АНАЛИЗ ПРОЦЕССА РАЗВЕРТЫВАНИЯ ОКОЛОЛУННОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

УДК 531.395

Б01 10.26732/^12021.3.04

АНАЛИЗ ПРОЦЕССА РАЗВЕРТЫВАНИЯ ОКОЛОЛУННОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ

ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ

Т. А. ЛедковаН, Ю. М. Заболотнов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева,

г. Самара, Российская Федерация

Разработка транспортных космических систем для доставки грузов и исследования поверхности Луны является важной научно-технической задачей. В работе рассматривается окололунная космическая тросовая система, состоящая из станции и микроспутника. Станция рассматривается как твердое тело, имеющее форму цилиндра, а микроспутник - как сферическое твердое тело. Трос рассматривается как невесомый нерастяжимый стержень переменной длины. Станция движется по окололунной орбите, на которую оказывает влияние притяжение Земли. Рассматривается процесс развертывания радиально направленной окололунной тросовой системы. Уравнения движения космической тросовой системы получены с помощью второго закона Ньютона и теоремы об изменении момента количества движения. Для выпуска троса и приведения орбитальной тросовой системы в рабочее состояние в статье предлагается использовать программу управления силой натяжения троса, которая обеспечивает развертывание тросовой системы в положение, близкое к вертикальному. Проводится сравнение движения тросовой системы по невозмущенной окололунной орбите и по возмущенной, учитывающей гравитационное влияние Земли. Для обоснования теоретических результатов проведено численное моделирование, по результатам которого сделан вывод о влиянии притяжения Земли на амплитуду колебаний микроспутника

относительно местной вертикали.

Ключевые слова: космическая тросовая система, космическая станция, микроспутник, окололунная орбита, развертывание тросовой системы, программа управления.

Введение

Актуальность исследований динамики и разработка законов управления движением тросовых спутниковых группировок объясняется возможностью создания космических систем, состоящих из нескольких малых космических аппаратов, соединенных тросами. При этом входящие в группировку аппараты совершают согласованный полет. Такая система обладает легкостью и большим разнообразием конфигураций, и может применяться в задачах исследования космического пространства, планет и т. п. Обзор применения космических тросовых систем приведен в работах [1; 2].

Многие проекты освоения Луны и Марса предполагают использование космической стан-

Исследование выполнено при финансовой поддержке

РФФИ и Государственного фонда естественных наук

Китая в рамках научного проекта № 21-51-53002.

Н ta_ledkova@bk.ru © Ассоциация «ТП «НИСС», 2021

ции на окололунной орбите [3-6]. Она может служить космическим портом на орбите Луны, который сможет обеспечить жизнеобеспечение длительных экспедиций на поверхности Луны, а также станет отправной точкой для исследования глубокого космоса.

В работе рассматривается развертывание радиальной космической тросовой системы, состоящей из космической станции и малого космического аппарата, на окололунной орбите с учетом притяжения Земли (рис. 1).

Развертывание производится по закону управления, который обеспечивает развертывание троса на заданную длину при небольших отклонениях от вертикального положения. Приводится сравнение процесса развертывания при наличии притяжения Земли и без его учета.

1. Математическая модель

Рассматриваемая в работе механическая система представлена на рис. 2. Она состоит из кос-

(осмичЕскнЕ

ШСММН АППАРАТЫ 1/1

№ 3 (37) 2021

ТЕХНОЛОГИИ

Том 5

154

мической станции D и малого космического аппарата В, который прикреплен к станции невесомым нерастяжимым тросом длины 1Ь. Станцию будем считать цилиндром, масса которого тс1, длина d, радиус р^ Спутник рассмотрим как шар, масса которого ть, радиус рь. На рис. 2 V - угол истинной аномалии станции; 9 - угол истинной аномалии Луны; в - угол отклонения центральной оси спутника В от локальной вертикали; ф - угол отклонения троса, соединяющего станцию и спутник, от оси симметрии спутника; 8 - угол отклонения оси симметрии станции от троса в месте его кре-

Рис. 1. Радиальная окололунная тросовая система

d

cosVI рьsinР + 4(Р + ф) + — sm(P + ф-

пления к станции; гь - радиус орбиты спутника В. Станция движется по окололунной возмущенной орбите радиуса

С помощью второго закона Ньютона и теоремы об изменении кинетического момента запишем уравнения движения [7]:

тьгь=- Т + СГ

Л®»* ^^^л

-гь хТ-

МГ - М

-гх Т

М

Ъ'

М

(1)

■а*

где

Ст _

ь -'

т цм гь \г

GI - ■

Ч Ц £ Г\гь\

Ст I I 3 е I I 3

т - -тЦмК \ > Са = ~таРвга К \ - векторы сил притяжения Луны (с индексом т) и Земли (с индексом е), действующие на спутник В и станцию D, соответственно; Т = [Тsin(p + ф), -Тcos(p + ф), 0} ,

