Анализ основных свойств некоторых систем расходов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Є.~Ю. Кочевамина

АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ РАСХОДОВ

В нашей стране и за рубежом накоплен значительный опыт как теоретического анализа систем функций спроса, так и эконометрического оценивания их параметров на базе различных источников статистической информации. Однако результаты этих исследований применительно к России 90-х годов утратили свою ценность в связи с радикальными изменениями в экономической системе нашей страны в целом, и потребительского рынка в частности. Вместе с тем, в последние годы было очень мало работ, в которых предпринимались попытки построения формализованных моделей, отражающих наблюдаемую динамику и структуру потребительских расходов населения на уровне российской экономики в целом.

В рамках этого общего направления исследований можно выделить комплекс проблем, связанных с анализом математических свойств систем функций спроса и, на базе этого, с разработкой функций спроса обобщенного вида, пригодных, тем не менее, для эконометрического оценивания ее параметров.

Анализируя свойства различных функций спроса, можно прийти к заключению, что оптимальная функция должна удовлетворять ряду следующих свойств.

• Наличие либо замещаемости, либо дополняемости между товарами.

• Однородность нулевой степени по всем ценам и доходу (т.е. одновременное увеличение всех цен и дохода в п раз не влияет на потребление).

• Суммируемость, когда сумма расходов на все товары плюс сумма сбережений равнялись бы доходу.

• Соблюдение условия симметрии Слуцкого, когда для любых двух товаров частная производная потребления первого из них по цене второго при компенсированном доходе равна частной производной потребления второго по цене первого. В

случае функции спроса конкретного потребителя необходимо выполнение строгого равенства. При рассмотрении агрегированной функции спроса, когда индивиды отличаются по доходам и уровням расходов, должна сохраняться хотя бы приближенная симметрия.

• Возможность отображения как самой предельной склонности к потреблению, обусловливаемой доходом, так и влияния цен на нее.

Линейная функция спроса. Рассмотрим систему линейных расходов в так называемом двухуровневом представлении, предложенном в [1].

РХ = ті = Рісі + ьі (7 - X Рісі ), (1)

і

X Ь = 1, (2)

і

* ж*

Ь = Ь + /«ь,. , (3)

* **

С = С і + /(0С,- ,

С і = /] (7 і , РсГ 2 ] ) , (4)

где 7 = X7 - общий доход (расход); с}' - спрос на товар] группы і;

і

рі, р і - цены на группу і, товар ] группы і, соответственно; РіСі -Сі

фиксированные расходы (традиционный уровень потребления);

(7 - X Р С і ) - дополнительный доход (расход); Ь і (7 - X Р С ,■) - расі і

пределитель дополнительного дохода по статьям дохода (расхода); Ь, С і - искомые параметры; с1 , Ь і - фиксированные расход и доля дополнительного дохода на определенную дату; С**, Ь** - среднегодовой прирост (падение) расхода и дополнительного дохода на определенную дату, с і представлено в абсолютных величинах, Ь і - в долях.

Система соотношений (3) представляет собой линейную экстраполяцию указанных выше параметров.

Система уравнений (1)-(3) отражает принимаемые потребителем решения относительно структуры расходов во взаимосвязи для всех групп товаров одновременно. В то же время, как отмечают авторы [1], предполагаемое развитие динамики спроса на все группы товаров и услуг подчиняется одному закону, что не всегда соответствует действительности. Данная система является как бы «верхним уровнем» и предназначена для анализа и прогнозирования агрегированной структуры потребительских расходов.

Система уравнений (4) дезагрегирует показатели расходов, полученных на предыдущем этапе, и позволяет учесть особенность спроса внутри каждой группы, хотя не отражает факта одновременности принятия решения о всех группах, и, таким образом, является «нижним уровнем расходов».

Связь верхнего и нижнего уровней осуществляется на основе полученных оценок с 1на верхнем уровне (переменными, которые выступают экзогенными для нижнего уровня) и коэффициентов эластичности.

