Анализ собственных значений в задаче о трещине поперечного сдвига в материале со степенным определяющим законом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.376

Л. В. Степанова, М. Е. Федина

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ТРЕЩИНЕ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА В МАТЕРИАЛЕ СО СТЕПЕННЫМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ ЗАКОНОМ

Исследована нелинейная задача на собственные значения, следующая из проблемы определения напряжённо-деформированного состояния вблизи вершины трещины поперечного сдвига в материале со степенной зависимостью между деформациями и напряжениями. Для нахождения собственных значений используется метод возмущений, основанный на разложении собственного значения, соответствующей собственной функции и показателя нелинейности материала в ряд по степеням малого параметра, представляющего собой разность между собственными значениями, отвечающими линейной и нелинейной задачам. Дано сравнение полученных собственных значений с точным численным решением рассматриваемой нелинейной задачи на собственные значения.

Введение. Предметом настоящего исследования является определение всего спектра собственных чисел нелинейной задачи на собственные значения, возникающей в результате применения метода разложения по собственным функциям компонент тензора напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями.

Анализ напряжённо-деформированного состояния вблизи кончика трещины является одной из основных проблем современной механики трещин. Особый интерес вызывало и вызывает исследование полей напряжений и деформаций у вершины трещины в материалах с нелинейными определяющими уравнениями. Наибольшее распространение получил степенной закон связи между напряжениями и деформациями (или напряжениями и скоростями деформаций, если речь идёт о степенном законе Нортона теории установившейся ползучести).

Следует отметить, что определение напряжённо-деформированного состояния в материале со степенным законом является предметом многочисленных исследований, начиная с классических работ Дж. Хатчинсона, Дж. Райса и Дж. Розенгрена [1,2], в которых установлена асимптотика напряжений вблизи устья трещины и показано, что компоненты тензора напряжений определяются в соответствии с равенством

1

(г’ в)=( вЫ"+1& 1] (в’п)’ (1)

где I — инвариантный интеграл механики разрушения; г, в — полярные координаты с полюсом в вершине трещины; В, п — материальные константы степенного закона упрочнения; 1п = 1п(п) — безразмерный I-интеграл, &^ — универсальное угловое распределение напряжений, определяемое из решения краевой задачи.

Следует отметить, что в течении многих лет построение высших приближений в задаче Хатчинсона—Райса—Розенгрена являлось предметом многочисленных исследований [3-5]. В [3] получено аналитическое решение задачи о трещине антиплоского сдвига в упрочняющемся по степенному закону пластическом материале. С помощью трансформации годографа и асимптотического анализа найдены разложения компонент тензора напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины. Метод годографа даёт возможность аналитического определения степеней асимптотических разложений напряжений и деформаций и их угловых коэффициентов. В [4] разработан алгоритм и вычислительная программа для построения трёхчленного асимптотического разложения компонент тензора напряжений и вектора перемещений у вершины трещины нормального отрыва. В [5] авторы, фокусируя своё внимание на исследование трещин в условиях ползучести со степенным законом теории установившейся ползучести, отмечают необходимость определения высших членов в асимптотических разложениях напряжений и скоростей деформаций ползучести. Во всех упомянутых работах главный член асимптотических разложений напряжений — решение Хатчинсона—Райса—Розенгре-на (1).

В настоящее время сложилось понимание о необходимости определения всего спектра собственных значений в задаче Хатчинсона—Райса—Розенгрена. Так, например, в [6] отмечает-

3

ся, что в большинстве работ пренебрегают слагаемыми более высоких порядков вида г 2, г,

13 5

г2, г-2, г-2, ... в полном решении Уильямса [7,8] при исследовании упругопластических задач. Если существует область пластического течения, охватывающая вершину трещины, то

полное решение вне области пластического течения должно содержать слагаемые более высоких порядков. В [6] обсуждается справедливость ряда традиционных гипотез, принимаемых при изучении задач о трещинах в упругопластических материалах, а именно, предположение о маломасштабном пластическом течении. Авторы данной работы приходят к заключению, что в полном решении в упругой области слагаемые более высоких порядков малости г-2 должны учитываться в решении задачи и ими нельзя пренебрегать.

