CC BY
47
УДК 531:629
Ю.Н. Нагар, В.Ю. Ольшанский, А.В. Серебряков АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ОДНОЙ МОДЕЛИ ПЬЕЗОГИРОСКОПА
В работе рассматривается предложенная ранее авторами модель пьезогироскопа, где в пластинах, связанных присоединенной массой, возбуждаются плоские деформационные волны, и используются прямой и обратный пьезоэффекты в пластинах на выходе и входе устройства. Оценивается время выхода на режим установившихся колебаний при учете рассеивания энергии в пьезопластинах.
Пьезогироскоп, деформационные волны, преобразование Лапласа Yu.N. Nagar, V.Yu. Olshanskiy, A.V. Serebryakov ANALYSIS OF THE TRANSITION PROCESS IN A PIEZOGYROSCOPE MODEL
In the work the authors have considered the piezogyroscope model, where plane deformation waves are excited in the plates connected by an associated mass.
Direct and inverse piezoeffects are used in the plates at the outlet and inlet of the device. There has been estimated a stabilization rate of the steady-state oscillations with the regards of the energy dissipation in the piezoplates.
Piezogyroscope, deformation waves, Laplace transform
1. Краткий обзор моделей и расчетных схем пьезогироскопов
В настоящее время актуальной является задача создания интеллектуальных приборов массового применения, среди которых важное место занимают инерциальные датчики [1, 2]. К таким датчикам относятся гироскопы, реагирующие на скорости вращения.
На сегодняшний день разработаны различные модели миниатюрных вибрационных гироскопов. Данные устройства характеризуются наличием вибрирующей массы (резонатора). В пьезогироскопах для возбуждения колебаний резонатора и получения сигнала о вращении используются соответственно обратный и прямой пьезоэффекты. В обзорах существующих конструкций [2, 3] отмечается широкое использование балочных, камертонных и биморфных пьезогироскопов.
Балочные гироскопы состоят из резонатора и закрепленных на его гранях пьезоэлементов. Резонатор представляет собой консольную балку либо балку, которая удерживается в корпусе посредством подвески. Пьезоэлементы - это тонкие пластины, выполненные из пьезокерамики. Одни из них служат для возбуждения колебаний в резонаторе, а другие - для восприятия отклика при вращении.
В камертонных гироскопах генерируемые (первичные) колебания масс резонатора происходят в одной плоскости. Вращение камертона вокруг вертикальной оси приводит к возникновению резонансного смещения из плоскости первичных колебаний, которое снимается при помощи закрепленных на резонаторе электродов.
В биморфных вибрационных гироскопах резонатор выполнен в виде двух склеенных пьезоэлектрических пластин, которые поляризованы в противоположных направлениях.
Когда к пластинам прикладывают напряжение, в них возникают колебания вследствие того, что одна из них сжимается, а другая растягивается. При вращении под действием кориолисовых сил возбуждаются вторичные колебания, которые можно детектировать теми же электродами. Разработка биморфных пьезогироскопов доведена до стадии серийного производства компанией Мига1а (Япония) и другими производителями.
Достаточно полный обзор устройств, основанных на пьезоэффекте, приведен в работе [4]. Пьезокерамические резонаторы в этих моделях имеют различную форму: цилиндрической трубки, скрученной цилиндрической оболочки, кольца, пластины, имеющей поляризацию по толщине. Там же описана защищенная патентом конструкция пьезогироскопа с двумя пьезокерамическими стержнями и присоединенной массой. Пьезокерамические элементы в этом устройстве поляризованы по толщине и испытывают деформации сдвига.
Актуальной проблемой является разработка более простых по конструкции датчиков инерциальной информации, обеспечивающих приемлемую точность измерений [5].
Следует заметить, что все вибрационные гироскопы работают при вынуждающей частоте, которая практически совпадает с частотой собственных колебаний. При этом амплитуда колебаний в реальных устройствах остается конечной. Это обстоятельство делает актуальным учет внутреннего трения в деформируемых элементах датчика.