Коэффициент эластичности спроса для ,-й товарной группы по определению равен Е‘У = (дУ, / дУ )(У / У,). Соответственно,

= (дсгу / дУ! )(У / с') представляет собой коэффициент эластичности спроса на любой товар у по расходу на ,-ю агрегированную товарную группу. Тогда произведение этих двух величин дает показатель эластичности спроса на товар у по общему расходу У:

ЕУ = (дс\ / дУ)(У / с\).

Рассмотрим подробнее свойства системы (1)-(3).

Имеем функцию линейных расходов:

РуХу = РуСу + Ьу(У -рс) . (1.1)

Пусть выполнено условие X Ьу = 1, а так же выполняется бюд-

у

п

жетное ограничение X РуХу = У .

у=1

При этом русу можно интерпретировать, как минимальный уровень потребления среднего потребителя данного товара, X РР1 -

/

аналогично, но по всем товарам, независимо от дохода. Тогда выражение (У-X Рс,) характеризует дополнительный доход среднего

/

потребителя, который распределяется по товарным группам согласно компонентам вектора Ь.

Учитывая сказанное, перепишем исходное уравнение (1.1):

РуХу = Русу + Ьу (У - Рс) = (1 - Ьу )суРу + Ьу (У - X Р,с ,) ,

j

откуда получаем

Ху = (1 - Ьу )су + Ь (У - X Рс,) / Ру ].

г * у'

Тогда, дифференцируя xy по Y, pt, py, получим эластичности соответственно

по доходу: (dxj /dY)(Y/xj) = (bjY/ pjxj),

по цене: (dxj / dpj)(pj / Xj) = (b.Y - X P,c, / PjXj),

" * j

перекрестную: (dxy / dpi)(pt / xj) = -[(bjpici) / pjxj ].

Для упрощения дальнейшего анализа линейной функции спроса положим долю расходов на товар i в общих расходах: wt = (ptxt)/ Y , а так же воспользуемся следующей формой уравнения Слуцкого для эластичности замены товаров:

sv = [(dxj / dp j)(pt / xj )(1 / Wi)] + [(dxj / dY )(Y / xj)].

Откуда получаем: sjj = [bibj (Y - p c)] / wiwjY , &j,

su = [bi(Y-p'c)(bi-1)]/WWjY, i=i; hj=1,...,n. Или в более компактной форме:

■ IX J = i

s.j = [(bj- 8ji )bi(Y - pc)] /(wiwjY), 8ji = 10 . ф..

Согласно [2], уравнение Слуцкого имеет вид

(dxj/dpi) = (dxj/dpi)^p -(dxj/dY)xi, /;./^...л

тогда (xixjY)sy = (dxj / dpt) + (dxy / dY)xt,

откуда следует, что

(dxj/ cjpW = sy(xtxj/ Y), т.е.

Sij = [bibj (Y - pC) /(wiwjY)] = (Y / xixj )(dxj / dpt )comp , ^

В соответствии с предположением, что дополнительный доход

(Y- X pfi) всегда положителен, а его распределитель bj отвечает ус-

i

ловию 0< bj <1, для fcj имеем

Sy > 0, т.е. (dxj/ dpi)comp > 0,

что означает рассмотрение только взаимозаменяемых товаров.

При i=j

Sjj < 0 , поэтому (dxj / dp) COmp < 0 ,

т.е. речь идет о нормальных товарах. Поскольку эластичность по доходу больше нуля, то в данной модели не рассматриваются низкокачественные товары.

Для системы (1)-(3), очевидно, выполняются условия однородности и суммируемости. Однако первое требование, предъявленное

4 21

системе выполнено лишь частично, так как присутствует только замещение между товарами, и возможное изменение предельной склонности к потреблению при увеличении дохода не отражена вообще - она является постоянной.

Система уравнений функции спроса, разработанная А.В. Суворовым. Рассмотрим подход к построению системы уравнений функции спроса, предложенной автором работы [3]. Функция спроса записана в общем виде:

^ = / (7, л,■■■, Р„), (21)

где х1 - расходы на ,-й вид товаров (услуг) (/ = 1,...,п) в постоянных ценах, 7 - доход (все расходы плюс сбережения ) представлен в текущих ценах, Р/ - индексы цен на соответствующие виды товаров и услуг (/=1,...,п).

