Анализ пограничного слоя в задаче кручения для радиально-слоистого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3

М.Ф. МЕХТИЕВ, Н.К. АХМЕДОВ, П.М. САДЫКОВ

АНАЛИЗ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ ДЛЯ РАДИАЛЬНО-СЛОИСТОГО ЦИЛИНДРА

Решена задача кручения радиально-слоистого цилиндра, состоящего из чередующихся жестких и мягких слоев. Соответствующие им элементарные решения могут проникать достаточно глубоко и существенно менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов. Это приводит фактически к нарушению принципа Сен-Венана в его классической формулировке.

Ключевые слова: радиально-слоистый цилиндр, погранслой, спектр оператора.

Ведение. Радиально-слоистые оболочки имеют широкое применение в различных областях машиностроения. Одним из важных обстоятельств расчета таких элементов является наличие приближенных инженерных теорий. Этим обусловлено большое количество работ, посвященных этой теме, и определяется актуальность настоящего исследования. Следует отметить два подхода при построении прикладных теорий. Первый связан с введением некоторых гипотез относительно напряженно-деформированного состояния цилиндра, второй основан на асимптотическом подходе, применяемом к трехмерным уравнениям теории упругости.

В настоящей работе в рамках второго подхода решается задача кручения радиальнослоистых цилиндров и показано, что в случае чередования жестких и мягких слоев существуют слабо затухающие погранслойные решения. Соответствующие им элементарные решения могут проникать достаточно глубоко и существенно менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов. Это приводит фактически к нарушению принципа Сен-Венана в его классической формулировке.

Решение задачи. 1. Рассмотрим задачу кручения кругового радиально-слоистого цилиндра, состоящего из чередующихся жестких и мягких слоев числом п = 2г -1. Будем считать, что внутренний и внешний слои - жесткие. Каждый жесткий слой снабдим нечетным номером j = 1,3,...,п, а мягкий-четным / = 2,4,...,п -1 (порядок нумерации от центра цилиндра). Для простоты предположим, что упругие свойства всех жестких и всех мягких слоев одинаковы. Модули сдвига Gj = Gж, G1 = Gм . Внутренний и внешний радиусы k -го слоя обозначим г0к и

г1к соответственно. Пусть цилиндр занимает объем Г = {г е[г01; г1п ] <ре[0,2я-], г е[- L;L]}. За относительную характеристику жесткости примем малый параметр

Р=^.

Gж

Уравнение равновесия к -го слоя в перемещениях имеет вид [1]:

,(к)-_1_и (к) =

Аи% >-^г < != 0, (1) Р

где и^)= и^)(р,£) - компонента вектора смещений к -го слоя; р = —, £ =— - новые

, д 2 1 д д 2

безразмерные координаты; Л = —- +----------+ -

др р др дЕ,‘

Соединение слоев будем считать жестким, что означает выполнение следующих условий сопряжения:

(л,, £)=Л+1) (Ло,+1, £);

и * )(Л, ,£) = и *+1)(Ро,+1,£) где , = 1;п -1; <уЛ -компонента тензора напряжений k -го слоя.

Предположим, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений:

(2)

а

р(аи,£) = 0,а^^(1,^) = 0 . (3)

Считаем, что на торцах заданы произвольные граничные условия, оставляющие цилиндр в равновесии.

Решение (1)-(3) ищем в виде:

и?)(р£) = ук (рУ . (4)

В результате имеем спектральные задачи:

уГ(р) + — у'к (р) +

р

7

1

Л

G,

уі'(Р)- — у1 (Р) Р у

^ (р)| р = ^+і И

р ,

= G

»к (р) = 0;

(

Р01

V

и'п (р)- — »и (р) р

= 0;

G.

і'Ар)- - ”, (Р) Р

р0 І+1

= G

Б+1

рЬ

у'+1 (Р)- — ^+1 (Р) Р

(5)

(6)

(7)

(8)

р0 Б+1

Здесь к = 1, п; б = 1, п -1.

