Анализ ошибок при тригонометрической интерполяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов, Н. В. Гирин

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения АНАЛИЗ ОШИБОК ПРИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Получено выражение для вычисления коэффициента линейных искажений, возникающих при использовании тригонометрической интерполяции. Оценено влияние объема выборки, периода дискретизации и количества членов интерполирующего полинома на ошибки интерполяции.

Для решения задачи восстановления непрерывной функции по ее дискретным отсчетам используются различные методы интерполяции. При этом неизбежно возникают ошибки, зависящие от объема выборки, периода следования отсчетов непрерывной функции и ее спектрально-корреляционных характеристик.

В настоящей статье рассматривается тригонометрический метод интерполяции, который сравнительно легко реализуется современными вычислительными средствами.

Пусть на интервале наблюдения Тн заданы N значений y[k] непрерывной функции y(t), следующие с периодом Т, при этом k = 0, 1, 2, ..., N - 1 — номера отсчетов функции y(t) в моменты времени tk = kT .

Требуется аппроксимировать функцию y(t) на интервале Тн тригонометрическим полиномом [1]

Уи(t) = 1A +ZÍAj cos j^ + С sin jпри m < N/2, (1)

2 j=ll Тн Тн J

N-1

так чтобы минимизировать сумму отклонений У (y[k] - уи [k])2 , здесь уи [k] — отсчеты ин-

k =0

терполирующей функции уи (t) в моменты времени tk ; коэффициенты Ао, Aj и С j определяются по формулам

2 N-1 2 N-1 2nk 2 N-1 2nk

A0 = — У y[k ]; Ai = — У y[k ]cos j^^; С, = — У y[k]sin j-22^, 1 < j <N/2. Nk=0 Nk=0 N -1 J Nk=0 N -1 '

Пусть функция y(t) представляет реализацию стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием.

Для оценки возникающих ошибок интерполяции воспользуемся коэффициентом линейных искажений [2—5]

Анализ ошибок при тригонометрической интерполяции

43

к л. и (т)=л/Гя2(Т),

где ^12(т) — коэффициент взаимной корреляции функций у(Х) и уи (X); очевидно, что коэффициент Кл и (т) показывает степень отличия этих функций. Коэффициент взаимной корреляции определяется как

^12(т) = В12(т)/сси .

В данном случае В^Ст) = у(Х) уи (X + т) — взаимная корреляционная функция исходной и интерполирующей функций, а и аи — их средние квадратические значения соответственно; черта сверху означает статистическое усреднение.

Соотношение (1) позволяет найти взаимную корреляционную функцию В^Сг) при т = 0 :

1

N -1

m ( 2 N-1

B12 (0) = N Z y[k]Уи (t) + Z N Z y[k]Уи (t) cos j

. 2n k

Л

k=0

j=1V Nk=0

N -1

.2П t cos j--+

Тн

m ( 2 N-1

+Z NZ y[k]Уи(t)sinjNr1

j=1 V N k=0 N 1

Л

sin j-

,2nt

T

-*- TLT

(2)

В результате преобразований выражение (2) записывается следующим образом:

1

N -1

B12(0) = — Z B(t - kT)

N k=0

/ 2nk 2ntЛ

N -1 T

1+2cos ]

_ ]=1 V' * 'н у где В(Х - кТ) — корреляционная функция исходной функции у(Х) .

На основании выражения (1) дисперсию интерполирующей функции уи (X) можно представить соотношением

-¡2

°и = yИ(t) = 4 A2 +

m (А ■ 2nt . ,2nt Л

Zl Аcos jT~ + °jsin

j=1V TH TH y

которое преобразуется к виду

i N-1 N-1 4 mm N-1 N-1 i

^ = 7^ Z Z B[k - p] z Z Z Z B[k - p] |cos j^L cos j ^ X

N k=0 p=0 N j=1 i=1 k=0 p=0

X cos

i 2n

Y

vTh N - 1y

. . 2np . . 2nt .

+ Sin i-sin i-sin

j 2n

N -1

^ t k Л

T

vTh N - 1y

N -1 Тн

Пусть корреляционная функция случайного процесса описывается соотношением

В(т) = о2ехр(-| т| А/), где А/ — параметр, определяющий ширину спектральной плотности процесса у(Х) .

Функции В(т) соответствует медленно затухающая спектральная плотность.

Результаты расчетов коэффициента Кл и(т) при т = 0 , объеме выборки N = 17, количестве членов интерполирующего полинома т = 8 в крайних точках интервала наблюдения для различных значений произведения А/Т приведены ниже.

Л/T 0,25 0,15 0,05 0,02 0,005 0,002 0,001

Kл и (°),0% 55,6 52,5 38,7 26,6 14,2 9,5 7,2

Полученные данные показывают, что увеличение произведения А/Т приводит к росту коэффициента линейных искажений и тем самым к увеличению ошибок интерполяции.

44

С. И. Зиатдинов, Н. В. Гирин

Ниже приведены результаты расчетов коэффициента Кл и (0) для тех же исходных данных, что и в предыдущем случае, но в середине интервала наблюдения при I = 8Т.

А/Т 0,25 0,15 0,05 0,02 0,005 0,002 0,001

Кл и (0),% 21,9 19,3 13,1 9,2 6,1 5,2 4,9

Сопоставление приведенных результатов показывает, что ошибки интерполяции в середине интервала наблюдения практически в 2—3 раза меньше ошибок интерполяции на границах интервала.

