CC BY
97
МЕХАНИКА. Механика деформируемого твердого тела
D0l.org/10.5281/zenodo.1286007 УДК 539.3
В.В. Субботницкий
СУББОТНИЦКИЙ ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ - к.т.н., профессор кафедры механики и математического моделирования Инженерной школы, e-mail: v2s32@mail.ru Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091
Анализ ошибок определения касательного напряжения при изгибе
Аннотация: При отсутствии крутящего момента касательные напряжения в поперечных сечениях стержня обычно связывают со значением поперечной силы и определяют с помощью известной формулы Д.И. Журавского. Однако это не всегда верно. В балках переменного сечения и даже в балках постоянного прямоугольного сечения, нагруженных распределенной продольной нагрузкой, найденные по формуле Журавского напряжения могут существенно отличаться от действительных. Не всегда верно определяются касательные напряжения в поперечных сечениях, имеющих скачкообразное изменение ширины.
В статье выявлены причины неверных решений, анализируется формула Журавского, вид ее записи и пределы применимости. Рассматривается общий метод определения касательных напряжений от возможных нагрузок в балках с заданным поперечным сечением, размеры которого могут изменяться вдоль оси стержня. Найденные с помощью этого метода напряжения с достаточной точностью совпадают с решениями, выполненными методом теории упругости, а в сложных случаях - численно.
Ключевые слова: касательные напряжения, поперечная сила, изгибающий момент. Введение
Впервые Кулон (Coulomb) обратил внимание на касательные напряжения при изгибе, рассматривая балки небольшой длины. Вика (Vicat) провел опыты, которые подтвердили влияние касательных напряжений на прочность коротких балок. Метод строгого определения касательных напряжений в балках был предложен Сен-Венаном (Saint-Venant). Однако при решении конкретной задачи возникали математические трудности. Поэтому по сей день инженеры вынуждены пользоваться приближенным элементарным решением, предложенным Д.И. Журав-ским (см., например [8]).
Теория определения касательных напряжений в балках прямоугольного сечения была разработана Журавским в 1844-1850 гг. при проектировании деревянных мостов для железной дороги, соединяющей Санкт-Петербург с Москвой. За эту работу и исследование мостов системы Гау Академия наук наградила Журавского премией имени Демидова. Метод Журавского был переведен на французский язык, вошел в учебники по сопротивлению материалов и стал широко применяться инженерами, особенно при расчете тонкостенных конструкций, в которых касательные напряжения могут быть значительными [8].
Формула Журавского была получена для балки постоянного сечения в виде узкого прямоугольника (ширина меньше высоты) от действия поперечной нагрузки. При сложных поперечных сечениях касательные напряжения определяются методами теории упругости, а при математиче-
© Субботницкий В.В., 2018
О статье: поступила: 17.01.2018; финансирование: бюджет ДВФУ.
ских трудностях - численно. Современная вычислительная техника позволяет получать соответствующие решения, но они не совсем удобны при обычных инженерных расчетах. Инженеру желательно иметь простую формулу или несложный способ нахождения напряжений. Поэтому предложенная в XIX веке формула Журавского применяется и в настоящее время, причем при расчете не только балок прямоугольного сечения. Подробно с формулой можно ознакомиться в работах [3, 16]. Вывод формулы и способы ее применения излагаются во всех учебниках по сопротивлению материалов.
К сожалению, формула Журавского неверно определяет напряжения от распределенной продольной нагрузки, причем даже в балках прямоугольного сечения. Такая нагрузка возникает, например, в балке, поддерживаемой часто расположенными вантами, под углом к ее оси (во времена Журавского эти нагрузки не рассматривались).
Формула Журавского неверно определяет напряжения в местах скачкообразного изменения ширины сечения (например, в прокатных профилях при переходе из стенки в полку).
Формулу Журавского нельзя применять при расчете балок переменного сечения. Поэтому в некоторых учебных изданиях [10, 12, 16], используя методику Журавского, рассматривают способы нахождения касательных напряжений в балках переменного сечения и даже предлагают формулы для их определения. Указанное заслуживает внимания. Однако предлагаемые формулы (так же, как и формула Журавского) не позволяют находить напряжения от распределенной продольной нагрузки и неверно определяют напряжения при резком изменении ширины сечения.
Совсем недавно появились работы, в которых предлагается уточнение формулы Журав-ского с помощью методов теории упругости [1, 2] и получение решений, учитывающих неравномерное распределение напряжений по ширине сечения, влияние коэффициента Пуассона и касательных напряжений, перпендикулярных плоскости изгиба [4-7]. Предлагаемая методика может быть рекомендована для балок со значительной шириной сечения, которая изменяется по высоте. Однако в таких балках касательные напряжения обычно не являются расчетными. В этих работах не рассматриваются действие продольной распределенной нагрузки и определение касательных напряжений в балках переменного сечения, а также в местах скачкообразного изменения ширины сечения.
Рассмотрим способы инженерного вычисления (методы сопротивления материалов) касательных напряжений от распределенной продольной нагрузки, в балках переменного сечения и в местах скачкообразного изменения ширины сечения.
Касательные напряжения от распределённой продольной нагрузки.
Напряжения сдвига и изгиба
Рассмотрим поперечный изгиб балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 1).
а б в
Рис. 1. Поперечный изгиб: а - поперечная сила и изгибающий момент; б - поперечное сечение; в - эпюра касательных напряжений.
