CC BY
23
УДК 621.836.2
АНАЛИЗ ПРЯМОЛИНЕИНО-НАПРАВЛЯЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ С ПОЛУЧЕНИЕМ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
А. И. Барабаш, студентка, ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет» e-mail: [email protected]
М. А. Магасумов, студент, ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет» e-mail: [email protected]
Н. А. Середа, канд. техн. наук, доцент, ФГБОУ ВО «Калининградский государственный технический университет», e-mail: [email protected]
В работе выполнен анализ структуры и принципа работы прямолинейно-направляющих механизмов. Получены уравнение траектории для характерной точки шатуна применительно к прямолинейно-направляющему механизму Джеймса Уатта; функция угла передачи движения для прямолинейно-направляющего механизма П.Л. Чебышева. Эти функции - основа расчета прямолинейно-направляющих механизмов.
Прямолинейно-направляющий механизм, шатун, характерная точка шатуна, уравнение траектории, угол передачи движения, графическая интерпретация
В настоящей статье представим результаты анализа прямолинейно-направляющих механизмов. К ним относят механизмы, у которых характерная точка звена, выполняющего плоскопараллельное движение, перемещается по прямолинейной траектории. Получение названной траектории осуществляется только посредством подбора геометрических размеров звеньев.
В качестве объектов исследования выбраны прямолинейно-направляющие механизмы Джеймса Уатта [1] и Пафнутия Львовича Чебышева [2]. На рис. 1 изображен прямолинейно-направляющий механизм Джеймса Уатта, в котором с неподвижным звеном в виде стойки шарнирно связаны два коромысла ОА и ВОх. Звено АВ, соединяющее шарнирно оба коромысла, совершает плоскопараллельное движение и называется шатун. Характерная точка шатуна С, отмеченная на середине этого звена, движется по прямолинейной траектории в том случае, когда длины звеньев ОА и ВО1 равны.
В нашей статье также рассмотрим прямолинейно-направляющий механизм Пафнутия Львовича Чебышева (рис. 2). Такой механизм включает кривошип ОА, двуплечий шатун АС, коромысло ВО1 и стойку ОО1. При определенном соотношении геометрических размеров точка С (рис. 2) двуплечего шатуна движется на некотором участке по прямолинейной траектории.
Предметом исследования [3-4] являются уравнение траектории для характерной точки шатуна применительно к прямолинейно-направляющему механизму Джеймса Уатта; функция угла передачи движения для прямолинейно-направляющего механизма П.Л. Чебышева. Эти функции - основа расчета прямолинейно-направляющих механизмов.
Сформулируем три задачи исследования:
- изучить структуру и принцип работы прямолинейно-направляющих механизмов;
- получить уравнение траектории для характерной точки шатуна прямолинейно-направляющего механизма Джеймса Уатта. Применительно к кинетостатической модели прямолинейно-направляющего механизма П.Л. Чебышева установить выражение для угла передачи движения;
- выполнить анализ графических интерпретаций, построенных по предложенным уравнениям и выражениям.
Рисунок 1 - Прямолинейно-направляющий механизм Джеймса Уатта
Рисунок 2 - Прямолинейно-направляющий механизм П.Л. Чебышева
В справочнике [1] для прямолинейно-направляющего механизма Джеймса Уатта приведены геометрические параметры, которые мы представили в относительных длинах. Эти параметры являются математической моделью исследуемого механизма.
В программе AutoCAD был построен прямолинейно-направляющий механизм (положение ОАВОх выделено на рис. 3). Далее был построен план положений механизма с определением координат Х и Y характерной точки С на шатуне.
Рисунок 3 - План положений для прямолинейно-направляющего механизма
Джеймса Уатта
На первом этапе интерполирование дискретного набора значений Х и Y проводилось с применением программы МаШСАО. На рис. 4 приведен лист программы МаШСАО, иллюстрирующий сплайновую интерполяцию. Из графика видно, что характерная точка С шатуна движется на некотором участке по прямолинейной траектории.
