CC BY
85
УДК 519.872
С. А. Краснов, А. В. Уланов, С. В. Матвеев
Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
АНАЛИЗ ОПЕРАТИВНОСТИ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ АКТУАЛЬНОСТИ
На основе моделей многоканальных немарковских систем массового обслуживания с временными ограничениями предложен метод оценивания оперативности процесса обработки информации с ограниченным временем актуальности. Проанализированы различные типы распределений времени обработки и актуальности. Предложено многослойное представление диаграммы переходов в системе с гиперэкспоненциальными (второго порядка) распределениями обслуживания и актуальности. Показаны переходы между состояниями марковизированной системы. Представленные численные результаты позволяют выбрать наиболее оптимальный режим функционирования систем обработки данных.
системы массового обслуживания, обработка данных, численные методы.
Введение
Некоторые виды информации, например о координатах перемещающихся объектов, со временем теряют актуальность. При проектировании систем обработки больших объемов подобной информации необходимо учитывать, что время ее ценности ограничено. В связи с этим возникает необходимость разработки подходов и моделей оценивания оперативности процесса обработки устаревающей информации.
В широко используемой для решения подобных задач теории очередей существует отдельный класс систем массового обслуживания (СМО), описывающий схожее явление, - системы с ограничением времени пребывания. По-другому они называются СМО с «нетерпеливыми» заявками. «Нетерпеливая» заявка уходит из системы при превышении некоторого допустимого (в общем случае случайного) времени пребывания. В качестве показателя эффективности функционирования СМО в стационарном режиме можно использовать вероятность ухода «нетерпеливой» заявки.
Анализ литературы [1] - [4] показал, что в настоящий момент существуют методы расчета марковских многоканальных, а также одноканальных немарковских GI/G/1-G систем (через дефис указан тип распределения времени «терпения»). В первом случае требование марковости предполагает, что распределения интервалов между заявками входящего потока, времен обслу-
39
живания в каналах и уходов из системы по «нетерпению» показательные и, следовательно, обладают свойством марковости - отсутствием последействия. Отсутствие последействия в данном случае предполагает, что оставшееся время актуальности и обработки не зависит от того, сколько времени уже идет обработка и как давно поступила информация. Очевидно, на практике эти условия не выполняются: упомянутые распределения скорее равномерные. Одноканальные немарковские системы GI/G/1-G также не подходят для исследования эффективности процесса обработки, поскольку возможен случай распараллеливания.
Выходом из сложившейся ситуации является применение многоканальных немарковских систем с произвольным распределением «терпения», однако работы по их анализу практически отсутствуют. Исключение составляет статья [5], посвященная анализу системы с гиперэкспоненциальным (H2) распределением «терпения» M/M/n-H2. Главная ценность упомянутой статьи состоит в общей идее, конкретный метод расчета в ней не представлен. Похожая задача, только для системы с показательным распределением «терпения», решена в [6].
Применение ^-распределения позволяет анализировать СМО с произвольными распределениями обслуживания и «терпения» с достаточной точностью. Отметим, что ^-распределения относятся к распределениям фазового типа, включающим также распределения Эрланга и Кокса. Последние продуктивно использовались для решения различных прикладных задач, например, для оценивания оперативности функционирования систем автоматической рубрикации документов [7], [8] и для моделирования надежности программного обеспечения [9], [10].
Аналогии представленной в [5] диаграммы M/M/n-H2 с хорошо исследованной системой M/H2/n позволили распространить подход к расчету второй системы на расчет первой. Ниже представлены результаты расчета системы M/H2/n-H2.
1 Модель M/H2/n-H2
Известно, что Н2-распределение представляет собой две параллельные фазы с показательными распределениями пребывания в каждой и заявка с вероятностью у попадает в первую фазу, а с вероятностью у2 - во вторую.
Рассмотрим систему M/H2/n-H2, когда имеются свободные каналы. Пусть Н2-распределение «терпения» имеет параметры {и, у.}, а распределение обслуживания - {у., р.}, i, j =1, 2, где и, у. - вероятности выбора фаз, у., р. - параметры показательного распределения задержки в них. Для каждой вновь прибывшей заявки в систему необходимо зафиксировать ее тип по времени «терпения» (с вероятностью их она будет первого типа, с вероятно-
40
стью u2 - второго) и по времени обслуживания (аналогично с вероятностями у1 и y2). Зафиксировав количество заявок в каждой из фаз обслуживания (i, j) и «терпения» (l, m), получим микросостояние системы, которые характеризуются четверкой (i, j, l, m): i + j = l + m = k, где к - количество заявок в системе. Наглядно изобразить возможные микросостояния системы M/H2/n-H2 можно с помощью разбиения ярусов диаграммы, содержащих распределение заявок по фазам обслуживания, на слои, обозначающие расстановку по фазам «терпения» (рис. 1).
