Анализ пульсаций электромагнитного момента при проектировании бесконтактного двигателя постоянного тока дискового типа Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

ISSN 1994-0408

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 10. С. 288-301.

Б01: 10.7463/1015.0820340

Представлена в редакцию: 08.09.2015 Исправлена: 26.09.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 621.313.292

Анализ пульсаций электромагнитного момента при проектировании бесконтактного двигателя постоянного тока дискового типа

Степанов А. В.1' , Масленникова С. И.1 >: аер ano v-bmau-g gmaii. с от

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В статье исследуются пульсации электромагнитного момента маломощного бесконтактного двигателя постоянного тока с постоянными магнитами дискового типа. Двигатель имеет две секции обмоток на статоре и питается по двухфазной схеме от инвертора с источником постоянного напряжения. Рассматривается установившийся режим работы бесконтактного электрического двигателя при постоянной нагрузке. Получены формулы для оценки среднего момента, а также для вычисления спектрального состава пульсаций электромагнитного момента при различных скоростях вращения ротора. Полученные результаты могут быть полезны при выборе параметров двигателя на этапе его проектирования.

Ключевые слова: бесконтактный двигатель постоянного тока, постоянные магниты, электромагнитный момент, пульсации, спектр гармоник

Введение

Несмотря на более широкое распространение в приборостроении, системах управления, вычислительной технике, бытовой технике, робототехнике вентильных двигателей цилиндрического типа, в тех устройствах, где компоновка требует плоской конструкции, используются бесконтактные двигатели постоянного тока дискового типа. Рассматриваемый электрический двигатель дискового типа относится к классу вентильных двигателей. В вентильных двигателях коммутация секций обмотки производится инвертором, полупроводниковым преобразователем, по сигналам от датчика положения ротора, что повышает надежность и создает дополнительные возможности управления электромагнитным моментом и скоростью вращения. Вентильные электрические двигатели позволяют выполнить требования, предъявляемые к электродвигателям, используемым в системах стабилизации высокой точности, в приводах роботов и манипуляторов, в лентопротяжных механизмах.

Исследованию вентильных двигателей посвящен ряд монографий [1 - 7], в которых разработана теория и решены основные задачи расчета и проектирования вентильных двигателей и электроприводов на их основе, изложены тенденции их развития. Особый

интерес для применения в приборостроении, робототехнике, компьютерной технике представляют бесконтактные двигатели постоянного тока (БДИТ) с постоянными магнитами [3, 6, 7] и с якорными обмотками, расположенными на статоре, что позволяет повысить КИД двигателя.

Несмотря на целый ряд решенных задач по проектированию вентильных двигателей, и в частности БДИТ, проблема пульсаций электромагнитного момента еще недостаточно проработана и отражена в публикациях. Одной из причин пульсаций электромагнитного момента в вентильных двигателях с зубчатостью является то, что параметры магнитной системы двигателя отличны от гармонических. Снизить пульсации момента двигателя при коммутациях можно, используя специальные алгоритмы управления током в обмотках; эти вопросы проанализированы в работе [10]. Метод для снижения пульсаций момента с использованием более совершенной модели постоянного магнита с учетом анизотропии, полученной применением метода конечных элементов, предложен в работе [11].

В БДТП обычно принимается, что магнитное поле в зазоре синусоидально. Ток в коммутируемой обмотке зависит от разности постоянного напряжения от инвертора и ЭДС вращения. Взаимодействие этого тока с магнитным полем вызывает электромагнитный момент, величина которого зависит от угла поворота ротора, а форма зависит от закона коммутации обмоток. Обычно внимание исследователей концентрируется на изучении усредненного электромагнитный момента и его зависимости от скорости вращения, а величине пульсаций электромагнитного момента уделяется значительно меньшее внимание, причем скорость вращения, как правило, принимается постоянной. На самом деле скорость вращения при постоянной нагрузке также является периодической функцией угла поворота ротора и, в свою очередь, влияет на пульсации электромагнитного момента. Целью данной статьи, учитывая все возрастающие требования по точности и надежности, предъявляемые в приборостроении к бесконтактным двигателям постоянного тока, является попытка в какой- то степени устранить этот пробел и изучить влияние неравномерности скорости вращения на электромагнитный момент и его пульсации.

