CC BY
43
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2007, том 50, №6
ТЕХНИКА
УДК 624.024
И.Каландарбеков
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ НА ОСНОВЕ РАСЧЕТА С УЧЕТОМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ
МГНОВЕННОГО ИМПУЛЬСА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И. Илоловым 19.12.2007 г.)
Расчет с учетом пластических деформаций основан на нелинейных диаграммах деформирования, что приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, точное решение которых невозможно. Для выполнения динамического расчета с учетом неупругой работы конструкций необходимо выбрать математическую модель и исследовать ее методами теории нелинейных колебаний. Поскольку принцип суперпозиции неприменим в неупругой стадии работы, объем вычислений существенно возрастает. Следовательно, разработка численных методов расчета сооружений на сейсмостойкость за пределом упругости является актуальной проблемой.
В данной статье исследуется свободные колебания систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций на основе билинейной диаграммы при различных значениях коэффициента упрочнения. Рассмотрим свободные колебания многоэтажной рамы, масса которой сосредоточена на уровнях перекрытий. Предполагается, что плиты перекрытия бесконечно жесткие и здание деформируется по форме сдвига, так что боковые перемещения здания определяются только изгибом колонн при нулевых поворотах узловых сопряжений [1].
Восстанавливающая сила в предположении, что свойства рассматриваемой системы характеризуются законом линейного упрочнения [2, 3], записывается в виде
('-1)/2
/, = *,{(1-Д)Ду, + М(-1)|';-"'2ДУп-М(1 -Л) £ (АУ, 2,-АУ, 2,-1)-
X X X X
,=1
V, /2
- Л С1 - Д)£(Д у,, 2,-д у,, 2,-1)}. > 1=1,2,3 • • •,п,
,=1 х х
где к = (12Е1 /13) —коэффициент приведенной изгибной жесткости, I - суммарный момент инерции колонн этажа ,, I - высота этажа, ' =0, 1, 2, 3, ..., N - номера точек на диаграмме деформирования элементов конструкции г-го этажа; ' = 2, 4, 6, 8,...,N - номера точек на диаграмме деформирования, соответствующие полной разгрузки, т.е. при значении /, = 0 ; Д у = у - у_1, Д уп - приращения перемещений, соответствующие предела упругости
в точке " = 1; А_у 2 , Ауг- 2 х - приращения перемещений при четных и нечетных значениях
X ’ -1 X ’
параметра "; Д - постоянный коэффициент, принимающий значения 0 или 1 в зависимости от того в какой зоне диаграммы находится колебательный процесс; в зонах с начальным четным числом -0, 2, 4, ... , Д = 0, а в участках с нечетным начальным числом - 1, 3, 5, ... ,
Д = 1:
Г 0 при V = 0, 2, 4,...
Д [ 1 при " = 1, 3, 5,...,
Д = 1 - кг / к. - коэффициент упрочнения, ку = - коэффициент жесткости в зоне упроч-
нения, кг = tga0 - коэффициент жесткости в упругой зоне.
При " -2 разности под знаком суммы в выражении восстанавливающей силы ^ дают величину остаточной деформации после " /2 полуцикла колебания. При Д = Д =0 из (1) получим восстанавливающую силу = кг А у, соответствующую упругой реакции системы.
Условие перехода от одной зоны к другой по диаграмме деформирования в нечетных точках ( V = 1, 3, 5,...) могут быть записаны следующим образом [4]
А УЩ = А у,.,- + (-1)"-1)'2 А ут, (2)
X 1 X 1 X
где А уу_х- приращение перемещения в момент времени, когда восстанавливающая сила об-
X , "
ращается в ноль; А у т - наибольшая упругая относительная деформация, после которой дви-
X ,
жение переходит в зону (1 -2) - упрочнения билинейной диаграммы или- идеальной пластичности диаграммы Прандтля. Например, при = 1 из (2) получим А уп =А ут, а при
X , X ,
" = 3,5
А Уг ,3 = А Уг ,2 - А Уг ,Т , А Уг ,5 = А У і ,4 + А У і ,Т .
X XXX XX
Согласно предлагаемому алгоритму численного решения, при заданном значении А ут и получаемом результате остаточной деформации, прогнозируется положение точки
X ,
V = 3 и соответствующая восстанавливающая сила /і.
В четных точках диаграммы ( V = 2, 4, 6,...) условием перехода является равенства нулю приращение скорости
А А V 0) = Уг ^ (*)- й-и, (*) = 0. (3)
Последовательное и поочередное использование условий (2) и (3) позволяют определять точки V, = 1, 2, 3, 4, ... , на диаграмме деформирования.
