CC BY
18
8. A Comparative Study of Energy Minimization Methods for Markov Random Fields with Smoothness-Based Priors / R. Szeliski [et al.] // IEEE Trans. on PAMI. 2007. / Vol. 6. P. 1068-1080.
S.D. Dvoenko, D. V. Sang
ALGORITHMS FOR SELECTING PARAMETERS OF COMBINATION OF ACYCLIC ADJACENCY GRAPHS IN THE PROBLEM OF THE RASTER TEXTURED IMAGE RECOGNITION
The tree-like graphic model of a Markov random field of hidden classes was proposed as a Markov chain to recognize the raster textured images. We developed algorithms to select the optimal value of the diagonal element of Markov transition matrix and weights for the linear combination of acyclic adjacency graphs to maximize aposteriori probabilities of hidden classes.
Key words: pattern recognition, machine learning, Markov random fields, Markov
chain.
Получено 18.04.12
УДК 681.5.015:07
А.Н. Грачев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-36-37, gai 50161 @mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
А.А. Фомичев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-36-37,
(Россия, Тула, ТулГУ),
С.В. Шурыгин, (910)9432622, sshur@mail.ru
(Россия, Тула, ТулГУ)
АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ МОДЕЛЕЙ ОДНОГО КЛАССА СИММЕТРИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Предлагается подход к исследованию свойства идентифицируемости линейных моделей типа «вход-состояние-выход» для специального класса симметричных динамических объектов высокой размерности. Показано, что исследование свойства параметрической идентифицируемости в этом случае можно производить с использованием сокращенной модели.
Ключевые слова: параметрическая идентифицируемость, модели в пространстве состояний, метод преобразований подобия.
Важнейшим этапом моделирования и идентификации различных технологических объектов для целей косвенного контроля и управления является проверка параметрической идентифицируемости формируемой
140
для них на основе априорной информации линейной математической модели в пространстве состояний. Наличие у такой модели свойства глобальной параметрической идентифицируемости позволяет в дальнейшем на ее основе с использованием алгоритмов совместного оценивания параметров и состояния строить системы текущего косвенного контроля технологического режима конкретных промышленных агрегатов [1].
На практике, в частности в электротермии, достаточно часто встречаются симметричные технологические агрегаты. Например, круглые трёхэлектродные рудно-термические или дуговые сталеплавильные печи, работающие от трёхфазного источника переменного тока [2, 3].
Линейную математическую модель в пространстве состояний для такого объекта в достаточно общем виде можно представить следующими уравнениями [4]:
Сх(к +1) = Ф (в) х(к) + Г (в) и(к), х(0) = х0,
М (в):
(1)
[ у(к) = Н (в) х(к),
где х е Rn - вектор состояния, и е и с Rp - вектор управления, у е Rm - вектор наблюдения, Ф е Rnх", Г е Rnхр и Н е Rmхх - матрицы состояния, управления и наблюдения, соответственно, веОсRq - вектор неизвестных (оцениваемых параметров), к = 1,...,N - дискретное время, N - интервал наблюдения.
Причем, структура матриц Ф, Г и Н с учетом характерных свойств симметричности объекта может быть представлена в следующем виде
Ф=
Ф1 0 0 Ф
0 Ф1 0 Ф
0 0 Ф1 Ф
Ф 10 Ф 10 Ф10 Ф
; Г =
Г1 0 0 0 " " Н 0 0 Н
0 Г1 0 0 0 Н1 0 Н
; н =
0 0 Г1 0 0 0 Н1 Н
0 0 0 Г 00 _ _ Н10 Н10 Н10 Н
(2)
Ярко выраженную блочную (клеточную) структуру модели (1), (2) можно объяснить следующим образом. Три верхних диагональных блока каждой из матриц описывают состояние соответствующих электродов и их приэлектродных областей, а остальные - состояние общих для всей ванны печи зон (рабочей или углеродистой, шлака и металлического расплава), а также их взаимосвязи с приэлектродными областями. Нулевые блоки матриц модели означают, что переменные состояния, соответствующие отдельным электродам и приэлектродным областям, не влияют непосредственно друг на друга, а взаимосвязь приэлектродных областей между собой происходит исключительно через общие для всей ванны печи зоны.