Предполагая, что / - произвольная функция, дифференцируемая по переменным 7,р1,...,рп, можно записать для / первый дифференциал. Разделив равенство на х/ , после тождественных преобразований имеем:

ёх /х =а,.(й!/У)+рл(йр /р^+...+Р,,(фй /ри) +...+Р*(ёрп /рп), (2.2)

где (д/ / дУ)(7 / х1) = а, - коэффициент эластичности спроса по доходу, а (д/ / дру)(ру / х 1) = в у - коэффициенты эластичности спроса по ценам ру, у=1,...,п. Как уже указывалось, функция спроса должна

быть однородна нулевой степени по всем ценам и доходу, т. е. пропорциональное увеличение дохода и цен на все виды товаров и услуг не должно вызывать изменений ни в структуре расходов потребления, выраженных в текущих ценах, ни в объемах покупок какого-либо вида товаров в реальном выражении.

В общем случае, используя теорему Эйлера для /(7,р ..,рп)

(д/ / д7 )7 + (д/ / дрО р1 +... + (д/ / дрп) рп = 0 и обозначения, принятые для эластичностей, получаем следующее условие однородности:

а,+ХР у = 0.

j

Поскольку расход удобно представлять в зависимости от реального дохода и цен, рассмотрим вместо 7 переменную 7 / р, где р -средний индекс цен, а с, = (р х ,,)/ 7 доля товара / в доходе 7. В этом случае первое слагаемое в системе уравнений (2.2) примет вид:

[д/ / д(7 / р)][ё(7 / р)/х ][(7 / р)/(7 / р)]=а,[ё(7 / р)]/(7 / р) =а,[(ё7 /7) - (ёр / р)],

где [д/ / д(7 / р)][(7 / р)/х, ] = а, имеет тот же смысл что и ранее, а Ру

являются уже коэффициентами спроса по цене при неизменном реальном доходе. Тогда зависимость расходов от реального дохода и цен преобразуется следующим образом:

(ёх/ х)=а,[(ё7/7)-(ёр/Р)]+Р,1(ёр/ р1)+„.+р„йр/ р„) +.+Р,п(ёрп/ рп). (2.3) При этом условие однородности функции / преобразуется в

ЕРу = 0.

У

Проведенный ранее анализ свидетельствует, что в общем случае

а, и Ру зависят от дохода и цен. В работе [3] предлагается считать

коэффициенты эластичности постоянными, что позволяет после интегрирования (2.3) получить линейное в логарифмах уравнение:

1п(х,) = По +а, 1п(7 / р) + р„ £ 1п(р,). (2.4)

Выполнение условия суммируемости £ р = 7 для формы (2.4) в случае сильного изменения реального дохода не обеспечивается. В работе [4] показано, что для (2.4) в следующем представлении:

х, = еао(7 / р)а,П рв ,

где с - доли в доходе соответствующих товаров, равенство

£ р х, = 7 выполняется только в постоянных ценах при достаточно

/

сильных предположениях о параметрах. Очевидным же ограничением на параметры эластичности по доходу для выполнения условия

суммируемости является £ а,с, = 1.

/

Действительно, продифференцировав £ р^1 = 7 по х, (при ус/

ловии, что р не зависит от 7, что следует из определения функции / ), получим:

£ [д(р,х,)/ д7] = £ (дх, / д7)р,, (х,7)/(х,7) = £а,с, = 1.

/ / /

Таким образом, система (2.4) требует непосредственной оценки большого количества параметров, например, для п товарных групп надо оценить п+2 параметра в каждом уравнении. В силу ограниченности длины временных рядов это невозможно.