Таким образом, согласно предлагаемому алгоритму, последовательность динамического расчета систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций сводится к следующему.
1. Исходные данные.
2. Формирование матрицы массМ и вычисление её обратной М 1.
3. Формирование вектора внешних воздействий.
4. Формирование матрицы начальной жесткости.
5. Формирование матрицы жесткости К с учетом нелинейной работы конструкции.
6. Вычисление обратной матрицы А = К 1.
7. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц А и К .
8. Выбор шага интегрирования в зависимости от основного периода собственных колебаний.
9. Формирование матрицы затухания.
10. Вычисление вектора ускорений из уравнения равновесия.
11. Формирование матрицы динамической жесткости и вектора свободных членов.
12. Итерационное решение системы уравнений и определение вектора приращение перемещений.
13. Вычисление векторов приращения скоростей и ускорений, соответствующие моменту времени конца интервала.
14. Определение векторов абсолютных перемещений, скоростей и ускорений, соответствующих моменту времени конца интервала.
15. Формирование векторов приращения перемещений, скоростей и ускорений по оси X .
16. Вычисление вектора ускорений из общего уравнения равновесия в конце шага интегрирования.
17. Выполнение условия перехода из одной зоны деформирования в другую зону.
Особенность предлагаемого алгоритма численного решения динамической задачи системы со многими степенями свободы состоит в том, что из единой системы дифференциальных уравнений получена единая система алгебраических разрешающих уравнений с изменяющимися во времени матрицами жесткости и затухания. Разработанная программа позволяет управлять динамическим процессом, в зависимости от наступления предельного состояния в тех или иных конструктивных элементах здания.
Численные эксперименты, проведенные для системы с шестью степенями свободы, показали, что свободные колебания от действия мгновенного импульса, приложенного ко всем массам, происходят таким образом, что если упругопластические свойства системы подчиняются билинейному закону, то после первой разгрузки появляются пластические деформации обратного знака [4].
В качестве примера рассмотрим шестиэтажную раму под действием мгновенного импульса = £2 = ....^6 = 10 кН• с2/см. Характеристики задачи: сосредоточенные массы
т = т = ....т6 = 400 Н• с2/см, жесткость этажей к = к2 = . . к6 = 4.885 •Ю5Н/см. В табл. 1 представлены результаты динамического решения свободных колебаний без учета сил затухания при коэффициента упрочнения Д = 0.5 . За критерием перехода в пластическое состояние принимается условие достижения относительного перемещения на уровне перекрытия определенного значения. В данном примере принято условие А ул = А у;тах = 0.5022 см,
X X ,
где Аугтах - максимальное относительное упругое перемещение. Как следует из анализа ре-
X ,
зультатов в момент времени t = 0.029 с на первом этаже возникает предельное упругое перемещение равное 0.5022 см и начинается фаза пластических деформаций в зоне 1-2, в момент времени t = 0.255 с эта фаза заканчивается, что соответствует минимальному значению приращения скорости Аух =-0.004520 см / с. Далее наступает фаза разгрузки 2-3 и в момент
X
времени t = 0.265 с она заканчивается. Условие перехода из зоны 2-3 в зону 3-4 определяется из зависимости Ау.г = Ау.г + (-1)" 1/2. Ауп, что для элементов первого этажа соответст-
X " X "-1 X
вует величине А у = -0.3080 см. Для элементов второго этажа фаза пластических деформа-
X
ций в зоне 1-2 наступает в момент времени t = 0.161 с что соответствует предельному приращению перемещений Ау2 = -0.5068 см. В момент времени t = 0.198 с , эта фаза заканчива-
X
ется, что соответствует минимальному значению приращения скорости А у = -0.09802 см/ с .
X
Наступает фаза разгрузки 2-3 и в момент времени t = 0.252 с она заканчивается. При этом элементы первого этажа ещё находятся в фазе пластических деформаций в зоне 1-2. В момент времени t = 0.265 с , на первом этаже наступает зона разгрузки 2-3. В момент времени t = 0.210 с третий этаж входит в пластическую зону 1-2. В момент времени t = 0.252 с, который соответствует минимальному значению приращения скорости Ау2 =-0.005446 см/с третий этаж переходит в зону разгрузки 2-3. Далее наступает фаза
X
разгрузки 2-3 для элементов первого этажа и в момент времени t = 0.272 с она заканчивается. Относительно продолжительное время деформации элементов первых, вторых и третьих этажей остаются в зоне разгрузки 2-3. При этом элементы четвертого, пятого и шестого этажей продолжают деформироваться в упругой стадии. Для четвертого этажа в момент времени t = 0.289 с наступает предельное состояние перехода в пластическую зону 1-2, элементы шестого этажа входят в пластическую зону в момент времени t = 0.324 с , а элементы пятого этажа только при t = 0.373 с, переходят в зоне пластических деформаций 1-2. При приращении скорости Ау5 =-0.0006295 см / с начинается фаза разгрузки 2-3.