2. Изучим спектральную задачу (5)-(8) при р ^ 0 . Будем различать два случая [2-5]:

а) условие р ^ 0 эквивалентно Ом ^ 0, Ож - фиксированно;

б) условие р ^ 0 эквивалентно Ож ^ да, Ом - фиксированно.

Выделим слой с номером к и рассмотрим для него следующую вспомогательную задачу:

vк (р)=0;

1 (

ук'р) + — »'к(р)+ 7"

Р I

°к (р)1 р0к = /к, »к И = /к.

_1_

Р2 у

Решение задачи (9) имеет вид:

г (Р) = ^ ^к 111 (7Р1к, 7Р) + /к А1 (7Р0к, 7Р)].

(9)

(10)

Здесь Це (ГРф, 7Р) = Лг 7Рчк )уе (7Р) - у 7Рчк )Ле (7Р); 4Є)7) = - (7Р0к Уе (7Р1к )- Ле (7Р1к )у (7Р0к );

ґ = 0;1, ц = 0;1, Є = 0;1; Л{у -функции Бесселя первого и второго родов соответственно.

Возвращаясь к исходной задаче (5)-(8) и удовлетворяя с помощью (10) граничные условия (6) и условия сопряжения (7), (8), получаем однородную алгебраическую систему следующего вида:

а7, р)/ = А0 (7)! + РА17)/ = 0 . (11)

Здесь, учитывая /к+ = /к+1, введен 2г -мерный вектор вида:

/ = /, /1+, /з-, /3+,..., /;, /;Г

А0 (у), А1 (у) -блочные матрицы вида:

Ао =

А(1) Л0 0 0 . .. 0

0 А(3) А0 0 . .. 0

0 0 0 .. А . А

Аі =

А12 0 ... 0 0 0

А32 А14 + А42 А24 ... 0 0 0

0 0 0 .. А3,п-3 А1,п-1 + А4,п-3 А2,п-1

0 0 0 .. .0 А3,п-1 А4,п-1

А( і) _ А°} . Ао _ 41(у)'

А() А(і) А О) А()

А _ А1 . А _ А2 . А _ А3 . А _ . А4

ь' _ /Л/ ч , ^2^ (. ч , ^13. Л- )/ ч/ Л4г —

41 (у)' 2 41 (г)1

41У Г 4 "41 уу

А1) _

а11 ) у) а12 ) у) . А)_ о 0 . А( .)_ 0 0 . а( ') _ 0 - а2і) у

а21у) а22) у) . А1 _ 0 - а}1 (у) , /±2 — - а!(у) 0 ! А3 _ о 0

а4 ) _

- 4/ (у) 0

а12) (у) _ -; ап) (у) _ -[241 (у)- урок^О*! (у)1;

К

а21(у)_--; а2к2)(у)_-[241(у)-урі*4!))(у)]; 0'_ 1,3,...,п;*_2,4,...,п-1.

К

Изучим структуру спектра матрицы А (у, р) при малых р. Для этого исследуем спектр предельной матрицы А (у,о)_ А0 (у). Спектр А0 (у) является объединением спектров матричных

п

блоков, ее составляющих. Иными словами, л, (0)_ У Л (0). Здесь Лж (0) - спектр оператора

7=1,3,...

А0 (у), а Л1 (о) - спектры, соответственно, операторов А( (у), представляющих собой двумерные матрицы.

Исследуемый предельный случай А0 (у)/ = 0 (А {%=°. / = {г,-,/;}) соответствует

условию отсутствия напряжений на боковых поверхностях жестких слоев, т.е. соответствует случаю а), что эквивалентно рассмотрению г отдельных несвязанных между собой жестких слоев со свободными боковыми поверхностями.

Приравнивая определители А(;) (у) нулю, получаем:

2 и ч 2 ,Л, ^ 4

л(у)_

у

40 (у)-----------------41 (у)------------40) (у)

+-

-41 у)

_ 0.

