CC BY
46
Маркус
Швайтцер
Доктор Саарландского университета г.Саарбрюкен, Германия
АНАЛИЗ САМООКУПАЕМОСТИ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПРОИЗВОДСТВА
И СПРОСА1
Постановка проблемы
Анализ самоокупаемости - Break-Even-Analyse (далее ВЕА) является обычным инструментом контроллинга для поддержания процесса принятия решений и сопоставления показателей планирования и контроля результатов. ВЕА базируется на разложении текущих издержек на постоянные и переменные, что впервые было реализовано Дж. Харрисом в счетах предельных плановых издержек при помощи понятия «прямые расходы» (Direct Costing). Цель этого разложения - установление соответствия между объектами производства и отнесенными на эти объекты затратами.
Краткосрочные решения по поводу объемов производства должны учитывать только такие переменные издержки, которые однозначно зависят от количества производимой продукции. Однако нерационально осуществлять в соответствии с этим принципом разложение постоянных издержек по объемам производства для принятия краткосрочных решений. Идея Харриса, оказавшись плодотворной, привела в 50-е и 60-е годы к широкому использованию указанной системы счетов. Развитие счетов предельных плановых издержек осуществлялось Килгером (Kilger) и Плаутом (Plaut), а также Агте (Agthe) и Меллеровичем (Mellerowicz), обобщившими данный принцип учета на многоступенчатое производство, включая действие дополнительных производственных факторов.
Изучение опыта практического использования ВЕА показало, что он применяется для планирования производственных программ. Причем
1 Перевод и научная редакция текста осуществлены профессором, доктором Кнутом Рихтером (Европа-Университет Виадрина, г.Франкфурт-на-Одере, Германия) и профессором, доктором Евгением Дятелом (Уральский государственный экономический университет, г.Екатеринбург, Россия).
преимущественно для решения тактических оперативных проблем. Его привязка к сложившейся системе планирования предполагает рассмотрение стохастических характеристик спроса на продукцию и процесса ее производства. И, хотя ВЕА не исключает рассмотрение таких процессов, сегодня обсуждение ограничивается по большей части предположениями о нормальном распределении коэффициентов издержек и объемов производства. Эти простые подходы позволяют приближенно определить функции распределения точек самоокупаемости. Существенный недостаток заключается в том, что не достигается четкого изображения процессов производства, привлечения капитала и сбыта продукции. В данной статье рассматривается модель ВЕА, которая отображает эти процессы для специфической сферы производства на заказ при помощи методов теории массового обслуживания.
Базовая модель анализа самоокупаемости
В области учета затрат ВЕА предстает инструментом, позволяющим определять для конкретного периода то количество факторов (например, физические или стоимостные объемы, а также временные показатели), для которых разность между постоянными издержками и предельным доходом, рассчитанным на всю совокупность факторов, равны 0. Эти факторы задают границы самоокупаемости. Они могут рассматриваться одномерно (например, для производства одного продукта) и многомерно. Базовая модель ВЕА основана на предположении одноступенчатого производства определенного продукта. К дальнейшим предпосылкам относятся недифференцированные постоянные издержки, постоянная поштучная выручка и неизменность переменных издержек на единицу продукта. Факторы, определяющие выручку и издержки, обычно рассматриваются по отношению к объемам производства или сбыта. Они соотносятся с одним продуктом или с различными видами продукции, недифференцированными в техническом плане производства. Это предполагает совпадающие величины предельного дохода и недифференцированность постоянных издержек для отдельных продуктов. Выдвигается также предположение, что процессы сбыта или выполнения поступающих потребительских заказов полностью и своевременно покрываются в ходе производства, и, таким образом, не возникает очередей и издержек на складирование. Число заказов данного периода тоже не включается в модель как определяющий фактор. Процесс производства не является стохастическим. При расчете переменных издержек на единицу продукции исходят из возможности немедленного удовлетворения заказов на необходимый ресурс, что ведет к отказу от его складирования.