На втором этапе для получения функции Y(X) в аналитическом виде, проходящей точно через все найденные ранее точки, применялся интерполяционный многочлен Лагран-жа. Сначала были учтены в расчете первые четыре координаты по осям Х и Y, для них был сформирован вспомогательный многочлен. Далее от вспомогательного многочлена была взята производная. Установлены значения производной при заданных значениях Х и получена функция Y(X) в виде многочлена третьей степени, точно проходящей через четыре координаты Х и Y. Аналогичную процедуру повторили для следующих четырех пар значений Х и Y. Также получили многочлен третьей степени:
У^Х) = -28,178 • X3 + 4347,3471- X2 - 223501,8578 • X + 3828991,935, (1) у (X) = -0,0541- X3 + 7,2018 • X2 - 319,8505 • X + 4779,8038. (2)
При подстановке значений Х многочлены третьей степени Y1 (X) и Y2 (X) очень хорошо описывают траекторию характерной точки шатуна.
Рисунок 4 - Результаты анализа механизма с применением программы МаШСАБ
Для прямолинейно-направляющего механизма П.Л. Чебышева в справочниках даны геометрические размеры в двух вариантах:
- первый вариант предполагает построение механизма с равными длинами шатуна и коромысла, при этом относительные длины названных звеньев больше единицы, т.е. равны 1,25;
- второй вариант связан с построением механизма с равными относительными длинами шатуна и коромысла, но эти длины больше двух, т.е. составляют 2,0092.
Рассматривалась идеальная кинетостатическая модель механизма П.Л. Чебышева в определенном положении, показанном на рис. 2. Получено выражение для угла передачи движения в функции относительных длин звеньев:
д = атееоз
Г2 ■ Л2 — 1 — Л] — 2 ■ Л ■ еоз(ф1
2 ■ Л
(3)
Графическая интерпретация угла передачи движения, установленного по формуле (3), построена с применением программы MathCAD и представлена на рис. 5. Показано, что характер изменения угла передачи двух исследуемых механизмов с разными геометрическими размерами одинаков.
Силовая работоспособность механизма с равными (но большими двух) относительными длинами шатуна и коромысла уступает силовой работоспособности механизма по первому варианту.
Механизм П.Л. Чебышева с геометрическими параметрами 1,25 можно рекомендовать для механизации операций со значительной технологической нагрузкой, например, в качестве силового механизма стрелового крана, осуществляющего на определенном участке перемещение груза по прямолинейной траектории.
Рисунок 5 - Угол передачи движения механизма П.Л. Чебышева
Таким образом, в нашей статье изучены структура и принцип работы двух прямолинейно-направляющих механизмов; получено уравнение траектории для характерной точки шатуна применительно к прямолинейно-направляющему механизму Джеймса Уатта. Для модели прямолинейно-направляющего механизма П.Л. Чебышева установлено выражение для угла передачи движения. Выполнен анализ графических интерпретаций, построенных по предложенным зависимостям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артоболевский, И. И. Механизмы в современной технике: справочник: в 7 т. / И. И. Артоболевский. - Москва: Наука, 1979. - Т. 3. - 533 с.
2. Артоболевский, И. И. Синтез плоских механизмов / И. И. Артоболевский, Н. И. Ле-витский, С. А. Черкудинов. - Москва: Государств. издательство физико-математич. литературы, 1959. - 1084 с.
3. Пейсах, Э. Е. Система проектирования плоских рычажных механизмов / Э. Е. Пейсах, В. А. Нестеров. - Москва: Машиностроение, 1988. - 232 с.
4. Середа, Н. А. Синтез механизмов применительно к устройствам для передачи изделий: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.02.18 / Середа Наталья Александровна; С.-Петерб. политехн. ун-т. - Санкт-Петербург, 2015. - 22 с.
ANALYSIS OF STRAIGHT-GUIDING MECHANISMS OBTAINING THEIR
MATHEMATICAL MODELS
A. I. Barabash, student, Kaliningrad state technical University e-mail: [email protected]
M. A. Magsumov, student, Kaliningrad state technical University e-mail: [email protected]
N. A. Sereda, PhD, associate Professor Kaliningrad state technical University e-mail: [email protected]
The paper analyzes the structure and principle of operation of straight-guiding mechanisms. The trajectory equation for the characteristic point of the connecting rod applied to the James Watt straight-guiding mechanism is obtained; the function of the transmission angle for the straight-guiding mechanism of P. L. Chebyshev is obtained. These functions are the basis for the calculation of straight-guiding mechanisms.
Straight-guiding mechanism, connecting rod, handle rod, the equation of the trajectory, the angle of transmission of motion, graphical interpretation