Для глобальной параметрической идентифицируемости модели (1) необходимо, чтобы она обладала свойствами структурной управляемости и наблюдаемости по Калману [5, 6]. Удостовериться в наличии у модели (1) этих свойств достаточно легко, составив соответствующие матрицы управляемости и наблюдаемости, а затем, определив их ранг с учетом структуры матриц (2), а также их параметризации вектором в . После этого можно
141
01
01
01
01
01
01
приступить к анализу параметрической идентифицируемости модели (1).
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов анализа параметрической идентифицируемости моделей вида (1) является метод преобразований подобия, базирующийся на принципе генерирования эквивалентных моделей [5, 6]. Согласно этому методу предполагается, что существует некоторая модель
M ГX (k + 1) = Ф (0*) X (k) + Г (0*) u(k), X (0) = Х0,
"l y(k) = H (0*) x* (k).
Причем структура модели (3) в точности соответствует структуре модели (1), т.е. размерности и вид зависимости системных матриц от неизвестных параметров одни и те же. Говорят, что эти две модели принадлежат множеству моделей, генерируемых одной исходной модельной структурой [5]. При этом модели (1) и (3) будут неразличимыми по выходу, если их векторы состояния x и x* связаны невырожденным преобразованием подобия: x* = Tx, где T е {T: detT ф 0}. Матрица преобразований T в этом случае определяется следующей системой матричных уравнений:
Г(0*) - 7Г(0) = 0;
<Н (0)T - Н (0) = 0; (4)
Ф (0*)T - ГФ(0) = 0.
Очевидно, если данная система, относительно матрицы T и вектора 0*, имеет только единственное тривиальное решение (T = 1, 0* = 0), то рассматриваемая модельная структура является параметрически глобально идентифицируемой [5, 6].
Однако решение билинейной относительно матрицы T и вектора 0* системы уравнений (4) в символьном виде — достаточно сложная задача даже для таких мощных математических пакетов, как Maple, Mathematica, Reduce и т.п., особенно при высокой размерности модели (1), (2) и большом количестве априори неизвестных параметров, распределенных по всем матрицам. Как правило, вручную или непосредственно с помощью математических пакетов такое решение может быть получено только для систем не выше 5-го порядка [5, 6]. Заметим при этом, что наиболее простые модели рудно-термических или дуговых сталеплавильных печей имеют размерности, начиная от семи и более [4].
В данной ситуации возникает естественное желание понизить размерность системы (4) ещё до её решения, воспользовавшись симметричной блочной структурой матриц (2). Для этого докажем следующее утверждение.