ур1, уро, ГРо, Рц

Отсюда следует, что каждая ветвь Лj (о) состоит из простого собственного значения

Л0 = у 02 = 0 и счетного множества собственных значений, которые являются корнями уравнения:

2 и ч 2 г,-^ 4

40 (у)—41 (у)-40) (у)

+----------4! (у)_ 0. (12)

урі і ' ур01 ' у р0 і Рі і

Таким образом, спектр А0 (у) состоит из г точек Я0 _ 0 и г ветвей счетного множества собственных значений, которые являются корнями характеристического уравнения (12).

п

0

Видно, что предельный переход при р ^ 0 невозможен, если у является корнем одного из уравнений:

41 У) = 0.

Это указывает на возможность существования дополнительных ветвей у предельного спектра.

Для определения возможности существования дополнительных ветвей у предельного спектра, в случае б), рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

Р

7

Р2 у

(р)=0;

Gh

G^

»к (Р) — — Щк (Рр р

»к (Р)- — °к р) р

= Т

к

(13)

Р0к

Рік

Решение задачи (13) имеет вид:

2 С

Gk Лк (7)

\—Ти

+ Ти

2

740і (7Рік, 7Р)-----------4іі (7Рк, 7Р)

рк

2

+

740і (7Рок ,7Р)--------------4іі (7Рок ,7Р)

Р0к

(14)

Удовлетворяя с помощью (14) условия (6)-(8), получаем однородную алгебраическую систему вида:

віу, Р)т = в0 (7Т + Рві 7)т = 0 . (15)

Здесь с учетом т— = т+ = 0 и т+ = тк—+і введен в рассмотрение вектор

Т = (Т2— , Т2+ , Т4— , Т4+ ,. ..,Т——і, Т+—і У ,

где В0 (7) и Ві (7) - блочные матрицы вида:

Ві =

В(2) 0 0 . 0

В0 = 0 в(4) п0 . . 0 /

0 0 . в( п—і ) 0

Ві і + В43 3 03 0 0 0

3 3 03 Ві 3 + В45 В25 0 0

о' 0' 0 • • В3,п—2 Ві,п—2 + В4,п

Ві

(і)

________В = В = _ВІі^. В = . В = ВЦ.

Л (7) ’Віі = Л; (7); В2 і = Лі (7); Вз і = Лі (7); В4 і = Лі (7)'

вг = в3;) =

*іі)7) *і2)7) ь2і)7) *217)

0 -ь2і)7) 0 0

• в( ^ = 'п\

• в( і ^ =

,і>4 —

- ь22)7) 0 0

0

0

0 - ьі і) 7)

00

- Ьі2 ) 7) 0

2

; 6#} (7) = — Ак) (7)-74к0) (7); Рк

bl2}(у) =--(у) =-------; b«(у) = — 1$МУ!У).

nPok nP\k Pok

Обозначим спектр предельного оператора B {у,о) = В0 {у) через Лм {о), где

n-l

Лм (о)= и Л (0). Каждая ветвь Д. (о) соответствует условию отсутствия перемещений на

г=2,4,...

боковых поверхностях мягких слоев и определяется корнями уравнения:

41 (у) = о . (16)

Применяя теорию возмущений линейных операторов [6] к алгебраической системе (11), (15), сформулируем следующую теорему.

Теорема. Спектр Л р ) задачи (5)-(8) при р ^ 0 является счетным вещественным множеством и представляется в виде:

Л (р)=Ло (р) и Лн Ср) и Д!1)(р) и Д!2)(р)

где Д (р) состоит из двукратного собственного значения у0 = 0; Лн(р) состоит из 2(г -1) собственных значений вида:

Гг = Р2^ + о(Р3/2),

где ^ является ненулевым собственным значением якобиевой алгебраической системы

(17)

где

CX -rltDX = О ,

D = diag\d А, X = (Xl, Xз,..., Xn )T ;