Формально точка самоокупаемости х определяется в базовой модели следующим уравнением:
Kf =(в - ^ )• x = d • x, (1)
f
где K - постоянные издержки (могут повышаться на размер ожидаемой
прибыли); e - выручка от штуки; k - переменные издержки на штуку; d -
предельный доход.
Модель ВЕА, описанная уравнением (1), не дает представления о структуре издержек или выручки. Дальнейшее требование заключается в том, чтобы построить ВЕА в соответствии с системой учета, из которой становятся известными, наряду с прогнозируемыми данными, цели, условия принятия решений и структура процесса решений. Предлагается исходить из иерархической системы планирования. Модель основывается на обобщенных показателях, принадлежащих высшему уровню планирования. Лежащие в их основе реальные данные относятся к более низким уровням планирования. Подобную структуру имеют, к примеру, так называемые экономикоресурсные системы планирования. Дополнительная сложность состоит в том, что большинство подобных систем исходит из достоверных данных, а постановка проблем ВЕА - тактического уровня планирования - чаще всего имеет дело с недостаточно определенными данными. Поэтому возможно только моделировать экономико-ресурсную систему для различных сценариев данных. Другая возможность их получения связана с применением теории массового обслуживания, которая ведет к большему абстрагированию от реальных отношений в процессе производства. Но при увеличении числа заказов с меньшим временем исполнения с ее помощью удается адекватно рассмотреть долгосрочный эффект неопределенности в сбыте и производстве.
BEA при стохастических спросе и производстве
В противоположность базовой модели ВЕА в последующих моделях рассматриваются издержки на единицу продукта, которые зависят от спроса и производства или согласно терминологии теории массового обслуживания - процесса поступления и выполнения заказа. Предполагаемый сбыт отражен в интенсивности поступления заказов в системе ожидания. При постоянной выручке на единицу продукции определяется оборот за соответствующий отрезок времени. Предприятие не может влиять на сбыт, но может адаптировать свое производство, варьируя время загрузки. Поступающие заказы если не сразу обрабатываются, то затем упорядочиваются в очереди ожидания, где и остаются до начала производства. Производственный процесс моделируется показателем интенсивности обслуживания, который характеризует производительность системы. Обработка заказов определяется правилом FIFO (First In First Out): первый вошел, первый вышел. Поскольку производство ориентировано на выполнение конкретных заказов потребителей, то каждый потребительский заказ точно соответствует конкретному производственному заданию. Материалы для этого заказа резервируются с момента его поступления, что ведет к связыванию капитала. Предполагается, что опоздавшие заказы не теряются, а будут поставлены позднее.
Исходным пунктом моделирования является базовая модель ВЕА, служащая для изготовления продукта с одноступенчатым производством (1). Переменные издержки должны раскладываться на издержки складирования и издержки скорости прохождения заказа. Переменные издержки на единицу продукции определяются теми факторами, которые возникают непосредственно в ходе выполнения программы и не зависят от времени загрузки или времени прохождения заказа. Разница между выручкой на единицу продукции и упомянутыми переменными издержками дает сумму покрытия d1, т.е. маржу - разницу между выручкой и переменными издержками, иначе говоря, вклад продукта в покрытие постоянных издержек. Издержки на хранение складываются в модели из издержек, которые возникают в зависимости от времени прохождения производственного заказа с момента резервирования необходимых материалов. Предполагается, что издержки хранения рассчитываются по формуле сТ, где с - издержки хранения на единицу продукции в единицу времени; Т - время прохождения заказа. Г лавная составная часть издержек хранения формируется издержками на привлечение капитала. Издержки, которые причинены скоростью прохождения производства, отображаются в зависимости от времени обслуживания S через функцию _/(£!). С помощью этих величин определяется сумма покрытия D2 как случайная переменная в зависимости от времени обслуживания ^ а также непосредственно через случайные переменные Т^, А) из S и интервала времени между поступающими требованиями заказа А:
Переменные издержки, которые ведут к сумме покрытия D2, зависят, наряду с объемом производства, от других величин, а именно: от времени обслуживания и времени прохождения. На основе данного предположения может быть сформирована модель для расчета следующих ожидаемых сумм покрытия (E(D2)). Это создает дополнения для ВЕА (1). Для упрощения предположим, что функция_/(£!) определяется так: _/(£!) = р1 / Е(5') + р2 • Е(5') = = р1 • д + р2 / д, где Е(^ - ожидаемое время обслуживания; л - средняя интенсивность обслуживания; р1 и р2 - параметры издержек. Таким образом, расширенную модель ВЕА можно представить в следующем виде:
D2 = d1 -Т • с - /^) = d1 -ТА)-с - /^).