1. Установившийся режим бесконтактного двигателя постоянного тока дискового типа при постоянном моменте

Ио конструкции бесконтактные двигатели постоянного тока подразделяются на цилиндрические и дисковые. В цилиндрическом двигателе постоянные магниты, расположенные на роторе, намагничиваются в радиальном направлении. В дисковом двигателе ротор состоит из одного или двух дисков, на которых закреплены магниты, которые намагничиваются в осевом направлении. Статор представляет собой диск, на котором закреплены обмотки. Конструкция статора является безпазовой. Изготовление двигателя дискового типа обеспечивает его технологичность и низкую себестоимость. Двигатель дискового типа может иметь различную конструкцию: с двумя статорами и

расположенным между ними ротором или с двумя роторами и расположенным между ними статором. Обычно ротор двигателя представляет собой диэлектрический диск, в углублениях которого расположены плоские цилиндрические магниты. На статоре, который также представляет собой диск, закреплены плоские катушки обмотки якоря, расположенные в углублениях диска.

Рассматриваемый двигатель дискового типа имеет следующую конструкцию. Силовой блок в БДИТ дискового типа (рис. 1) состоит из ротора, который закреплен на вращающемся валу в подшипниках скольжения. Ротор состоит их магнитопровода с закрепленными на нем ферритовыми элементами датчика положения ротора и скрепленным с ним немагнитным диском с отверстиями, в которых находятся постоянные магниты (рис. 1). Ротор в рассматриваемой конструкции является индуктором. Статор имеет следующую конструкцию: стальной кожух, являющийся ферромагнитным экраном, и скрепленный с ним немагнитный, непроводящий диск с отверстиями, с обеих сторон которого крепятся катушки обмоток якоря. На корпусе двигателя также расположены обмотки датчика, изолированные от корпуса. Обмотка якоря состоит из двух секций, каждая из которых имеет по 6 катушек. Каждая соседняя катушка в секции имеет противоположное направление намотки. Катушки расположены по окружности и сдвинуты друг относительно друга на полюсное деление т, угловой сдвиг между катушками одной секции равен 2п/6 (рад). Секции сдвинуты относительно друг друга на половину полюсного деления, угловой сдвиг п/6 (рад).

Каждая секция подсоединена к выходным зажимам электронного коммутатора. Схема подключений первой и второй секций обмоток статора к инвертору приведена на рис. 2. Двигатель по сути является двухфазным, секции разомкнутого типа питаются от независимого источника постоянного напряжения через коммутатор. Питание секций обмоток двигателя двухполупериодное. Датчик положения ротора имеет две обмотки, расположенные на статоре и сдвинутые на угловое расстояние п (рад). Каждая обмотка включает две катушки, соседние катушки располагаются на угловом расстоянии п (рад). Число полюсов двигателя равно трем р = 3. Двигатель имеет простую конструкцию и небольшие габариты 0 30*16 мм.

Рассмотрим установившийся режим работы двигателя, при котором переключения секций обмоток статора происходит попеременно по сигналам от датчика положения ротора при повороте ротора на половину углового полюсного деления (п/6 рад). Таким образом, двигатель работает при четырехтактной двухполупериодной коммутации. Питание реверсивное, при каждой коммутации секции обмотки ток в ней меняет направление.

