Анализ простейшей модели порогового управления перегрузками SIP-сервера Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Таланова М.О.

Российский университет дружбы народов, кафедра систем телекоммуникаций, программист, matalanova@ gmail . com

Анализ простейшей модели порогового управления перегрузками SIP-сервера

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

Система, управление нагрузкой сервера, перегрузка SIP-сервера. АННОТАЦИЯ:

В статье построена и проанализирована система с гистерезисным управлением нагрузкой SIP-сервера, которая использует один порог для управления перегрузками. Получены значения характеристик времени возврата из множества состояний перегрузки во множество состояний нормальной нагрузки - среднего и 95% квантили, для этих характеристик решена задача минимизации относительно выбора значения порога. Введение

Пороговое управление нагрузкой позволяет избежать частых перегрузок SIP-сервера. Одним из способов управления перегрузками SIP-сервера [1] является гистерезисное управление нагрузкой, предложенное, напр., в [2].

Математическая модель SIP-сервера с гистерезисным управлением нагрузкой

Процесс обработки сообщений SIP-сервером можно описать с помощью системы массового обслуживания M|M|1|L|B с конечной очередью размера B и гистерезисным управлением нагрузкой c порогом L, L = l,B которая показана на рис. 1.

В L

X fs.it)

; п

Рис. 1. Система с гистерезисным управлением нагрузкой

На систему поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью А, время обслуживания заявки на приборе имеет экспоненциальное распределение с параметром ц. При поступлении на обслуживание заявка сохраняет за собой место в очереди, дисциплина выбора заявок из очереди на обслуживание FCFS. Система может функционировать в одном из двух режимов: режиме нормальной нагрузки (5=0) и режиме перегрузки (5=1). В режиме нормальной нагрузки при достижении длиной очереди значения

система переходит в режим перегрузки (5=1), в котором новые заявки не принимаются. Для предотвращения осцилляций интенсивность поступающего потока не восстанавливается до нормального значения А, пока длина очереди не уменьшится до порога снижения нагрузки Ь.

Состояние системы имеет вид ^,п), где - статус нагрузки, а п -

количество заявок в очереди, п=0, В. Функционирование системы описывает марковский процесс (МП) ХЩ, ^0, с пространством состояний х=хо+х 1, где хо = {(:5=0,п = 0,В-1} - множество состояний нормальной нагрузки, а Хх = { (): ^ =1, п= 1, В} - множество состояний перегрузки.

График интенсивности входящего потока, зависящей от состояния системы, представлен на рис.2. При нахождении системы во множестве хо интенсивность входящего потока заявок равна А>0. Если система находится во множестве Хх; то А=0.

У. (А .П)

о 1-1 к В-1 в п

Рис. 2. Функция интенсивности потока заявок Стационарные вероятности состояний процесса имеют вид:

рп-рб -

1 -р РБ(\~Р)

1 -р

где

Р 0,0 =

1-р-рв-1+1+рБ-1+2

1 - рв~1+1 - (В - Ь ++ (В - Ь + 1)рБ+2

и

рФ1 .

Пусть " _ матрица вероятностей переходов на

интервале [0Д) процесса ХЩ. Найдем нестационарное распределение вероятностей. Матрица Р(1:) может быть записана следующим образом:

Р(0=еА' = Е

га=0

>0,

где Л - бесконечно малый оператор МП X(t). Тогда вектор p(t) удовлетворяет уравнению

- г(0 = Р„и1г(0)-Р(/)л>0.

где начальный вектор вероятностей представлен следующим образом:

Р (О = еА* = ]Г -——, £ ^ 0.

И, О,и) = (0,0) '■ ■ (О.О.н)^(О.О).

Введем марковский процесс - усечение МП Х(Ь) с пространством

состояний Х=Х1и{(0,£-1», Пусть = - матрица

вероятностей переходов на интервале [0,1:) процесса -^(0. Найдем

нестационарное распределение вероятностей. Матрица может быть записана следующим образом:

(АО"

п=0 п\

где Л . бесконечно малый оператор МП . Тогда вектор

удовлетворяет уравнению

где начальный вектор вероятностей представлен следующим образом:

Обозначим т 1 случайную величину времени пребывания заявок во множестве Х1 перегрузки (сброса нагрузки). В математической модели она равна интервалу времени от того момента, когда МП ХЩ, достигший перегрузки, вошел во множество Хх, то есть в состояние (1,В), до момента, когда процесс вернулся во множество Х0 состояний нормальной нагрузки, то есть в состояние (0, L-1). В физической модели технической системы ^1Р-сервера) случайная величина соответствует времени

функционирования SIP-сервера в режиме перегрузки, когда управление включено и происходит просеивание входящего потока сообщений. Величина т 1 называется временем возврата во множество состояний нормальной нагрузки [3].

