CC BY
2966
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 629.7.05
АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ МЕТОДОМ ВАРИАЦИЙ АЛЛАНА
В.В. Матвеев, М.Г. Погорелов
Рассматриваются различные погрешности микромеханических гироскопов. Поясняется сущность определения неизвестных параметров случайных погрешностей гироскопов с помощью вариаций Аллана.
Ключевые слова: вариации Аллана, микромеханический гироскоп, анализ погрешностей.
По своим измерительным свойствам микромеханические гироскопы (ММГ) являются датчиками угловой скорости. Погрешность ММГ- характеристика гироскопа, количественно выражающая отклонение номинального значения измеряемой угловой скорости от ее истинного значения. Первостепенными погрешностями ММГ являются погрешность коэффициента преобразования (нестабильность масштабного коэффициента) и смещение (дрейф) нуля (рис. 1).
Погрешности коэффициента преобразования связаны с его изменением (дрейфом) в процессе работы гироскопа. Обычно погрешность коэффициента преобразования задается в процентных долях от его номинального значения.
Смещение нуля - показание гироскопа, отличное от нуля, при входной угловой скорости, равной нулю. Равенству нулю угловой скорости соответствует случай установки прибора на неподвижном основании таким образом, когда угловая скорость суточного вращения Земли перпен-
дикулярна измерительной оси гироскопа. Погрешность смещения нуля e представляют в виде суммы систематической eS (Systematic Error) и случайной eR (Random Error) составляющих:
e = e s + e r . (1)
Рис. 1. Погрешности гироскопов: а - смещение нуля; б - погрешность коэффициента преобразования
Значение систематической погрешности остается постоянным или закономерно изменяющимся при повторных измерениях и преобразовании угловой скорости. Случайные погрешностиизменяются случайным образом при повторных измерениях и преобразовании угловой скорости (рис. 2).
Рис. 2. Систематическая и случайная погрешность
Причина возникновения смещения выходного сигнала в ММГ вызвано воздействием возмущающих сил (моментов) на подвижные части гироскопа и разбалансом электронных узлов, систем съема и обработки информации.
Для анализа случайных погрешностей гироскопов широко применяют:
спектральную плотность мощности (Power Spectral Density (PSD)); вариацию Аллана (Allan Variance (AVAR)) [4, 5, 6]. Спектральная плотность мощности S(w) определяется как двухстороннее преобразование Фурье от корреляционной функции K (t)
с —2
S(w) = J K(t)e~jwtdi
ед
Гц
(2)
и характеризует распределение мощности случайного сигнала по частотам.
Вариация Аллана - это метод анализа временных последовательностей для определения характеристик шумов в функции усредненного времени. Метод, развитый для оценки нестабильности часов в спутниковых навигационных системах, с успехом применяется с целью анализа шума для других систем, в том числе и для микромеханических гироскопов.
Вариация Аллана определяется следующим образом. Берется запись выходного сигнала гироскопа га(0, включающая М отсчетов, каждый из которых имеет длительность Т0. Длина записи соответственно МТ0. Далее определяется угол, накопленный в результате интегрирования выходного сигнала гироскопа ю(?) в течение т отсчетов
тТо
О,
= J w(t)dt. (3)
' m
0
Вариация Аллана рассчитывается по следующей формуле [5]:
M - 2n
72 (0m+2n — 20m+n + 0m)
1 m — 2n
°2(nTo) =1(M 1 V т,2 X (0m+2n — 20m+n + Om )2 (4)
2( M — 2n)(nTo) m=i
для n = 1,2,3,...,nmax £ (M — l)/2.
Чаще определяется не вариация Алана, а отклонение Аллана (Allan Deviation (AD)) s(nT0) как корень квадратный из вариации Аллана. Затем строится график отклонения Аллана, причем по оси абсцисс откладывается десятичный логарифм среднего времени t = nT0, а по оси ординат - десятичный логарифм отклонения Аллана. Далее осуществляется анализ наклонов различных участков кривой отклонения Аллана, по которым судят о присутствии всевозможных составляющих погрешности ММГ.