2. Построение математической модели. Связанная задача электроупругости
Рассматривается предложенная ранее в [6] математическая модель измерителя угловой скорости вращения объекта. Действие устройства основано на явлении пьезоэффекта. Чувствительный элемент устройства состоит из двух тонких прямоугольных пьезокерамических пластин П1, П2 и груза массы M, контактирующего с ними. Предполагается, что на пластины от груза передаются только нормальные усилия.
Пластины предварительно поляризованы вдоль толщин ^ ^2. К пластинам прикреплены электроды, с помощью которых на П1 подается электрический ток, а с П2 -снимается. За счет продольного пьезоэффекта в пьезопластине П1 возникают упругие деформационные волны, которые приводят груз в движение.
При вращении подвижной системы отсчета относительно инерциальной системы с угловой скоростью П возникает кориолисова сила инерции Fc =-2M(П х vr), которая действует на груз и влияет на амплитуду и другие характеристики. За счет компонента О3, коллинеарного оси Ox3, груз оказывает давление на пластину П2, в результате чего в ней возбуждается электрический ток. Величина тока в пластине П 2 позволяет определить 03.
Ранее авторами был изучен случай, когда рассеивание энергии внутри пластин пренебрежимо мало, и найдены собственные частоты устройства [6]. В настоящей работе, как и в [7, 8, 9], используется математическая модель, учитывающая вязкое трение. Исследован процесс выхода на режим установившихся колебаний.
Ниже рассмотрена краевая задача, описывающая распространение деформационных волн в пьезопластинах П1 и П2. С использованием преобразования Лапласа получено решение в изображениях. Найдена зависимость амплитуды выходного тока в пьезопластине П2 от времени и определяется время выхода на режим установившихся вынужденных колебаний.
Обозначим перемещения в пластине Пг. вдоль оси Oxi через ui (xi, t), I = 1,2. Рассмотрим связанную задачу электроупругости [10]. Функции ui (xi, t) удовлетворяют уравнениям движения:
д 2и, дui д 2uj .
+ а—. = —2“- 1 = 1,2. (1)
дt2 дt дх2
Уравнения (1) представлены в безразмерной форме. Здесь
разм
1/И, иг = иралш/И, г = гразм • е/к, а = аразм • к/е. Обозначено: И - характерный
линейный размер, е - скорость сопряженных продольных волн в пьезокерамике. Уравнения (1) содержат слагаемые, учитывающие внутреннее трение [7]. Коэффициент аразм определяется резонансной частотой пластины и добротностью пьезокерамического материала.
Начальные условия имеют вид:
г (хг,0) = 0, Эщ (Хг’°) = 0, г = 1,2.
Эг
Закрепление пластин учитывается в граничных условиях:
ui (о,г ) = о, г = 1,2.
(2)
(3)
На основаниях пластин с площадью А, контактирующих с присоединенным грузом массой М, действуют внешние усилия. Эти усилия обусловлены силами инерции, включая силы Кориолиса. Тогда:
о„ А = -М
Э2и1(И1,г)
Эг2
где
Ее = 2Ма
Эи2(И2 ,г)
+ ¥С, г = 1,2,
Эи1(И1,г)
^2е = -2МЦ
(4)
(5)
Ъг 2 3 Эг
Механические напряжения сх определяются линейными уравнениями пьезоэффекта
[11]:
а х = — Г Эщ - ^33 е].
х 533 I Эх 33 J
(6)
Здесь 533 - упругая податливость материала, й33 - пьезоэлектрическая постоянная, Е - напряженность электрического поля.
В общем случае для напряженности электрического поля E и электрической индукции D в пьезокерамике имеют место уравнения вынужденной электростатики
го1Е = 0, divD = 0 . (7)
Первое из уравнений (7) позволяет представить напряженность через электрический потенциал у как Е = -grady.
