оценка параметров копулы: ^
<й с
п .
21пСе(Р(ик)'...'Ртах ' *
C
1 т
](u) = т—S1!"» ^ui,...,ил ^ud}, где u = (u,...,ud[0,1]d.
где Р (ип ) — непараметрическая оценка распределения доходности каждого анализируемого индекса. В работе (Князев и др., 2016) упоминается, что такой подход позволяет получить асимптотически нормальные и несмещенные оценки параметров.
Для выбора оптимальной модели вложенных архимедовых копул при описании многомерного распределения индексов может быть применена следующая процедура, которая реализована в пакете анализа НАС (ОкЬгт, Ristig, 2012):
• строятся копулы для всех пар индексов, в результате чего выбирается копула для пары с наибольшим параметром ассоциативности 0;
• далее производится проверка того, что к паре индексов в копуле может быть добавлен еще один индекс (или еще одна пара индексов), и выбирается комбинация пары и отдельного индекса или комбинация двух пар индексов, опять показывающая максимальное значение параметра ассоциативности 0;
• таким образом процедура доходит до верхнего уровня иерархии.
Сравнение копулярных моделей и выбор наиболее подходящей может производиться по различным критериям. Подробное описание самих критериев и численных процедур, позволяющих их сконструировать, содержится в (Фантаццини, 2011). Например, при решении задач прогнозирования совместного изменения индексов наиболее популярным является критерий на основе анализа отклонений модельной функции совместного распределения от выборочной:
= 2(С(оЬ)(и,...,ий)-С^(и,...,ий))2,
t=l
где и1,..., и л — псевдонаблюдения, вычисляемые как нормированные ранги исходных наблюдений:
1 т
ии=рт(^), рт(х)=тгг 21К < 4 1=1,2,.. а',
т +1 t=l
С (т°а) — значение модельной функции распределения,
С (оЬ) — значение выборочной функции распределения, которая рассчитывается следующим образом:
=i
RSSC здесь представляет собой критическую статистику для проверки гипотезы о том, что эмпирическое совместное распределение хорошо аппроксимируется выбранной копулой. Более точно, в тесте проверяется, что совместное распределение аргументов подчиняется копуле из выбранного семейства G:
Н0: С е G = {Св; 6>е©} против Н1: С £ G,
где Св — параметрическая копула-функция, © — пространство параметров.
Для вычисления ^-значения этой статистики применяется параметрический бутстрап, подробная процедура которого описана в обзорной статье (Фантаццини, 2011).
4. Оценка функции совместного распределения индексов
4.1. Предварительный анализ данных
По результатам построения гедонистической ценовой модели на полотна Матисса был получен квартальный арт-индекс. Данный индекс показывает временную «наценку» в определенный квартал к стоимости картины, обусловленной ее основными параметрами, характеристиками художника и условиями продажи.
Для анализа совместного распределения выбраны следующие индексы.
• Квартальный индекс на живопись, построенный методом повторных продаж — Art Global Index.
• Индекс стоимости акций крупнейших публичных компаний, работающих на рынке искусства (Shares Index). Данный индекс построен по аналогии с индексом Skates Art Stock Index на основе данных о стоимости акций и весов, заданных в методологии построения Skates Art Stock Index2.
• Индекс, построенный на основе цены на золото (Gold Price), как другого актива для альтернативного финансирования.
• Финансовый индекс — S&P500. В работе (Петров, Ратникова, 2017) была обнаружена статистически значимая зависимость годового индекса на картины Матисса от финансового индекса S&P500.
Все индексы охватывают период с 1-го квартала 1998 г. по 2-й квартал 2014 г., что составляет всего 66 наблюдений. На такие ограничения в выборках пришлось пойти из-за Art Global Index, который стал рассчитываться лишь с 1998 г. Увеличить частотности тоже не представлялось возможным из-за индекса на полотна Матисса, поскольку не каждый месяц на аукционах появлялись его работы.
На рисунке П1 Приложения показаны логарифмированные значения данных индексов, а на рисунке П2 — доходности индексов, рассчитанные по формуле
P P - P
r = ln^- = ln P -ln P ~ f t-1
P It-1 P
rt-1 rt-1
2 Из-за различной доступности данных по акциям публичных компаний при построении индекса использовались 4 крупнейшие компании (Sotheby's, Shutterstock, Etsy и Poly Culture Group), суммарный вес которых в Skates Art Stock Index составляет примерно 80%.