Дискуссия, развёрнутая в [6], ведёт к следующим вопросам общего характера:

1) сколько сингулярных слагаемых для выбранного неупругого материала может математически существовать вблизи вершины трещины и как они могут быть определены?

2) при каких условиях то или иное слагаемое в асимптотическом разложении можно трактовать как физически обоснованное и играющее доминирующую роль?

А именно, если классическое решение Хатчинсона—Райса—Розенгрена (1) с теоретически известным собственным значением х = -не является доминирущим слагаемым в окрестности вершины трещины, то как можно найти общую функциональную зависимость х = х(п)?

В [9] численно определены собственные значения для нелинейной задачи на собственные значения, следующей из задачи определения напряжённо-деформированного состояния у неподвижной трещины нормального отрыва в условиях плоского напряжённого состояния. Решение было получено методом Рунге—Кутты в сочетании с методом пристрелки. Однако в рассматриваемом случае (для задач о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига) метод пристрелки становится многопараметрическим и результаты требуют дополнительного обоснования.

Попытка определения функциональной зависимости я = я(п, хо), где хо = х|п=1 — собственное число, отвечающее линейной задаче (п = 1), была предпринята в [10], где на основании формулы Нейбера [11] предлагается следующая приближенная оценка для собственного значения х:

2 , Л

х|п - —1 (х 1п=1 -2+2. (2)

Здесь х — собственное значение в разложении по собственным функциям функции напряжений Эри Р(г, в) = гх/(в). Приближённая формула (2) построена таким образом, чтобы при х|п=1 = 1, что соответствует задаче о трещине в линейном упругом материале, получить решение Хатчинсо-на—Райса—Розенгрена (1), а при п ^ж, что соответствует идеальнопластическому материалу, было справедливо равенство х|п = 2, показывающее отсутствие особенности поля напряжений. Однако зависимость (2), построенная специальным образом для получения решения Хатчинсона—Райса—Розенгрена (1), не годится для х|п=1 =1 и следует прибегнуть к более точным методам определения собственных значений.

Для определения всего спектра собственных значений можно воспользоваться методом возмущений, развитым в асимптотической теории. Впервые, по-видимому, данный подход в задачах механики разрушения был реализован в [12], где установлен весь спектр собственных значений задачи о трещине антиплоского сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями и найдена аналитическая зависимость собственного числа от показателя нелинейности материала п и от собственного числа, соответствующего линейной задаче (п = 1).

Целью настоящей работы является анализ собственных значений нелинейной задачи на собственные значения, которая получается при рассмотрении трещины поперечного сдвига в условиях плоского деформированного состояния, с помощью метода возмущений.

1. Постановка задачи. Рассматривается окрестность полубесконечной трещины поперечного сдвига в неограниченном теле (см. рисунок) в материале со степенными определяющими соотношениями

3

еи = 2 в&Г1 х(], (3)

где — компоненты тензора деформаций; В, п — константы материала, определяемые экспе-

риментально; Xij — девиатор тензора напряжений; &2 = |XijXij = 4(&гг - &вв)2 + 3&2в — квадрат интенсивности напряжений.

Уравнения равновесия рассматриваемой задачи в полярной системе координат г, в с полюсом в вершине трещины (см. рисунок) имеют следующий вид:

д&гг 1 д&г в &гг - &вв „ д&г в 1 д&вв „&г в „ ,,,

----+------+--------= 0, ---------+-+ 2------= 0. (4)

дг г дв г дг г дв г

Условие совместности деформаций представляется в форме

д ( дегв\ д2егг дегг д (гевв)

2— г------ =----^—г------+ г-----^—. (5)

дг дв дв2 дг дг2

В предположении реализации плоского деформированного состояния определяющие соотношения (3) имеют форму

3

£тт = -£вв = 4 В а е

3

£у в = 2 В аI-1 а г в.

п-1

(агг - авв)>

(6)

Граничные условия — условия отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины

агв (г, в = ±я) = 0, авв (г, в = ±я)=0

(7)

— замыкают постановку задачи.