В одномерном случае последнее выражение упрощается до вида Е = -Эу/Эх. Далее подстановка выражений (5),(6) в граничные условия (4) и переход к безразмерной форме приводят к условиям [7]:
ЭЩ1 (5д, г) + г) = + 2щ Эи2 (^2 , г)
‘ Эг2 ' Эг
Эх1
Эх1
Л
Эи2 (^2 , г) + Э¥2(^ г) = т
Эх
Эх
Э 2щ2(5 2 , г) - 2щ ^ Эщ1 (^1, г) ^
(8)
Эг2
Эг
В формулах (8) 8г = И^И, коэффициенты определяются выражениями
т = М • s33 е2/АИ, ю = ^3 И/е. Заметим, что для реальных значений й3 параметр ю << 1.
Второе уравнение вынужденной электростатики (7) приводит в одномерном случае к уравнениям
ЭД/ Эхг = 0, г = 1,2 (9)
145
и
для пластин П1, П2. С учетом пьезоэффекта электрическая индукция Б определяется равенством
Б = 4Е + ^х. 0°)
Здесь еЗз - диэлектрическая проницаемость при постоянных механических напряжениях. Используя выражения (6), (1°) при Е = -Эу/Эх, после перехода к безразмерным величинам преобразуем уравнения (9) к виду:
}2... ^2 ^
I = 1,2. (11)
Эу
Эх,2
к33 Э и,
1 - к323 Эх.2 ’
Здесь к323 = d323 / s33eT33 - продольный статический коэффициент электромеханической связи. Уравнения (11) рассматриваются при граничных условиях
у (0, *) = -и(*)/2, у1(81, *) = и(*)/2, у 2 (°, *) = °, У2 (82, *) = °. (12)
Граничные условия для потенциала у1 (х1,*) содержат заданное напряжение и(*). Граничные условия для потенциала у2 (х2,*) записаны для случая большой проводимости внешней цепи [10]. Решение задачи (11), (12) приводит к следующим выражениям для потенциалов у, (х, ,*):
вид:
У,(х,-, *)
к
33
1 - к2
и,(х,, *) - и,(0, *)
х
Л
- и, (0,, * ^ о,
+ V (*)
(13)
Здесь V1 (*) = и(*),V2 (*) = 0 . Граничные условия (8) с учетом равенств (13) принимают
Эх,
*2Ч'-'2>
Эх,,
к2 к33 Эи1 (81, *) U1(81, *) ^
1 - к323 V Эх1 81 У
к323 С Эи2 (82 , *) Щ2(82,*)
1 - к33 V Эх2 82 У
Э*2
Э*
= т
Э 2щ2 (82 , *) - *)
(14)
Э*2
Э*
Приходим к краевой задаче (1), (2), (3), (14) относительно перемещений.
3. Переход к изображениям при описании неустановившихся колебаний
Воспользуемся преобразованием Лапласа по переменной * :
и, (х, р )=1 {и (х, *)}=|и, (х, *)рРж.
0
Переходя в уравнениях (1) к изображениям, получим:
с12 и, dx2
- у2м,. = 0, , = 1,2,
(15)
(16)
где у = р + ар . Граничные условия (3) и (14) в изображениях принимают соответственно вид:
и, (0, Р ) = 0 (17)
и
2
~ Ґ 2 ёи1 (51, р) _ к.
Эх,
^ - т(і - кз2з )р2 (51, Р) + 2т«(1 - кз2з )РЩ2 (52 , Р) -Г Гзз/ и(Р),
(і - кз2з),
5,
~ Ґ 2 ёи2(52, р) к,.
(18)
2 V 2?
Эх
V 5 2
— - т(1 - кз2з )р2 |и2 (52, р) - 2даю(і - кз2з )и1 (51, р).