Индекс Obs Mean Std. Dev. Min Max Pr(S) Pr(K) adj chi2(2) Prob > chi2
Matisse 66 0.0033 0.4317 -1.4656 0.9674 0.0098 0.0152 10.50 0.0053
art_glob 66 0.0128 0.0771 -0.1776 0.2355 0.1778 0.0598 5.22 0.0735
shares 66 0.0214 0.2647 -1.0860 0.4817 0.0007 0.0014 16.91 0.0002
gold 66 0.0001 0.0601 -0.1473 0.1379 0.1889 0.9370 1.80 0.4068
sp500 66 0.0073 0.0701 -0.2429 0.1582 0.0062 0.0289 10.30 0.0058
I
Как правило, временные ряды доходностей индексов содержат автокорреляцию, кото- | рая моделируется подходом ARIMA. Помимо авторегрессионной составляющей, в доход- § ностях финансовых индексов также может присутствовать условная гетероскедастичность, но в рамках имеющейся выборки ее удалось выявить лишь для одного ряда, доходности Art Global Index, поэтому она не будет учитываться.
Для показателей, исследуемых в данной работе, были подобраны следующие модели:
• доходность индекса на полотна Матисса (Matisse) — ARIMA(3,0,0); ¿й
• доходность Art Global Index (art_glob) — ARIMA(1,0,1); «í
• доходность акций арт-компаний (shares) — ARIMA(0,0,0);
• доходность индекса цены на золото (gold) — ARIMA(0,0,1);
• доходность индекса S&P500 (sp500) — ARIMA(1,0,0).
Доходности после очищения от автокорреляционной составляющей (остатки ARIMA-моделей доходностей индексов) представлены на рис. П3 Приложения. Диаграммы рассеяния остатков, гистограммы их распределений и значения коэффициентов корреляции между остатками изображены на рис. П4 Приложения. Хорошо видно, что все показатели распределены несимметрично, причем направление скошенности распределений неоднородно, а также наблюдаются выбросы и тяжелые хвосты. Визуально наиболее сильную зависимость показывают остатки доходностей акций арт-компаний и индекса S&P500 (соответствующий коэффициент парной корреляции равен 0.70). Кроме того, значение коэффициента корреляции 0.37 между остатками доходности ценового индекса картин Матисса и остатками акций арт-компаний может также свидетельствовать о наличии зависимости.
В таблице 1 представлены описательные статистики доходностей, очищенных от автокорреляционной составляющей. Это самый трудно поддающийся анализу и прогнозу линейными методами компонент временных рядов.
Таблица 1. Описательные статистики доходностей индексов, очищенных от автокорреляционной составляющей
Примечание. Последние четыре столбца таблицы показывают результаты проверки гипотезы о соответствии распределения показателей нормальному закону:
Pr(S) — />-значение для проверки гипотезы о симметричности распределения, Pr(K) — />-значение для проверки гипотезы о равенстве куртозиса трем,
adj chi2(2) — значение статистики Харке-Бера для проверки гипотезы об одновременном равенстве коэффициента асимметрии нулю и эксцесса (куртозиса) трем, Prob > chi2—/>-значение статистики Харке-Бера.
Из таблицы следует, что максимальной волатильностью отличаются доходности индекса цены золота и специфического арт-индекса для полотен Матисса. Гипотеза симметричности не отвергается для индексов Art Global и Gold. Эксцесс (куртозис) не соответствует нормальному закону распределения для доходности индекса арт-компаний Shares. Гипотеза
нормальности отвергается при любом разумном уровне значимости для трех индексов: арт-индекса для полотен Матисса, индекса арт-компаний Shares и S&P500.
Таблица 2. Матрица парных корреляций доходностей индексов, очищенных от автокорреляционной составляющей
art_ind glob shares gold sp500
Matisse 1
art_glob -0.0283 1
shares 0.3697** -0.0067 1
gold 0.1124 -0.0216 0.1290 1
sp500 0.1190 0.0605 0.6982*** 0.0145 1
Примечание. **, *** — значимость на уровне 5, 1% соответственно.
Если посмотреть теперь на матрицу парных корреляций (табл. 2), то статистически значимая линейная связь выявляется как раз между доходностями индексов, не подчиняющимися нормальному закону распределения, и, следовательно, применимость линейного корреляционного анализа здесь довольно сомнительна. Аппарат копул, напротив, может обнаружить наличие нелинейных взаимосвязей между этими объектами.