В полярных координатах компоненты тензора напряжений выражаются через функцию напряжений Эри ¥ (г, в) согласно формулам

д2¥

авв = ’ агг = - авв>

Геометрия окрестности вершины трещины и схематичное представление приложенной нагрузки

д (1 д¥

&г в =

дг I г дв

(8)

Степенной характер определяющих уравнений (6) позволяет представить функцию напряжений Эри ¥ (г, в) в виде произведения

¥ (г, в) = г А+1 / (в).

Тогда компоненты тензора напряжений определяются согласно формулам

(9)

аг

(г, в) = г А-1[(Л + 1) / (в)+ /"(в)], авв (г, в) = г Л-1Л(Л + 1) / (в), а г в (г, в) = -г А"1Л/'(в), (10)

Д-1

А- 1

и условие совместности деформаций (5) приводит к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка относительно функции /(в):

/2 /1У {(п - 1) [(1 - Л2) / + / "]2 + /2} + (п - 1)(п - 3) X {[(1 - Л2) / + / "][(1 - Л2) /' + /"'] + 4Л2 /' / "}2 X х [(1 - Л2) / + /"] + (п -1) /2 {[(1 - Л2) /' + / "']2+ [(1 - Л2) / + /" ](1 - Л2) /"+

+ / +(

+4Л2 (/ "2+ /' / '")}[ (1 - Л2) / + / "]+2(и-1) /2 х{[ (1 - Л2) / + /"][ (1 - Л2) / ' + /"'] + 4Л2 /' / "}[ (1 - Л2) /' + / "'] +

+ С1(п - 1)/2 {[(1 - Л2) / + /"][(1 - Л2) /' + /"Ч+4Л2/'/"}/'+

+С1 /4/" - С2/4 [(1 - Л2) /+/"]+/4 (1 - Л2) /"=0. (11)

Здесь для краткости приняты следующие обозначения:

/2 = [(1 - Л2) / + /,,]2+4Л2 /а, С1=4Л[(Л - 1) п + 1], С2 = (Л - 1) п [(Л - 1)п + 2]. (12)

Решение уравнения (11) должно удовлетворять граничным условиям

/(в = 0) = 0, /''(в = 0) = 0, /(в = п) = 0, /'(в = п) = 0, (13)

следующим из условий симметрии задачи, формулируемым на линии продолжения трещины, и из условий отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины.

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка (11) вместе с граничными условиями (13) представляет собой двухточечную краевую задачу, для решения

которой обычно обращаются к численным методам: семейству методов Рунге—Кутты и методу пристрелки, в рамках которых первоначально необходимо перейти к задаче Коши для уравнения (11) с условиями:

/(в = 0) = 0, /'(в = 0) = /"(в = 0) = 0, /'"(в = 0) = ^2. (14)

В силу однородности дифференциального уравнения (11) можно положить одну из констант Л\, А2 равной единице, формулируя условие нормировки, например, Л\ = 1. Таким образом, определяя две неизвестные величины: начальное значение А2 и константу Л, можно удовлетворить краевым условиям на верхнем берегу трещины.

Следует отметить, что выражение (9) представляет собой разложение функции напряжений Эри по собственным функциям, а константу Л можно рассматривать как собственное значение нелинейной задачи на собственные значения для уравнения (11) с условиями

/ (в = 0) = 0, /'(в = 0) = 1, /"(в = 0) = 0, /'"(в = 0) = А2. (15)

Обычно данная задача исследуется численно методом Рунге—Кутты и методом пристрелки. Однако данный подход является многопараметрическим и полученные результаты требуют дополнительного обоснования [16]. С этой целью для определения всего спектра собственных значений задачи можно обратиться к методу возмущений, широко применяемому в асимптотической теории [13], но являющемуся пионерским в исследовании нелинейных задач на собственные значения, возникающих в механике разрушения.