Рис. 1. Конструктивная схема статора и ротора: 1 - статор; 2 - ротор; 3 - катушки обмоток статора;

4 - постоянные магниты

Рис .2. Схема реверсивного двухполупериодного питания секций обмоток статора

При анализе электромагнитных процессов в БДПТ дискового типа с постоянными магнитами сделаны следующие предположения:

- магнитная цепь двигателя не насыщена, допустимо линейное приближение;

- коэффициенты взаимоиндукции между катушками различных секций статора малы

и принимаются равными нулю;

- при данной конструкции двигателя индуктивности катушек статора не зависят от

угла поворота ротора;

- магнитная индукция вдоль зазора (по окружности) изменяется по синусоидальному

закону;

- ЭДС, индуцируемая в обмотках статора при постоянной скорости вращения, синусоидальна;

постоянная времени обмоток статора мала и при исследовании установившегося режима может быть принятой равной нулю;

- двигатель работает с четырехтактной двухполупериодной коммутацией секций обмоток.

При этих предположениях потокосцепления двух обмоток статора зависят только от угла поворота ротора и тока соответствующей обмотки

ф 1 ( 0 ) = Ь 5* 1 + фтС05 ( 3 0) , ф ( 0 ) = Ь 5/2 + фтСО 5 3 ( 0 - 1Г/6) ,

Согласно законам Кирхгофа для контуров обмоток статора запишем

Я 5* 1+ Ь щЯ 1 П ( 3 0 )= щ( 0 ,

Я 5* 2+ Ь з^-З^фщС О Я ( 3 0 )= и2(0 .

Период коммутации по углу поворота ротора равен йп = 2п/3. Тогда напряжения, формируемые инвертором при четырехтактной коммутации, изменяются по следующему закону:

„ \( п , 2к£1„\ (п , 2&ПП\1 , „ _ _ _

интервале 0£[ ( - — + ——) , + ——) ], к = 1 , 2 , 3 ,., и 2 = и 0 , Щ = 0 ; (1а)

„ \(п , 2к£1„\ (5п , 2&ПП\1 , „ _ _ _

интервале 0£[ + ——) , + ——) ], к = 1 , 2 , 3 ,., и 2 = - Щ, Щ = 0 ; (1б)

„ \( п , 2ка„\ (п , 2&ПП\1 , „ _ _ _

интервале в £ [ + ——), + ) \, к = 1 , 2 , 3 , .,Щ= - и о , и2 = 0 ; (2а)

„ Г/5я , 2&ПП\ /7я , 2&ПП\1 , „ „ „ _

на интервале в £ [ + ——) , + ——) ], к = 1 , 2 , 3 , .,Щ= и о , и2 = 0. (2б)

При установившемся режиме работы двигателя зависимости электромагнитного момента, скорости вращения являются периодическими функциями времени и угла поворота статора, поэтому достаточно определить эти зависимости на интервале работы одной секции. Поскольку рассматривается четырехтактная коммутация, то этот период равен Йп/4. В моменты переключения секций электромагнитный момент и скорость вращения должны принимать одинаковые значения. Для этого необходимо решить задачу с граничными условиями. Постоянная времени секций обмоток статора т8 = Ь^Яц существенно меньше механической постоянной времени машины, поэтому ток в секции обмотки на интервалах включения и выключения определяется приложенным напряжением и индуцированной потоком возбуждения противоЭДС вращения. Поскольку магнитный поток, создаваемый током катушек статора, очень мал, то поток возбуждения определяется в основном потоком, создаваемым постоянными магнитами. В этом случае реакцию якоря учитывать не будем, как не будем учитывать, в соответствии со сделанными предположениями, взаимоиндукции катушек секций 1 и 2.

Тогда, пренебрегая трансформаторными ЭДС, поскольку постоянная времени статорных обмоток мала, токи на интервалах включения секций будут равны

на

на

на

. __±и0-3ол|;т5т(38)

I 1 — ,

1

. __±и0-3ол|;тсо5(38)

1 2— £ . На интервалах коммутации секций электромагнитный момент соответственно равен:

для секции 1

— ± и 05 1 п ( 3 е ) - 3 О) ф т5 1 п 2( 3 е ) ) , (3)

¿к3

для секции 2

М2 — ± и оСО 5 ( 3 е ) - 3 О фтС О 52 ( 3 е) ) . (4)