Для уменьшения числа оцениваемых Ру (а всего их п2 - п), может быть использовано условие симметрии Слуцкого, которое при фиксированном реальном доходе (поскольку дх, / д(7 / р) = 0), ко-

торое имеет вид дх, / дру = дху / др,. Записав это равенство для (2.4), получаем: ру / р, = су / с,, что сокращает число неизвестных ру до

(п2 - п)/2 . Однако при числе товарных групп, представленных даже

агрегированной статистикой товарооборота (более 30 позиций), оценить параметры по временным рядам с учетом этого условия также невозможно. Автор работы [3] отмечает так же, что нет четкого представления об использовании условия Слуцкого для макроданных, в то же время, если структура спроса представлена только двумя товарными группами, условие симметрии выполняется автоматически, если выполнено условие суммируемости, и наоборот. Для обеспечения возможности эконометрической оценки параметров допускается следующее упрощенное представление функции спроса (2.4):

1п(х,) = а0 + а, 1п(7 / р) + Ь 11п(р , / р). (2.5)

Здесь необходимо оценить только три параметра в каждом уравнении, где Ь1 - эластичность спроса по относительному индексу цен. Средний индекс цен для реального дохода и цен рассчитывается по формуле средневзвешенной арифметической, однако в работе [3] автор, допуская выполнение нестрогого равенства соответствующей геометрической, использует

р = Прс .

Преобразуя последний член выражения (2.5)

Ь, 1п( р, / р) = Ь, (1 - с,) 1п( р,) - Ь, £ су 1п(ру ) ,

у ^,

получаем следующее представление (2.5):

1п(х) = а +а, 1п7 / р) +Ь (1-с, )1п(р,.)-Ь £с,. 1п(ру). (2.6)

у,

Однако выражение (2.6) описывает только замещающие друг друга товары. Действительно, продифференцировав (2.5) по ру и

используя условие Слуцкого при фиксированном реальном доходе, видим, что здесь Ь1 (1 - с ,) - эластичность спроса на ,-й товар по его же цене - отрицательна, следовательно и Ь меньше нуля, откуда (-Ь,.с,.) - эластичность товара , по цене у-го товара - положительна.

Данная форма была использована в работе [3] для получения оценок эластичностей спроса в разрезе достаточно крупных товарных групп, когда отсутствие дополнения вполне объяснимо (нельзя говорить о связи между потреблением мяса, например, и спросом на электроэнергию).

Важной особенностью дальнейшего преобразования модели (2.6), является то, что модель должна отражать изменение дифференциации доходов населения, которое оказывает существенное влияние на

спрос на товары, эластичность по доходу которых не равна 0 или 1. При построении динамики показателей товарооборота на данных нескольких лет А.В. Суворов использовал следующее представление функции спроса, исходя из того, что распределение населения по уровню доходов описывается логнормальной кривой:

1п(х„) = а0 +а,1п(7, /р,) + Ь, 1п(ри /р,) + Л, 1п(ст,) , (2.7)

где ст, - среднеквадратическое отклонение логарифмов дохода в году ,, 7, - общий объем товарооборота в текущих ценах, хи - отдельная позиция товарооборота в сопоставимых ценах.

Система уравнений, предлагаемая К. Алмоном. При рассмотрении линейной системы расходов в первом разделе данной статьи очевидно, что первое слагаемое правой части уравнения (1) описывает основные расходы потребителя, так называемые, расходы первого представления, и, следовательно, вызывающие наибольший интерес для исследования, а второе слагаемое - распределение дополнительного дохода. Предлагаемая в [4] модель представляет основные расходы потребителя. Особый акцент авторами данной модели делается не только на влияние бесконечного роста дохода на предельную склонность к потреблению, но и на характер пропорций, в которых колебания цен влияют как на параметры, связанные с доходом, так и на несвязанные с ним.

Система, предложенная К. Алмоном в [4], имеет следующий вид:

х, = (а,(,) + Ь 7/р)ПрТ . (3.1)

к

Очевидно выполняется условие однородности нулевой степени по ценам, поскольку, записав уравнение Эйлера для однородных функций:

дх

-±рк = (а (,)+Ь7 / р)£сйПр? = (а (О+Ь7/йШ'£* = o,

Срк к I I к

п

где I, к, 1=1,...,п, получаем следующее равенство: £ск = 0 , выполне-

к=1

ние которого говорит об однородность нулевой степени.