2. Собственные значения. Аналитическое выражение для собственного значения Л как функции от собственного значения Л0, отвечающего линейной задаче (п = 1), и показателя нелинейности материала п, может быть найдено с помощью метода возмущений. Суть предлагаемого подхода заключается в следующем представлении:

Л = Л0 + е, (16)

где Л0 соответствует невозмущенной линейной задаче (п = 1); е — малый параметр, описывающий количественно отклонение собственного числа Л, отвечающего нелинейной задаче, от собственного числа Л0. Допущение о малости параметра е основано на имеющейся аналитической формуле для собственного значения Л задачи Хатчинсона—Райса—Розенгрена [1,2] и подтверждается полученным ниже решением. Таким образом, показатель нелинейности материала п и функция, описывающая угловые распределения компонент тензора напряжений /(в), представляются в следующем виде:

п = 1 + еп1 + е2п2 + ..., (17)

/ (в) = /0 (в) + е /1 (в) + е2 /2 (в) + ..., (18)

где /0(в) — решение линейной задачи.

Оригинальная идея использования предлагаемой техники отыскания спектра собственных значений для данного класса задач механики разрушения принадлежит М. Анхеузеру и Д. Гроссу [12]. Однако формальный перенос идеологии, применённой в [12], основанной на исключении вековых слагаемых в асимптотическом разложении (18), не даёт возможности отыскания собственных значений, поскольку при построении асимптотического разложения (18) (при нахождении функции ^(в)) на каждом j-ом шаге возникают вековые слагаемые двух типов, исключение которых приводит к двум уравнениям относительно одного неизвестного коэффициента

асимптотического разложения (17) nj. В настоящем исследовании используется подход [13], базирующийся на формулировке условия разрешимости краевой задачи для отыскания функции ^. Данное условие разрешимости и является искомым условием для определения nj.

Подстановка (16)—(18) в (11) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е, приводят к неоднородным обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям:

е0: ^ + 2(1 + Л2)/0+ (1 -Л2)2/0 = 0,

е1: /1У + 2 (1 + Л2) /1 + )1 - Л2(2 /1 = -С^/0" - 2Х0Л0 - Х0С21 -

х0 (/01УХ0 + щ) +2^0 &х0 - Х0 Н0 + 2Л0Я0/0')

-п1--------------------------------------,

&0

22 е : &2

/>У + 2 (1 + Л0) /" + (1 - л2)2 /2

0

+&0 [С1/0 - х0 (1 + С1)+2Л0С1 /0] + 2Я0Я1 |Л7У + 211 + Л0) /1+11 -Л0У /1

+п1 [(2/0'Х0 + Ш0) Л - 2Л0/0) &0 + Я0Х0 (/11УХ0 + Ш') +

+&1 Х0 (/0УХ0 + Ш0) +4Л^/0^ - /0-2^ №0Х1 - й'Х0) +

+ 4Л0 &/0&1 + Я0/(^ + &1 /0+2 & Н0х1 + &0 й' х0 + & Лл:,^)] +

+п2Х0^2 + п2 [Х0Я0 {/0УХ0 + Щ^+2^0 (Х0^0 + х0Я0 + 2Л0&0/0)] =0,

е3:

где приняты следующие обозначения:

Х0 = (1 -л2)/0 + .С Я0 = х2+4л2( /0)2’ й0 = Х0 Х0+4Л0 ЛХ

щ0 = (х')2 +(1 - л2) Х0/)"+4Л2 (/о,,)2+4л2/0'",

Х1 = (1 - Л2) /1 + /", = 2x0 (Х1 - 2Л0/0) + 8Л0/0 (/10/1 + /0),

й1 = Х0 (Х1 - 2Л0/0) + Х0 (Х1 - 2Л0/0) +4л2/0/1 +4/0 (л2/1+2Л0/0) ,

Щ1 = 2x0 (х1 - 2Л0/0) + Х0 [(1 - Л2) /1 ' - 2Л0/0 '] + 8Л0 [ (/0')2 + /0/ '''] +

+4Л2 (2//' + /0^/]'' + Л/о"о + (1 - Л2) /'' (Х1 - 2Л0/0),

С' = 4Л0 [2 + п1 (Л0 -1) ], С^ = 4 [ п2Л0 - п2Л0 - п1 +1 ],

С] = 2Л0 [1 + п1(Л0 -1)], С| = 2Л0 [п2 (Л0 - 1) + п1] + [п1 (Л0 - 1) +1]2.