2Я3

Уравнение движения ротора при постоянном моменте сопротивления имеет следующий вид

] мэ ( е ,со)- мс, (5)

где Мс - момент сопротивления, J - момент инерции,

Мэ — Мх( е , о ) при включенной секции 1, условия (1а), (1б), Мэ — М2( е , о ) при включенной секции 2, условия (2а), (2б). Уравнение (5) является нелинейным уравнением с не разделяющимися переменными

<38

и может быть решено численно. Учитывая, что — — О, уравнение (5) можно

преобразовать к виду

т с1ш _ Мэ(в,ш)-Мс

^ а е — со . ()

Уравнение (6) определяет фазовые траектории в пространстве углов и скорости

0

вращения ротора (0, ю). Тогда t — /0 ¡г е /о ( е ) . В уравнении (6) решением является

зависимость угловой скорости вращения от угла поворота ротора ю = ю(0). При постоянной нагрузке, не превышающей максимально допустимую Мс < Мтах, устанавливается периодический режим, при котором зависимость ю(0) на каждом межкоммутационном интервале [0вкл, 0выкл] включения и выключения секций совпадает. Для реального маломощного БДПТ с параметрами:

, на межкоммутационном интервале были получены периодические зависимости ю(0), М(0). Для моделирования периодических режимов были использованы возможности системы МЛТЬЛВ и получены следующие результаты. На рисунке 3 приведена зависимость электромагнитного момента от угла поворота ротора, а на рис. 4 изменение скорости вращения на межкоммутационном интервале [0вкл, 0выкл].

Рис.3. Зависимость электромагнитного момента от угла поворота ротора

угол (рад)

Рис. 4. Зависимость скорости вращения от угла поворота ротора

Пульсации электромагнитного момента для рассматриваемого случая составляют ~ 5%, среднее значение момента 0.001815 Нм. Пульсации скорости вращения на межкоммутационном интервале составили ~ 0.3% при средней скорости вращения 209.45 рад/сек. На пульсации момента влияние оказывает момент инерции. При увеличении момента инерции двигателя в 10 раз были получены следующие результаты. На рис.5. приведена зависимость момента, а на рис.6 - скорости от угла поворота ротора. Увеличение момента инерции двигателя существенно снизило пульсации скорости вращения ротора и незначительно снизило пульсации электромагнитного момента

двигателя. Пульсации скорости вращения снизились до 0.04%, а пульсации момента до 3.8%.

Рис. 5. Зависимость момента от угла поворота ротора при увеличении момента инерции двигателя

Рис.6. Зависимость скорости от угла поворота ротора при увеличении момента инерции двигателя

2. Вычисление среднего электромагнитного момента и пульсаций бесконтактного двигателя постоянного тока дискового типа

Определение среднего момента и оценка пульсаций производились в предположении стабилизации скорости вращения ротора ю = const. Для установившегося

режима при четырехтактовой коммутации электромагнитным момент является периодической функцией с периодом, равным межкоммутационному интервалу включения и выключения секции 0 £ [6 вкл, 0 выкл]. Таким образом, среднее значение электромагнитного момента равно среднему значению момента на интервале включения и выключения секции. Тогда среднее значение электромагнитного момента определяется следующим выражением:

Зфт

Мт =

2 5 ( 6 выкл 6 вкл)

Г ° выкл

I (±иосо5(30) — 3оофтсоз2(30))с?0 =

Ь......

