CC BY
8
Труды Кольского научного центра РАН. Информационные технологии. Вып. 12. 2021. Т. 12, № 5. С. 171-176.
Transactions of the Ко1а Science Centre. Information technologies. Series 12. 2021. Vol. 12, no. 5. P. 171-176.
Тезисы УДК 004.9
DOI: 10.37614/2307-5252.2021.5.12.017
АНАЛИЗ ПАРАДОКСОВ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ СИСТЕМ
Борис Александрович Кулик1, Александр Яковлевич Фридман2В
1 Институт проблем машиностроения РАН, Санкт-Петербург
2 Институт информатики и математического моделирования ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты, Россия
1 ba-kulik@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0001-6193-5588
2 fridman@iimm.ruB, https://orcid.org/0000-0003-2408-6892
Аннотация
Под парадоксом понимается рассуждение (база знаний), из которого(ой) следует несовместимость свойств некоторых участвующих в нем(ней) объектов. Рассматриваются и иллюстрируются примерами основанные на Е-структурах и алгебре кортежей методы анализа и элиминации парадоксов в интеллектуальных системах. Ключевые слова:
Е-структура, алгебра кортежей, элиминация парадокса Финансирование
Работа выполнена в рамках выполнения гос. задания по теме НИР № 0226-2019-0036. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 19-08-00079-а.
Для цитирования: Кулик Б. А., Фридман А. Я. Анализ парадоксов в интеллектуальных моделях систем // Труды Кольского научного центра РАН. Информационные технологии. Вып. 12. 2021. Т. 12, № 5. С. 171-176. http://dx/doi.org/10.37614/2307-5252.2021.5.12.017.
Theses
ANALYSIS OF PARADOXES IN INTELLIGENT MODELS OF SYSTEMS Boris A. Kulik 1, Alexander Ya. Fridman 2B
11nstitute of Problems in Mechanical Engineering RAS, Saint Petersburg 2 Institute for Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of Sciences, Apatity, Russia
1 ba-kulik@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0001-6193-5588
2 fridman@iimm.ruB, https://orcid.org/0000-0003-2408-6892
Abstract
A paradox is understood as reasoning (knowledge base), from which follows the incompatibility of properties for some objects participating in it. Some methods to analyze and eliminate such paradoxes in intelligent systems based on E-structures and n-tuple algebra are considered and illustrated by examples. Keywords:
E-structure, n-tuple algebra, elimination of paradoxes
Funding
The article was supported by the federal budget to carry out the state task of the FRC KSC RAS No. 0226-2019-0036. The study was partially supported by RFBR, project number 19-08-00079-а.
For citation: Kulik B. A., Fridman A. Ya. Analysis of paradoxes in intelligent models of systems // ^ansactions of the Kola Science Centre. Information technologies. Series 12. 2021. Vol. 12, no. 5. P. 171-176. http://dx/doi.org/10.37614/2307-5252.2021.5.12.017.
Введение
Поясним, что рассматривается как парадокс в настоящей работе и сформулируем его основное отличие от противоречия в математической логике. Принято считать, что парадокс - это ситуация, когда два взаимоисключающих высказывания оказываются доказуемыми. Но с точки зрения формальной логики это противоречие, в таком случае формула, с помощью которой написана модель парадокса, оказывается тождественно ложной. Например, противоречивы два высказывания «Всем А присуще свойство В» и «Некоторым А не присуще свойство В». В то же время, если второе высказывание заменить на «Всем А не присуще свойство В», то полученная пара высказываний не будет противоречивой, а данная система высказываний лишь свидетельствует о том, что объект А - ложный или вообще не существует. Именно к такой форме приводятся при логическом анализе многие парадоксы теории множеств. В качестве примера рассмотрим парадокс «Мэр города», который заключается в следующем: в одной провинции был издан указ о том, что мэр каждого города не должен жить в своем городе, а только в городе N. Спрашивается, где должен жить мэр города N7 Ответ очевидный: он не может жить ни в городе N ни вне его. Если записать логическую формулу этого парадокса, то окажется, что пропозициональная переменная «мэр города является безусловно ложной.
Вполне понятно, что несчастный мэр стал жертвой противоречивого указа. В то же время в аналогичных парадоксах теории множеств нередко всю вину за противоречивые свойства некоторых множеств приписывают самой теории множеств, но не противоречиям в определениях. Например, если вопреки принятой в литературе по математической логике традиции [1] предположить, что «элемент» по определению не может быть «множеством», то о парадоксах теории множеств останутся лишь воспоминания.