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
Формула Журавского для касательного напряжения в этом случае принимает вид
т -т -3-^1
^У = т = 2ЪН V1 П2 )'
(1)
где Q - поперечная сила, Ь и к - ширина и высота сечения.
При выводе формулы принимается постоянство касательного напряжения по ширине сечения. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 1, в.
Пусть балка имеет длину I и шарнирно закреплена по концам. Рассмотрим два вида нагру-жения. В первом случае подберем нагрузку, при действии которой через поперечные сечения передаётся только поперечная сила, а изгибающий момент равен нулю. Такой вид нагружения можно назвать чистым сдвигом. Во втором случае подберем нагрузку, от действия которой через поперечные сечения передаётся только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю. Этот вид нагружения можно назвать чистым изгибом. Найдём при каждом виде нагружения в одном из поперечных сечений касательные напряжения.
Если нагрузить балку поперечной погонной интенсивностью цу = q и распределенным моментом тх = —Ц20 (рис. 2, а), то получим эпюры результирующих напряжений (поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх) , представленных на рис. 2, б, в, соответствующие первому виду нагружения.
Рис. 2. Расчетная схема и результирующие напряжения чистого сдвига: а - расчетная схема; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра изгибающих моментов.
Изгибающий момент равен нулю и, следовательно, равны нулю нормальные напряжения во всех поперечных сечениях. Если не учитывать небольшие сжимающие напряжения в продольных сечениях, то во всех точках балки имеем напряженное состояние чистого сдвига. Возникает вопрос: можно ли воспользоваться формулой Журавского (1) для определения касательных напряжений в поперечных сечениях? К сожалению, на этот вопрос обычно дают утвердительный ответ и вычисляют напряжения по формуле (1), но это неверно. Формула Журавского определяет изги-бные касательные напряжения, которые возникают в продольных сечениях для уравновешивания изменяющихся нормальных напряжений от сечения к сечению из-за возрастания или убывания изгибающего момента. Формулу (1) правильнее записать в виде
'■гу
3 йМх 2ЪК йг
(2)
Производная от изгибающего момента по абсциссе сечения
йМх
= Q^
Формулы (1) и (2) совпадают, если mx = 0. В нашем случае изгибающий момент отсутствует, и изгибные касательные напряжения равны нулю (ти = 0), но в поперечных и продольных сече-
т
и
ниях действуют, как уже указывалось выше, касательные напряжения сдвига. Однако при заданном условии задачи найти эти напряжения невозможно.
Нагрузка, действующая на элемент конструкции, может быть поверхностной и объемной. В природе нет распределенного момента, так же как нет сосредоточенного момента, сосредоточенной силы и погонной интенсивности. Эти перечисленные виды нагрузок получаются в результате приведения поверхностных и объёмных сил к точкам оси стержня в пределах каждого поперечного сечения.
Усилия, передающиеся через любое сечение, уравновешивают нагрузку, действующую по одну сторону от сечения. Поэтому приведение поверхностных и объёмных сил в пределах каждого поперечного сечения не отразится на величинах усилий, передающихся через поперечные сечения (нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящий моменты).
Однако, если необходимо найти усилия, передающиеся через продольные сечения стержня, то усилия, приведенные по всей высоте, не позволяют это сделать. Заданный в условии нашей задачи распределенный момент может определяться поверхностной нагрузкой, по-разному распределенной по высоте сечения. Для каждого варианта распределения будем получать различные усилия и, следовательно, различные напряжения в продольных сечениях.
Таким образом, для вычисления напряжений в продольных сечениях необходимо рассматривать действительное распределение поверхностных сил, а не статически эквивалентную по всей высоте стержня величину распределенного момента. Касательные напряжения в продольных сечениях по закону парности равны напряжениям в поперечных сечениях в точках линии пересечения продольного и поперечного сечений. Поэтому касательные напряжения в поперечных сечениях определяются через касательные напряжения в продольных.
Может быть множество вариантов действия нагрузок, которые приводятся к заданному распределенному моменту. Рассмотрим два из них (рисунки 3, 4).
Первый вариант нагружения
Кроме поперечной погонной интенсивности q балка нагружается продольной погонной ин-ч
тенсивностью п1 = -г0, действующей на верхней и - в противоположном направлении - на нижней грани (рис. 3).
Рис. 3. Первый вариант нагружения: а - расчетная схема; б - выделенный элемент; в - эпюра касательных напряжений в сечении
При приведении продольной погонной интенсивности к точкам оси стержня получим распределенный момент:
4 и
тх = = -^о.
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
Следовательно, нагрузка соответствует первоначально заданному условию. Для нахождения касательных напряжений воспользуемся тем же способом, который применяется при выводе формулы Журавского. Выделим элемент двумя поперечными сечениями на бесконечно близком расстоянии и третьим продольным сечением на расстоянии у от оси стержня (рис. 3, а, б). Элемент находится в равновесии, и сумма проекции сил, действующих на него, на ось oz равна нулю. Из этого уравнения получим:
хгу = хуг = — (3)
Таким образом, в каждом поперечном сечении касательные напряжения постоянны (рис. 3, в).