Рис. 1. Многослойное представление состояний системы M/H2/n-H2
Номер яруса соответствует количеству заявок в системе, двузначные числа по горизонтали - расстановке по фазам обслуживания, по вертикали -по фазам «терпения». Начиная с яруса j > n, прибывшие заявки становятся в очередь и не влияют на обслуживание, соответственно диаграмма перестает расти «вширь», увеличивается лишь количество слоев каждого нижележащего яруса. Изобразить всевозможные переходы между микросостояниями на данной диаграмме с сохранением наглядности крайне затруднительно, поэтому рассмотрим переходы из одного микросостояния (i, j, l, m) в соседние.
На рис. 2 показаны упомянутые переходы в «недогруженной» системе, т. е. когда имеются свободные каналы обслуживания. Коэффициенты над стрелками, соединяющими микросостояния, последовательно перемножаются. При прибытии новой заявки выбираются типы ее «терпения» и обслуживания (очередность выбора в данном случае не принципиальна). При уходе по завершении обслуживания выбор следующего микросостояния пропорционален доле заявок соответствующего типа «терпения», при уходе по завершении «терпения» - доле заявок соответствующего типа обслуживания.
41
Рис. 2. Переходы в недогруженной системе M/H2/n-H2
Когда все каналы заняты, вновь прибывшая заявка становится в очередь. При этом микросостояние обслуживания не меняется, но меняется расстановка по типам «терпения». Возможные при этом переходы представлены на рис. 3.
При уходе заявки по завершении обслуживания следующее микросостояние выбирается исходя из того, какого она была типа «терпения» (соответствующая вероятность пропорциональна числу заявок соответствующего типа) и какого типа обслуживания первая в очереди заявка (с вероятностью у она первого типа, с вероятностью у2 - второго). При уходе по исчерпании «терпения» для начала устанавливается, из канала он произошел или из очереди (вероятность каждого события пропорциональна числу каналов и длине очереди соответственно). Если из очереди, то уменьшается количество заявок соответствующего типа «терпения». Если из канала - сначала выбирается, какого типа обслуживания была ушедшая заявка, затем - первая в очереди заявка.
2 Матрицы переходов и уравнения баланса
Обозначим через S. . множество всех возможных микросостояний обслуживания на i-м слое j-го яруса системы. Номер слоя совпадает с количеством заявок второго типа «терпения». Из рис. 1 очевидно, что i = 0, j. Через oj обозначим количество микросостояний в S. В случае ^-распределения о. = min (n, j) +1. Каждый крайний слой j-го яруса (нулевой и j-й) связан переходами по прибытии заявок лишь с одним крайним слоем (нулевым и (j - 1) -м
42
У*
Рис. 3. Переходы в загруженной системе М/Н2/п-Н2
соответственно) (j - 1)-го яруса. Остальные слои i = 1, j -1 связаны с двумя слоями вышележащего яруса. С нижележащим ярусом каждый слой j-го связан переходами с двумя слоями (j + 1)-го. В соответствии с диаграммой переходов и этим правилом формируются следующие матрицы интенсивностей инфинитезимальных переходов:
A^j[о, xGj+1], m = 0, 1 - в Si+m j+1 (прибытие заявки), где m = 0 соответствует первому типу «терпения» прибывшей заявки, m = 1 - второму;
j- *0,-1] - в Si-m j-1 (уход заявки по обслуживанию или исчерпании терпения), причем для слоев i = 1 , j -1 возможен переход на два слоя вышележащего яруса, поэтому m = 0, 1, а для крайних слоев при i = 0 m = 0, при i = j m = 1;
Ц j [Oj j ] - уход из состояний /-го слоя яруса j (в квадратных скоб-
ках здесь и далее указывается размер матриц).
Введем векторы-строки ni j = {ni j 1, ni j 2,..., ni j CT } нахождения СМО в состояниях /-го слоя j-го яруса. Ограничение числа заявок в системе числом R необходимо, поскольку диаграмма переходов не стабилизируется. Теперь можно записать векторно-матричные уравнения баланса переходов между
состояниями слоев для ярусов j = 0, R -1:
П0,0D0,0 = 2 nm,1Bm,1;
m=0
*i, j°<. j
П0, j-1A0, j-1 + 2 ni+m, j+1B
m=0
,,m i = 0-
j+1^ i+m, j +1’^
1
п j-1, j-1 a,-1, j-1 + 2 п
1
m=0
(1)
Bm i = j.
'i+m, j +A i+m, j+1’ J'
2 (П-m, j-1 Am-m, j-1 + П
m=0
Bm
'"i+m, j +A i+m, j+1
), i = 1, j -1, j = 1, R -1.
Для крайнего яруса:
п
0,R
-1A0, j-1,i = 0;
ni, RDi, R
ПR-1,R-1AR-1,R-1, i = R;
2 (П-m, j-1 Ai”-m,R-1), i = 1, R - 1-
m=0
(2)
Систему (1) - (2), дополненную условием нормировки, практически приходится расписывать покомпонентно. Даже для моделей с ограниченной очередью она характеризуется чрезвычайно высокой размерностью, и стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений при-
44
менительно к ней оказываются малоэффективными. Мы применили итерационный метод ее решения, получивший многократную апробацию в [11] - [16], впервые предложенный Такахаси и Таками [17].
