CC BY
14
Анализ однородности показателей ускоренных испытаний
к.т.н. В. В. Гарбарук Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Санкт-Петербург, Россия vvgarbaruk@mail. ги
Аннотация. Без сокращения времени наблюдения за работой надежной продукции высоких технологий не возможен анализ их качества. Рассмотрено важное направление обработки результатов ускоренных испытаний: проверка гипотезы наличия статистических различий двух усеченных выборок. Предполагаются испытания N однотипных изделий, которые, в целях сокращения времени наблюдения, продолжаются в течение заданного времени t или до получения заданного числа отказов п. Продолжительность безотказной работы каждого прибора фиксируется. Отказавшие изделия не восстанавливаются. Показано применение критерия Смирнова для сравнения эмпирических функций распределения двух ограниченных выборок. Приведен пример расчета, демонстрирующий сокращение времени получения информации о надежности испытываемой продукции.
Ключевые слова: ускоренные испытания, временные ряды, однородность статистического материала, критерий Смирнова.
Введение
Стендовые и лабораторные испытания надежных и дорогостоящих изделий широко применяют для определения показателей их надежности [1, 2]. Анализ безотказности схож с задачами предсказания продолжительности жизни, которые рассматриваются не только в науке и технике, но и в медицине, биологии и т. п. В медицине, например, прогноз времени жизни пациентов определяет необходимость оперативного вмешательства. Долговечность современных приборов может достигать сотен тысяч часов, испытания их надежности прекращаются по истечении времени, далекого от максимальной наработки.
Проведение испытаний на надежность (активных или пассивных) связано со значительными затратами времени и средств. В технике получили развитие ускоренные испытания на надежность, в которых сокращаются сроки получения корректной информации о безотказности продукции [3, 4]. Часто ускоренные испытания проводят в форсированном режиме, существенно повышая, например, температуру, то есть изменяя условия эксплуатации оборудования. При этом основное внимание уделяется разработке непараметрических методов анализа, которые не предполагают знания законов распределения наработок до отказа изделий [5, 6].
Исследованию временных рядов, характеризующих время безотказной работы надежных приборов, посвящены многие статьи [7, 8]. В данной работе рассматриваются испытания N однотипных изделий, которые, в целях сокращения времени наблюдения, продолжаются в течение заданного времени / или до получения заданного числа отказов п.
Н. В. Груздев ООО «СвязьСтройСервис» Санкт-Петербург, Россия Nik_gru@mail.ru
Продолжительность 4 безотказной работы каждого прибора фиксируется. Отказавшие изделия не восстанавливаются. В результате получается выборка значений объема п
< Ь2 < ... < £:„ , п < N
которая характеризует длительность безотказной работы данного типа изделия.
Отметим, что переменная / может означать не только продолжительность работы до отказа испытываемого прибора, выражаемой в часах работы, но и календарное время, количество рабочих циклов и т. п.
Постановка задачи На основании усеченной сверху выборки надо оценить показатели надежности прибора, например, среднее время наработки на отказ данной партии приборов. Эта задача, называемая в математической статистике оценкой параметров закона распределения по усеченной выборке, имеет хорошо разработанную теорию [9, 10]. Более сложной задачей является проверка гипотез по неполной выборке. Рассмотрим задачу проверки однородности статистического материала, то есть проверку гипотезы о принадлежности одной генеральной совокупности двух независимых выборок. Пусть имеются два усеченных вариационных ряда размеров Х1 <Х2 < ... < Хп и у1 < у2 < ... < ут объемом п и т соответственно, полученных при ограничении времени проверки надежности. Для определенности примем, что п < т. Подобные выборки могут соответствовать, например, двум различным способам производства одного и того же изделия. Требуется проверить нулевую гипотезу Но, согласно которой разницы между двумя способами производства нет, что математически соответствует равенству функций распределения двух случайных величин, которым соответствуют рассматриваемые выборки.
Критерий Смирнова В случае полных выборок проблема проверки гипотезы однородности имеет окончательное решение почти для всех интересующих практику случаев [11, 12]. Для усеченных выборок в некоторых случаях может быть применен критерий Смирнова [13, 14], по которому при заданных эмпирических функциях распределения двух выборок Ц* и и устанавливается справедливость гипотезы о тождественности законов распределений, то есть проверяется нулевая гипотеза Н0: = . Альтернативной (конкурирующей) гипотезой Н\ выберем ^ ± . За меру расхождения функций ^ и принимается величина
Аг,т = тах|^* - I,
Intellectual Technologies on Transport. 2020. No 4
которая определяется непосредственным вычислением разностей х и уI или графически по графикам ступенчатых функций и С*. Доказано [15], что
lim I I--Dnm\H0 < z
) = вд
где К (г) — функция Колмогорова.