силы натяжения троса,

л~d Ш

векторы

\Т

¿={0Ду + р}\ со^={0?0?у + р + ф + 8} -угловые скорости спутника В и станции D относительно центра масс механической системы; матрицы моментов инерции спутника В и станции D:

л =

л*

о о

о

л

Ьу 0

о о

Л

Л =

Уz )

•^ск

о о

о

ку

о

о о

В

к2 )

Радиус-векторы, задающие положение станции и спутника в орбитальной системе координат:

d

Sin V

5) — sinVI ^-рcosР~4cos(P + ф)--cos(P-

/V 2

Л Г Л

ф-

рь sin Р + 1Ь (Р + ф) + -sin(P + ф + 5)

+ cos V

- ръ cos Р — 4 cos(P + ф)--cos(P + ф + 5

={

г cos V, г sm у,

■0}Г.

Рис. 2. Механическая система

Гравитационные моменты, действующие на спутник В и станцию D, обусловленные притяжением Луны, в общем виде записываются как [8]:

-3

3

г

d

Г

Анализ процесса развертывания окололунной тросовой системы с учетом притяжения Земли

М ( ^Ъу ^Ъх ) МВ г МВ у

Mm =

'зЦм ( Jdz - Jdy )MDyMDz 3ЦМ ( Jdx - Jdz)MDzMDx 3 ( Jy-Jx)MD2MDy

где векторы MB = rb, MD = r^ (рис. 2).

Положение Луны относительно Земли задается вектором:

EM = r =í Pm cos 6 Pm sin 6

1 + eM cos 9 1 + eM cos 9

,0

? ^ i ?

где ем, рм - эксцентриситет и фокальный параметр орбиты Луны. Движение Луны вокруг Земли описывается уравнением [9]:

155

е=

V

Рм

(l + eMcos9)2,

(2)

где - гравитационный параметр Земли.

Запишем в общем виде выражения гравитационного момента, действующего на спутник B и станцию D и обусловленного притяжением Земли:

M b =

3 J - J )EByEBz (Jbx - Jbz) EB z EB x Зц£ (Jby - Jbx )EBzEBy

M d =

i3^ (J - J )EDyEDz ЗЦе J - Jz )EDzEDx 3 J - Jx )EDzEDy

где векторы ЕВ = ЕМ + гь, ED = ЕМ + ха.

Из первого уравнения системы (1) выразим силу натяжения троса:

T = 8ш„

-í (1 + eAÍ eos е)Í vrb +1 vrb I((-4е,ЛрА/ sin (v - 20) - 8r4p„ sin (v - 20) +

+ 2eKr cos20 + 8e, r cos0-4e,,.

Mb Mb M br M

2 Л

Mr рм sin y + (2eM + 4) гь + 4рM )/С1 + eM cos 0 )2)2 +

+ц E р M ( cosy cos 0 + sin у sin 0 )]/

-4eMrbрM sin (y - 20) - 8rbрM sin (y - 0) + 2eMrb c0s 20 + 8eMr2b c0s 0 - 4eMrbPM sin у + (2eM + 4) rt + 4РM

(1 + eM c0s 0)2

• sin (p + ф)(l + eM cos0)]

В скалярной форме уравнений движения (1) введем замену: иъ=1ъИъ, где иь - предлагаемый за кон управления выпуском троса [10]:

(lb max ~ lb )

' 2

Uu =-

h

b max

b max J

(3)

Выражая из (3) lb и дифференцируя no t, получим:

h =

i

i,

V р + ф/4

2 I

+

(Amax h)

b max V b max J

b max

(р+ф)/4 (р+ф)

\ Л

2 l' b max l' b max

V JJ

+

(4 max h ) h

I

b max

(Р+фК

V2 l'b max j

(4)

Таким образом, в систему уравнений движения космической тросовой системы входят уравнения (1) без первого уравнения, уравнение (2) и уравнение (4).

(осмичЕскнЕ

ЮСМ1ЛН1 АППАРАТЫ 1/1

№ 3 (37) 2021

ТЕХНОЛОГИИ

2. Численные результаты

При численном моделировании использовались следующие массово-геометрические параметры тросовой системы: масса станции тс1 = 2000 кг, ее длина d = 2 м, радиус рd = 1 м, масса спутника ть = 20 кг, его радиус рь = 1 м, конечное значение длины троса IЬтах=500 м, максимальная скорость развер-

Том 5

тывания Ктах = 1 м/с. Начальные условия: 90=п/2 рад, = -я/2 рад, р = 0,01 рад, 80 = ф0 = 0 рад, 1Ь0 = 0,01 м, V = 0,00066 рад/с, гъо = 500 км, (30 = 80 = ф() = 0 рад/с, 1Ь= 0,00033 м/с.