C=

cll - -cll О .. . О О

- cll (cll + cзз) — C33 .. . О О

О О О ... — cn-2,n-2 cn-2,n-2

_ 4 4 ~ 2 2

d = plj p0^^ = 2plj pQ;+2

]] 4 ' ]] „ 2 „2

P0j+2 plj

Лу(р) состоит из г множеств собственных значений вида:

Уц = Уооц + 0(р3 ^ где у05- является корнем уравнения (12);

42)(р) состоит из (г -1) множеств собственных значений вида:

У а = Уой + 0(Р3 ),

1

где у0й - корень уравнения (16); 5 = 1, если у0^ ф ущ+1, ущ ф уЩ1, и 5 = —, если имеет место хотя бы одно из равенств:

уол = у ог^+1 ; уол = у 04-1.

Двукратному собственному значению у0 = 0 соответствует проникающее решение

и (1 = р (Е0 + ^). (18)

Допустим, что Л(р )еЛв(р). Тогда собственная функция 4 (р) имеет вид:

Ч (Р) = Ct(Ч (Р)+о(Р)),

К = РХу

_ 2 _ 2 Рм - Рої

Xt ,ї+іріі

Р

2

р0і

Р

- Xt,і-ір0і

2

Р

р

(19)

Рассмотрим некоторое собственное значение л(р ) = у е Лв(р) и соответствующий ему собственный вектор ч(р) при малых р . Здесь могут быть различные варианты.

1. Допустим, Л (0) = у0( является простым собственным значением предельной матрицы А(у,о) = А0 (у) и Л (о)е Лу (о) (у = k - нечетное).

Тогда

Ч р) = Чо& (Р) + о(р) и0(х (р)= 0, 5 Ф k -1, k, k +1;

А: (Уо Роk-1,УоР).

о,к-1 = Хй)

°0* =

41 /о )

4к-,)7о) '

Т (“К1 7 ) Уорок 40\ (7о ))^іі (Уорок ,7ор) 411 (7ор1к ,7ор)

2

7ґХ

)/ Ч411 (/ор1к+1>Хо р) ^ (/о ) 7 0 р0к401 (/0 )) .

24(*+1) (Уо)

В рассматриваемом случае главная часть собственной функции сосредоточена в пакете из трех слоев с номерами k -1,k,k +1, т.е. в этом случае собственная функция локализуется в соответствующем жестком слое и окружающих его двух мягких.

2. Допустим, у01 еЛ (о) (1 - четное)

Тогда

Чk (Р)= Чол (р) + о(р\ чо^s Р) = ° 5 Ф1 -1К1 +1;

2 Р У

y0t ,1 -1

2

7о 401 (7ороі-1, 7ор)-------411 (7ороі-1, 7о р)

роі-1

2 Р У

4 (7о )

4і-1 (7о ).

7о 401 (7о рц /ор)-— 411 (7оЛі /о рНТ(7о роі4о1 (7ороі/орУ рц 2рц

- 2411 (/0 р01, 70 р)(2411)7 ) - 70 р11410 70 ))];

,0^ ,1+1 = л ( \ (2411 У0 ) у о Р1/4 0* (у0 ) ) у0401 У0РН+1,у0 р) 411 (у0Р1+1,у0Р)

4(Уо )Ри { Ри+1

В этом случае собственная функция локализуется в соответствующем мягком слое.

k +2q

3. Допустим, у0 е ^Лк(о), (k - нечетное число).

h=k ,k+2

о

\

1

Тогда

(Р)= Чош р) + 0(Р); ио& (р)= о, 5 Ф k -1,...,k + 2д +1;

= х(1) 411 уоро--1 ,уоР).