Пусть при выбранном уровне значимости а известно критическое значение Хкр. Если величина
Хн
п • т
пабл Vп + т'°п'т
достигает значения Хкр или превосходит его, то существует значимое расхождение между функциями распределения ^ и С*. Тогда гипотеза Н0 отклоняется с вероятностью ошибки а.
Применим данный критерий для усеченных выборок. Положим = шш(хи, ут). Возможность использования критерия Смирнова основана на том, что величина Хнабл , рассчитанная по наибольшей разности между эмпирическими функциями распределения Е,* и может превысить критическое значение Хкр раньше достижения В этом случае
= max\
> max\ET
t<t„
■ Х
кр-
Нулевая гипотеза Е= С^ отклоняется вне зависимости от неизвестных из-за усеченности выборки значений, которые получаются при t >
Пример проверки однородности В качестве примера сравним две усеченные выборки, в каждой из которых даны моменты выхода из строя двух типов реле [16]. Первая выборка объемом 110 реле испыты-валась в течении 10 000 ч., при этом из строя вышли 6 реле. Вторая выборка объемом 120 реле испытывалась в течении 16 000 ч., при этом из строя вышло 41 реле. Если нулевая гипотеза о принадлежности данных выборок одной генеральной совокупности верна, то время возможного отказа не зависит от типа реле.
В данном примере ^ = шш(10000, 16000) = 10 000 ч. Разобьем промежуток [0, 10000] на 5 частей (табл. 1).
Таблица 1
Сравнение функций Щ и G*
Интервалы времени, ч 02 000 2 0004 000 4 0006 000 6 0008 000 8 00010 000
Число отказов 1 0 0 3 2
Накопленное число отказов 1 1 1 4 6
Относительная частота 0,009 0,009 0,009 0,036 0,055
Число отказов 1 6 9 17 8
Накопленное число отказов 1 7 16 33 41
Относительная частота 0,008 0,059 0,134 0,277 0,345
\Рп — 1 0,001 0,050 0,125 0,241 0,290
Вторая, третья и четвертая строки относятся к первой выборке. Во второй строке записано количество реле, отказавших в данном временном интервале; в третьей строке — общее число отказов к моменту окончания соответствующего интервала; в четвертой строке — относительная частота отказов. Для второй выборки аналогично заполнены пятая, шестая и седьмая строки. В последней строке записаны разности между эмпирическими функциями распределения — | наибольшая из которых равна 0,29. В таблице 2 приведены критические значения Хкр для различных уровней значимости а [17].
Таблица 2
Критические значения Хкр
а 0,1 0,05 0,01
Хкр 1,224 1,358 1,628
Видно, что при всех указанных значениях а выполняется неравенство Хнабл > Хкр. Гипотеза о равенстве законов распределений двух выборок отвергается.
Заключение
Различие между выборками оказалось значимым уже до момента времени, равного 10 000 часов. Если бы нас интересовал только этот вопрос, то дальнейшие испытания можно было бы прекратить. В результате были бы уменьшены как ресурсы, так и время получения информации о надежности испытываемой продукции.
Литература
1. Nelson, W. B. Accelerated Testing Statistical Models, Test Plans and Data Analysis. — New Jersey: Wiley-Inter-science, 2004. — 624 p. — (Wiley Series in Probability and Statistics).
2. Мехоношин, В. С. Надежность технических систем и техногенный риск: Учебное пособие для курсантов и студентов ФБФО специализации 330502 / В. С. Мехоношин, М-во транспорта РФ, Ульяновское высш. авиац. училище гражд. авиации. — Ульяновск: УВАУ ГА, 2005. — 90 с.
3. Гербин, А. И. Использование ускоренных методов оценки показателей надежности изделий ЭКБ отечественного производства — один из путей повышения их коммерческой привлекательности // ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес. 2019. № 9 (190). С. 136-140.
DOI: 10.22184/1992-4178.2019.190.9.136.140.
4. Никулин, М. С. О развитии и внедрении методов статистики ускоренных испытаний для анализа безопасности, надежности и качества продукции высоких технологий / М. С. Никулин, М. В. Сильников, К. А. Дубаренко // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2014. № 1 (190). С. 217-223.
5. Тимонин, В. И. Сравнение прогрессивно цензуриро-ванных выборок — численные методы табулирования распределений статистик однородности и исследование оценки параметров связи их распределений методом Монте-Карло / В. И. Тимонин, Н. Д. Тянникова // Математическое моделирование и численные методы. 2015. № 3. С. 89-100. DOI: 10.18698/2309-3684-2015-3-89100.