(2)
(3)
(4)
и ESmm < Е^)< ESmax
ЕАтт < Е(А)< ЕАтах.
(5)
Эта модель включает в себя уравнение (3), которым определяется точка самоокупаемости х, возникающая при реализации математического ожидания величины покрытия E(D2). Уравнение (4) представляет общие соотношения для системы планирования. Следует заметить, что оно не содержит информации о формировании процессов сбыта и производства. В дальнейшем рассматривается двухступенчатая система планирования, на верхнем уровне которой проводится анализ самоокупаемости. Точные определения производительности системы устанавливаются в более позднем временном интервале на нижнем уровне планирования. Эти результаты решений еще не известны при проведении ВЕА, о них делаются определенные предположения. Дополнительные условия (5) и (6) снова дают нижнее и верхнее ограничения для ожидаемых величин времени обслуживания и времени между поступлением заказов. В отношении планирования на более низком уровне можно представить себе большое число целей и методов. Здесь особую роль играет возможность влияния людей, участвующих в принятии решений на нижележащем уровне производственного процесса. В дальнейшем используется гипотеза о том, что соответствующий уровень планирования и реализации процесса обеспечивает максимизацию суммы покрытия на единицу продукции. При этом не должна исключаться разработка более сложных моделей.
Если предприятие преследует цель максимизировать сумму покрытия при заданном спросе, то оно должно стремиться установить такое время обслуживания E(S), при котором ожидаемая сумма покрытия на единицу продукции E(D2) становится максимальной. Для принятия такого решения при учете спроса необходимы следующие допущения, ведущие к двум ситуациям принятия решения. Во-первых, можно предположить, что при определении точки самоокупаемости отсутствует информация об ожидаемом спросе. Производительность системы на нижнем (краткосрочном) уровне планирования будет определяться с помощью ожидаемого времени обслуживания, максимизирующем сумму покрытия (решение 1). Вместе с тем она зависит от интервала времени между поступающими требованиями заказа, обратная величина которого соответствует точке самоокупаемости. Во-вторых, на вышестоящем (долгосрочном) уровне планирования можно определить ожидаемое время обслуживания, максимизирующее сумму покрытия при учете ожидаемого спроса, и задать его на нижестоящий уровень планирования (реше- ние 2). В этом случае не учитывается, что время для производства величины Break Even может быть не оптимальным.
В ситуации 1 на месте уравнения (4) получаем следующее уравнение максимизации:
max E(D2) = dt - Е(т)•c - ЕЩ - Р2 • E(S), (7)
которое должно быть дополнено через
E (T ) = Е (T (Е (S ),1/x )).