Таким образом, получена совокупность краевых задач для неоднородных линейных дифференциальных уравнений: для определения функции /0(в):

/0У + 2(1 + Л2) /0'+(1 - Л0)2 /0 = 0,

/0(в = 0) = 0, /'(в = 0) = 0, /0(в = п) = 0, /0(в = п) = 0;

для определения функции /(в):

/1У + 2 (' + Л0) /1 ’+ (' - Л0) /1 = -С1/0' - 2х0Л0 - Х0С2 -

(19)

Х0 (/оУХ0 + +2^0 (Я0х0 - Х0^0 + 2Л0&0/0) (20)

п1-----------------------------------------------, (20)

&0

/1(в = 0) = 0, /''(в = 0) = 0, /1(в = п) = 0, /'(в = п) = 0;

для определения функции /2(в):

■ /2У+2 (1+Л2) /2+(1 - Л0)2 /2 = -с2 /0' - Х0 (1+С22)+2Л0С21 /0 - 2&1 /&0 \/1У+2 (1+Л0) /1'+(1 - Л2)2 /1 -п'/&2 [(2/0"х0 + Ш0) (х' -2Л0/0)Я0 + Я0Х0 (//УХ0 + Ш') + &'Х0 (/07УХ0 + щ^+4Л0 (/0й2 -/0'&^ -

-2^0 (Й0Х' - й'Х0) + 4Л2 (&0/о &1 + Я0/'Й0 + &'/,%) + 2 &^х' + &0й'х' + &' Й0х') ] - (21)

-п2Х0й2/&2 - п2& [Х0&0 (/01УХ0 + Ш0) + 2Й0 (Х0Й0 + х'&0 + 2Л0&0/о) ],

/2 (в = 0) = 0, /'(в = 0) = 0, /2 (в = п) = 0, /2'(в = п) = 0;

+

Общее решение дифференциального уравнения краевой задачи (19) имеет следующий вид:

/0(0) = Si cos [(Л0 - 1)0] + B2 sin [Wo -1)0] + B3 cos [(A0 +1)0] + B4 sin [(A0 +1)0], (22)

где Bj — постоянные интегрирования.

Характеристическое уравнение для собственного значения Ло получается из граничных условий на берегах трещины:

sin2nW0 = 0, (23)

где Л0 = mm, а m — целое число.

Учёт граничных условий позволяет получить соотношения между постоянными интегрирования Bj:

m-2 B m+2

-^зш = -B1m, B4m = - m+? B2m, m = 0, 2, ±4, ±6, ..

^m = m+2 B1m > B4m = B2m» m = ±? ±з> ±5, ...; /О/П

m +2 m 2 (24)

1m> ^4m~ m+2J

В случае трещины поперечного сдвига необходимо учесть условие симметрии решения. Тогда соотношения между постоянными интегрирования Bj будут иметь следующий вид:

B1m = B3m =0, B2m = -B4m, m = ±1, ±3, ±5,...; (25)

B1m = B3m = 0, B4m = — m+2 B2m, m = 0, 2, ±4, ±6,....

Решение краевой задачи (19) относительно функции /0(0) в случае нечетных m имеет форму

/0(0) = B2 {sin [(Л0 -1)0] - sin [(Л0 + 1)0]}. (26)

Амплитуда решения B2 находится из решения задачи в целом. Примем для определённости (на данном шаге), что B2 = 1.

Краевая задача (20) — краевая задача для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка. Нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи будет существовать, если выполнено условие разрешимости [13,14], для формулировки которого необходимо обратиться к сопряжённой краевой задаче. Условие разрешимости получается с помощью любого нетривиального решения однородной сопряжённой задачи.

3. Условие разрешимости. Условие разрешимости краевой задачи (20) имеет вид

П

J ug1d0 = 0, (27)

0

где u = /0(0) — решение сопряжённой задачи, а g1 — правая часть дифференциального уравнения в (20).