4.2. Моделирование совместного распределения остатков доходностей индексов
вложенными архимедовыми копулами
При построении вложенных архимедовых копул использовалась процедура, описанная в предыдущем разделе и запрограммированная в пакете анализа HAC (Okhrin, Ristig, 2012).
В результате получены две конфигурации со следующими оценками критической статистики RSSC , параметра ассоциативности в и верхнего параметра хвостовой зависимости 1U (нижний параметр хвостовой зависимости 1L для копул Гумбеля равен нулю). Параметры конфигураций представлены в табл. 3.
Во всех случаях, когда анализ провести удается, на имеющихся данных нельзя отвергнуть гипотезу о том, что совместное распределение пар может описываться архимедовой копулой с функцией-генератором в форме копулы Гумбеля. Самый большой параметр ассоциативности получен для пары доходностей индексов Shares и S&P500, что не противоречит выводам, полученным линейным корреляционным анализом на этапе предварительного анализа данных. Новый результат — обнаружение зависимости пары Shares и S&P500 от доходности индекса на полотна Матисса. Взаимосвязь индекса на полотна Матисса и Shares выявлялась и линейным корреляционным анализом, но его связь с индексом S&P500 в матрице парных линейных корреляций не обнаруживалась. При этом важно обратить внимание, что в парных копулах Matisse-Shares и Matisse-S&P500 взаимосвязи внутри пар выявлено не было.
Схема вложенной структуры совместного распределения индексов для первой конфигурации представлена на рис. 1.
По данной схеме видно, что между доходностью индекса акций арт-компаний и индекса S&P500 зависимость наиболее сильная, их распределения объединены в отдельную «внутреннюю» копулу. Чуть ниже — зависимость между копулой доходности «финансовых индексов» и доходностью картин Матисса.
Таблица 3. Суммы квадратов остатков, ^-значение для проверки гипотезы о соответствии эмпирического совместного распределения модельному, оценка параметра ассоциативности в и верхнего параметра хвостовой зависимости Хи для вложенных копул разных конфигураций
Пара индексов RSSC p- ■значение в Хи = 2 - 21/в
Конфигурация 1
Shares - S&P500 0.0243 0.2233 1.6654 -1.65
Art Global Index - Gold 0.0369 0.1184 1.0820 -3.04
(Shares - S&P500) - Matisse 0.0241 0.2632 1.1506 -2.77
(Art Global Index - Gold) - ( (Shares - процедура не
S&P500) - Matisse) сходится
Конфигурация 2
Shares - S&P500 0.0243 0.2233 1.6654 -1.65
(Shares - S&P500) - Matisse 0.0241 0.2632 1.1506 -2.77
( (Shares - S&P500) - Matisse) - Art Global процедура не
Index - Gold сходится
о
t S «i
О
о
в-
ф
С «i
зс
С другой стороны, существует некоторая зависимость между доходностью на объекты живописи Art Global Index и доходностью индекса цены на золото, распределения доходно-стей выделены в отдельную «внутреннюю» копулу.
Наконец, на верхнем уровне копула объединяет «внутреннюю» копулу доходностей золота и Art Global Index и копулу доходностей «финансовых индексов» и картин Матисса.
Прежде чем возникла идея построения вложенных копул, были сконструированы всевозможные парные копулы. Для большинства парных копул параметр ассоциативности в оказался близок к 1. Это означает, что внутри таких пар показатели статистически независимы. Таким образом, на основании используемых данных можно сделать вывод, что доходности объектов искусства в целом, картин Матисса в частности, золота и финансовых
Рис. 1. Схема иерархической (вложенной) копулы для конфигурации 1
Рис. 2. Схема иерархической (вложенной) копулы для конфигурации 2
индексов (в том числе отдельно по компаниям, специализирующимся на рынке искусства) практически независимы. Некоторую зависимость показывают доходности арт-компаний и индекса S&P500, что выглядит закономерным, т. к. оба индекса принадлежат к типу финансовых индексов.
Проверка конфигурации 1 на возможность агрегирования индексов показывает, что при достаточно небольших е (таких что \д1 -в2 \ < в , где в1 и в2 — параметры зависимости двух различных копул) отдельного выделения копулы, описывающей совместное распределение доходности арт-объектов и золота, не требуется, схема структуры представлена на рис. 2.
5. Заключение
В данной работе представлена попытка анализа взаимосвязи показателей финансового рынка и рынка арт-объектов. Помимо известных арт-индексов, в исследовании используется специфический индекс доходности продаж полотен Анри Матисса, сконструированный с помощью метода многоуровневых регрессий, учитывающего групповую неоднородность данных.