4<Л-1) (Уо) '

Ч _____________________________

^о^,--1 - L(k-1)

X*

(1)

41У о)

■§(241п)(Уо)- УоРон4т (Уо))411 (УоРой,УоР)-411 (УоЛй,УоР)

ч = Х(1) -u0t,й+1 _ ,й+2

4" УоРГ'У" р) - д4"УоР,Г’УоР) И Уо)-Уо рой4ой> у н1;

ИГУо) 24<Й+,) (у. )

Ч,k+2q+1 = Xl,k+2q 24^+^+1)(у ) \2411 У о/ УоРо,k+2q401 V о ,

Выводы. Напряженно-деформированное состояние, соответствующее собственным значениям (17), слабо затухает при удалении от торцов цилиндра и может давать существенную поправку к Сен-Венановскому решению, что приводит к нарушению принципа Сен-Венана в его классической формулировке (назовем совокупность этих решений слабым погранслоем). Напряженно-

деформированное состояние, соответствующее верхней части спектра ЛЛр), л12)(р), локализуется в окрестности торцов и соответствует классическому принципу Сен-Венана (назовем совокупность этих решений сильным погранслоем). Таким образом, в задаче кручения радиальнослоистых цилиндров с чередующимися жесткими и мягкими слоями существуют слабо затухающие погранслойные решения.

Библиографический список

1. Лурье А.И. Теория упругости. / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

2. Устинов Ю.А. О структуре погранслоя в слоистых плитах / Ю.А. Устинов //Докл. АН СССР. - 1976. - Т.229. - №2. - С.325-328.

3. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. / Ю.А. Устинов. -Ростов н/Д, 2006. - 257 с.

4. Ахмедов Н.К. Анализ пограничного слоя в осесимметричной задаче теории упругости для радиально-слоистого цилиндра и распространения осесимметричных волн / Н.К. Ахмедов // Прикладная математика и механика. - 1997. - Т.61. Вып.5. - С.863-872.

5. Ахмедов Н.К. Анализ структуры пограничного слоя в задаче кручения слоистой сферической оболочки / Н.К. Ахмедов, Ю.А. Устинов // Прикладная математика и механика. -2009. - Т.73. Вып.3. - С.416-426 .

6. Данфорд Н. Линейные операторы. Т.1. Общая теория. / Н. Данфорд, Д.Т. Шварц. - М.: Изд-во иностр. лит-ра, 1962. - 895 с.

4 ХУ"Р)(24Й*2,)Уо)-УР.2,4'оГ-'')(Уо)).

Материал поступил в редакцию 11.11.09.

M.F. MEKHTIEV , N.K. AKHMEDOV , P.M. SADYKOV THE BOUNDARY-LAYER SOLUTION ANALYSIS

IN THE PROBLEM OF TORSION FOR THE RADIALLY-LAYERED CYLINDER

It is shown on the example of the torsion problem that in radially-layered cylinders with alternating rigid and soft layers there are poorly fading boundary-layer solutions. Elementary decisions corresponding to them can get deeply enough and change essentially a picture of the stress-strain condition far from end faces. It leads actually to infringement of Sen-Venan principle in its classical formulation.

Key words: radially-layered cylinder, boundary layer solution, operator's spectrum.

МЕХТИЕВ Магомед Фарман оглы (р. 1941), декан факультета «Прикладная математика и кибернетика», заведующий кафедрой «Математические методы прикладного анализа» Бакинского государственного университета, доктор физико-математических наук (1989), профессор 1991. Окончил Бакинский государственный университет (1966),

Область научных интересов: механика деформируемого твердого тела, асимптотическая теория оболочек, методы оптимизации.

Автор более 100 научных публикаций.

АХМЕДОВ Натик Каракиши оглы (р. 1961), доцент (1999) кафедры «Математические методы прикладного анализа» Бакинского государственного университета, доктор физико-математических наук (2009). Окончил Бакинский государственный университет (1983).

Область научных интересов: механика деформируемого твердого тела, асимптотическая теория оболочек.

Автор 34 научных публикации.

САДЫКОВ Полад Мамед оглы (р. 1954), декан факультета «Обучение иностранных студентов», доцент (2001) кафедры «Общетехнические дисциплины» Азербайджанского архитектурно-строительного университета, кандидат физико-математических наук (1995). Окончил Азербайджанский педагогический университет (1975),

Область научных интересов: механика деформируемого твердого тела, асимптотическая теория оболочек.

Автор 16 научных публикаций. anatig@gmail.com