6. Чимитова, Е. В. Непараметрические критерии согласия в задачах проверки адекватности моделей надежности по цензурированным данным / Е. В. Чимитова, М. А. Ве-
дерникова, Н. С. Галанова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 4 (25). С. 115-124.
7. Ковальчук, В. В. Оценка показателей надежности испытаний при экспоненциальном законе распределения отказов / В. В. Ковальчук, М. С. Бурзун // Исследования молодых ученых: материалы XII Международной научной конференции (Казань, июль 2020 г.). — Казань: Молодой ученый, 2020. — С. 15-18.
8. Русин, А. Ю. Статические обработки результатов наблюдений при проведении ускоренных испытаний на надежность / А. Ю. Русин, М. А. Н. Абдулхамед // Молодой ученый. 2014. № 18 (77). С. 274-279.
9. Ефимов, А. Н. Порядковые статистики — их свойства и приложения. — Москва: Знание, 1980. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике).
10. David, H. A. Order statistics. Second Edition. — New York: Wiley-Interscience, 1981. — 384 p. — (Wiley Series in Probability and Statistics).
11. Statistical Methods in Experimental Physics / W. T. Eadie, D. Drijard, F. E. James, [et al.]. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1971. — 308 p.
12. Смирнов, Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. — 3-е изд., стер. — Москва: Наука, 1969. — 511 с.
13. Антонов, А. В. Статистические модели в теории надежности: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «информатика и вычислительная техника» специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» / А. В. Антонов, М. С. Никулин. — Москва: Абрис: Высшая школа, 2012. — 390 с.
14. Боровков А. А. Математическая статистика. Дополнительные главы: Учебное пособие для вузов. — Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 144 с.
15. Большев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. — 3-е изд. — Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 416 с.
16. Гарбарук, В. В. Проверка однородности статистического материала по результатам ускоренных испытаний / В. В. Гарбарук, М. А. Пирожков // Герметизированные маг-нитоуправляемые контакты (герконы): Межвуз. сб. научн. тр. / Рязан. радиотехн. ин-т; [Редкол.: А. С. Арефьев и др.]. — Рязань: РРТИ, 1982. — С. 136-141.
17. Заляжных, В. В. Статистические расчеты при планировании и обработке результатов испытаний: Учебное пособие / В. В. Заляжных; Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова. — Архангельск: САФУ, 2014. — 83 с.
Analysis of the Uniformity of Accelerated Testing Indicators
PhD V. V. Garbaruk Emperor Alexander I Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia vvgarbaruk@mail.ru
Abstract. Without reducing the time for monitoring the operation of reliable high-tech products, it is not possible to analyze their quality. An important area of processing the results of accelerated tests is considered: testing the hypothesis of statistical differences between two truncated samples. An important direction of processing the results of accelerated tests is considered: testing the hypothesis of the presence of statistical differences between two truncated samples. Tests of N similar products are assumed, which, in order to reduce the observation time, continue for a given time t or until a given number of failures n is obtained. The uptime of each device is recorded. Products that have failed will not be restored. The application of the Smirnov criterion to compare the empirical distribution functions of two bounded samples is shown. An example of calculation is given that demonstrates a reduction in the time for obtaining information about the reliability of the tested products.
Keywords: accelerated testing, time series, statistical homogeneity of the material, the Smirnov criterion.
References
1. Nelson W. B. Accelerated Testing Statistical Models, Test Plans and Data Analysis. New Jersey, Wiley-Interscience, 2004, 624 p.
2. Mekhonoshin V. S. Reliability of technical systems and technogenic risk: Study guide [Nadezhnost' tekhnicheskikh sis-tem i tekhnogennyy risk: Uchebnoe posobie]. Ulyanovsk, Ulyanovsk Civil Aviation Institute, 2005, 90 p.
3. Herbin A. I. The Use of Accelerated Methods for Assessing the Reliability Indicators of Domestic Electronic Components is One of the Ways to Increase Their Commercial Attractiveness [Ispol'zovanie uskorennykh metodov otsenki poka-zateley nadezhnosti izdeliy EKB otechestvennogo proizvodstva— odin iz putey povysheniya ikh kommercheskoy privleka-tel'nosti], Electronics: Science, Technology, Business [El-ektronika: nauka, tekhnologiya, biznes], 2019, No. 9 (190), Pp. 136-140. DOI: 10.22184/1992-4178.2019.190.9.136.140.
4. Nikulin M. S., Silnikov M. V., Dubarenko K. A. On the Development and Implementation Methods of Statistics of Accelerated Tests for Safety Analysis, Reliability and Quality of Products of High Technologies [O razvitii i vnedrenii metodov statis-tiki uskorennykh ispytaniy dlya analiza bezopasnosti, nadezh-nosti i kachestva produktsii vysokikh tekhnologiy], St. Petersburg Polytechnic University Journal of Engineering Sciences And Technology [Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Pe-terburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universi-teta], 2014, No. 1 (190), Pp. 217-223.