Второй вариант нагружения
Продольная погонная интенсивность п2 = 2^г0 действует только по верхней (рис. 4) грани. При приведении этой нагрузки к точкам оси стержня получим распределенный момент: к ц к
тл
П2 2 = —2~кго 2 =
Ч2 о
и погонную интенсивность п2, действующую вдоль оси oz. Эта погонная интенсивность вызывает центральное растяжение, а остальная нагрузка (распределенный момент тх и поперечная погонная интенсивность q) соответствуют первоначально заданной. Осевое растяжение не влияет на величину касательного напряжения в поперечном сечении, а при желании его (осевое растяжение) можно компенсировать, если по каждой боковой поверхности стержня приложить соответствующую поверхностную нагрузку. Интенсивность этой поверхностной нагрузки по обеим сторонам: = (рис. 4 а).
Рис. 4. Второй вариант нагружения: а - расчетная схема; б - выделенный элемент; в - эпюра касательных напряжений в сечении
Касательные напряжения в продольном сечении (ту2) на расстоянии у от оси стержня найдем, как и при первом варианте нагружения, из условий равновесия выделенного элемента (рис. 4, а, б). Сумма проекций сил, действующих на элемент, на ось ог равна нулю.
-гу2Ьйг - |р2| • - у) йг = 0.
^уг
Или
%угЪ к У2
Отсюда
У2 ЪП\2 у) ПЪП\2 у) ЬИ °\2 Ю гУ
(4)
Такая же формула получается и без компенсации растяжения. В этом случае на поверхностях выделенного элемента будет отсутствовать нагрузка р2, но в поперечных сечениях появятся нормальные напряжения растяжения.
Эпюра касательного напряжения в сечении го представлена на рис. 4, в.
В торцевом сечении стержня (при го = I) в обоих вариантах нагружения можно приложить нагрузку, поверхностной интенсивностью равную касательному напряжению в этом сечении (рис. 3, а и рис. 4, а). Тогда закономерность заданного нагружения будет выполняться и при z0 = I, а усилия в опорных креплениях станут равными нулю.
Можно рассмотреть и другие варианты нагружения, при которых, после приведения усилий к точкам оси стержня, получим заданную расчетную схему (рис. 2, а). Для каждого варианта получим свою эпюру касательных напряжений в соответствующем сечении. Однако для всех вариантов площадь этой эпюры будет одна и та же, так как произведение площади эпюры касательных напряжений на ширину сечения равно поперечной силе.
Теперь рассмотрим второй вид нагружения, при котором через поперечное сечение передается только изгибающий момент.
На рис. 5 представлен самый простой (классический) случай чистого изгиба. Балка в концевых сечениях нагружена равными моментами, действующими в одной плоскости в противоположном направлении.
Если стержень нагрузить распределенным моментом, изменяющимся линейно от m0 на одном конце до - m0 на другом, то через поперечные сечения передается только изгибающий момент (рис. 6). Получаем чистый изгиб с переменным по длине балки изгибающим моментом. Интенсивность распределенного момента
тх = то-2^го, (5)
а величина изгибающего момента определяется выражением
Мх = -того + то -0.
(6)
Рис. 5. Чистый изгиб моментами М0: а - расчетная схема; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра изгибающих моментов.
Рис. 6. Чистый изгиб от распределенного момента: а - расчетная схема; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра изгибающих моментов.
Зададим вопрос: чему равны касательные напряжения в поперечных сечениях стержня при двух видах чистого изгиба, представленных на рис. 5 и 6? Обычно, к сожалению, получаем неправильный ответ, что касательные напряжения отсутствуют (равны нулю), так как равна нулю поперечная сила.
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
Если стержень постоянного поперечного сечения, то касательные напряжения в поперечных сечениях стержня в первом случае нагружения (рис. 5) равны нулю, но во втором (рис. 6) - не равны нулю. Более того, и в первом случае нагружения касательные напряжения будут не равны нулю, если, например, высота поперечного сечения будет переменной по длине. На (рис. 7) изображена балка, высота поперечного сечения которой изменяется от ^ до Выделенный элемент (рис. 7, б) будет находиться в равновесии только при наличии касательных напряжений в продольном (т^) и, следовательно, в поперечном (т^= сечениях , так как
Таким образом, присутствие или отсутствие касательных напряжений в поперечном сечении стержня в данном случае не связано с величиной поперечной силы.
Рис. 7. Чистый изгиб балки переменного сечения: а - расчетная схема; б - выделенный элемент.
Распределенный момент, как уже указывалось выше, может определяться различными вариантами нагрузок, и, очевидно, для каждого варианта мы будем получать свою эпюру касательных напряжений.
Рассмотрим один из вариантов нагружения стержня, при котором нагрузка приводится к расчетной схеме, изображенной на рис. 6. Распределенный момент может создаваться одинаковой продольной нагрузкой, действующей по верхней и нижней граням стержня в противоположном направлении.
Интенсивность такой нагрузки равна отношению интенсивности распределенного момента к высоте сечения. Тогда интенсивность продольной нагрузки (рис. 8)
Рис. 8. Один из вариантов нагружения распределенным моментом тх: а - расчетная схема; б - выделенный элемент; в - выделенный элемент с изгибными напряжениями; г - выделенный элемент с напряжениями сдвига.
Чтобы интенсивность продольной нагрузки при 20=0 начиналась со значения т0/^ необходимо в торцевых сечениях приложить касательную нагрузку интенсивностью -т0^ (рис. 8). Эта
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
нагрузка воспримется опорными креплениями. Реакции в связях будут равны m0, а эпюры результирующих напряжений (эпюры Q и M) представлены на рис. 6.