Ниже представлены результаты расчета системы M/H2/n-H2.
3 Численные результаты
Исходные данные:
• число каналов обслуживания n = 5;
• среднее время обслуживания b1, коэффициент вариации 0,577;
• время терпения заявки равномерно распределено на интервале [2,0;
6,5].
При аппроксимации времен обслуживания и «терпения» Н2-рас-пределением сохранятся три начальных момента, что необходимо для инженерных задач и чего достаточно [18]. В таблице представлены результаты расчета вероятности потери заявки при различном среднем времени обслуживания. Результаты расчетов верифицированы с помощью специально разработанных имитационных моделей.
ТАБЛИЦА. Вероятности потери заявки
bj, час Имитация Расчет
0,030 0,141 0,138
0,025 0,077 0,082
0,020 0,044 0,047
0,015 0,011 0,012
Хорошее согласие результатов имитации и численного расчета позволяет сделать вывод о правильности идеи и программной реализации расчетного метода. Первоначальный вариант организации процесса обработки при заданной интенсивности поступления информации приведет к потере актуальности 14 % обрабатываемой информации. При уменьшении среднего времени принятия решений в два раза данный показатель уменьшается в 10 раз.
Заключение
В настоящей статье был предложен метод оценивания оперативности обработки устаревающей информации. Представлены численные результаты.
45
На основе этого метода возможно оптимально спроектировать систему обработки информации с ограниченным временем актуальности.
Библиографический список
1. Earrer, D. Y. (1957). Queueing with Impatient Customers and Indifferent Clerks. Operation Research, 5 (5), 294-400.
2. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / Т Л. Саати ; пер. с англ. - Москва : Советское радио, 1965. - 510 с.
3. Hoshi, К., Iijima, S., Takahashi, Y, Komatsu, N. (2009). Traffic Performance for a Time-Out Scheme Communication System. International Conference on Ultra Modern Communications, St. Petersburg, 1-6.
4. Теория массового обслуживания / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. - Москва : РУДН им. П. Лумумбы, 1995. - 529 с.
5. Roiibos, A., Jouini, O. (2013). Call Centers with Hyperexponential Patience Modeling. International Journal of Production Economics, 141, 307-315.
6. Модель функционирования колл-центра как система MAP/PH/N/R-N с нетерпеливыми запросами / С. А. Дудин, О. С. Дудина // Проблемы передачи информации. -2011. - № 47. - С. 68-83.
7. Оценка оперативности автоматической рубрикации документов с помощью модели нестационарной системы обслуживания с эрланговским распределением длительности интервалов между запросами / А. Д. Хомоненко, С. А. Краснов, С. А. Еремин // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. - 2012. - № 3. - С. 14-21.
8. Модель функционирования системы автоматической рубрикации документов в нестационарном режиме / С. А. Краснов, А. С. Еремин, А. Д. Хомоненко, В. П. Бубнов // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. - 2011. - № 4. -С. 16-23.
9. Bubnov, V. Р., Tyrva, A. V., Khomonenko, A. D. (2010). Model of reliability of the software with Coxian distribution of length of intervals between the moments of detection of errors. Proceedings of 34th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference, Seoul, 238-243.
10. Bubnov, V. Р., Khomonenko, A. D., Tyrva, A. V. (2011). Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments. Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference, Munich, 310-314.
11. Итеративный метод расчета многоканальных систем с произвольным распределением времени обслуживания / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Проблемы управления и теории информации. - 1980. - № 3. - С. 203-213.
12. Расчет разомкнутых немарковских цепей с преобразованием потоков / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Автоматика и вычислительная техника. - 1989. - № 3. - С. 15-24.
13. Распределение времени ожидания в системах массового обслуживания типа GI /H/n/R<ro / А. Д. Хомоненко // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 8. - С. 91-98.
q k ^
46
14. Численный расчет многоканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и «разогревом» / С. И. Гиндин, А. Д. Хомоненко, С. Е. Ада-дуров // Известия ПГУПС. - 2013. - № 4 (37). - С. 92-101.
15. Модель оценки оперативности функционирования распределенных автоматизированных систем при интеграции данных / С. В. Калиниченко, А. Д. Хомоненко // Бюллетень результатов научных исследований. - 2012. - № 5 (4). - С. 47-57.
16. Численный анализ многоканальных систем массового обслуживания / А. В. Хмелевская, А. В. Уланов, В. А. Богомазов // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия : Управление, вычислительная техника, информатика. Медицинское приборостроение. - 2012. - № 2-2. - С. 55-60.
17. Takahashi, Y., Takami, Y A. (1976). Numerical Method for the Steady-State Propabilities of a GI/G/c Queuing System in General Class. Journal of the Operations Research Society of Japan, 19 (2), 147-155.
18. Опыт расчета сложных систем массового обслуживания / Ю. И. Рыжиков, А. В. Уланов // Информационно-управляющие системы. - 2009. - № 2. - С. 56-62.
© Краснов С. А., Уланов А. В., Матвеев С. В., 2013
47