Оказывается, во многих случаях парадоксы можно свести к формальному противоречию. Рассмотрим парадокс подмены [2], который часто встречается в рассуждениях по аналогии и в моделях рассуждений по прецеденту. Пусть имеется некоторый исходный объект О и его аналог А, при этом множество Рс свойств у этих объектов совпадает. Известно также, что объекту О присущи свойства РО, а объекту А - свойства РА, при этом данные свойства несовместимы, что можно выразить с помощью формулы Ра з —Ро. Тогда логическую модель подмены можно представить формулой:
(А з Рс) л (О зРс) л (А з Ра) л (О з Ро) л (Ра з —Ро) л (А з О). (1)
В этой формуле подформула А з О выражает процедуру отождествления исходного объекта с аналогом. Следствием данной формулы является коллизия парадокса А з —А и безусловная ложность аналога А. Если в формулу (1) добавить еще одну посылку А, то полученная формула окажется тождественно ложной, т.е. противоречием. Можно сказать, что парадокс - это рассуждение, результат которого состоит в несовместимости итога логического анализа с неявно принятым допущением (например, предполагается, что А истинно). Если в это рассуждение добавить в качестве посылки неявно принятое допущение, то получим противоречивую формулу.
Виды парадоксов
Были выделены следующие разновидности парадоксов.
1. Коллизия парадокса в E-структурах [2]. С помощью ^-структур моделируется вывод заключений и анализ корректности совокупностей посылок в полисиллогизмах. Эта коллизия распознается как вывод следствия типа A с A .
2. Аномалия противоречия. Под этим здесь понимается не только одноименная некорректность в базах знаний [3], но и формально схожая с ней логическая модель пресуппозиции [4].
В базах знаний (БЗ) правила можно выразить как структуры типа
r„: B\ л B2 л...лBn ^ A,
где rm - имя правила, а B\, B2, ..., Bn, A - атомы.
Каждое правило задано в определенной схеме отношения, а каждая схема отношения характеризуется множеством имен атрибутов. Для правила Гт обозначим Ant(rm) схему отношения его антецедента, Cons(rm) - схему отношения его консеквента, а Val(Xi, rm) - значение атрибутаX, в правиле rm. Например, атом Bi, относящийся к атрибуту X,, выражается частью фразы
«ЕслиX\ = ... иXi = a илиX,i = b иX+\ = ... и Xn = ..., то.».
Тогда Val(Xi, rm) = {a, b}. Аналогично, консеквент каждого правила можно отобразить как множество значений для определенного атрибута.
Рассмотрим, как распознается аномалия противоречия. Пусть имеются два правила:
Ш B\ л B2 л...л Bn ^ D;
rF: B\ л B2 л.л Bn ^ F.
При этом D n F = 0. Тогда правила rD и rF инициируют аномалию противоречия.
Один из примеров аномалии противоречия - случай в медицинской диагностике, когда принципиально разные заболевания характеризуются одинаковыми значениями некоторых симптомов и при этом не задан хотя бы один симптом, значения которого существенно различны для этих заболеваний.
Похожая ситуация была определена также при анализе пресуппозиции [4]. Понятие пресуппозиции (английское presupposition - предположение) часто встречается в научной литературе по логике и философии [5, 6], лингвистике [7], в искусственном интеллекте [8] и т.д.
Пресуппозиция - это утверждение, которое подразумевается (или воспринимается как истинное) при актуализации основного утверждения или вопроса, при этом отрицание (или ложность) основного утверждения не нарушает истинности пресуппозиции. Еще одна особенность пресуппозиции заключается в том, что предположение о ее ложности или несостоятельности влечет потерю смысла основного утверждения.
Например, в предложении Павел опоздал в институт подразумевается, что Павел направлялся в институт, - это и есть пресуппозиция. Ясно, что отрицание основного утверждения (ассерции) (Павел пришел в институт вовремя) не влияет на истинность пресуппозиции. Если предположить, что пресуппозиция ложна, то становится ясным, что опоздание или своевременный приход в данной ситуации не имеют смысла.
В литературе по логике и лингвистике логическая модель пресуппозиции в терминах исчисления высказываний выражается формулой
(53Р)л(—53Р), (2)
где S - ассерция, а Р - пресуппозиция. В таком случае формула (2) тождественно равна Р, а это означает, что ассерция в этой модели есть фиктивная переменная. Если же в соответствии с семантикой пресуппозиции (по смыслу это предпосылка) задать ее логическую модель формулой (Р з 5) л (Р з —¡3), то окажется, что Р - ложна, т.е. получим парадокс.
3. Парадоксальные значения атрибутов в следствии. Данный парадокс распознается следующим образом. Пусть даны посылки, представленные АК-объектами [2] Л\, ..., Л„, и получено минимальное следствие [2] А = Л1 пе ... пе Ли. Предполагается, что определенные значения некоторых атрибутов обязательно должны присутствовать в минимальном следствии, в противном случае заданная модель рассуждения считается некорректной. Например, в рассуждении речь идет об объекте А,, для которого отсутствие значений а или Ь в следствии означает невозможность его существования в данной системе.
Методы элиминации парадоксов
1. Элиминация коллизии парадокса в Е-структурах. В [9] был предложен следующий метод элиминации: 1) выбирается сомнительная посылка (например, О ^ Е). Если обращение этой посылки (Е ^ О) допустимо, то она заменяет исходную посылку. Тогда коллизия парадокса не проявляется. В случаях, когда обращение посылки недопустимо, предлагается следующий вариант корректировки сомнительной посылки: вместо нее (О ^ Е или Все О есть Е) добавляется другое утверждение а ^ (О, Е) (Некоторые О есть Е). Доказано, что такая замена тоже приводит к элиминации парадокса.