Касательные напряжения в продольном сечении (т^) можно определить, рассматривая равновесие выделенного элемента (рис. 8, б). Эти напряжения складываются из напряжений изгиба и сдвига:
Ту2 ти + тс .
Касательные напряжения изгиба, как уже указывалось выше, уравновешивают изменения нормальных напряжений от одного поперечного сечения к другому (рис. 8, в) и могут быть найдены по формуле Журавского. Касательные напряжения сдвига определяются продольной нагрузкой, действующей на стержень (рис. 8, г).
Подставив (6) в (2), найдём касательные напряжения изгиба:
_ 3 Ти = 2Ьк
( , 2то (-то ^-¡-го
I
Д1 к2 ) Ьк(1 2/ у к2 )
Касательные напряжения сдвига получим из равновесия элемента, изображенного на рис. 8, г.:
= а = то(1 2*о\ = Ь = Ьк( 1У
Касательные напряжения в поперечном сечении на расстоянии z0 от начала координат:
'■гу
Туг + Тс
3тп (т.*
(---) Ък\1 2)
к2 ) + Ьк(1 2 I
Касательные напряжения при Zо = —:
Тгу =
3то ( I ~Ьк
(1А)(1-4У1)+^(1-21) = -3-^(1-4У1) +
(41 2)(1 к2) + Ьк(1 241) 4Ьк(1 к2 ) +
то 2Ьк
Первое слагаемое определяет касательное напряжение изгиба (рис. 9, б), а второе - касательное напряжение сдвига (рис. 9, в). На рис. 9, г изображена суммарная эпюра касательных напряжений (эпюра т2у). Площадь эпюры равна нулю, так как поперечная сила отсутствует.
Рис. 9. Касательные напряжения в сечении г0=1 / 4 : а - поперечное сечение; б - эпюра ти; в - эпюра тс; г - эпюра т2у; д - искривление сечения.
т
с
1
Так как по высоте сечения касательные напряжения изменяются (рис. 9, г), то происходит изменение и угловой деформации. В результате поперечное сечение искривляется (рис. 9, д). В
сечении го = ^ касательные напряжения и угловая деформация равны нулю при 1
у = +с = = +0.288111.
■У — — 2^3 ~
На рис. 9, д элементы с нулевой угловой деформацией заштрихованы. Угловая деформация остальных элементов определяет искривление сечения. На рисунке показаны направления действия касательных напряжений и их значения при у = 0 и у = ±Ь/2.
Вернемся к первой задаче чистого изгиба (рис. 5) стержня постоянного сечения. Ввиду симметрии (рис. 10, а) среднее сечение остаётся плоским. Проведем сечение 1-1 и отбросим правую часть стержня, заменив её действие моментом Мъ = М0 (рис. 10, б). Среднее сечение стержня длиною Iх также должно остаться плоским. Так как 11 может принимать различные значения, то все поперечные сечения в средней части стержня останутся плоскими.
Рис. 10. Чистый изгиб стержня постоянного сечения двумя моментами М0: а - заданная схема нагружения; б - отсеченная часть стержня.
Если плоское сечение до нагружения остается плоским и после нагружения, то касательные напряжения по любому направлению в этом сечении постоянны, так как угловая деформация во всех точках этого направления в плоскости, перпендикулярной сечению, одинаковая (не происходит искривления рассматриваемого направления).
В точках контура поперечного сечения касательные напряжения по направлению, перпендикулярному к контуру, по закону парности равны нулю (рис. 10, а, б) и, так как должны оставаться постоянными, равны нулю во всех точках направления. Рассматривая в поперечном сечении различные направления, перпендикулярные к контуру, приходим к отсутствию касательных напряжений в поперечных сечениях. Отсутствие касательных напряжений в поперечных сечениях можно получить также из уравнений равновесия для выделенного элемента (рис. 7, при
При нагружении балки продольной распределенной нагрузкой кроме касательных напряжений изгиба возникают касательные напряжения сдвига, которые формула Журавского не определяет (при выводе формулы такие нагрузки не рассматривались). Поэтому найденные по формуле Журавского напряжения отличаются от действительных.
Касательные напряжения в балках переменного сечения
Определение касательных напряжений из уравнения равновесия для выделенного элемента применяется в некоторых трудах по сопротивления материалов при расчете стержней переменного сечения [10, 12, 16]. Однако в большинстве работ для определения касательных напряжений в поперечных сечениях любого стержня и при любом нагружении применяется формула Д.И. Журавского.
Ошибки допускают даже известные ученые. Например, в одном из лучших учебных пособий по теории упругости В.А. Киселева [14], при сопоставлении решений ряда задач методами теории упругости и сопротивления материалов, неверно определяются касательные напряжения в расчете методом сопротивления материалов. Данное учебное пособие с грифом Минобразования
СССР оцифровано и имеется в интернете. Рассмотрим решение одной из задач: расчет клина на силу тяжести и давление воды. Результаты этого расчета методами теории упругости и сопротивления материалов, представленные в пособии [14] на рис. 29, в данной статье см. на рис. 11.