(8)
В ситуации 2 выбирается Е(. при учете Е(А). Вместо (7) возникает ограничение (9), которое дополняется условием максимизации оптимально ожидаемого времени обслуживания (10), а также посредством конкретизации времени прохождения заказа (11):
Е(р2) = dl - Е(Т(Е(Б), 1/х))• с - - р2 • Е(Б); (9)
Е(. = а^тах Е(Р2 ) = а^тах dl - Е(Т) • с - Е|_ - р2 . е(Я); (10)
Е(Т) = Е(т(Е.,Е(а))). (11)
Анализ самоокупаемости на базе теории массового обслуживания
Анализ самоокупаемости на основе моделей М/М/1
При описании процессов производства и сбыта с помощью системы ожидания М/М/11 предполагается, что интервалы времени между поступающими требованиями заказа А и время обслуживания S подвержены экспоненциальному распределению с показателями ожидания Е(А) = 1/Х и (или) Е(. = 1/л, и, таким образом, процессы поступления и выбытия соответствуют процессам Пуассона. Система ожидания состоит из одного пространства ожидания и одного канала обслуживания. Входящие заказы клиента обрабатываются поочередно и попадают в канал обслуживания. Для системы в состоянии равновесия можно определить ожидаемое время прохождения заказа:
^(.ПФ)))^ -Е^. (12)
Для удержания состояния равновесия необходимо дополнить модель следующим условием:
Л< /л соответственно Е(. < Е(А). (13)
Условие требует, чтобы ожидаемая величина времени обслуживания (Е(..)) была меньше, чем ожидаемая величина интервала времени между
1 См.: Neumann K., MorlockM. Operations Research. Munchen, Wien, 1993. P. 665.
поступающими требованиями двух непосредственно друг за другом приходящих заказов (Е(А)).
Значение модели, специфицированной посредством (12) и (13), можно объяснить на примере, приведенном в табл. 1.
Таблица 1
Пример модели M/M/1
Kf d\ C Pi P2
100,00 5,00 0,16 0,0333 0,12
E(S) E(T) E(D2) x = 1/E(A)
0,0370 0,4551 4,0215 24,866
При постоянных затратах Kf, равных 100, и других параметрах, заданных в первой строке, вышестоящий уровень планирования исходит из того, что на нижестоящем уровне будет определена ожидаемая величина времени обслуживания E(S), равная 0,0370. При таких условиях можно ожидать время прохождения заказа E(T), равное 0,4551. Это время при ожидаемой сумме покрытия E(D2) = 4,0215 связано с точкой
самоокупаемости x = 24,866.
В этом примере предполагается, что один месяц образует единицу измерения. Постоянные издержки разбиваются помесячно. В ситуации 1 для решений на нижнем уровне верхний уровень планирования предусматривает максимизацию суммы покрытия на единицу продукции E(D2) при интервале времени между поступающими требованиями заказов, определенном посредством точки самоокупаемости.
Для пояснения следствий, вытекающих из рассмотренного в табл. 1 стохастического варианта моделирования, необходимо привести для сравнения пример с детерминистским случаем. Обработка заказа начинается при условии, что предшествующий заказ уже обработан, и разница между соответствующим временем поставки и актуальным моментом времени в точности соответствует времени обслуживания. При времени обслуживания s, которое меньше детерминистского интервала времени между поступающими требованиями заказов, система находится в состоянии равновесия. Капитал находится в связанном состоянии точно s единиц времени. Детерминистская сумма покрытия d2 по аналогии с (7) максимизируется следующей целевой функцией:
max d2 = d} - s • c - — - s • p2 . (14)
s
Необходимым условием максимизации d2 является
s = 4 Pil(c + P2) = 0,345. Этот период обслуживания можно было бы сократить до 0,0419 для достижения допустимого интервала времени между поступающими требованиями заказов при соблюдении дополнительного
условия 5 < 1/х. Точка самоокупаемости х равнялась бы в таком случае 23,8417. При заданных условиях стохастики ожидаемое время загрузки мощностей 0,0419 приводит к тому, что постоянные затраты не покрываются. Если бы был выбран ожидаемый интервал времени между поступающими требованиями заказов, превышающий 0,0419, то ожидаемая сумма покрытия после ее умножения на обратную величину интервала времени между поступающими требованиями заказов не покрывала бы постоянные затраты. Таким образом, в детерминистском случае существует опасность неправильной оценки покрытия постоянных затрат.