Утверждение. Решение системы уравнений подобия (4) для линейных моделей в пространстве состояний вида (1) и (3), параметризованных векторами 0 и 0*, соответственно, структура системных матриц которых задается соотношениями (2), эквивалентно решению системы уравнений
подобия (4) для моделей, структура системных матриц которых имеет вид:
Ф =
Ф1 ф 1 01 ' Г = "Г1 0 " , Н = " Н1 Н 01
Ф10 ф 00 _ 0 Г 00 _ _ Н10 Н00 _
(5)
Г1* 0 0 0 "т 11 т 12 т 13 т 14 "Г1 0 0 0 "
0 Г1* 0 0 т ± 21 т 22 т 23 т * 24 0 Г1 0 0 =0
-
0 0 Г1* 0 т 31 т 32 т 33 т 34 0 0 Г1 0
0 0 0 Г * 00 _ т _ 41 т 42 т 43 т_ 44 _ 0 0 0 Г 00 _
Доказательство утверждения. Рассмотрим первое уравнение из системы (4) с учетом блочной структуры (2) соответствующих матриц:
(6)
Перемножив блочные матрицы и приравняв к нулю соответствующие недиагональные блоки в уравнении (6), получим:
-Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0'
12 1 ' 13 1 ' 14 00 ' 211' 23 1 ' 24 00 '
-Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0' -Т Г = 0
31 1 32 1 34 00 41 1 42 1 43 1
Откуда с учетом неравенства нулю блоков Г1 и Г00 непосредственно следует, что все недиагональные блоки матрицы Т должны быть равны нулю:
Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = Т = 0 (7)
12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43
Приравняв к нулю диагональные блоки матрицы, полученной в результате вычисления выражения в левой части уравнения (6), можно записать следующие равенства:
г;-тпг1 = 0' г;-т22Г1 = 0' г;-т33г = 0' с - т44Г00 = 0,
из которых непосредственно следует, что
Т11 = Т22 = Т33 ' , (8)
А, значит, окончательно из первого уравнения системы (4) нерешенными остаются только два равенства:
Г* = Т Г ' Г* = Т Г (9)
1 11 1 00 44 00
Далее рассмотрим второе уравнение из системы (4) с учетом блочной структуры (2) соответствующих матриц и полученных ранее решений
(7) и (8):
Н1 0 0 Н 01 "т 11 0 0 0 Н1 0 0 Н
0 Н1* 0 Н 01 0 т 11 0 0 0 Н1 0 Н
0 0 Н1* Н 01 0 0 т 11 0 0 0 Н1 Н
Н10 Н10 Н10 Н00 _ 0 0 0 т_ 44 _ _Н10 Н10 Н10 Н
01
00
= 0.(10)
Перемножив блочные матрицы и приравняв к нулю соответствующие блоки в уравнении (10), окончательно получим:
Я*^ _ тт . тт* ^Г _ и • 7-Т* Т1 _ и • и* Т _ и /^114
1 Т11 = Н1' Н10Т11 = Н10' Н 01Т 44 = Н 01' Н 00Т 44 = Н 00' (11)
Наконец, решим третье матричное уравнение из системы (4) с учетом блочной структуры (2) соответствующих матриц и полученных ранее решений (7) и (8):
01
01
Ф1 0 0 Ф * 01 т 11 0 0 0
0 Ф1* 0 Ф * 0 т 11 0 0
0 0 Ф1 Ф * 01 0 0 т 0 11
Ф * 10 Ф * 10 Ф10 * Ф * 00 _ _0 0 0 т 44 _
Т 11 0 0 0 Ф1 0 0 Ф 1 01
0 Т 11 0 0 0 Ф1 0 Ф
0 0 Т 11 0 0 0 Ф1 Ф 01
0 0 0 Т 44 _ Ф _ 10 Ф 10 Ф 10 Ф_ 00 _
(12)
Перемножив блочные матрицы и приравняв к нулю соответствующие блоки в уравнении (12), получим следующий набор равенств:
Ф*Т = Т Ф Ф* Т _ Т Ф Ф* Т _ Т Ф Ф* Т _ Т Ф (13)
1 11 11 1' 01 44 11 01 ' 10 11 44 10' 00 44 44 00 '
А теперь составим систему уравнений подобия (4) для моделей, структура системных матриц которых имеет вид (5), обозначив блоки матрицы линейного преобразования Т следующим образом:
Т=
ТТ
11 1
ТТ
г; 0 ~ Гт 11 Т 1 12 01
0 г* 00 _ Т _ 21 Т_ 44 _ 0 г 00 _
" Н* Н 01 Гт 11 т1 12 Н1 Н 01
_Н10 Н00 _ т _ 21 т 44 _ Н Н _ 10 00_
= 0;
= 0;
(14)
Ф* Ф * 1 01 Гт 11 Т1 12 Гт 11 Т1 12 Ф1 Ф1 01
_Ф*0 Ф 0 00 _ Т _ 21 Т 44 _ т _ 21 Т 44 _ _Фю Ф 00 _
=0
Решив первое уравнение из этой системы уравнений, получаем
Т _ Т _ 0 ' ± 12 ± 21 " '
■ 1Ж ГТ~1 I 1 ф I ' * /ТТ I '
Г 1 = Т 11Г 1 ' Г 00 = Т 44Г 00 :
(15)
что полностью совпадает с результатом решения первого уравнения системы (4) при блочной структуре соответствующих матриц (2), полученным ранее в виде равенств (9).