Пусть р - некоторый индекс цен, а,, (,) отражает влияние разных факторов, не связанных с ценами и доходом, тогда условие суммируемости для (3.1) возможно только в постоянных ценах, когда верно следующее:

£ Ьк = 1.

к

Если относительные цены меняются, необходимо использовать «распределитель». Поскольку в [4] предполагается, что дополни-

тельный доход составляет лишь небольшую часть от всего дохода, то в дальнейшем анализе «распределитель» не рассматривается.

Пусть р - такой индекс цен, что производная х1 по р. (при компенсированном доходе) равна: (дх1 / ср.)г/р=сот, = с ,х1 / р, , условие Слуцкого предполагает, что с,х1 / р, = с,х, / р1, что может быть записано как с, /с= р,х, / Р<х< = 5,- /5,-, следовательно, с, /5,. = с,.,. /5,. , где 5 бюджетная доля товара .

Если обозначить X, = с,, /5,, то X, = X, тогда симметричны бу-, , , , , дут X, , а не с,, поэтому далее речь пойдет о X, как о параметрах

исходного уравнения.

Рассмотрим (3.1) на том же примере трех товарных групп, что и в [4].

Группа О Группа С Группа Б

Подгруппа А Подгруппа В

Частный транспорт Общественный транспорт Продукты питания Прочие

1. Бензин 4. Авиалинии 7. Мясо 11. Одежда

2. Шины 5. Железные дороги 8. Молочные продукты 12. Жилище

3. Автомобили 6. Автобусы 9. Хлеб и крупы

10. Прочие

Внутри подгруппы А предположительно есть дополняемость товаров, в подгруппах В, С и Б - замещаемость, в то же время замещаемость внутри Б более слабая, чем замещаемость между С и А или С и В.

Обозначим характеристики отношения между товарами, которые не очень тесно связанны друг с другом, в произвольных группах и между группами через X0, внутри одной группы ХО, ХС, для подгрупп - Х А, Х В .

О С Б

А В

X А ХО Х 0 Х 0 1 2 А 3

Х О Х В Х 0 Х 0 4 5 В 6

Х 0 Х 0 Х С Х 0 7 8 С 9 10

Х 0 Х 0 Х 0 Х 0 11 Б 12

Рассмотрим (3.1) для одного из товаров группы С:

х1 = (а, (/) + Ь 7 / р)р^ П рск* , при этом используется следующая фор-

кеС к ф,

мула среднего индекса цен р = П рГ , где 9 - в конкретном случае С.

кеб

При этом рС = (П р1к )1/ 5С , где ЯС = 2 Як - бюджетная доля

кеС кеС

группы С; А-С = (XС - X0)5С; сп = с и - Xся ,.

В этом случае х, принимает вид:

х, = (а,(/) + Ь,7 / р)рс рС рХо, причем из свойства однородности нулевой степени следует равенство

си +Xc +X о = 0,

тогда

х, = (аО1)+Ь 7/ р)(р,-/ рс )с (р,- / р^, .е С. (3.2)

Примем обозначение А = (а, (/) + Ь 7 / р), после дифференциро-

вания (3.2) по цене получим:

сх,/ср,=(А]ПрккХс/гсПрк5кXо)р(*Хс/гс^+г^^ I ,

' ' кф, кф, ' р

тогда знакоопределяющая часть

П„ =-X,c (1 - Г / гс )-X о(1 - Г ), ,е С ,

перекрестная эластичность внутри группы С

сх, /ср , = ((А/р,^+Xо)]Пркк^/5С Прк%Xо)р(гЛс/"С^ 1

‘ 1 ' кФ, кФ, 1

П1 = ^С5, / 5С + ^Xо, 1 е ^ ■' ф 1

между группами 4, В, Б и группой С:

й*с/др,=(а/рСх°)прг^рГ |,

,фС '

П1 = ^X о, 1 £ С ^ ф 1,

при ^ =X о и хс = (ас (О + Ьс7 / р)(рс / П рг/1)0( рс / П рг )-Xо.