(Щ / \

——-—--г) —(в 1 П ( 3 6 выкл) - 5 1 п( 3 6 вкл))

выкл вкл

Зооф

т

[( 6 выкл - 6 вкл) - 1 П ( 6 6 выкл

) - 5т(60

вкл ))/б] }• (7)

2

Поскольку электромагнитный момент, при сделанных предположениях, является периодической функцией угла поворота ротора 0, то он может быть представлен рядом Фурье, период которого равен межкоммутационному интервалу

Мэ ( 6 ) = т 0+ £ к= 1 (тск с 0 в ( к 00 р 6 )+ т5 к в 1 п ( к со р 6 ) ) , (8)

где коэффициент о р= 2 П/га _ а у

выкл вкл

Коэффициенты ряда Фурье соответственно равны

т о = Мср, (9)

тск = т {и о ( с с ( 6 вЬЖл) - с с ( 6 вкл) )- 3 с с ц ( 6 вЬЖл) - с с ц ( 6 вкл) ) ) . (10) т5 к = т { и о( с5( 6 выкл)-с5 ( 6 вкл) )- 3 ^т( с5 Ц ( 6 выкл^» - сЯ Ц ( 6 вкл) )}, (11) Зфщ

где

выкл вкл

, л _ зт((а-Ь)8) зт((а+Ь)8)

с с ( и ) — ----— + ----—,

4 ' 2(а-Ь) 2(а+Ь)

, ^ _ соз((а-Ь)8) со5((а+Ь)б)

с 5 ( и ) = — ----— — ----—,

4 у 2(а-Ь) 2(а+Ь)

ссц (и)= ^(^+(¡5^ + -!^}. С5Ц (и)= |)1с05(Ь6) + + ¡^^Р2)}.

2як

а = 3, Ь =

выкл вкл

Спектральные составляющие ряда Фурье электромагнитного момента БДПТ дискового типа при скорости вращения ю= 1000 рад/сек, вычисленные по формулам (7 -11), приведены на рис. 7. Наибольшую амплитуду имеет нулевая составляющая, равная среднему значению электромагнитного момента (0,0032). Меньшую амплитуду имеет

первая гармоника, амплитуда которой равна 0,000127, что составляет менее 4%. Существенно меньшие амплитуды имеют остальные гармоники, менее 1%.

0 12 з 4 5 6 7 8 Э 10

Рис. 7. Спектральные составляющие электромагнитного момента при п = 1000 об/мин

Пульсации электромагнитного момента при увеличении скорости сначала уменьшаются и при скорости вращения п = 1750 об/мин принимают минимальные значения, а затем увеличиваются. Величины пульсаций при различных скоростях вращения ротора приведены в таблице 1.

Таблица 1.

п, об/мин Мср,Нм ш1 ч, %

500 0,0038 0,00021 5

750 0,0035 0,00017 4,8

1000 0,0032 0,000127 3,9

1250 0,0028 0,0000844 3

1500 0,0025 0,0000413 1,6

1750 0,0022 0,00000176 0,8

2000 0,0018 0,0000438 2,4

2250 0,0015 0,0000885 5,8

2500 0,0012 0,000131 10

2750 0,000343 0,000174 20

3000 0,00051 0,000217 42

В таблице обозначено: п - скорость вращения об/мин; Мср- среднее значение электромагнитного момента Нм; т1 - амплитуда первой гармоники электромагнитного момента; q - коэффициент пульсаций %.

Заключение

Разработана методика расчета усредненного момента и пульсаций момента, а также спектрального состава момента для бесконтактного двигателя постоянного тока дискового

типа. Произведены расчеты маломощного бесконтактного двигателя постоянного дискового типа, имеющего следующие параметры: напряжение питания 10 В, пусковой момент 0.005 Нм, скорость холостого хода 3000 об/мин, и предназначенного для приборостроения и вычислительной техники. Исследования показали, что пульсации электромагнитного момента зависят от скорости вращения ротора двигателя. Пульсации увеличиваются при большой скорости вращения (холостой ход) и при невысокой скорости вращения. Для уменьшения пульсаций режим работы следует выбирать при некотором среднем значении момента сопротивления (Мс ~ 0.0022 Нм), при котором пульсации момента принимают минимальное значение 0,8%. Увеличение момента инерции двигателя существенно уменьшает пульсации скорости, но пульсации момента уменьшает значительно меньше. Для более точной оценки коэффициента пульсаций момента следует учитывать неравномерность скорости вращения на межкоммутационном интервале. Расчет, проведенный в статье, показал, что при нагрузке Mc = 0,00182 Нм коэффициент пульсации при постоянной скорости равен 2,4%, а при учете неравномерности скорости вращения 4,1%. Предлагаемая методика позволяет аналитически рассчитать коэффициент пульсаций и выбрать наиболее оптимальный режим работы. По результатам исследований БДПТ дискового типа уровень пульсаций составляет 0.8 - 5%, что по сравнению с некоторыми вентильно-индукторными двигателями (пульсации для некоторых ВИП достигают 10% среднего момента) вполне приемлемы для использования в электроприводе для ряда технических применений.