Условие (27) приводит к аналитическому выражению для коэффициента щ:

2

П1 =

Ло -1

Тогда двучленное асимптотическое разложение показателя нелинейности материала имеет вид

2е , о ч

п = 1 - ---+ О (е2!.

Ло -1

Условие разрешимости краевой задачи (21) аналогичного (20) вида

П

^ ug2 й0 = 0,

-П

где g2 — правая часть уравнения в (21), имеет существенно более громоздкий вид и найти аналитическое выражение для П2 пока не представляется возможным.

Поскольку определение аналитической зависимости П2Л0) наталкивается на серьёзные математические трудности, было принято решение о численном нахождении коэффициента П2

и следующих за ним коэффициентов асимптотического разложения показателя нелинейности материала (17).

С целью определения коэффициентов uj была разработана процедура, сущность которой заключается в следующем. Для численного определения коэффициентов uj на каждом j-том шаге исследуется система линейных дифференциальных уравнений относительно функций fo, fi, ..., fj. Правая часть неоднородного уравнения для функции fj содержит пока неизвестный коэффициент uj. Формулировка условия разрешимости и его выполнение приводит к условию на данный коэффициент uj. После установления коэффициента uj упомянутая система уравнений решается численно и далее процедура повторяется.

С помощью математического пакета символьных вычислений Maple™ V Release 3 удаётся численно найти значения u2 для различных значений Л0. Кроме этого, для наиболее важного с практической точки зрения случая Ло = - 2, были найдены численные значения uj для j = 1,2,...,9:

ul = -2/(Л0 - 1), u2 =244/81, u3 = 8,760889, u4 = 28,195258, u5 = 95,766688, u6 = 337,769021, u7 = 1227,030049, u8 =4564,652725, u9 = 17305,512285.

Таблица 1

Сравнение собственных чисел, найденных с помощью десятичленного прямого разложения и точного численного решения

n 10-тичленное прямое разложение точное численное решение б, %

2 -0,260086 -0,27798 6,43

3 -0,214229 -0,27033 20,75

4 -0,189 656 -0,26567 28,61

5 -0,172 783 -0,259298 33,36

6 -0,159 887 -0,25373 36,98

7 -0,149423 -0,24934 40,07

8 -0,140603 -0,24593 42,82

9 -0,132969 -0,24324 45,33

С помощью найденных значений коэффициентов Н] удаётся определить прямое разложение материальной константы н:

2 3

П = 1 + ЄП1 + Є П2 + є Пз+

ния: б =

Adlr Лп

Ллпт

456 + Є П4 + Є П5 + Є П6+

7 8 9 1o

+ Є П7 + Є П8 + Є П9 + 0(є ),

что, в свою очередь, позволяет определить малый параметр г и соответствующее собственное значение Л (см. табл. 1). В табл. 1 приняты следующие обозначе-

х 100% — относительная погрешность; Л^г — собственные числа, найденные с

помощью 10-ти членного прямого разложения; Лпит — собственные числа, соответствующие точному численному решению.

В качестве проверки были найдены численно коэффициенты Н] для известного случая

Л0 = 1: Н] =2]. Значит Н] = (л0-Г)]'+1 ’ следовательно н = - д-р и Л = н+р что соответствует хорошо известному решению Хатчинсона—Райса—Розенгрена.

С целью уменьшения погрешности при определении собственного значения Л можно обратиться к аппроксимациям Паде.

4. Аппроксимации Паде. Аппроксимации Паде [15] являются эффективным методом построения и вычисления значений степенных рядов. Аппроксимация Паде представляет собой функцию в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд. Таким образом, если задано разложение функции /(г) в степенной ряд

/ (г ) = С0 + С1 г+С2 г2 + ...,

то можно оптимальным образом выбрать коэффициенты щ,

Паде:

(28)

bj и получить аппроксимацию

L

Если задан степенной ряд

ao + a? z+... + aL z b0 + b? z+... bMzM

TO

f (z ) = £ Ciz1,

i=o

представляющий функцию /(г), то аппроксимация Паде —это рациональная функция вида

L

M

L

ao + a? z +... + aL z* b0 + b? z+... + bMzM ’

ее

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением (28) до тех пор пока это возможно. Для определённости полагается, что Ьо = 1. Тогда в числителе содержится Ь + 1 свободных параметров, в знаменателе — М и всего имеется Ь+М +1 свободных параметров. Это означает, что в общем случае коэффициенты тейлоровского разложения функции [-к] при

степенях 1, г, г2

г

1+М+1

должны совпадать с соответствующими коэффициентами ряда (28),

то есть должно выполняться соотношение

1+М +1

і=0

) + Ь1 г+... + Ъмхм

.