На рис. 29 в пособии [14]: у - удельная сила тяжести воды, у - удельная сила тяжести материала клина, т = Размер клина по оси ъ принимается равным единице. Напряжения определяются в точках сечения аЬ (рис. 11) на расстоянии х от вершины клина. Расчет выполняется раздельно на силу тяжести и давление воды. Расчеты на силу тяжести клина методами теории упругости и сопротивления материалов совпадают (рис. 11). При расчете клина на действие давления воды нормальные напряжения в сечении, найденные методами теории упругости и сопротивления материалов, совпадают, но касательные напряжения, определяемые по формуле Журав-ского, существенно отличаются от действительных значений напряжений, найденных методом теории упругости (треугольная и параболическая эпюры (рис. 11). Учитывая такое расхождение в значениях касательных напряжений, а также то, что в курсе сопротивления материалов нет формулы для определения напряжений ау, автор пособия приходит к заключению: это значит, что уравнения теории упругости дают главные напряжения и их траектории, отличные от тех, которые получаются в сопротивлении материалов.
Автор пособия допустил ошибку, применяя формулу Журавского, полученную для бруса постоянного сечения, к стержню переменного сечения (к клину). В пособии допущена ошибка и в определении касательных напряжений от силы тяжести клина. Касательные напряжения в рассматриваемом сечении равны нулю, но не потому, что равна нулю поперечная сила.
Рис. 11. Расчет клина на силу тяжести и давления воды: а - расчетная схема; б - результаты расчета на силу тяжести; в - результаты расчета на давление воды [14, рис. 29].
Расчет прочности клина на силу тяжести и давление воды встречается и в другой литературе. В учебнике по теории упругости и пластичности [9] эта задача решается так же, как и в пособии В.А. Киселева [14]. Аналогично сопоставляются касательные напряжения, найденные методом теории упругости, с напряжениями, определяемыми по формуле Журавского (эпюры напряжений в виде треугольника и параболы). В соответствии с гипотезой о ненадавливании волокон балки в поперечном направлении нормальные напряжения в продольных сечениях (ау на рис. 11) при расчете методом сопротивления материалов авторы принимают равными нулю. Очевидно, что эту гипотезу, так же как и формулу Журавского, нельзя применять к стержню переменного сечения.
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
Поэтому возникает вопрос: зачем авторы учебника сравнивают решение, выполненное методом теории упругости, с заранее известным неверным решением, представляемым как решение методом сопротивления материалов? Более того, А.В. Александров и В.Д. Потапов (авторы учебника по теории упругости и пластичности [9]), являются и соавторами учебника по сопротивлению материалов [10], в котором рассматривается определение касательных напряжений в балках переменного сечения.
Рассмотрим, как должен выглядеть расчет клина на действие давления воды методом сопротивления материалов. Расчет проведем в системе координат, принятой в учебном пособии В.А. Киселева (рис. 11). На рис. 12, а представлена расчетная схема. Поперечное сечение клина в сечении ab (на расстоянии x от вершины) изображено на рис. 12, б. Изгибающий момент в сечении ab очевидно равен:
1 11, Мг1 = ~УХ^Х^~Х =-^уХ3,
а нормальное напряжение ох
Мг1 У1
, где ]21
1-(хт)3
осевой момент инерции площади попе-
1г1 "1 12
речного сечения относительно оси z1 (рис. 12, б); т = ЬдР, как уже указывалось выше.
Рис. 12. Результаты расчета клина на действие давления воды: а - расчетная схема; б - поперечное сечение на расстоянии х от вершины; в - отсеченный элемент бесконечно малой длины; г - эпюра напряжений в сечении х; д - эпюра напряжений ТхУ в сечении х; е - эпюра напряжений оу для точек сечения х; ж - эпюры напряжений (оу и тху) в сечении у=у1.
Подставив значения изгибающего момента и осевого момента инерции в формулу для
напряжений, получим
М.
Оу
г1
]21
■У1
12у • х3
2у
У\ =--У\.
6 • (хт)3 т3
Перейдем от местной оси у1 (в сечении) к общей координате у:
(У1=У^—).
Тогда:
2у 2у ( хт\ 2у ух
°х =--чУ1 =--ч (У —т") =--чУ +--ч.
т3 т3 V 2 ' т3 т2
Эта формула совпадает с формулой, полученной методом теории упругости.
Эпюра напряжений изображена на рис. 12, г.
Для определения касательных напряжений и напряжения ау выделим элемент бесконечно малой длины (на рис. 12, а, заштрихован). Элемент выделяется тремя сечениями. Одно - на расстоянии х, другое - на расстоянии x+dx и третье - на расстоянии у (рис. 12, а). На рис. 12, в, этот элемент изображен отдельно, с указанием напряжений, действующих в сечениях.
Элемент находится в равновесии. Касательное напряжение тух и парное ему тХу (тХу = ТуХ) найдем из суммы проекций сил, действующих на элемент, на ось х. Напряжение ох в сечении х обозначим 0(1), а в сечении х+ёх - 0(2).
2у .ух 2у у(х+йх) 2у ух уйх
Тогда а(1) =--3у + — а а(2) =---у +---— =---у + — +---
V У Ш ТП- ' Ш ТП- т- т2 т2
Сумма проекций сил, действующих на элемент, на ось х
— | &(1)йА + |
о(л^А + I &(2)йА — гухйх • 1 = 0 .
Здесь А - площадь поперечного сечения. А*1 и Л*2 - отсеченные части площади поперечного сечения (площади сечений в выделенном элементе).