,=АВСБ ,=АВСБ

Исследуя вид П, , можно прийти к выводу, что если Аc - положительна, то товары в группе С замещают друг друга, если отрицательна -дополняют. Цена каждого товара в данной группе оказывает влияние на товар пропорционально бюджетным долям.

Рассмотрим далее модель (3.1) для группы Б:

х, = (а, (^) + Ь 7 / р)(р , / р )-Xо, ,еБ, тогда

Б X -1-11

дх,/ 5р, = АП ркко р; 0-о I , Пй =-Xо(1 - ■^

кф, |р

при этом связь внутри группы такая же как и между группами, поэтому

дх,/ ар, = Ар,-яо п ркк4 рТо I , , Чу = Xо■■ , , ф у.

к ф, ^у

Для группы А, после ряда алгебраических преобразований в работе [4] получено следующее уравнение:

х,. =(а,(/) + Ь 7 / р)(р ,/ ра)-ха (р,/ рс )<5 (р,/ р ) ^о, ,е4, где X,A = Га(Xа -XG);X,G = яа(X0 - Ао), так как + Гв ,

ра = (П р, )1/;а , ра = ( П рТ )1/(;а-;в>.

уеА уеАиВ

Для подгруппы В функция спроса идентична подгруппе 4. Достаточно заменить А на В, а далее поступать аналогично предыдущим группам:

ах / = (А^^ркА А ЯА ПрГ^ ^ Пр )р(г, 5A)_XA^(^г ^ ''о-^ |

кф,, кф, кф р

(1 - ; /яА) XG (1 - ; /■о) - - ;), ,еА-

Тогда внутри группы А

ах,. / дру = (А/pАAАo+Аl)]Пp^kXA/fA Прк^0 ПркЛ рТа/;аМТо/;оК ^

кфу кфу кфу

Пу = АAsi /;а + АG; у /•% + Xо■■, Ь у е А, ф у .

В свою очередь, внутри группы G имеем:

^'-А = XG ^ АА = ГА G - XG ) = о ,

поэтому

^ '

1р!

дх, /др, = (А/р*)прГ* ^ ПрГ°р,

к ф у кф,

Пу =АGSу / ^ ^5у , у £ A, у е G .

По всем группам, кроме А, получаем

X А = АG = А0 ^ XА = о,АG = о .

тогда

дх, / др,=( а / рх о) п р1кХ о рТ о

к ф у

'ру

где Пу = X0яу , у £ А .

Итак, анализируя п,у для различных групп, можно увидеть, что все товары внутри определенной группы либо замещают, либо до-

полняют друг друга в одной и той же степени, корректируемой с помощью бюджетных долей. Следовательно, для того чтобы показать особенно высокую степень замещаемости между товарами, они должны быть выделены в одну подгруппу внутри общей группы.

Однако, в ряде случаев, если товар имеет собственную эластичность по ценам о , то для товаров, находящихся с ним в отношениях замещаемости, а так же для него самого происходит нарушение симметрии Слуцкого (например, табачные изделия).

Проведенный анализ показывает что, две последние модели обладают рядом особенностей. Так, модель К. Алмона позволяет исследовать не только замещение, но и дополнение между товарными группами. В свою очередь, модель А.В. Суворова отражает влияние изменения дифференциации доходов населения на спрос.

Литература и информационные источники

1. Соловьев Ю.П., Друкер С.Г. Анализ и прогнозирование структуры потребительских расходов. М.: Наука, 1981.

2. Данилов Н.Н. Курс математической экономики. Новосибирск: СО РАН, 2002.

3. Суворов А.В. Доходы и потребление населения: макроэкономический анализ и прогнозирование. М.:Макс Пресс, 2001.

4. Алмон К. Система функций потребления и ее оценка для Бельгии // Эконом. мат. методы. Т. XIV. Вып. 3. 1978.