Систематические погрешности
Систематическую погрешность смещения нуля представляют, в свою очередь, следующим образом:
es =eSB + eSA, (5)
где eSB - основная (Basic) систематическая погрешность; eSA - дополнительная (Additional) систематическая погрешность.
125
Основная систематическая погрешность данного гироскопа, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра гироскопа этого же типа, вследствие чего для группы однотипных гироскопов основная систематическая погрешность может рассматриваться как случайная погрешность, постоянная в данном запуске.
Постоянная систематическая погрешность возникает после включения гироскопа и может быть описана случайной величиной с нулевым
средним и дисперсией а 5. Постоянное смещение подчиняется очевидному
дифференциальному уравнению
е sв = 0. (6)
Постоянное смещение нуля оценивается в процессе проведения калибровки и исключается из показаний гироскопа при его функционировании.
Если в выходном сигнале гироскопа присутствует синусоидальная погрешность Asm(2ftf0t) (А, амплитуда и частота соответственно), то она может быть выявлена по вариации (отклонению) Аллана (рис. 3).
Рис. 3. Отклонение Аллана синусоидального сигнала
Если определение амплитуды и частоты по спектральной характеристике является очевидным, то расчет этих же параметров по отклонению Аллана производится следующим образом. Определяется максимальное значение кривой отклонения Аллана а0 и находится соответствующее для
него значение среднего времени т0. Тогда амплитуда и частота рассчитываются так [6]:
А = —^ » 0,01 рад/с, 0,725
^ =
0,371
5 Гц.
т
0
Величины 0,725 и 0,371 являются фиксированными.
Дополнительные погрешности гироскопов вызываются его чувствительностью к изменению внешних факторов (Environment). К дополнительному дрейфу нуля гироскопов относят:
- чувствительность к ускорениям eSAaa, где eSAa - коэффициент
чувствительности гироскопа к ускорению относительно соответствующей оси, (рад/с)/(м/с2) или (рад/с)/§7 а - ускорение, м/с2.
- чувствительность к изменению температуры eSAtAt, где eSAt - коэффициент чувствительности гироскопа к изменению температуры; (рад/с)/К или (рад/с)/°С; At - величина отклонения температуры от нормальной K, °C;
- чувствительность к вибрациям eSA vv, где eSAv - коэффициент чувствительности гироскопа к частоте вибрации, (рад/с)/(с-1) или (рад/с)/Гц; v - частота вибрации, с-1, Гц
и др.
Случайные погрешности гироскопов представляют в виде
e R = eWN + eBI + eRRW,
где eWN - белый шум (White Noise); eBI - нестабильность нуля (Bias Instability); eRRW - случайное блуждание угловой скорости (Random Rate Walk).
Белый шум
Термин «белый шум» произошел по аналогии с термином белый свет, включающим электромагнитные волны на всех частотах видимого диапазона, белый шум также теоретически включает колебания сигнала на всех частотах. Теоретическая спектральная плотность мощности белого шума постоянна на всех частотах.
Выходной сигнал гироскопа подвержен различным возмущениям, например, ММГ подвержен термомеханическому шуму, который вызывает флуктуации угловой скорости, которые могут быть гораздо больше, чем истинная скорость датчика. Если сигнал гироскопа принимается в дискретные моменты времени длительностью T0, то шум гироскопа может быть описан белой последовательностью (дискретным белым шумом) с нулевым средним M[eWN ] = 0. Причем белая последовательность в отличие
от непрерывного белого шума имеет конечную дисперсию с2т.
Рассмотрим эффект интегрирования сигнала гироскопа на основе элементарного анализа при интегрировании методом прямоугольников. Итак, гироскоп находится на неподвижном основании, его выходной сигнал eWN (k) {k=0,1,...,} представляет белую последовательность с нулевым средним
M[eWN (k)] = M[eWN] = 0,
и дисперсией
2
= ] = ,
где М,В - символы математического ожидания и дисперсии.