Таблица 1
Результаты упругопластического расчета без учета затухания
при Яі = 0.5 и Л? = 0.001 с элементов 1-го этажа
КТ ^1 Л у, см X ЛЛ Уі ? X Л у, см/с X У1, см І1, кН Т, с
29 1 0.5022 0.5761-10 2 5.335 0.5022 552 0.5052
153 2 0.9489 0.3093 -10 4 - 0.76 -10-3 0.9489 797.4 0.5786
161 2 0.9068 - 0.9600 -10 2 -10.17 0.9068 751.2 0.5052
198 2 0.07507 -0.01172 -10.90 -0.07507 -163 0.5655
210 2 0.1814 0.02464 25.73 0.1814 -46.09 0.5652
229 2 0.7216 0.01580 14.34 0.7216 547.7 0.5548
252 2 0.2382 -0.04458 -44.78 0.2382 16.29 0.5052
255 2 0.1028 -0.04523 -45.20 0.1028 -132.5 0.5655
265 3 -0.3080 -0.03494 -33.99 -0.3080 -568.0 0.6100
268 3 -0.4027 -0.02986 -28.99 -0.4027 -620.0 0.6714
272 3 -0.5037 -0.02239 -21.40 -0.5037 -675.5 0.6320
279 4 -0.5729 - 0.2989 -10-3 1.207 -0.5729 -560.4 0.5786
289 4 -0.4076 0.02703 27.74 -0.4076 -378.6 0.5052
295 4 -0.2299 0.02986 29.63 -0.2299 -183.4 0.5413
308 4 0.01359 0.4382 -10 2 2.969 -0.01359 84.23 0.5052
324 4 -0.2447 -0.02817 -28.41 -0.2447 -199.6 0.5548
341 4 -0.5890 - 0.4511 -10 2 -3.188 -0.5890 -578.1 0.5591
342 4 -0.5909 - 0.1852 -10 2 -0.5154 -0.5909 -580.2 0.5101
350 4 -0.5142 0.01758 -18.53 -0.5142 -495.9 0.5052
373 4 -0.1189 - 0.2848 -10 2 -4.329 -0.1189 -61.42 0.5413
375 4 -0.1335 - 0.8769 -10 2 -10.24 -0.1335 -774.4 0.5600
399 4 -0.7490 -0.02154 -20.28 -0.7490 -803.4 0.5249
455 4 -0.8863 -0.03273 -32.06 -0.8863 -904.9 0.5052
460 4 -1.021 -0.02187 -20.41 -1.021 -1052 0.5249
488 4 -0.2730 0.05083 -50.22 -0.2730 -230.8 0.5052
500 4 0.1329 0.01369 -11.53 0.1329 215.4 0.5101
579 4 1.324 0.2108 -10 2 0.1941 1.324 1525 0.5101
603 4 0.5907 -0.04495 -44.95 0.5907 718.5 0.5101
Относительно долгое время деформации элементов второго и четвертого этажа оста-
ются в зоне загрузки 3-4 и только в момент времени t = 0.783 с наступает фаза 4-5, когда третий этаж находится во втором цикле разгрузки.
Следует отметить, что в течение рассматриваемого процесса колебаний основной период его менялся в пределах Т = 0.5052.......0.6320 . Скорость колебаний этажей колеблется в
пределах: первого этажа с 5.335 см/с (в момент времени t = 0.029 с ) до - 0.000760 см/с; второго этажа с 15.59 см/с (в момент времени t = 0.153 с) до -0.0009802 см/с; третьего этажа с 7.152 см / с (в момент времени t = 0.342 с ) до 0.0001251 см/ с; четвертого этажа с - 9.187 см/ с (в момент времени t = 0.198 с ) до - 0.0001071 см/с; пятого этажа с 9.554 см / с
(в момент времени t = 0.252 с ) до - 0.001259 см / с и шестого этажа с - 9.959 см/ с (в момент времени t = 0.295 с ) до 0.0004120 см / с.