Наиболее реалистичное обобщение модели самоокупаемости состоит в отказе от предположения о процессах Пуассона поступающих заказов и их обработки. Для приходящих заказов и для времени загрузки необходимых мощностей не стоит, скорее всего, задавать определенный тип распределения. Следует лишь выполнять одно условие - для интервала времени между поступающими требованиями заказов Е(А2) и для времени загрузки мощностей Е^2) известен второй момент1, причем по времени поступления отдельные заказы не зависят друг от друга.
При вышеназванных условиях нельзя точно определить ожидаемое значение времени прохождения заказа, хотя известны подходы, которые вместо этого развивают соответствующие аппроксимации. Приближение для ожидаемого времени прохождения заказа Е(Т), проверенное на полученное
распределение специально для СА < 2, дает следующее выражение:
квадрат коэффициенты вариации A и S , а р = Л/ц = E(S)/E(A) - степень загрузки системы. В соединении с уравнениями (7) и (8), а также с (9) и (10) можно теперь при помощи (15) провести анализ самоокупаемости при достаточно обобщенных условиях. Достойным внимания в связи с этим является ограничение отношения (15) на процессы поступления заказов на
CA ^ 2. Особенно сильные отклонения в поступлениях заказов не рассматриваются в данной модели. При известных условиях для рассмотрения этой проблемы могла бы использоваться аппроксимация процессов производства и сбыта в форме сетевого и проектного планирования2.
1 Если второй момент известен (например, случайная переменная A), то можно определить вариацию V(A) через V(A) = E(A2) - E2(A).
2 См.: Kolisch R., Padman R. An Integrated Survey of Project Scheduling, Arbeitsbericht des Instituts fur Betriebswirtschaftslehre, Kiel: Christian-Albrechts-Universitat, 1997.
Анализ самоокупаемости на основе модели GI/G/1
причем
представляют возведенные в
ВЕА, базирующийся на (15), может служить для анализа сложных производственных систем. Вместо обширного параметрического анализа в этом примере предполагается, что один месяц образует единицу измерения. Постоянные издержки разбиваются помесячно. Рассматриваются две альтернативные производственные системы А и В, отличающиеся структурой затрат. Система планирования такова, что при проведении анализа самоокупаемости на верхнем уровне планирования определяется ожидаемое время обслуживания £(5), которое максимизирует сумму покрытия при ожидаемом интервале времени между поступающими требованиями заказов Е(А) = 0,04. Высказанные предположения приводят к определенным результатам (выделены серым цветом в табл. 2).
Таблица 2
GI/G/1 - модель при различных структурах затрат
Производственная система А
К/Л Сі Рі,і Р2,1 Е(Л0 сА,1 0,1
100,00 5,00 0,60 0,02 0,18 0,04 1,60 0,80
Е^ Е(Ті) Ефи) Х1
0,0322 0,157 4,279 23,370
Производственная система В
К/2 d1,2 С2 Р1,2 р2,2 Е(А2) СА,2 С|,2
80,00 5,00 0,50 0,03 0,1 0,04 1,60 0,80
ЕГЭ^ Е(Т2) Ефу) Х2
0,0339 0,123 4,050 19,753
Производственная система В при равной стохастике поступления
2 = С2
заказов (Е(А2) = Е(А;); Са 2 А1) значительно меньше постоянных К^2 = 80 и складских затрат (с2 = 0,50), чем система А (100; 0,60). Адаптация скорости производства (р;, р2) ведет все же к определенному в оптимуме как меньшее время обслуживания Е(51) = 0,0322 в производственной системе А. Вместе с тем в точке самоокупаемости мы имеем интенсивность поступления заказов, связанную с меньшим время изготовления изделия Е(Т2) = 0,123 в производственной системе В. В конце концов в производственной системе А получается более высокая сумма покрытия E(D21) = 4,279, ведущая вследствие сравнительно высоких постоянных затрат Ко к большей величине самоокупаемости х1 = 23,370. Таким образом, если отталкиваться от величины самоокупаемости, то предпочтительнее производственная система В с х2 = 19,753. Данный пример показывает, что приведенный анализ самоокупаемости раскрывает воздействие на показатели и значения времени и стоимости, которые остаются для нас закрытыми при их рассмотрении без разграничения в параметрах.