Так как ширина поперечного сечения постоянна и равна 1, то можно принять dA=1•dy. В этом случае уравнение проекций сил на ось х примет вид: хт (х+йх)т
— I а(1)1йу + I 0(2)1йу —Тухйх = 0.
У У
Вычислим интегралы
хт хт
( *тъ=( (Ау + Ц)<1у=±у2—±*у.
] ( ' ] \ т3 т2) т3 т2
У У
(х+йх)т (х+йх)т
Г Г ( 2у ух уйх\ у у у
I °(2)ау = I (--чУ +—7+--т)^У =^чУ2--чхУ--чУих.
J ^ ) ] \ т3 т2 т2 / т3 т2 т2
у у
Подставив полученные значения интегралов в уравнение проекций, будем иметь:
у ух у ух у
У2 +-ТУ + -ТУ2--2У--2у<1х — тух1
т3 т2 т3 т2 т2
У У
Отсюда Тух = — ~5.У. По закону парности Тху = Тух = —
Полученная формула для касательных напряжений совпадает с формулой, найденной методом теории упругости. Эпюра этих напряжений в сечении изображена на рис. 12, д.
Для определения напряжения ау приравняем нулю сумму проекций сил, действующих на элемент, на ось у:
хт (х+йх)т
—ауАх' 1 — 1 Тху ' 1^У + 1 т„-иу = 0.
У У
Подставив значения тху и вычислив интегралы, получим
У ? У 7 У 7 ,
-ауах + 2х2 --Г2-ухйх -2йх2 + жу2 = 0■
Отсюда оу = —ух.
Эта формула также совпадает с формулой, полученной методом теории упругости. На рис. 12, е, изображена эпюра оу для точек сечения, которая совпадает с эпюрой в учебном пособии В.А. Киселева. Напряжение оу действует в сечении, перпендикулярном оси у. Поэтому эпюру необходимо строить для точек такого сечения. На рис. 12, ж, для сечения у1 = тх1 изображены эпюры нормальных (ау) и касательных (тух) напряжений.
Таким образом, для данной задачи решения, выполненные методами теории упругости и сопротивления материалов, совпадают, и В.А. Киселев, автор анализируемого нами пособия, неправ.
Напряжения тух и ау определяются из уравнений равновесия. Поэтому точность этих напряжений зависит только от точности нахождения напряжений ах. При нагружении клина другой нагрузкой, напряжения ах , найденные методами теории упругости и сопротивления материалов, могут не совпадать . В этом случае не совпадут и значения напряжений тух и ау. Однако это расхождение обычно незначительное.
Касательные напряжения при скачкообразном изменения ширины сечения
При поперечном изгибе балки двутаврового сечения обычно неверно определяют величину касательного напряжения в полке двутавра в месте перехода стенки в полку.
Касательные напряжения находятся по обобщенной формуле Журавского: _ _ амх
*гу = = — ^ (7)
Формула определяет касательные напряжения в продольном сечении, проходящем через рассматриваемую точку, и парные касательные напряжения в поперечном сечении. В формуле -статический момент отсеченной части площади поперечного сечения, ]х- осевой момент инерции площади поперечного сечения (ох - нейтральная ость), Ь*- ширина сечения.
Рис. 13. Касательные напряжения в поперечном сечении двутавра: а - поперечное сечение; б - эпюра напряжений; в - неверная эпюра напряжений.
Рассмотрим точки (в стенке) и Б2 (в полке) (рис. 13, а). Если они находятся на бесконечно близком расстоянии, то напряжения в них должны быть одинаковыми (рис. 13, б). Однако в большинстве учебников по сопротивлению материалов, подставляя в формулу (7) Ь* = й (для точ-
ки 01) и Ь* = Ъ (для точки И2), получают разные значения напряжений (рис. 13, в). Формула (7) предполагает равномерное распределение напряжений по ширине сечения. При небольшой ширине d это более или менее выполнимо, но при значительной Ь* = Ь такое допущение маловероятно. Формулу (7) нельзя применять при определении напряжений тгу в точках полки, и получаемое различие в напряжениях и тВ2(рис. 13, в) указывает на это.
Истинные напряжения т можно найти только с помощью более сложных методов теории упругости, - говорится в учебнике [10]. Решение этой задачи методом теории упругости давно известно, и результаты (характер эпюр напряжений) приводятся в литературе (см., например, [11, 15]). Возникает вопрос: почему, располагая точным решением, продолжают использовать неверное? Вероятно, причина в том, что методами сопротивления материалов эти напряжения обычно не определяются. Поэтому можно понять авторов пособий, в которых такие напряжения просто не рассматриваются. Однако имеются учебники и пособия, в которых формула Журавского применяется при любых значениях Ь , и в результате получаются эпюры напряжений со скачками.
В местах скачкообразного изменения ширины сечения касательные напряжения также имеют скачки или разрывы [13], но это неверно. Можно показать, что определение касательных напряжений при изгибе в любых точках тонкостенных сечений, за исключением мест концентрации напряжений, не является сложной задачей, и нет необходимости обращаться к методам теории упругости.
Рассмотрим определение касательных напряжений в балке двутаврового сечения (рис. 13, а). Касательные напряжения в любой точке оси oy в стенке определяются по формуле (7).