Далее решаем второе и третье уравнения системы (14) с учетом равенства (15), в результате чего получаем
тт*т _ Н ' Н* Т _ Н ' Н* Т _ Н ' Н* Т _ Н '
1 11 1 10 11 10 01 44 01 00 44 00
Ф*Т _ Т Ф ; Ф* Т _ Т Ф ; Ф* Т _ Т Ф ; Ф* Т _ Т Ф ,
1 11 11 1 01 44 11 01 10 11 44 10 00 44 44 00
что полностью совпадает с результатами решения второго и третьего уравнений системы (4) при блочной структуре соответствующих матриц (2), полученными ранее в виде равенств (11) и (13).
Таким образом, сформулированное выше утверждение можно считать доказанным.
Рассмотрим пример анализа параметрической идентифицируемости модели фосфорной рудно-термической печи типа РКЗ-80Ф [3, 4], размер-
ности векторов которой равны п = 7, т = 15 ,р = 7, причем вектор состояния имеет следующую структуру:
хТ (к) =
х^ (к) х1(к) хЭл (к) х2(к) хЭл (к) 4(к) х0рз (к)
где х'ЭЛ(к) - длина /-го электрода, м; х'Т(к) - объем тигля Т-й приэлектродной области, м ; х0рЗ(к) - высота общей рабочей (углеродистой) зоны в печи, м. Параметризация матриц Ф, Г и Н имеет следующий вид [4]:
"Ф1 00 /оГ
Ф1 0 /01
Ф1 /01
/10 /00
ф =
где Ф1 =
Н1 =
0
0 0
/10 /и
- а а, 0 0
У 4
Ув
/01
00 а,
;г =
Г1 0 0 0 " " Н1 0 0 к
0 г1 0 0 0 Н1 0 к
1 ; н =
0 0 Г1 0 0 0 Н1 к
0 0 0 g00 _ _ Н10 Н10 Н10 к
,(16)
/10 =[0 ав], /00 = а7 , ^00 =в
Г1 =
1 0
0 е.
к, =
К
Гз Уз 0
; Н10 =
"0 У 7 У8
0 Уя , к = 00 0
0 0 _Г10 _
6 = [а1,..., а7, Д, ¡Зг,У1,...,У10 ] .
В этом случае, воспользовавшись доказанным выше утверждением, вместо исходных матриц Ф, Г и Н в системе уравнений (4) можно использовать редуцированные матрицы:
Ф =
"Ф1 /01 ; г = "г 0 " , Н = " Н1 к01"
_/10 /00 _ 0 g00 _ Н к _ 10 "00_
Тогда из первого матричного уравнения системы (4)
_1 - '„ - '12 А - 'в
^21 в1 ^22в1 ^22в2 - 'з 1 - 'з2в1 в2 - 'з3в
= 0,
учитывая отличие от нуля параметров Д и в2, можно найти большую часть элементов матрицы Т:
Т =
(1 0 0 ^
0 '22 0
V0 0 'зз у
Далее, подставив полученное значение Т в систему уравнений (4), перепишем её в следующем виде:
а1 - а1
а2 '22 + а2
* ^ аз 'зз аз
0 0
*' ' *' '
4 22
*' ' *' '
22 4
'зз ав
* '
22 5 зз а7
а
5
(
о
*
Y2 -Y2 о о о о о
( о
о о
*
74 ^22 — Y4 *
У6 ^ 22 —Уб *
У7 ^ 22 — Y7 *
У9 ^22 — Y9
о
о
Л
Y ^33 — Yi
*
Y3 ^33 — Y3 *
Y5 ^33 — Y5
о
*
Y8 ^33 — Y8
о
*
Yio ^33 — Y10 J
= о
(17)
о а* — ?22 в
о о
Л
о
о
в* — t33fi:
= о
33' 2 J
Анализируя систему (17) далее, с учетом предположения, что ^22 и t33 не могут быть равны О, можно легко найти следующие решения:
a* = a1, a4 = a4, a7 = a7, у 2 = у 2. Тогда окончательно система (17) превращается в систему из 15 уравнений при 17 неизвестных. Легко показать, что такая система уравнений имеет бесконечное множество решений. Следовательно, исходная модель (1) при параметризации, заданной соотношениями (16), глобально неидентифицируема.