Максимальные абсолютные перемещения этажей составляют: у = 1.324 см (при t = 0.579 с ), у = 1.442 см (при t = 0.198 с ), у = 1.878 см (при t = 0.153 с ), у = 2.316 см (при t = 0.153 с), у =-3.126 см (при t = 0.375 с ) и у =-3.149 см (при t = 0.399 с ). Получены следующие максимальные восстанавливающие усилия: ^ = 1525 кН (при t = 0.579 с ), ^ =-2779 кН (при t = 0.500 с ), = 2125 кН (при t = 0.375 с ), ^ = 1415 кН (при
t = 0.579 с ), ^ = 1613 кН (при t = 0.488 с ) и = 1565 кН (при t = 0.460 с ), где
у, у г, у, У, у, у, ^^^^^ - соответственно максимальные абсолютные перемещения и максимальные восстанавливающие усилия соответствующих этажей.
В табл. 2 приведены результаты динамического упругопластического расчета свободных колебаний при Д = 0.9 . Из упругого расчета зданий получили А у тх = -0.5022 см.
X ’
Как видно из табл. 2 на первом этаже в момент времени t = 0.029 с начинается фаза пластических деформаций в зоне 1-2 также, как при Д = 0.5 (см. табл.1). В момент времени t = 0.229 с эта фаза заканчивается, что соответствует минимальному значению приращения скорости А у = -0.06950 см/ с . При t = 0.239 с , второй этаж входит в пластическую зону 1-2
X
и в момент времени t = 0.286 с эта фаза заканчивается. Далее наступает фаза разгрузки 2-3, и в момент времени t = 0.346 с она заканчивается. При этом относительно долгое время деформация элементов первого этажа остаются в зоне 1 -2 и только в момент времени t = 0.315 с , наступает фаза разгрузки 2-3, и в момент времени t = 0.350 с эта фаза заканчивается. При t = 0.283 с, третий этаж и при t = 0.346 с , четвертый этаж входят в зону пластических деформаций. Условие перехода из зоны 2-3 в зону 3-4 для первого этажа соответствует величине А у = 1.749 см, а для второго этажа А у = 4.104 см. Относительно продолжитель-
X X
ное время деформации элементов первых и вторых этажей остаются в зоне 3-4. Как видно из таблицы 4 второй этаж быстрее чем первый входит в зоне 4-5, что соответствует t = 0.431 с . Первый этаж заканчивает первый цикл лишь в момент времени t = 0.492 с . Третий этаж при t = 0.355 с переходит в зоне разгрузки 2-3 и в момент времени t = 0.390 с переходит в зону 34 и долгое время остается в этой зоне и только в момент времени t = 0.460 с наступает фаза загрузки 4-5. В момент времени t = 0.496 с для элементов третьего этажа начинается второй цикл загрузки 5-6. Элементы четвертого, пятого и шестого этажа до конца первого цикла остаются в зоне пластических деформаций 1-2.
Таблица 2
Результаты упругопластического расчета без учета затухания
при Д = 0.9 и Аt = 0.001 с элементов 1-го этажа
КТ ^1 Л У1. X см ЛЛ У1 ? X Л у. см/с X У1. см І1 . кН У0,1. см Т. с
0.029 1 0.5022 0.5761-10 2 5.335 0.5022 552.0 0.000 0.5052
0.229 2 3.117 0.1125 -10-3 -0.0695 3.117 839.6 2.353 1.006
0.239 2 2.730 -0.07089 -74.02 2.730 414.1 2.353 0.5052
0.283 2 -2.404 -0.03771 -33.68 -2.404 -5229 2.353 0.9173
0.286 2 -2.468 -0.01315 -9.009 -2.468 -5299 2.353 1.145
0.294 2 -1.808 -0.1393 117.8 -1.808 -4662 2.353 0.8565
0.315 3 1.749 0.1594 156.8 1.749 -563.2 2.353 1.145
0.345 3 5.474 0.07998 78.10 5.474 6017 2.353 1.424
0.346 3 5.544 0.06938 60.66 5.544 -146.1 2.353 0.9173
0.350 3 5.755 0.04708 45.12 5.755 -122.8 2.353 1.372
0.352 4 5.797 0.8390 -10 2 -3.792 5.797 -219.7 5.997 1.142
0.355 4 5.614 -0.09859 -117.0 5.614 -420.7 5.997 0.788
0.390 4 -3.144 0.09214 109.6 -3.144 -10050 5.997 1.045
0.392 4 -2.858 0.1601 176.6 -2.858 -9731 5.997 0.7880
0.398 4 -1.290 0.3223 332.1 -1.290 -8009 5.997 0.5052
0.423 4 4.099 -0.1464 -166.1 4.099 -2085 5.997 0.6846
0.431 4 1.668 -0.4062 -417.3 1.668 -4757 5.997 0.5052
0.435 4 -0.0821 -0.4437 -444.4 -0.0821 -6681 5.997 0.9137
0.453 4 -6.805 -0.2457 -235.0 -6.805 -14070 5.997 0.9383
0.464 4 -7.811 0.1008 129.4 -7.811 -15180 5.997 0.5052
0.461 4 -7.940 -0.05654 -43.95 -7.940 -15320 5.997 0.9173
0.496 4 6.658 0.1110 83.29 6.658 726.8 5.997 0.8565
0.499 5 6.655 -0.05740 -85.52 6.655 569.1 5.997 0.8565
0.528 5 -5.411 -0.4049 -391.5 -5.411 -757.0 5.997 1.203
0.539 6 -7.650 -0.0130 7.152 -7.650 -1003 5.997 1.203
Из анализа результатов упругопластического расчета следует, что:
1) начало время перехода в зоне пластических деформаций 1-2 для Д = 0.5 имеет место при t = 0.153 с, а для Д = 0.9 при t = 0.229 с . При обоих параметрах коэффициента упрочнения зона пластических деформаций наступает в элементах первого этажа.