Функция распределения случайной величины Т1 имеет вид

= ¿(о,£-1) (Обозначение 95% квантили случайной величины находится следующим образом:

^(0 = 0.95.

Получены формулы для расчета следующих вероятностно-временных характеристик системы. Вероятность потери заявки, соответствующая вероятности того, что SIP-сервер перегружен и не принимает сообщения на обработку:

(1)

Средняя длина очереди, соответствующая среднему числу сообщений, ожидающих начала обработки SIP-сервером:

5-1 Б

АС? - Е кра „ + Е и ■

н=0 п=Ь (2)

Среднее время пребывания системы во множестве состояний перегрузки, соответствующее среднему времени функционирования SIP-сервера в режиме перегрузки, когда управление включено:

Мт{ =/1~1 (В-1 + 1). ^

Среднее время от момента попадания системы во множество состояний нормальной нагрузки до момента следующего попадания системы в это же множество, соответствующее среднему времени цикла управления SIP-сервера:

Мт\

Мт =-— .

') (4)

Коэффициент вариации случайной величины т 1 :

Сог =

1

Мгновенное среднее числа заявок в системе в момент времени V.

Б-1 В

«(')=£ т ,п (0 + £ щ,п (0 ■

и=0 и=1

(5)

(6)

По формулам (1)-(5) для исходных данных В=100, L=86, р=1.2, ц=200 с-

1

получены следующие результаты:

) —0.166667, МО= 88, А'/т^ —0.075 с, Мт =0.45 с,

Со\т{ =0.25 8199.

На рис. 3 представлен полученный по формуле (6) график мгновенного среднего числа заявок в системе в зависимости от времени

Рис. 3. Мгновенное среднее числа заявок п(Ь) в системе

Задачи оптимизации параметров управления

Одной из основных задач при управлении перегрузками SIP-сервера

является минимизация времени пребывания сервера в состоянии перегрузки. Однако при этом следует учитывать, что вероятность потери сообщений не должна превышать определяемый международными стандартами уровень у 1, а цикл управления не должен быть слишком коротким (меньше, чем у2) во избежание частого переключения управления. Таким образом, сформулированы две задачи оптимизации:

5. минимизировать среднее время возврата из множества состояний перегрузки во множество состояний нормальной нагрузки относительно выбора порога £ так, чтобы выполнялись требования /?1 - Я2\

МТу ( Х) —> шш;

т-р(х1)<п-

К2 :Мт > у2,

6.минимизировать значение 95% квантили величины относительно выбора порога £ так, чтобы выполнялись требования /?1 - Я2\

тт;

К1\Мт>у2.

Задачи оптимизации решены для У1 =0.2, Уг =0.45 с, получены следующие результаты:

1. 1(86)=0.075 с, то есть минимальное время 0.075 секунды пребывания системы в состоянии перегрузки достигается при значении порога ¿=86.

2. т°'95(86)= 0.10944, то есть минимальное время, через которое с вероятностью 0.95 система выйдет из состояния перегрузки, составляет 0.10944 секунды и достигается при том же значении порога ¿=86.

Рис. 4. Функция распределения

Функция распределения случайной величины времени пребывания системы во множестве состояний перегрузки, необходимая для решения задачи оптимизации значения 95% квантили величины , для =86 построена

на рис. 4.

Из графика на рис. 4 видно, что с вероятностью 0.95 время пребывания системы M|M||86| 100 во множестве состояний перегрузки не превышает 0.10944 с, но через 0.16 секунд после начала пребывания в таком множестве состояний с вероятностью 1 система вернется во множество состояний нормальной нагрузки. Заключение

Принятые в настоящее время стандарты и целый ряд научных публикаций не дают подробного анализа порогового управления перегрузками SIP-сервера. В данной статье приведен пример расчета наиболее актуальных вероятностных параметров качества функционирования системы с гистерезисным управлением перегрузками.

Литература

1. Rosenberg J., Schulzrinne H., Camarillo G. et al. SIP: Session Initiation Protocol // RFC 3261. -2002.

2. Абаев П.О., Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е. Гистерезисное управление нагрузкой в сетях сигнализации // «Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика».» - М.: Изд-во РУДН. - 2011. - №4. 55-73 с.

3. Ю.В. Гайдамака, М.О.Таланова Построение системы с однопороговым гистерезисным управлением для анализа управления перегрузками SIP-сервера // Сборник трудов Всероссийской научной конференции «Современные тенденции развития теории и практики управления в системах специального назначения», 15 мая 2013 г. - 33-34 с.