(29)

7Ь+1 хЬ+2

хЬ+М, можно получить

Избавляясь в (29) от дроби и сравнивая коэффициенты при х систему М линейных алгебраических уравнений с М неизвестными коэффициентами знаменателя. Таким образом, могут быть найдены Ьг-. Коэффициенты числителя ао, «1, •••, аь находятся сравнением коэффициентов при 1, г, х2, ..., хь.

Уравнения для определения коэффициентов а0,а1,...,аь и Ь1,Ь2...,ЬМ называются уравнениями Паде. В случае, когда система для определения коэффициентов знаменателя разрешима, можно определить коэффициенты числителя и знаменателя аппроксимации Паде {М\. Коэффициенты тейлоровского разложения этой функции при 1, х, х2,..., хЬ+М совпадают с соответствующими коэффициентами ряда (28).

5. Применение аппроксимаций Паде к исследуемой проблеме. В табл. 2 приведены значения собственного числа Л, полученные для разных типов аппроксимаций Паде, и сравнение их с точным численным решением.

Т аб л и ц а 2

Сравнение собственных чисел, найденных с помощью аппроксимаций Паде разного порядка с точным численным решением

п 1 1 8, % 1 2 8, % 2 2 8, % 2 3 8, %

2 -0,221649 20,26 -0,259700 6,57 -0,264941 4,68 -0,272423 1,99

3 -0,158227 41,46 -0,225222 16,68 -0,234870 13,11 -0,251328 7,02

4 -0,130136 51,01 -0,212468 20,02 -0,224269 15,58 -0,245171 7,71

5 -0,114285 55,92 -0,205880 20,60 -0,218912 15,57 -0,242315 6,54

6 -0,104105 58,96 -0,201865 20,44 -0,215687 14,99 -0,240676 5,14

7 -0,097014 61,09 -0,199164 20,12 -0,213536 14,36 -0,239615 3,90

8 -0,091792 62,67 -0,197224 19,80 -0,211998 13,79 -0,238873 2,86

9 -0,087786 63,90 -0,195762 19,51 -0,210846 13,31 -0,238324 2,02

п 3 3 8, % 3 4 8, % 4 4 8, % 4 5 8, %

2 -0,227407 1,40 -0,276297 0,60 -0,275944 0,73 -0,276136 0,66

3 -0,255308 5,55 -0,261334 3,32 -0,260307 3,70 -0,260882 3,49

4 -0,250202 5,82 -0,257840 2,94 -0,256537 3,40 -0,257272 3,16

5 -0,247897 4,39 -0,256349 1,13 -0,254910 1,69 -0,255725 1,37

6 -0,246594 2,81 -0,255528 0,70 -0,254010 0,11 -0,254871 0,45

7 -0,245758 1,43 -0,255009 2,27 -0,253440 1,64 -0,254331 2,00

8 -0,245176 0,30 -0,254653 3,54 -0,253047 2,89 -0,253960 3,26

9 -0,244748 0,62 -0,254392 4,58 -0,252759 3,91 -0,253688 4,29

6. Выводы. В настоящей работе выполнен анализ собственных чисел в нелинейной задаче на собственные значения, следующей из проблемы определения полей напряжений и деформаций вблизи вершины трещины в материале со степенным законом упрочнения или со степенным законом Нортона теории установившейся ползучести (если под понимать скорости деформаций ползучести).

Найдены собственные значения задачи для различных значений показателя нелинейности материала п (для Ло = -2) с помощью метода возмущений.