2) при Д = 0.5 больше количество этажей входят во втором цикле разгрузки чем при Д = 0.9 .
3) период основного тона колебаний при Д = 0.9 в два раза больше чем при Д = 0.5.
4)значения приращений перемещений, например для первого этажа при Д = 0.5 в зоне 1-2 А у = 0.9489 см , а при Д = 0.9 для этой же зоны А у = 3.117 см, что примерно в 3.5 раз
X X
больше.
Из сравнения результатов следует, что с увеличением коэффициента упрочнения Д
значительно увеличиваются остаточные деформации и при t > 0.355 с происходит резкое возрастание приращения скорости. Примерно в три раза возрастает восстанавливающая сила второго и в два раза восстанавливающая сила третьего и четвертого этажа. Период основного тона свободных колебаний системы возрастает от Т = 0.5052 с в упругой стадии до Т = 1.424 с , на отрезке времени 0.283 с < t < 0.345 с . Следовательно можно отметить, что с увеличением коэффициента упрочнения уменьшается динамическая реакция системы.
Таким образом, на основе полученных результатов можно заключить, что разработанная методика численного решения задачи по расчету многомассовой системы даёт возможность исследовать динамическое поведение здания с учетом упругопластических деформаций при различных значениях коэффициента упрочнения с использованием единой обобщенной системы уравнений.
Предлагаемый алгоритм расчета может быть реализован для решения задач теории сейсмостойкости при воздействии в виде мгновенного импульса. Разработанная программа позволяет проводить исследования различных динамических моделей многоэтажных зданий.
Хорогский государственный университет им. М. Назаршоева Поступило 19.12.2007 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1975. 320с.
2. Дарбинян С.С. О поведении сооружений под сейсмическими воздействиями за пределом упругости// Бюллетень по инженерной сейсмологии, 1973. №8. С. 80.. .85.
3. Хачиян Э.Е., Амбарцумян В.А. Динамические модели сооружений в теории сейсмостойкости. М.: Наука, 1981. 204с.
4. Основы теории сейсмостойкости зданий и сооружений /Под редакцией К.С. Завриева, А.Г. Назарова и Г.Н. Карцивадзе - М.: Стройиздат, 1970. 224с.
И.Каландарбеков
ТАХ,ЛИЛИ РАФТОРИ БИНОХ,ОИ БИСЁРОШЁНА ДАР АСОСИ ^ИСОБ КАРДАН БО БА^ИСОБГИРИИ ДЕФОРМАТСИЯ^ОИ ЧАНДИРИПЛАСТИКЙ ДАР ЗЕРИ ТАЪСИРИ ЦУВВА^ОИ ЛА^ЗАГЙ
Дар мак;ола лаппиши озоди система бо дарачахои озоди бисёр бо бахисобгирии деформатсияхои чандирипластикй дар асоси диаграммаи духатта бо к;имматхои хархелаи коэффициенти мустахкамкунй дида баромада шудааст. Инчунин тадк;ик;от ои-ди лаппиши озоди рамаи бисёрошёна, ки массааш дар сатхи болопуш чамъшуда, гуза-ронида шудааст.
I.Kalandarbekov
ANALYSIS OF LEADING OF MULTISTORIED BUILDINGS ON THE BASIS OF ESTIMATION AND CALCULATION OF ELASTRIC DEFORMATION ON THE ACTION OF INSTANT IMPULSE
The press vibration of the systems with multidegreed press with an account of the elastric deformation on the basis of the billinane diagrams through variety meanings of coefficient strengthening is investigated in the article.
Pressed vibration of the multistoried frame the mass of which is concentrated on the levels of recover is submitted for consideration.