Белая последовательность, характеризуется тем, что любые два ее значения независимы:
Ы[гш(1)гш(к)] = Ъ1к для любого ¿и к,
где 81к - символ Кронекера (81к = 1, если 1 = к, и 81к = 0, если 1Фк).
Результат использования метода прямоугольников при интегрировании белого шума на временном интервале / = тТ0 следующий:
I = Т0 X (k), (7)
0 к=1
где т - номер отсчета, полученного с гироскопа в течение периода дискретизации; Т0 - время между соседними отсчетами (период дискретизации). Используя известные формулы теории вероятностей для независимых случайных величинХ, У
М(аХ + ЬУ) = аМ (X) + ЬМ (У), ДаХ + ЬУ) = а2 Д X) + Ь2 Д У),
где а и Ь- константы, имеем М
л т
= М Т0 X гш(к)
_ 0 _ _ к=1 _
л т
В = В Т0 X гш(к)
_ 0 _ _ 1=1 _
= ТтЩеш ] = 0,
= Т02 тВ{еШЫ] = .
(8)
(9)
Следовательно, при интегрировании шума гироскопа типа белой последовательности возникает случайная погрешность в определении угла поворота объекта с нулевым средним и средним квадратическим отклонением (СКО)
СО = °шму[Т0~<:, (10)
которое возрастает пропорционально корню квадратному от времени.
Формула (10) показывает процесс накапливания среднего квадрати-ческого отклонения угла ое (/) в результате интегрирования за время /белой последовательности с временем дискретизации Т0. Например, шум гироскопа представляет собой белую последовательность с временем дискретизации 0,1 с, и СКО ат = 0,01 °/с. Требуется найти СКО погрешности угла в результате интегрирования за 1000 с. На основании формулы (10) имеем
ое(1000) = 0,01[°/с]д/0,1 [с] • 1000 [с] = 0,1°.
128
На рис. 4, а показан результат интегрирования десяти реализаций белой последовательности с СКО 0,1 °/с.
На рис. 4, б показано изменение среднеквадратического отклонения накопления угла со временем, где кривая 1 построена по формуле (10), а кривая 2 - среднеквадратическое отклонение множества реализаций, приведенных на рис. 4, а.
Обычно в технических описаниях к гироскопам используются характеристики не самого белого шума, а параметры случайного процесса, полученного в результате интегрирования белого шума. Такой случайный процесс называется винеровским случайным процессом (Wiener Random Process) или случайным блужданием (Random Walk), что в данном случае является случайным блужданием угла.
t, с t, с
а б
Рис. 4. Интегрирование белой последовательности с СКО 0,01 °/с: а - результат интегрирования десяти реализаций белой последовательности; б - изменение среднеквадратического отклонения накопления угла со временем
Для характеристики белого шума гироскопов используется величина, называемая случайным блужданием угла (Angle Random Walk (ARW)) и определяемая следующим образом [6]:
ARW =sWN4T (11)
с размерностью ра^л/с = ^^ (или °/л/с , °/л/ч ). с л/с
С учетом (11) соотношение (10) можно представить в виде
se (i) = ARWjt. (12)
Например, гироскоп Honeywell GG5300 [6] имеет ARW = 0,2°/л^. В среднем после одного часа работы стандартное отклонение погрешности ориентации se составит 0,2°, после двух часов - 0,2л/2 = 0,28° и т.д.