Напряжение в точке Б1:
^ =
амх
йг Jxb*
йМх 1 . Н-Ь
—-—Ы—.
йг Jxd 2
(8)
Для определения напряжений в точках оси oy в полке продолжим стенку в тело полки, отсекая её с двух сторон от стенки (рис. 14, а).
Рис. 14. Разделение двутавра на элементы: а - отсечение полок от стенки; б - бесконечно малый элемент.
Согласно аксиоме связей, действие одной части тела на другую можно заменить соответствующими усилиями. В проведенных сечениях нормальные напряжения равны нулю, а касательные найдем по формуле (7), так как толщина полки t незначительная. Обозначим эти напряжения
йМх $*х
йМг 1 ъ - й к -г ■г-
йг |ХЬ* йг |ХЬ* 2
йМх 1 йг 4]Х
(Ъ-й)(к-г).
т
п
Т-п =
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 2(35)
Теперь выделим элемент бесконечно малой длины тремя сечениями: продольным сечением к
на расстоянии у > - — Ь и двумя поперечными сечениями (рис. 14, а, б). Нормальное напряжение в сечении ъ обозначим о^, а в сечении z + dz — о(2). Приравняем нулю сумму проекций сил, действующих на элемент, на ось оъ.
| а^йА + | а(2)йА — т2уйг • й + 2тпйг — у) = 0,
А* А*
{ *
здесь А*- отсеченная часть площади поперечного сечения. Подставив значения напряжений а(1)' а(2) и тп, получим:
Мх + йМх
Л
уйА — т2уйг • й + 2
йМх(Ъ — — 0 (к
dz
4}х
йг
{ь-у) = 0-
Или йМу
■ Г 1 йМх 1 /Ь \
- I уйА — т2уйг • й +———— (Ъ — й)(к — ^1 — — у)йг = 0,
J 2 dZ }х \2 /
А*
}
X
где
г » . „* , (к \ 1 (к \ к2й у2й
К* уаА = Ьх = а (— У)^~\~ + У) =---- статистический момент отсеченной части
А \2 / 2 \2 / 8 2
(к \ 1 {к . \ к2й у2й <2 2\2 ' ) 8 2 площади поперечного сечения.
Подставив значение Бх и разрешив полученное выражение относительно тгу, будем иметь
1 йМх 1
'■гу
2 dz }хй
к2й
4
У
а + (ъ — а)(к — г) (Ь — у)
По закону парности тгу = туг.
к
Напряжение в точке Б2 (рис. 13, а) (при у = - —
1 йМх 1
2 dz }хй
Ь2й
4
Такое же напряжение и в точке Б1 (см. формулу (8)). Эпюра напряжений изображена на рис. 13, б.
йМх 1 к — г
—-—Ы-
dz }хй 2
Заключение
Касательные напряжения в балке складываются из напряжений изгиба и сдвига (см. задачу, представленную на рис. 8, и её решение - на рис. 9). Напряжения сдвига - это напряжения от продольной нагрузки, распределенной по высоте сечения, а напряжения изгиба уравновешивают нормальные напряжения от изменяющегося от сечения к сечению изгибающего момента. Формула Журавского определяет касательные напряжения изгиба, но только в балках постоянного сечения. Причем в формулу должна входить не поперечная сила, а производная от изгибающего момента по абсциссе сечения (см. формулу (7)). Неверные решения, встречающиеся при применении формулы Журавского, возникают при нарушении пределов её применимости:
1) формула не определяет напряжения от продольной распределенной нагрузки;
2) поперечное сечение должно оставаться одинаковым по всей длине балки;
3) формула применима, если ширина сечения значительно меньше высоты и существенно не изменяется по высоте (скачкообразное изменение ширины сечения отсутствует). В этом случае напряжения практически постоянны по ширине сечения.
Касательные напряжения изгиба, сдвига или суммарные, а также нормальные напряжения в продольных сечениях необходимо определять из уравнений равновесия выделенного элемента
А
А
бесконечно малой длины, а их точность зависит от точности найденных ранее нормальных напряжений в поперечных сечениях, которые в балках реальных конструкций определяются с достаточной для инженерных расчетов точностью.
Таким образом, методы сопротивления материалов дают возможность нахождения касательных напряжений в балках различных сечений при любых нагрузках без привлечения методов теории упругости. Не следует противопоставлять методы теории упругости и сопротивления материалов. Трудно сказать, где закачивается сопротивление материалов и начинается теория упругости. Это две ветви одной науки - механики деформируемого твердого тела.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каган-Розенцвейг Л.М. Техническая теория касательных напряжений в изгибаемом стержне // Вестник гражданских инженеров. 2017. № 3(62). С. 40-49.
2. Каган-Розенцвейг Л.М. Уточнение формулы для касательных напряжений технической теории изгиба // Вестник гражданских инженеров. 2014. № 6(47). С. 84-89.
3. Машиностроение: энциклопедия в 40 т. / ред. совет: К.В. Фролов и др. Т. 1-3. А.В. Александров, Н.А. Алфутов, В.В. Астанин и др. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин: в 2-х кн. / под общ. ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1995. 624 с., ил.
4. Харлаб В.Д. К технической теории касательных напряжений при плоском изгибе балок // Вестник гражданских инженеров. 2016. № 1(54). С. 82-88.
5. Харлаб В.Д. Развитие элементарной теории касательных напряжений при плоском изгибе балок (I) // Вестник гражданских инженеров. 2015. № 1(48). С. 82-87.