На рис. 3-6 показаны графики изменения параметров системы при ее движении по возмущенной (сплошная линия) и невозмущенной (штриховая линия) окололунной орбите.

Рис. 3. Изменение длины троса и скорости

изменения длины троса 1Ь (/) при развертывании космической тросовой системы

Рис. 4. Изменения углов р, ф, 8 и отклонение спутника от местной вертикали (р + ф + 8) при развертывании космической тросовой системы

Анализ процесса развертывания окололунной тросовой системы с учетом притяжения Земли

Рис. 5. График управляющей функции иъ и изменения силы натяжения троса Т при развертывании космической тросовой системы

у, М< 1

уГ 1 / _ч

1 300; 1 /

Р 1 )

1 ■ 1 1 1 1 -.-

157

Рис. 6. Развертывание тросовой системы и орбита станции D

Исследуя полученные графики, можно сделать вывод, что возмущения, вызванные притяжением Земли, вызывают увеличение амплитуды колебаний спутника относительно местной вертикали.

Заключение

Рассматривалось движение космической тросовой системы, состоящей из космической станции и малого космического аппарата. Станция и спутник рассматривались как твердые тела, трос - как невесомый нерастяжимый стержень.

В работе предполагалось, что космическая тросовая система совершает радиальное развертывание по заданной программе. На движение тросовой системы оказывали влияние возмущения, связанные с притяжением Земли.

В работе получены следующие результаты:

1. С помощью второго закона Ньютона и теоремы об изменении кинетического момента были составлены уравнения движения и разработана математическая модель движения космической системы.

2. Был рассмотрен предложенный ранее закон управления развертыванием тросовой систе-

№ 3 (37) 2021

Том 5

мы и найдена сила натяжения троса, обеспечивающая требуемое управление с учетом притяжения Земли.

3. Показано, что предлагаемый закон управления выпуском троса обеспечивает развертывание троса на заданную длину.

4. Проведено сравнение графиков при движении тросовой системы по возмущенной и невозмущенной окололунной орбите. Из приведен-

ных результатов следует, что возмущения, связанные с притяжением Земли, вызывают увеличение амплитуды колебаний спутника относительно местной вертикали.

В дальнейшем планируется исследовать гравитационную стабилизацию тросовой системы с помощью добавления второго малого космического аппарата, прикрепленного к станции тросом [10-12].

Список литературы

158

[1] Белецкий В. В., Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. М. : Наука, 1990. 329 с.

[2] Cartmell M. P., McKenzie D. J. A review of space tether research // Progress in Aerospace Sciences. 2008. vol. 44. no. 1. pp. 1-21.

[3] Levack D. J., Horton J. F., Joyner C. R., Kokan T. S., Widman F., Guzek B. J. Mars NTP Architecture Elements Using the Lunar Orbital Platform-Gateway // 2018 AIAA SPACE and Astronautics Forum and Exposition. 2018. P. 5105.

[4] Burns J. O., Mellinkoff B., Spydell M., Fong T., Kring D. A., Pratt W. D., Cichan T., Edwards C. M. Science on the lunar surface facilitated by low latency telerobotics from a Lunar Orbital Platform - Gateway // Acta Astronautica. 2019. vol. 154. pp. 195-203.

[5] Haws T. D., Zimmerman J. S., Fuller M. E. SLS, the Gateway, and a Lunar Outpost in the Early 2030s // IEEE Aerospace Conference Proceedings. 2019.

[6] Пугаченко С. Е., Козедуб Д. А. Исследование режимов обслуживания экипажем окололунной орбитальной станции-космопорта // Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия машиностроение. 2019. № 4. С. 31-43.

[7] Бухгольц Н. Н., Гольцман В. К. Курс теоретической механики. М. Оборонгиз, 1939.

[8] Junkins J. L., Schaub H. Analytical mechanics of space systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2009.

[9] Егоров В. А., Гусев Л. И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М. : Наука, 1980. 544 с.

[10] Заболотнов Ю. М., Ледкова Т. А. Развертывание и стабилизация движения космической тросовой системы на круговой окололунной орбите // Труды 63-й Всеросс. науч. конф. М. 2020. С. 67-70.

[11] Zabolotnov Yu. M. Control of the deployment of an orbital tether system that consists of two small spacecraft // Cosmic Research. 2017. vol. 55. no. 3. pp. 224-233.

[12] Levin E. Dynamic analysis of space tether missions // Am. Astronaut. Soc. Adv. Astronaut. Sci.. 2007. 126 p.