Другими характеристиками шума являются спектральная плотность мощности шума (PowerSpectralDensity (PSD)) (размерность (° / ч)2/ Гц, (°/с)2/Гц) или быстрое преобразование Фурье (FastFourierTransform (FFT)) (размерность (°/ч)/д/Гц, (° / с)/л/Гц ). Для того чтобы найти случайное блуждание угла по спектральной плотности шума Sили быстрому преобразованию Фурье FFT,необходимо воспользоваться следующими формулами [5, 6]:
ARW[° / Vi] = S [(° / ч)2/ Гц] ,
ARW [° /л/ч ] = — FFT 60
ч/
л/Гд
(13)
(14)
Если известны эффективная полоса пропускания гироскопа BW (Band Width) и стандартное отклонение sWN шума, то случайное блуждание угла определяется так [4]:
1
ARW [°/л/ч ] = — s2 60
WN
ч
^¡BW[Гц]'
(15)
Критерием присутствия белого шума в выходном сигнале гироскопа является наличие прямолинейного участка с наклоном -0,5 на кривой отклонения Аллана (рис. 5).
Рис. 4. Белый шум и его отклонение Аллана
По кривой отклонения Аллана легко отыскивается случайное блуждание угла, определяемое как значение отклонения Алланапри т = 1 с. На рис. 5 приведен дискретный белый шум гироскопа, имеющий дисперсию а^ = 0,0016 рад2 / с2 и поступающий с периодом дискретизации 70 = 0,01с.
На основе анализа кривой отклонения Аллана получено значение случайного блуждания угла АЯШ = 0,0041рад-л/с . Находим дисперсию белого шума по формуле (15):
2
sWN
{ ARW12 { 0,0041 рад/л/с 12
0,001681 » 0,0017 рад2/с2
лДЪ ) { л/001с Нестабильность нуля
Нестабильность нуля вызвана шумом в электронных компонентах съема и обработки информации гироскопов. Нестабильность нуля связывают с так называемым 1//-шумом или фликкер-шумом (flicker noise), имеющим спектральную плотность [6]
' Б2 1
S(w) = \w£w° (16)
1
0 w > w0,
где ю0 - граничная частота; В - коэффициент нестабильности нуля.
У 1//-шума спектральная плотность обратно пропорциональна частоте и проявляется практически у всех материалов и элементов, используемых в электронике [1, 2, 3]. 1//-шум является универсальным типом флуктуаций и проявляется не только при измерениях в электронике, но и во всерасширяющемся ряде наблюдений в самых различных сферах. Общей теории для описания 1//-шума не существует [1, 2, 3], что привело к появлению в литературе подхода, основанного на дробном интегрировании спектра белого шума. Идея интегрирования половинного порядка следующая: если белый шум м/(1) со спектральной плотностью 5(ш) = 50 проинтегрировать т раз, то образуется случайный процесс со спектральной плотностью
^=~тт^о. ю
Если считать, что 2т = 1, то
Н/2 =
ю
что и является требуемым спектром с обратной зависимостью от частоты. Условие т=1/2 соответствует интегралу половинного порядка от у/(£). Ра-дека [1, 2, 3] заключил, что если белый шум пропустить через фильтр с передаточной функцией
Н( р) = -4", (17)
Р
то флуктуации на выходе фильтра будут иметь 1/£спектр. В таком случае этот гипотетический фильтр выполняет роль интегратора дробного порядка.
Коэффициент нестабильности нуля гироскопа В выявляется по кривой отклонения Аллана, имеющей участок с нулевым наклоном (рис. 6).
Рис. 6. Нестабильность нуля и его отклонения Аллана Величина 0,664 является фиксированной при подсчете коэффициента В. Случайное блуждание угловой скорости
Случайное блуждание угловой скорости екш (RandomRateWalk) описывается винеровским случайным процессом (случайным блужданием) вида
4
"Т£ RRW = ^), от
где ц/({) - белый шум с нулевым средним М[ ц/(1)] = 0. Из (18) следует также
(18)
'RRW
I
(19)
Таким образом, случайное блуждание угловой скорости образуется как результат пропускания белого шума через интегрирующее звено 1/р (р - оператор Лапласа). Если белый шум ц/({) имеет спектральную плотность 50, то спектральная плотность случайного блуждания угловой скорости определяется так:
5
RRW
1
с = А 50 - 2 Ю
Отсюда следует, что спектральная плотность случайного блуждания угловой скорости обратно пропорциональна квадрату частоты. Случайное блуждание угловой скорости приводит к наличию прямолинейного участка с наклоном +0,5 на кривой отклонения Аллана (рис. 7).