Анализ совместного распределения доходностей различных индексов (на полотна Матисса, живопись в целом, цены золота, акций арт-компаний, индекса S&P500) проведен с помощью метода копула-функции, имеющего широкое применение при решении задач финансовой математики. Для моделирования функции совместного распределения доходности пяти индексов использованы вложенные архимедовы копулы.
На основе имеющихся данных можно сделать вывод, что распределение доходностей перечисленных выше индексов чувствительно к конфигурации копулы. Анализ парных копул в большинстве случаев не позволил обнаружить связей между индексами. Тем не менее, учет иерархической структуры копул позволяет сделать вывод о наличии более существенной взаимосвязи между доходностями «финансовых» индексов (Shares и S&P500) и индексом на полотна Матисса, чем между доходностью «финансовых» и индексов на живопись и золото (Art Global Index и Gold).
Список литературы |
Благовещенский Ю. Н. (2012). Основные элементы теории копул. Прикладная эконометрика, 26 | (2), 113-130. ^
Князев А. Г., Лепехин О. А., Шемякин А. Е. (2016). Совместное распределение биржевых индек- ^ сов: методологические аспекты построения и выбора копулярных моделей. Прикладная экономе- о трика, 42 (2), 30-53. ®
Пеникас Г. И. (2010). Модели «копула» в приложении к задачам финансов. Журнал Новой экономической ассоциации, 7, 24-44.
Петров Н. А., Ратникова Т. А. (2017). Ценовой индекс на полотна Анри Матисса: чувствительность к методу построения и связь с биржевым и арт-индексами. Прикладная эконометрика, 47 (2), 49-73.
Фантаццини Д. (2011). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. III. Прикладная эконометрика, 24 (4), 100-130.
Botha F., Scott B., Snowball J. (2016). Art investment as a portfolio diversification strategy in South Africa. Interdisciplinary Journal of Economics and Business Law, 5, 358-368.
Beggs A., Graddy K. (2008). Failure to meet the reserve price: The impact on returns to art. Journal of Cultural Economics, 32 (4), 301-320.
Chanel O., Gerard-Varet L. A., Ginsburgh V. (1994). Prices and returns on paintings: an exercise on how to price the priceless. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 19 (1), 7-21.
Chanel O. (2002). Is art market behaviour predictable? European Economic Review, 39 (3-4), 519-527.
Edwards S. (2004). The economics of Latin art: Creativity patterns and rates of return. NBER Working Paper No. 10302.
Higgs H. (2012). Australian art market prices during the global financial crisis and two earlier decades. Australian Economic Papers, 51 (4), 189-209.
Hofert M., Scherer M. (2011). CDO pricing with nested Archimedean copulas. Quantitative Finance, 11 (5), 775-787.
Joe H. (1997). Multivariate models and dependence concepts. New York: Chapman & Hall.
Kraussl R., van Elsland N. (2008). Constructing the true art market index: A novel 2-step hedonic approach and its application to the German art market. CFS working paper 2008/11, Center for Financial Studies Frankfurt University.
Kraussl R., Logher R. (2010). Emerging art markets. Emerging Markets Review, 11 (4), 301-318.
Mei J., Moses M. (2002). Art as an investment and the underperformance of masterpieces. American Economic Review, 92, 1656-1668.
Okhrin O., Ristig A. (2012). Hierarchical Archimedean copulae: The HAC package. SFB 649 Discussion Paper 2012-036.
Renneboog L., Spaenjers C. (2015). Investment returns and economic fundamentals in international art markets. In: Cosmopolitan canvases: The globalization of markets for contemporary art. Oxford University Press.
Savu C., Trede M. (2010). Hierarchies of Archimedean copulas. Quantitative Finance, 10 (3), 295-304.
Поступила в редакцию 12.10.2018; принята в печать 12.11.2018.
Приложение
Рис. П1. Логарифмы индексов
Рис. П2. Доходности индексов
O
t ¿s «ï
O
о
£ ф
С «Ï
зс
Рис. П3. Доходности индексов без автокорреляционной составляющей
Art Index Matisse
0.028
3-
Art Global Index
EI
OA?1.oa l'l'. »
0.37
0.00б7
Art Shares
0.11 0.12
0.022 0.0б
0.13 0.70
G old F rice 0.014
О* 0000°Ï0 <ъ °o 0 0 S&F500
Рис. П4. Совместный анализ доходностей индексов
Petrov N., Ratnikova T. Analysis of the joint distribution of stock and art indices: Attempt of a copular approach. Applied Econometrics, 2018, v. 52, pp. 46-61.