Список литературы

1. Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. В 2 кн. Кн. 2. М.: Энергоатомиздат, 1997. 498 с.

2. Цаценкин В.К. Безредукторный автоматизированный электропривод с вентильными двигателями. М.: Изд-во МЭИ, 1991. 240 с.

3. Овчинников И.Е., Лебедев Н.И. Бесконтактные двигатели постоянного тока. Л.: Наука, 1979. 270 с.

4. Соловьев В.А. Непрерывное токовое управление вентильными двигателями. М.: МГТУ им. А Н. Косыгина, 2004. 264 с.

5. Баранов М.В., Бродовский В.Н., Зимин А.В., Каржавов Б.Н. Электрические следящие приводы с моментным управлением исполнительными двигателями: монография. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 240 с.

6. Шумов Ю. Н., Сафонов А.С. Сверхскоростные и ультраскоростные синхронные машины с возбуждением от постоянных магнитов (обзор зарубежных публикаций) // Электричество. 2014. № 3. С. 35-42.

7. Байков А.И., Андрюхин М.В., Бобылев И.В. Математическое моделирование электропривода на базе синхронных двигателей с постоянными магнитами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2014. № 4. С. 33-49.

8. Isfahani A.H., Vaez-Zadeh S. Effect of Magnetizing Inductance on start-up and Synchronization of line-start permanent-magnet synchronous motors // IEEE Transaction on Magnetics. 2011. Vol. 47, no. 4. P. 823-829. DOI: 10.1109/TMAG.2010.2091651

9. Kuehl S., Kennel R.M. Measuring magnetic characteristics of synchronous machines by applying position estimation techniques // IEEE Transaction on Industry Applications. 2014. Vol. 50, iss. 6. P. 3816-3824. DOI: 10.1109/TIA.2014.2322137

10. Красовский А.Б., Бычков М.Г. Исследование пульсаций момента в вентильно-индукторном электроприводе // Электричество. 2001. № 10. С. 33-44.

11. Ki-Chan Kim. A novel method for minimization of codding torque and torque ripple for interior permanent magnet synchronous motor // IEEE Transaction on Magnetics. 2014. Vol. 50, no. 2. Art. no. 7019604. DOI: 10.1109/TMAG.2013.2285234

Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 10, pp. 288-301.

Science^Education

of the Bauman MSTU

ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity

Analysis of the Torque Ripples in Designing a Disk Type Brushless Direct Current Motor

DOI: 10.7463/1015.0820340

Received: Revised:

08.09.2015 26.09.2015

A.V. Stepanov1*, S.I. Maslennikova1

atepanov-bmstuig gmail.com :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: brushless direct current motor, permanent magnet, torque, ripples, spectrum of harmonics

This paper investigates the torque ripples of disk-type low-power brushless direct current motor (BDCM) with permanent magnets. In spite of numerous studies on designing of valve engines this issue is understudied as yet. The torque ripples cause noise and vibration and can significantly limit accuracy when used in instrumentation, computer technology.