Заключение
Обращение к обычному анализу самоокупаемости (1) свидетельствует, что и в основе этого инструмента контроллинга в большей или меньшей степени должны лежать системы учета и планирования. Представленные элементы модели теории массового обслуживания, включенные в анализ самоокупаемости, должны быть оценены, во-первых, как попытка вписать анализ самоокупаемости в инструменты планирования или, по крайней мере, в подходящие инструменты прогноза; во-вторых, речь идет о возможности проведения анализа самоокупаемости для одноступенчатого, ориентированного на клиента (на заказ), производства при стохастических структурах производства и сбыта. Для отражения таких структур используют различные системы теории массового обслуживания. С практической точки зрения наиболее подходящей для описания реального комплексного положения вещей является система GI/G/1. Данные модели очень сложны, но с помощью обычных солвер-программ их можно решить в соизмеримое время.
Из приведенных примеров можно заключить, что определенный учет стохастики в спросе и производстве приводит к результатам, которые невозможно получить при абстрактном, детерминистском подходе. Становится также ясно, что величина самоокупаемости зависит от существующего спроса. Ни в коем случае она не является независимой от спроса, как это допускается в детерминистских моделях.
Литература
Agthe K. Stufenweise Fixkostendeckung im System des Direct Costing // Zeitschrift fur Betriebswirtschaft. 1959. 29. Jg. S. 404-418.
Altiok T. Performance Analysis of Manufacturing Systems. New York, Berlin, Heidelberg, 1996.
Buzacott J., Shanthikumar J. Stochastic Models of Manufacturing Systems. Englewood Cliffs, 1993.
Chan L., Yuan Y. Dealing with Fuzziness in Cost-Volume-Profit Analysis // Accounting and Business Research. 1990. 20. Jg. S. 82-95.
Ferrara W., Hayya J., Nachman D. Normalcy of Profit in the Jeadicke-Robichek Model // The Accounting Review. 1972. 47. Jg. S. 299-307.
Gutenberg E. Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Heidelberg. New York, 1983. Bd. 1.
Harris J. What Did We Earn Last Month? // NACA-Bulletin. 1936. Sect. 1. S. 501-527.
Jaedicke R., Robicheck A. Cost-Volume-Profit Analysis under Conditions of Uncertainty // The Accounting Review. 1964. 39. Jg. S. 917-926.
Kilger W. Flexible Plankostenrechnung und Deckungsbeitragsrechnung. Wiesbaden, 1993. 10. Aufl.
Kolisch R., Padman R. An Integrated Survey of Project Scheduling, Arbeitsbericht des Instituts fur Betriebswirtschaftslehre. Kiel: Christian-Albrechts-Universitat, 1997.
Kottas J., Lau H.-S. Direct Simulation in Stochastic CVP Analysis // The Accounting Review. 1978. 53. Jg. S. 698-707.
Liao M. Model Sampling: A Stochastic Cost-Volume-Profit Analysis // The Accounting Review. 1975. 50. Jg. S. 780-790.
Mellerowicz K. Neuzeitliche Kalkulationsverfahren. 1977. 6. Aufl. NAA-Research-Report. Current Application of Direct Costing. New York,
1961.
NACA-Bulletin. 1953. Sect. 3.
Neumann K., Morlock M. Operations Research. Munchen, Wien, 1993.
Plaut H.-G. Die Grenz-Plankostenrechnung // Zeitschrift fur Betriebswirtschaft. 1953. 23. Jg. S. 347 ff. u. 402 ff.
Schar J. Allgemeine Handelsbetriebslehre. Leipzig, 1923. 5. Aufl. Schneeweiss Ch. Hierarchies in Distributed Decision Making. New York, Berlin, Heidelberg, 1999.
Schweitzer M., Trofimann E. Break-Even-Analysen. Berlin, 1998. 2. Aufl.