Однако, воспользовавшись системой уравнений (17), можно дать рекомендации по элиминированию глобальной неидентифицируемости модели (1) с учетом параметризации (16). Действительно для того, чтобы система уравнений (17) имела единственное тривиальное решение
(г =1 ,в = , достаточно добавить в параметризацию (16) еще два ограничения, т.е. априорно задать по одному значению в каждом из следующих двух наборов параметров: (a2, a6,y4,y6,y7,y9, в1) и
(a3,a5,Yl,Yз,Y5,Y8,Ylo,в2).
Для того чтобы решить, какие именно параметры из данных двух наборов следует задать, можно рекомендовать использовать дополнительную априорную информацию, а именно имеющиеся данные по диапазонам возможных значений параметров. Очевидно, наилучшим вариантом выбора в этом случае будут параметры, имеющие наименьший относительный диапазон изменения (наименьшую априорную неопределенность).
Таким образом, в данном конкретном случае, чтобы сделать модель химико-технологических процессов в рудно-термической печи РКЗ-8ОФ вида (1) глобально идентифицируемой, необходимо в параметризации (16) априорно задать параметры в1 ив 2 в виде значений, равных, например, середине диапазонов варьирования соответствующих параметров.
В заключение отметим, что описанный выше пример анализа параметрической идентифицируемости модели рудно-термической печи РКЗ-8ОФ был также произведен путем непосредственного решения системы уравнений подобия (4) в математическом пакете Maple. Полученные при
этом результаты полностью совпали с результатами, приведенными выше, как для модели полного порядка, так и для упрощенной модели, построенной с использованием доказанного в данной статье утверждения.
Список литературы
1. Грачев А.Н., Шурыгин С.В. Методика синтеза итерационных алгоритмов совместного оценивания параметров и состояния линейных дискретных систем // Труды VII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO^8, М., 2ОО8. С. 2О4-219.
2. Микулинский А.С. Процессы рудной электротермии. М.: Металлургия, 1966. - 28О с.
3. Ершов В.А., Я.Б. Данцис, Г.М. Жилов. Теоретические основы химической электротермии / Л.: Химия, 1978. 237 с.
4. Грачев А.Н., Лукашенков А.В., Фомичев А.А. Текущий контроль процессов химической электротермии на основе расщепленных моделей // IV Международная научная конференция «Методы кибернетики химико-технологических процессов». М., 14-17 июня 1994 г.: тез. докл. М.:РХТУ, 1994. С. 81.
5. Авдеенко Т.В. Анализ априорной идентифицируемости динамических моделей с использованием условий ранга и порядка // Труды II Международной конференции SICPROm Москва, 2ОО3. С. 195-214.
6. Van den Hof J.M. Structural identifiability from input-output observations // Report BS-R9514, National Research Institute for Mathematics and Computer Science (CWI), Amsterdam, Netherlands, 1995. 35 p.
A.N. Grachev, A.A. Fomichev, S. V. Shourygin
PARAMETRIC IDENTIFIABILITY ANALYSIS FOR MODELS OF SOME CLASS SYMMETRICAL DYNAMIC PLANTS
The investigation approach of identifiability property is proposed for linear "input-state-output" models of some class high order symmetrical dynamic plants. It is showed that investigation of parametric identifiability property for this case may be executed by reduced model.
Key words: parametric identifiability, state space models, similarity transformation
method.
Получено 18.О4.12