We consider a motor that includes a power unit consisting of a rotor and a stator. There are ferrite elements of sensor on the rotor, and the nonmagnetic disk, bonded to it, contains permanent magnets. The rotor is mounted on a rotating shaft. The stator consists of a steel casing and bonded to it non-magnetic, non-conductive disk with holes. In the disk holes from both sides are mounted armature coils. The armature winding consists of two sections each of which has 6 coils. Each adjacent coil in section has an opposite direction of winding. The coils are arranged circumferentially and are shifted relative to each other; the displacement angle between the coils of one section is equal to 2n/6 (rad). Sections are also shifted relative to each other; the angular shift is n/6 (rad). Sections are connected to the output terminals of the electronic switch. Sections of motor windings have the reverse full-wave power.

The paper has investigated the steady operation at four-stroke switching and under constant load (torque). In this case, the electromagnetic torque and rotor speed are periodical functions of the rotor rotation angle. The dependencies of the averaged torque on the rotation speed have been obtained. The spectral distribution of the torque ripples at various rotor speeds of rotation has been calculated. The dependencies of the torque on the speed were studied both at constant speed and taking into account the uneven speed. Based on the research findings of disk type BDCM was computed a level of ripples amounted to 0.8 - 5%, which is quite acceptable for use in a drive. The results are useful for selecting the motor parameters at its designing stage.

References

1. Arakelyan A.K., Afanas'ev A.A. Ventil'nye elektricheskie mashiny i reguliruemyi elektroprivod. V 2 kn. Kn. 2 [Valve electrical machines and adjustable electric drive. In 2 vols. Vol. 2]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1997. 498 p. (in Russian).

2. Tsatsenkin V.K. Bezreduktornyi avtomatizirovannyi elektroprivods ventil'nymi dvigatelyami [Gearless automated electric drive with valve motors]. Moscow, MPEI Publ., 1991. 240 p. (in Russian).

3. Ovchinnikov I.E., Lebedev N.I. Beskontaktnye dvigatelipostoyannogo toka [Contactless DC motors]. Leningrad, Nauka Publ., 1979. 270 p. (in Russian).

4. Solov'ev V.A. Nepreryvnoe tokovoe upravlenie ventil'nymi dvigateljami [Continuous current control by valve engines]. Moscow, Kosygin MSTU Publ., 2004. 264 p. (in Russian).

5. Baranov M.V., Brodovskii V.N., Zimin A.V., Karzhavov B.N. Elektricheskie sledyashchie privody s momentnym upravleniem ispolnitel'nymi dvigatelyami []. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2006. 240 p. (in Russian).

6. Shumov Yu. N., Safonov A.S. Superhigh- and ultrahigh-speed permanent-magnet synchronous electrical machines with capacities from permanent magnets (review of foreign publications). Elektrichestvo = Electricity, 2014, no. 3, pp. 35-42. (in Russian).

7. Baikov A.I., Andryukhin M.V., Bobylev I.V. Mathematical Modeling of Electrical Drive on the Basis of Synchronous Permanent-Magnet Motors. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Me-chanicalEngineering, 2014, no. 4, pp. 33-49. (in Russian).

8. Isfahani A.H., Vaez-Zadeh S. Effect of Magnetizing Inductance on start-up and Synchronization of line-start permanent-magnet synchronous motors. IEEE Transaction on Magnetics, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 823-829. DOI: 10.1109/TMAG.2010.2091651

9. Kuehl S., Kennel R.M. Measuring magnetic characteristics of synchronous machines by applying position estimation techniques. IEEE Transaction on Industry Applications, 2014, vol. 50, iss. 6, pp. 3816-3824. DOI: 10.1109/TIA.2014.2322137

10. Krasovskij A.B., Bychkov M.G. An investigation of the ripples of the torque of a rectifier-type inductor electric drive. Elektrichestvo = Electricity, 2001, no. 10, pp. 33-44. (in Russian).

11. Ki-Chan Kim. A novel method for minimization of codding torque and torque ripple for interior permanent magnet synchronous motor. IEEE Transaction on Magnetics, 2014, vol. 50, no. 2, art. no. 7019604. DOI: 10.1109/TMAG.2013.2285234