5. Timonin V. I., Tyannikova N. D. Comparison of Progressively Censored Samples — Numerical Methods for Tabulating of Homogeneity Statistics and Study of Estimation of Relation Parameters of Their Distribution by Monte Carlo
N. V. Gruzdev SvyazStroyService LLC Saint Petersburg, Russia Nik_gru@mail.ru
Method [Sravnenie progressivno tsenzurirovannykh vyborok — chislennye metody tabulirovaniya raspredeleniy statistik od-norodnosti i issledovanie otsenki parametrov svyazi ikh raspredeleniy metodom Monte-Karlo], Mathematical Modeling and Computational Methods [Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody], 2015, No. 3, Pp. 89-100. DOI: 10.18698/2309-3684-2015-3-89100.
6. Chimitova E. V., Vedernikova M. A., Galanova N. S. Nonparametric Goodness-Of-Fit Tests in Testing Adequacy of Reliability Models for Right Censored Data. [Neparametriches-kie kriterii soglasiya v zadachakh proverki adekvatnosti mod-eley nadezhnosti po tsenzurirovannym dannym], Tomsk State University Journal of Control and Computer Science [Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislit-el'naya tekhnika i informatika], 2013, No. 4 (25). Pp. 115-124.
7. Kovalchuk V. V., Burzun M. S. Evaluation of Test Reliability Indicators with an Exponential Law of Failure Distribution [Otsenka pokazateley nadezhnosti ispytaniy pri eksponent-sial'nom zakone raspredeleniya otkazov], Research of Young Scientists: Materials of the XII International Scientific Conference [Issledovaniya molodykh uchenykh: materialy XII Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii] (Kazan, Russia, July, 2020), Kazan: Young Scientist, 2020, Pp. 15-18.
8. Rusin A. Yu., Abdulkhamed M. A. N. Static Processing of Observation Results During Accelerated Reliability Tests [Stat-icheskie obrabotki rezul'tatov nablyudeniy pri provedenii usko-rennykh ispytaniy na nadezhnost'], Young Scientist [Molodoy uchenyy], 2014, No. 18 (77), Pp. 274-279.
9. Efimov A. N. Ordinal statistics — their properties and applications [Poryadkovye statistiki — ikh svoystva i prilozheniya]. Moscow, Znanie Publishers, 1980, 64 p.
10. David H. A. Order statistics. Second Edition. New York, Wiley-Interscience, 1981, 384 p.
11. Eadie W. T., Drijard D., James F. E., et al. Statistical Methods in Experimental Physics. Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1971, 308 p.
12. Smirnov N. V., Dunin-Barkovsky I. V. Course of probability theory and mathematical statistics for technical applications [Kurs teorii veroyatnostey i matematicheskoy statistiki dlya tekhnicheskikh prilozheniy]. Moscow, Nauka Publishers, 1969, 511 p.
13. Antonov A. V., Nikulin M. S. Statistical models in reliability theory: Study guide [Statisticheskie modeli v teorii nadezhnosti: Uchebnoe posobie]. Moscow, Abris, Vysshaya shkola Publishing House, 2012, 390 p.
14. Borovkov A. A. Mathematical statistics. Additional chapters: Study guide for universities [Matematicheskaya statistika. Dopolnitel'nye glavy: Uchebnoe posobie dlya vuzov]. Moscow, Nauka Publishers, 1984, 144 p.
15. BoFshev L. N., Smirnov N. V. Tables of mathematical statistics [Tablitsy matematicheskoy statistiki]. Moscow, Nauka Publishers, 1983, 416 p.
16. Garbaruk V. V., Pirozhkov M. A. Checking of Homogeneity of Statistical Material on the Results of Accelerated Tests [Proverka odnorodnosti statisticheskogo materiala po re-zul'tatam uskorennykh ispytaniy], Sealed Magnetically Operated Contacts (Reed Switches): Interuniversity Collection of
Scientific Papers [Germetizirovannye magnitoupravlyaemye kontakty (gerkony): Mezhvuzovskiy sbornik nauchnykh trudov]. Ryazan, Ryazan Radio Engineering Institute, 1982, Pp. 136-141.
17. Zalyazhnykh V. V. Statistical calculations in the planning and processing of test results: Study guide [Statisticheskie raschety pri planirovanii i obrabotke rezul'tatov ispytaniy: Uchebnoe posobie]. Arkhangelsk: Northern (Arctic) Federal University named after M. V. Lomonosov, 2014, 83 p.