В табл. 1 представлены результаты расчетов коэффициента Кл и (0) в середине интервала наблюдения (^ = 8Т) при N = 17 в зависимости от количества членов интерполирующего полинома для различных значений произведения А/Т.

Таблица 1

т 8 7 6 5 4 3 2 1

А/Т =0,002 5,20 5,22 5,28 5,31 5,40 5,45 5,63 5,84

Кл и (0),% А/Т =0,005 6,09 6,15 6,29 6,31 6,58 6,85 7,05 7,35

А/Т = 0,15 19,28 19,73 21,01 21,49 23,72 24,20 27,81 31,20

Как следует из анализа полученных результатов, для узкополосного случайного процесса у(^) (при А/Т < 0,05) уменьшение количества членов интерполирующего полинома с восьми до одного не приводит к заметному росту ошибок интерполяции, тогда как для достаточно широкополосного случайного процесса у(^) (при А/Т < 0,15) такое изменение приводит к увеличению коэффициента линейных искажений с 19,28 до 31,20 %.

Рассмотрим случай, когда корреляционная функция случайного процесса у(^) имеет вид

В(т) = o2exp(-т2 А/2), чему соответствует резко падающая спектральная плотность.

Результаты расчетов коэффициента Кл и(т) при т = 0, N = 17, т = 8 в крайних точках и в середине интервала наблюдения приведены ниже.

А/Т 0,25 0,15 0,05 0,02 0,005

Кл и (0),% 56,6 55,9 34,1 15,2 5,2

А/Т 0,25 0,15 0,05 0,02 0,005

Кл и (0),% 21,7 15,1 5,3 4,6 4,5

В табл. 2 приведены результаты расчетов коэффициента Кл и (0) в середине интервала наблюдения при N = 17 в зависимости от количества членов интерполирующего полинома для различных значений А/Т.

_Таблица 2

т 8 7 6 5 4 3 2 1

Кл и (0),% Д/Т = 0,02 4,54 4,54 4,54 4,55 4,55 4,56 4,56 4,57

Д/Т = 0,15 15,6 15,41 15,76 15,78 16,23 16,61 17 17,20

Полученные результаты свидетельствуют о том, что для случайного процесса с резко падающей спектральной плотностью ошибки, вносимые тригонометрическим интерполятором, значительно меньше, чем в случае медленно затухающей спектральной плотности.

Комбинаторное объединение и кодирование номеров каналов в анализаторах радиосигналов 45

список литературы

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.

2. Зиатдинов С. И., Жуков А. Д. Искажение сигнала в узкополосных фильтрах // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 12. С. 44—47.

3. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала фильтром Баттерворта // Там же. 2007. Т. 50, № 1. С. 35—39.

4. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала экстраполяторами // Там же. 2007. Т. 50, № 5. С. 57—60.

5. Зиатдинов С. И. Линейные искажения сигнала интерполятором // Там же. 2007. Т. 50, № 10. С. 50—53.

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информационно-сетевых технологий 22.05.07 г.

УДК 358.421:623.98

Ю. П. Мельников, С. В. Попов

Санкт-Петербург

КОМБИНАТОРНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ И КОДИРОВАНИЕ НОМЕРОВ КАНАЛОВ В АНАЛИЗАТОРАХ ИМПУЛЬСНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ

Рассматривается возможность сокращения количества приемно-усилительных трактов в многоканальных анализаторах путем объединения выходов избирательных каналов в относительно небольшое число групп.

Многоканальные анализаторы радиосигналов (пеленгаторы и приемники-частотомеры) применяются преимущественно в условиях, когда требуется осуществить обнаружение и пеленгование радиотехнических средств, излучения которых имеют кратковременный характер и связаны с непосредственной угрозой применения средств поражения. Типичным примером такой ситуации является налет средств воздушного нападения (например, самолетов, противокорабельных ракет с радиолокационными головками самонаведения) на надводные корабли, когда время обнаружения не должно превышать нескольких секунд [1].

Многоканальные пеленгационные системы представляют собой совокупность пространственно-избирательных каналов, образуемых несколькими диаграммами направленности (ДН) антенных устройств (набором отдельных направленных антенн или многолучевой антенной системой), совместно перекрывающими подлежащий наблюдению сектор пространства. Определение направления приемного сигнала производится по номеру канала (одного или двух соседних), в котором зарегистрирован факт приема. В многоканальных пеленгаторах с использованием функционального метода обработки направление приема уточняется по данным амплитудного или/и фазового мгновенного сравнения сигналов на выходах каналов [2, 3]. Однако применение такой обработки сопряжено с усложнением аппаратуры пеленгатора.

Для обеспечения точности пеленгования в ряде известных конструкций многоканальных круговых пеленгаторов [4, 5] используется большое число направленных антенн (15—20 и более), совместно перекрывающих весь диапазон в 360°. Конструкции самих направленных антенн достаточно просты и надежны, однако наличие в составе пеленгатора большого количества приемных трактов приводит к усложнению устройства и ограничению надежности.

Принципиально возможно значительно сократить количество приемных трактов по отношению к числу антенн путем объединения сгруппированных выходов антенн с несмежными