6. Харлаб В.Д. Развитие элементарной теории касательных напряжений при плоском изгибе балок (II) // Вестник гражданских инженеров. 2015. № 4(51). С. 74-78.
7. Харлаб В.Д. Развитие элементарной теории касательных напряжений при плоском изгибе балок (III) // Вестник гражданских инженеров. 2017. № 5(64). С. 77-82.
8. Timoshenko S.P. History of strength of materials. New York. McGraw-Hill Book C., 1953, 452 p.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА, АНАЛИЗИРУЕМАЯ В ДАННОЙ СТАТЬЕ
9. Александров А.В., Потапов В.Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: учебник для строит. спец. вузов. 2-е изд., испр. М.: Высш. шк., 2002. 400 с.: ил.
10. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: в 2 ч. Ч. 1: учебник и практикум для академического бакалавриата: 9 изд. М.: Юрайт, 2018. 293 с. ил.
11. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука,1965. 856 с.: ил.
12. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: учеб. пособие. М.: Наука, 1986. 560 с.: ил.
13. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов: учебник / под ред. Г.С. Варданяна. М.: ИНФРА-М, 2010. 480 с., ил. (сер. Высшее образование).
14. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1976. 151 с.: ил.
15. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Т. 2. М.: Наука, 1978. 616 с.
16. Gere J.M., Timoshenko S.P. Mechanics of materials. 4th ed., Boston, An International Thompson Publishing Co., 1997, 942 p.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Mechanics of Deformable Solids
D0I.org/10.5281/zenodo.1286007
Subbotnitsky V.
VLADIMIR SUBBOTNITSKY, Candidate of Engineering Sciences, Professor,
Department of Mechanics and Mathematical Modelling, School of Engineering,
e-mail:v2s32@mail.ru
Far Eastern Federal University
8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091
The analysis of errors when determining shear stress in bending moments
Abstract: In the absence of torque, the tangential stresses in the cross sections of the rod are usually associated with the values of the transverse force and are determined by means of D.I. Zhuravsky's well-known formula. However, this is not always correct. In beams with variable cross-section and even in those with constant rectangular section loaded with longitudinal load the stresses found by Zhuravsky's formula can differ significantly from the actual ones. The tangential stresses in cross sections with a discontinuous changes in width are not always determined correctly. The article reveals the causes for wrong solutions. Zhuravsky's formula as well as the type of its record and the scope of applicability is analysed in it. It considers a common method for determining the tangential stresses from all possible loads in beams with a given cross-section whose dimensions can vary along the axis of the rod. The stresses found by this method coincide with sufficient accuracy with the solutions performed by the methods of the theory of elasticity and the numerical ones in complex cases. Key words: tangential stresses, transverse force, bending moment.
REFERENCES
1. Kagan-Rozentsveig L.M. Technical theory of tangential stresses in a bent rod. Herald of civil engineers. 2017(62);3:40-49.
2. Kagan-Rozentsveig L.M. Refinement of the formula for tangential stresses of the technical theory of bending. Herald of civil engineers. 2014(47);6:84-89.
3. Mechanical engineering: an encyclopedia of 40 vols. Vol. 1-3. Alexandrovna A.V., Alfutov N.A., Astanin V.V. et al. Dynamics and strength of machines. Theory of mechanisms and machines: in 2 books. M., Mechanical Engineering, 1995, 624 p.
4. Harlab V.D. To the technical theory of tangential stresses in the case of plane bending of beams. Herald of civil engineers. 2016(54);1:82-88.
5. Harlab V.D. Development of the elementary theory of tangential stresses in the case of plane bending of beams (I). Herald of civil engineers. 2015(48);1:82-87.
6. Harlab V.D. Development of the elementary theory of tangential stresses in the case of plane bending of beams (II). Herald of civil engineers. 2015(51);4:74-78.
7. Harlab V.D. Development of the elementary theory of tangential stresses in the case of plane bending of beams (III). Herald of civil engineers. 2017(64);5:77-82.
8. Timoshenko S.P. History of strength of materials. New York. McGraw-Hill Book C., 1953, 452 p.
EDUCATIONAL LITERATURE ANALYZED in this ARTICLE
9. Alexandrov A.V., Potapov V.D. Strength of materials. Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity: a textbook for building specialties of universities. M., Higher School, 2002, 400 p.
10. Alexandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Resistance of materials: in 2 parts. Part 1: a textbook and a workshop for academic baccalaureate: 9th edition M., Yurayt, 2018, 293 p.
11. Belyaev N. Strength of materials. M., Science, 1965, 856 p.
12. Birger I.A., Mavlyutov R.R. Resistance of materials: a manual. M., Science, 1986, 560 p.
13. Vardanyan G.S., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Resistance of materials: textbook. M., INFRA-M., 2010. 480 p. (Series Higher Education).
14. Kiselev V.A. The flat problem of the theory of elasticity, a textbook for high schools. M., Higher School, 1976,151 p.
15. Filin A.P. Applied mechanics of a solid deformable body: Resistance of materials with elements of the theory of continuous media and structural mechanics. Vol. 2. M., Science, 1978, 616 p.
16. Gere J.M., Timoshenko S.P. Mechanics of materials. 4th ed., Boston, an International Thompson Publishing Co., 1997, 942 p.