ANALYSIS OF THE PROCESS OF DEPLOYMENT OF A LUNAR TETHER SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT

THE EARTH'S GRAVITY

T. A. Ledkova, Yu. M. Zabolotnov

Samara National Research University, Samara, Russian Federation

The development of space transport systems for the delivery of payloads and the study of the lunar surface is an important scientific and technical challenge. The article considers a near-lunar space tether system consisting of a station and a microsatellite. The station is considered as a rigid body having a cylindrical shape, and the microsatellite is considered as a spherical rigid body. The tether is considered as a weightless inextensible rod of variable length. The station moves in a near-lunar orbit, which is influenced by the Earth's gravity. The process of deployment of a radially directed near-lunar tether system is considered. The equations of motion of

Т. А. Ледкова, Ю. М. Заболотнов

Анализ процесса развертывания окололунной тросовой системы с учетом притяжения Земли

the space tether system are obtained using Newton's second law and the theorem on the change in the angular momentum. To release the tether and bring the orbital tether system to a working state, the article proposes to use the control program of tethers tension force, which ensures the deployment of the tether system to a position close to the vertical. A comparison of the motion of the tether system along the unperturbed lunar orbit and along the perturbed one, taking into account the gravitational influence of the Earth, is made. To substantiate the theoretical results, a numerical simulation was carried out, based on the results of which a conclusion was made about the influence of the Earth's gravity on the amplitude of oscillations of the microsatellite

relative to the local vertical.

Keywords: space tether system, space station, microsatellite, circumlunar orbit, deployment

of the tether system, control program.

159

References

[1] Beletsky V V., Levin E. M. Dinamika kosmicheskih trosovyh sistem [Dynamics of space tether systems]. Moscow, Nauka, 1990, 329 p. (In Russian)

[2] Cartmell M. P., McKenzie D. J. A review of space tether research // Progress in Aerospace Sciences, 2008, vol. 44, no. 1, pp. 1-21.

[3] Levack D. J., Horton J. F., Joyner C. R., Kokan T. S., Widman F., Guzek B. J. Mars NTP Architecture Elements Using the Lunar Orbital Platform-Gateway // 2018 AIAA SPACE and Astronautics Forum and Exposition, 2018, P. 5105.

[4] Burns J. O., Mellinkoff B., Spydell M., Fong T., Kring D. A., Pratt W. D., Cichan T., Edwards C. M. Science on the lunar surface facilitated by low latency telerobotics from a Lunar Orbital Platform - Gateway // Acta Astronautica, 2019, vol. 154, pp. 195-203.

[5] Haws T. D., Zimmerman J. S., Fuller M. E. SLS, the Gateway, and a Lunar Outpost in the Early 2030s // IEEE Aerospace Conference Proceedings, 2019.

[6] Pugachenko S. E., Kozedub D. A. Issledovanie rezhimov obsluzhivaniya ekipazhem okololunnoj orbital'noj stancii-kosmoporta [Investigating crew maintenance modes for a lunar orbital spaceport station] // Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering, 2019, no. 4, pp. 31-43. (In Russian)

[7] Bukhgolts N. N., Goltsman V K. Kurs teoreticheskoj mekhaniki [Course of theoretical mechanics]. Moscow, Oborongiz, 1939. (In Russian)

[8] Junkins J. L., Schaub H. Analytical mechanics of space systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2009.

[9] Egorov V. A., Gusev L. I. Dinamikapereletov mezhdu Zemlej i Lunoj [Dynamics of flights between the Earth and the Moon]. Moscow, Nauka, 1980, 544 p. (In Russian)

[10] Zabolotnov Yu. M., Ledkova Т. А. Razvertyvanie i stabilizaciya dvizheniya kosmicheskoj trosovoj sistemy na krugovoj okololunnoj orbite [Deployment and stabilization of the space tether system motion in a circular near-lunar orbit] // Proceedings of the 63rd All-Russian Scientific Conference of MIPT, Moscow, 2020, pp. 67-70. (In Russian)

[11] Zabolotnov Yu. M. Control of the deployment of an orbital tether system that consists of two small spacecraft // Cosmic Research, 2017, vol. 55, no. 3, pp. 224-233.

[12] Levin E. Dynamic analysis of space tether missions // Am. Astronaut. Soc. Adv. Astronaut. Sci., 2007, 126 p.

Сведения об авторах

Заболотнов Юрий Михайлович - доктор технических наук, профессор кафедры программных систем Самарского университета. Окончил Куйбышевский авиационный институт имени академика С. П. Королева в 1976 году. Область научных интересов: динамика спуска космических аппаратов в атмосфере, механика твердого тела, динамика и управление движением космических тросовых систем, асимптотические методы механики. ORCID: 0000-0002-0409-3107

Ледкова Татьяна Александровна - аспирант кафедры динамики полета и систем управления Самарского университета. Окончила Самарский аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева в 2012 году. Область научных интересов: динамика и управление движением тросовых систем, космический лифт, многоразовые транспортные системы.

ORCID: 0000-0002-7887-554X