0
2
Рис. 7. Случайное блуждание угловой скорости и его отклонение Аллана
Чтобы определить спектральную плотность белого шума wл/(i), пропускаемого через интегратор для получения случайного блуждания, необходимо найти квадрат значения отклонения Алланапри т = 3 с.
Эксперименты
В работе проводился анализ случайных погрешностей микромеханических гироскопов А£ХДО-642 (производства компании Апа^ПеуСвБ) ММГ-ЭПТРОН (производства ЦНИИ «Электроприбор, г. С.-Петербург) при помощи отклонений Аллана (рис. 8).
Рис. 8. Вариации Аллана микромеханических гироскопов
133
Прямолинейные участки кривых отклонений Аллана свидетельствуют о наличии случайной погрешности типа белого шума. Область минимума кривых Аллана характеризуют случайные вариации нулевого сигнала (нестабильность нуля). Значения случайных погрешностей микромеханических гироскопов, полученные из анализа кривых отклонения Аллана, приведены в табл. 1, 2.
Таблица 1
Значения погрешностей гироскопов ММГ-ЭПТРОН
Образец гироскопа ARW, Нестабильность нуля,
°/с^Гц °/ч^Гц °/с °/ч
Гироскоп 1 0,00489131 17,608716 0,0018 6,48
Гироскоп 2 0,00481024 16,586424 0,002 7,2
Гироскоп 3 0,00904528 32,563008 0,0027 9,72
Таблица 2
Значения погрешностей гироскопов АВХ^Б-642
Образец гироскопа ARW, Нестабильность нуля,
°/с^Гц °/ч^Гц °/с °/ч
Гироскоп 1 0,0311556 112,16016 0,0058 20,88
Гироскоп 2 0,0216534 77,95224 0,0084 30,24
Гироскоп 3 0,0348966 125,62776 0,0082 29,52
Из сравнения данных таблиц 1 и 2 можно сделать вывод, что гироскопы ММГ-ЭПТРОН имеют лучшие характеристики, по сравнению с гироскопами ADXRS-642, что позволяет прогнозировать более высокую точность работы данных гироскопов в составе системы ориентации.
Список литературы
1. Распопов В.Я. Измерительный модуль микросистемной бесплатформенной инерциальной навигационной системы / Р.В. Алалуев [и др.] // Нано- и микросистемная техника.2007. №9. С. 61-64.
2. Букингем М. Шумы в электронных приборах и системах. М.: Мир, 1986. 399 с.
3. Исследование статистических характеристик микромеханических датчиков инерциального модуля / Ю.В. Иванов [и др.] // Датчики и системы .2007. №1. С. 25 - 26.
4. Матвеев В.В., Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем. СПб: ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2009. 280 с.
5. Oliver J. Woodman. An introduction to inertial navigation // Technical reports published by the University of Cambridge. №696.2007.6
6. IEEE Std 1431-2004 Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Coriolis Vibratory Gyros, 2004.
Матвеев Валерий Владимирович, канд. техн. наук, доц., tgupu@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
ПогореловМаксим Георгиевич, канд. техн. наук, доц., tgupu@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ERROR ANALYSIS OF MICROMECHANICAL GYROSCOPES BY ALLAN VARIANCE
V.V. Matveev, M.G. Pogorelov
The various errors of micromechanical gyroscopes are considered. The entity definition unknownparameters random error of gyroscopes thought the instrumentality of Allan Variance is illustrated
Key words: Allan variance, micromechanical gyroscope, error analysis.
Matveev Valery Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, tgupu@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Pogorelov Maxim Georgievich, candidate of technical sciences, docent, tgupu@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