Решениями уравнений вида (16) при граничных условиях (17) являются функции
и (х,, Р) = в, ^ Ух1, , =1,2 (19)
Здесь комплексные константы В, определяются из граничных условий (18).
4. Расчет силы тока, генерируемого в пьезопластине
На основании полученного решения для перемещений может быть рассчитана сила тока I(*), который генерируется в пластине П2. Представим силу тока I(*) через составляющую вектора индукции Б, нормальную к поверхности электрода £. Это выражение принимает вид:
Э
—Л = -1 (*).
(20)
В случае одномерного электрического поля для пластин, у которых все основание покрыто электродом, представление (20) с учетом равенства (із) упрощается до вида:
7 (' >='4) і
(
Эи2 (52, і) кз2з взз ( Эи2 (52, і) и2 (52, і) 1
*2 УУ2
Эх-
1 кзз $зз
2У^2>
Эх
5
(21)
Выражение (21) для силы тока содержит пьезомодуль е33 и диэлектрическую проницаемость при постоянных деформациях е£3 = ег33 - d323 / s33.
Применив к равенству (21) преобразование Лапласа, получим:
1Ы = Ср^Ц5^+Яр2 (52, Р).
Эх,
(22)
Здесь О, Н - определенные коэффициенты.
Рассмотрим случай пластин одинаковой толщины, когда к1= к2 = к, то есть 81 = 82 = 1. Равенство (22) допускает преобразование к виду:
I (р) = 2тю • Ф(р) -и(р).
В формуле (2з) обозначено:
Оу сЬ у + Н
у сЬ у- кз2з
. (і - кз2з )р
22
у = р + ар .
(2з)
(24)
+ тр
+ 4т2ю2
Восстановим оригинал функции (23), используя теорему умножения [12]:
*
I(*) = 2тю| ф(т)• и(* - т)dт .
0
Здесь ф(*) - оригинал для изображения Ф(р).
(25)
е
2
Применяя теорему обращения, имеем:
1 а+,¥
Ф(*) = — |ф(р)еРФ. (26)
а-,¥
Так как произведение усШу раскладывается только по четным степеням у, и у2 = р2 + ар, то разложение Ф(р) содержит только целые степени р. Подынтегральная функция из (26) имеет простые полюсы рп, удовлетворяющие уравнениям:
усШу = к323 + (1 - к323 )• (2г1тюр/ - тр2) где г1 = ±1. (27)
Корни уравнения (27) образуют два семейства р+ и р-, соответствующие значениям г1 = +1 и г1 = -1. Корни этих семейств являются комплексно-сопряженными друг к другу.
Для корней уравнения (27) была получена асимптотическая оценка. Независимо от этого при малых значениях п корни находились также методом продолжения по параметрам
а и ш .В качестве начальных приближений были выбраны р (0 ^= ,1, где 1 -
2 I 2 I 2
действительные корни уравнения X = к33 + т 1 - к3^X . Наблюдается очень хорошая
точность асимптотических значений корней даже при малых значениях п (начиная с единицы).
Применяя далее к правой части равенства (26) теорему о вычетах, получаем:
ф(< ) = 2 Re ^ ШЧ epJ
pn :Im pn >0 F2 \pn )
nn
2
где F. (p ) = Gy cth у + H, F2 (p ) =
(2В)
+ 4m2 ю2.
(l _ 4 )p
Был рассмотрен случай, когда напряжение, приложенное к пластине п. , изменяется по гармоническому закону U(t) = U0 sin bt. Подставив выражение (28) в равенство (25), находим после интегрирования:
I (t )= !.(') + 12 (') ,
I. (t ) = 4mmU„Re 2 ' (29)
pn:Impn >0 F2(pn ) p„ +P
w\ „ xr ^ Fl(pn) ЬcosBt + pn sinbt _ ч
12 (t) = _4mwU0 Re 2 \----------^2------ = N cos (bt + Є0).