Nikita Petrov
National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation; le-snap@yandex.ru
Tatiana Ratnikova
National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation; taratnikova@yandex.ru
Analysis of the joint distribution of stock and art indices: Attempt of a copular approach
The aim of this work is to study the relationship between traditional financial and stock indices and indices characterizing the profitability of the art market. The discovery of such a relationship allows to optimize the choice of the investment portfolio structure and hedge risks. The use of traditional tools for analyzing correlation dependencies (for example, VAR-models), based on the hypothesis of joint normal distributions of the analyzed indicators, is ineffective here. The approach of copulas seems more appropriate because of the possibility to take into account non-linear hierarchical structures of interconnections. To simulate the joint distribution function of returns of several indices (on Matisse paintings, on painting in general, prices of gold, shares of art companies and S&P500 index), an attempt was made to use nested Archimedean copulas of various configiurations. Based on the available data, it can be concluded that the distribution of returns of the above listed indices is sensitive to the configuration of the copula. The analysis of paired copulas in most cases did not allow detecting links between the indices. However, taking into account the hierarchy in the structure of the copula allows to see that the dependence of a pair of yields on «financial» indices (S&P500 and Shares) and the Matisse art- index is higher than the relationship between this pair and Art Global Index (on painting in general) and Gold.
Keywords: art market; price indices; art indices; hedonic price function; multilevel regression; joint distribution; Archimedean copulas.
JEL classification: C15; C21; C43; C58; D44; G15.
References
Blagoveschensky Yu. (2012). Basics of copula's theory. Applied Econometrics, 26, 113-130 (in Russian).
Knyazev A., Lepekhin O., Shemyakin A. (2016). Joint distribution of stock indices: Methodological aspects of construction and selection of copula model. Applied Econometrics, 42, 30-53 (in Russian).
Penikas H. (2010). Financial applications of copula-models. Journal of the New Economic Association, 7, 24-44 (in Russian).
Petrov N., Ratnikova T. (2017). The price index for the paintings of Henri Matisse: the sensitivity to the method of construction and connection with stock market and art indices. Applied Econometrics, 47, 49-73 (in Russian).
Fantazzini D. (2011). Analysis of multidimensional probability distributions with copula functions. Applied Econometrics, 24 (4), 100-130 (in Russian).
Botha F., Scott B., Snowball J. (2016). Art investment as a portfolio diversification strategy in South Af- |
rica. Interdisciplinary Journal of Economics and Business Law, 5, 358-368. |
Beggs A., Graddy K. (2008). Failure to meet the reserve price: The impact on returns to art. Journal of ¿5
Cultural Economics, 32 (4), 301-320. «a;
Chanel O., Gerard-Varet L. A., Ginsburgh V (1994). Prices and returns on paintings: an exercise on how
to price the priceless. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 19 (1), 7-21. ¡1
<u
Chanel O. (2002). Is art market behaviour predictable? European Economic Review, 39 (3-4), 519-527. c Edwards S. (2004). The economics of Latin art: Creativity patterns and rates of return. NBER Working a; Paper No. 10302.
Higgs H. (2012). Australian art market prices during the global financial crisis and two earlier decades. Australian Economic Papers, 51 (4), 189-209.
Hofert M., Scherer M. (2011). CDO pricing with nested Archimedean copulas. Quantitative Finance, 11 (5), 775-787.
Joe H. (1997). Multivariate models and dependence concepts. New York: Chapman & Hall. Kraussl R., van Elsland N. (2008). Constructing the true art market index: A novel 2-step hedonic approach and its application to the German art market. CFS working paper 2008/11, Center for Financial Studies Frankfurt University.
Kraussl R., Logher R. (2010). Emerging art markets. Emerging Markets Review, 11 (4), 301-318. Mei J., Moses M. (2002). Art as an investment and the underperformance of masterpieces. American Economic Review, 92, 1656-1668.
Okhrin O., Ristig A. (2012). Hierarchical Archimedean copulae: The HAC package. SFB 649 Discussion Paper 2012-036.
Renneboog L., Spaenjers C. (2015). Investment returns and economic fundamentals in international art markets. In: Cosmopolitan canvases: The globalization of markets for contemporary art. Oxford University Press.
Savu C., Trede M. (2010). Hierarchies of Archimedean copulas. Quantitative Finance, 10 (3), 295-304.
Received 12.10.2018; accepted 12.11.2018.