2. Элиминация аномалии противоречия за счет ввода нового параметра. В [4] показано, что парадокс пресуппозиции можно элиминировать, если найти параметр, названный переключателем ассерции. Например, в случае с опоздавшим в институт Павлом таким параметром может стать причина опоздания (или ее отсутствие в случае своевременного прихода). Ввод этого параметра в модель в виде новой логической или пропозициональной переменной приводит к элиминации парадокса. В аномалиях противоречия баз знаний элиминацию можно выполнить путем поиска различающего параметра.
3. Для элиминации парадокса в случае парадоксальных значений атрибутов в следствии предлагается следующий метод расширения объема посылок. Пусть в минимальном следствии А = Л1 пе... пе Ап в атрибуте Хк отсутствует значение Ь, что свидетельствует о парадоксальности системы. Система посылок задана в схеме отношения [Хь..Хк. ..Хи]. В этой схеме отношения сформируем С-кортеж Рк = [*...{Ь}... *] и вычислим его обобщенное пересечение с каждой посылкой А,. Полученное множество АК-объектов Т = Рк А, целесообразно использовать для анализа корректности посылок и элиминации парадокса.
Отсутствие значения Ь атрибута Хк в минимальном следствии равносильно тому, что пересечение всех АК-объектов Т, равно пустому множеству. Чтобы этого избежать, необходимо проанализировать некоторые (поддающиеся изменению с точки зрения семантического анализа) посылки А, на предмет возможности расширения объема соответствующих Т Такое расширение выполнимо за счет расширения объема значений некоторых атрибутов.
Список литературы
1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
2. Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа / под общ. ред. А. Я. Фридмана. СПб.: Политехника, 2020.
3. Harmelen F. Applying rule-base anomalies to KADS inference structures // Decision Support Systems. 1997. V. 21, № 4.
4. Kulik B., Fridman A. Roles contradictions play in logical models of metaphors and presuppositions (2018) CEUR Workshop Proceedings, vol. 2303.
5. Strawson P. Introduction to Logical Theory. London. 1952.
6. Beaver D. Presupposition and Assertion in Dynamic Semantics. Stanford: CSLI Publications. 2001.
7. Karttunen L., Peters S. Requiem for Presupposition // Proceedings of the Third Annual Meeting of Berkeley Linguistic Society. Berkeley, 1977.
8. Попов Э.В. Общение с ЭВМ на естественном языке. М.: Наука. 1982.
9. Кулик Б.А. Логика естественных рассуждений. СПб: Невский диалект. 2001.
References
1. Mendelssohn E. Vvedeniye v matematicheskuyu logiku [Introduction to mathematical logic]. M.: Nauka, [M.: Science], 1971. (In Russ.)
2. Kulik B.A. Logika i matematika: prosto o slozhnykh metodakh logicheskogo analiza [Logic and mathematics: just about complex methods of logical analysis] / pod obshch. red. A. YA. Fridmana [ed. A. Ya. Fridman, SPb.: Polytechnic], 2020. (In Russ.)
3. Harmelen F. Applying rule-base anomalies to KADS inference structures // Decision Support Systems. 1997. V. 21, No. 4.
4. Kulik B., Fridman A. Roles contradictions play in logical models of metaphors and presuppositions (2018) CEUR Workshop Proceedings, vol. 2303.
5. Strawson P. Introduction to Logical Theory. London. 1952.
6. Beaver D. Presupposition and Assertion in Dynamic Semantics. Stanford: CSLI Publications. 2001.
7. Karttunen L., Peters S. Requiem for Presupposition // Proceedings of the Third Annual Meeting of the Berkeley Linguistic Society. Berkeley, 1977.
8. Popov E.V. Obshcheniye s EVM na yestestvennom yazyke [Communication with computers in natural language]. M.: Nauka [M.: Science]. 1982. (In Russ.)
9. Kulik B.A. Logika yestestvennykh rassuzhdeniy [The logic of natural reasoning]. SPb: Nevskiy dialekt [SPb: Nevsky dialect]. 2001. (In Russ.)
Сведения об авторах
Б. А. Кулик - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
ИПМаш РАН;
A. Я. Фридман - доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
ИИММ КНЦ РАН.
Information about the authors
B. A. Kulik - Dr. of Phys.-Math. Sc., leading research fellow of the Institute of Problems in
Mechanical Engineering of RAS;
A. Ya. Fridman - Dr. of Tech. Sc., professor, Leading Research Fellow of the Institute for
Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of
Sciences.
Статья поступила в редакцию 15.11.2021; одобрена после рецензирования 20.11.2021; принята к публикации 08.12.2021.
The article was submitted 15.11.2021; approved after reviewing 20.11.2021; accepted for publication 08.12.2021.