Показано, что аппроксимация Паде позволяет определить собственные значения с относительной погрешностью, например для аппроксимации порядка [|], от 0,73% (п = 2) до 3,91 %

(n = 9) (табл. 2). Относительная погрешность, полученная при сравнении точного численного решения и решения, найденного с помощью аппроксимации Паде, существенно ниже относительной погрешности, вычисленной для прямого разложения (см. табл. 1).

Следовательно, можно заключить, что описанная методика даёт эффективный способ отыскания собственных чисел рассматриваемой задачи на собственные значения. По крайней мере предлагаемый подход позволяет получить оценку в пределах указанной точности и впоследствии данная оценка может быть уточнена в ходе численного анализа.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-08-01059-а) и гранта Президента РФ (МК - 6717.2006.1)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Hutchinson, J. W. Singular behavior at the end of tensile crack in a hardening material [Text] / J. W. Hutchinson // J. Mech. Phys. Solids. — 1968. — Vol. 16. —P. 13-31.

2. Rice, J. R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material [Text] / J. R. Rice, G. F. Ro-sengren // J. Mech. Phys. Solids. — 1968. — Vol. 16. —P. 1-12.

3. Yuan, F. G. Analytical solutions of fully plastic crack-tip higher order fields under antiplane shear [Text] / F. G. Yuan, S. Yang // Int. J. of Fracture. — 1994. — Vol. 69. — P. 1-26.

4. Nikishkov, G. P. An algorithm and a computer program for the three-term asymptotic expansion of elastic-plastic crack tip stress and displacement fields [Text] / G.P. Nikishkov // Engineering Fracture Mech. — 1995. — Vol. 50, No. 1. — P. 65-83.

5. Nguyen, B.N. On higher-order crack-tip fields in creeping solids [Text] / B. N. Nguyen, P.R. Onck, E. Van Der Giessen // Trans. of the ASME. J. Appl. Mech. — 2000. Vol. 67, No. 2. — P. 372-382.

6. Hui, C.Y. Why K? High order singularities and small scale yielding [Text] / C. Y. Hui, A. Ruina // Int. J. of Fracture. — 1995. — Vol. 72. — P. 97-120.

7. Williams, M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack [Text] / M. L. Williams // Trans. ASME. J. Appl. Mech. — 1957. — Vol. 24. — P. 109-114.

8. Williams, M. L. Stress singularities resulting from varios boundary conditions in angular corners of plates in tension [Text] / M. L. Williams // J. of Appl. Mech. — 1952. — Vol. 19. — P. 526-528.

9. Meng, L. Eigenspectra and orders of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium [Text] /L. Meng, S. B. Lee // Int. J. of Fracture. — 1998. — Vol. 92. — P. 55-70.

10. Chen, D.H. Plastic stress singularity near the tip of a V-notch [Text] / D.H. Chen, K. Ushijima // Int. J. of Fracture. — 2000. — Vol. 106. —P. 117-134.

11. Neuber, H. Theory of stress concentration for shear-strained prismatical bodies with arbitrary nonlinear stress-strain law [Text] / H. Neuber // J. of Appl. Mech. — 1961. — Vol. 28. — P. 544-550.

12. Anheuser, M. Higher order fields at crack and notch tips in power-law materials under longitudinal shear [Text] / M. Anheuser, D. Gross // Arch. of Appl. Mech. — 1994. — Vol. 64. — P. 509-518.

13. Найфе, А.Х. Введение в методы возмущений [Текст] / А.Х. Найфе. — М.: Мир, 1984. — 535 с.

14. Степанова, Л. В. Математические методы механики разрушения [Текст] / Л. В. Степанова. — Самара: Сам. ун-т, 2006. — 232 с. — ISBN 5-86465-409-4.

15. Бейкер, Дж. Аппроксимации Паде [Текст] / Дж. Бейкер, П. Грейвс—Моррис. — М.: Мир, 1986. — 502 с.

16. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н. Н. Калиткин. — М.: Наука, 1978. —512 с.

Самарский государственный университет, г. Самара [email protected]; [email protected]

Поступила 05.06.2007