pn:Im pn >0
K&n) pI+b2
В формуле (29) слагаемое 11 (*) обусловлено начальными возмущениями и представляет собой суперпозицию высокочастотных колебаний с быстро убывающими со временем амплитудами. Для оценки скорости затухания начальных возмущений по усеченному ряду для функции 11 (*) строилась огибающая 11а (*). На рис. 1 приведена
зависимость 11а от времени. Результат получен при безразмерном значении частоты Ь = 0,50772. График на рис. 1 показывает время завершения переходного процесса. По прошествии этого времени устанавливаются вынужденные колебания, которые представлены в формуле (29) слагаемым 12 (*). Амплитуда установившихся колебаний составила N = 25,3 мА.
Расчет характеристик тока был проведен при различных значениях Ь, близких к резонансному. Амплитуды колебаний, установившихся по окончании переходного процесса, сравнивались со значениями, которые были получены ранее в [7] непосредственно для
установившихся колебаний. При этом относительная разность значений, полученных по
8
двум расчетным методикам, не превышала 2,5-10" .
Рис.1. Амплитуда затухающих собственных колебаний
5. Выводы
В работе развита математическая модель и предложена вычислительная процедура для учета вязкого трения при колебаниях пьезопластин в системе с присоединенной массой. Определена продолжительность переходного процесса. Также подтверждены результаты, полученные непосредственно для стадии установившихся колебаний. Расчет требует минимальных вычислительных ресурсов и реализуется средствами пакета MatLAB.
ЛИТЕРАТУРА
1. Распопов В .Я. Микромеханические приборы. Тула: Гриф и К, 2004. 476 с.
2. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Голиков А.В. Общая и прикладная теория гироскопов с применением компьютерных технологий. С.-Петербург: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2008. 158 с.
3. Шахнович И. МЭМС-гироскопы - единство выбора. // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. 2007. №1. С. 76-85.
4. Yang J.S. Analysis of piezoelectric devices. Singapore: World Scientific Publishing, 2006. 520 p.
5. Джашитов В.Э., Панкратов В. М., Барулина М.А. Теоретические основы разработки и создания суперминиатюрного микромеханического многофункционального датчика инерциальной информации // Нано- и микросистемная техника. 2010. №5 (118). С. 46-54.
6. Нагар Ю.Н., Ольшанский В.Ю., Панкратов В.М., Серебряков А.В. Об одной модели пьезогироскопа // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010, №2. C. 71-74.
7. Панкратов В.М., Ольшанский В.Ю., Нагар Ю.Н., Серебряков А.В. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение. 2010, №8. С. 3-8.
8. Домашенкина Т.В., Наседкин А.В., Рыбянец А.Н. Конечно-элементный анализ фокусирующего ультразвукового пьезоизлучателя в режиме установившихся колебаний // Известия ЮФУ. Технические науки. 2010. Т.107. №6. С. 174-179.
9. Афонин С.М. Обобщенная структурно-параметрическая модель электромагнитоупругого преобразователя для систем управления нано- и микроперемещениями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006, №2, С. 158-166.
10. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. Киев: Наук. думка, 1989. 280 с.
11. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. 472 с.
12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
Нагар Юлия Николаевна -
ассистент, Энгельсский технологический институт (филиал) Саратовского государственного технического университета
Ольшанский Владимир Юрьевич -
доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института проблем точной механики и управления РАН
Серебряков Андрей Владимирович -
кандидат физико-математических наук, доцент, Энгельсский технологический институт (филиал) Саратовского государственного технического университета
Nagar Julia Nikolaevna -
Assistant, Engels Technological Institute (Branch) of Saratov State Technical University
Olshanskiy Vladimir Yurievich -
РкБ., Professor, Main Scientific Employee, Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences
Serebryakov Andrey Vladimirovich -
Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Assistant Professor, Engels Technological Institute (Branch) of Saratov State Technical University
12.02.2011, принята к опубликованию 08.07.2011
Статья поступила в редакцию
