CC BY
9
АНАЛИЗ ОЧЕРЕДИ ТИПА G/G/1 ДЛЯ ПРОГРАММНО-КОНФИГУРИРУЕМЫХ СЕТЕЙ
НА ОСНОВЕ OPENFLOW
Буранова Марина Анатольевна,
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, buranova-ma@psuti.ru
Карташевский Вячеслав Григорьевич,
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, kartashevskiy-vg@psuti.ru
DOI: 10.36724/2072-8735-2022-16-4-4-13
Manuscript received 20 February 2022; Accepted 10 April 2022
Ключевые слова: модель очереди, ПКС, качество обслуживания, гиперэкспоненцтальное распределение, среднее время обслуживания заявки в системе
ПКС предъявляет к производителям инфокоммуникационного оборудования требования, связанные с поддержкой новых сценариев работы с приложениями сети, например, с облачными технологиями, с возможностью передачи больших объемов трафика на большие расстояния. Все это приводит к необходимости анализа особенностей работы сетей ПКС, оценке их производительности как на этапе проектирования, так и в процессе функционирования. В качестве характеристик, позволяющих оценить качество функционирования, могут быть использованы параметры качества обслуживания (Оов) в сетях, например, задержка и вариация задержки. В связи с этим произведен анализ функционирования программно-конфигурируемой сети с использованием моделей систем массового обслуживания типа М/С/1 и С/С/1. Приведены решения на основе двух подходов, когда в качестве примера произвольного распределения используется усеченное нормальное распределение и гиперэкспоненциальное распределение. При анализе системы С/С/1 было сделано предположение о взаимной независимости поступающих в систему потоков последовательностей интервалов времени между заявками и времен обработки заявок. В работе получены выражение для плотности вероятностей времен обработки заявок в системах М/№1, Н2/М/1 и Н2/Н2/1, аналитические выражения для оценки средних значений времени задержки заявок в системах М/№1, Н2/№1 и Н2/Н2/1 для программно-конфигурируемых сетей. Получен результат сравнения средних значений оценок времени задержек заявок в системах М/№1, Н2/№1 и Н2/Н2/1 для ПКС. Приведен анализ зависимости среднего времени задержки заявки в системе от коэффициента загрузки в рассматриваемых системах очередей.
Информация об авторах:
Буранова Марина Анатольевна, доцент кафедры информационной безопасности, к.т.н., доцент, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия
Карташевский Вячеслав Григорьевич, Зав. Кафедрой информационной безопасности, д.т.н., профессор, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия
Для цитирования:
Буранова М.А., Карташевский В.Г. Анализ очереди типа G/G/1 для программно-конфигурируемых сетей на основе openflow // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2022. Том 16. №4. С. 4-13.
For citation:
Buranova M.A., Kartashevskiy V.G. (2022) G/G/1 queue analysis for openflow software defined networks. T-Comm, vol. 16, no.4, pр. 4-13.
(in Russian)
7TT
Введение
Тенденции развития современных инфокоммуникацион-ных сетей, например, такие как интенсивный рост новых приложений сети, рост числа и типов новых устройств сети, приводят к значительному росту объемов передаваемого трафика. При этом возникает необходимость управления разнородными потоками и предоставления требуемого уровня качества обслуживания (QoS - Quality of Service) при обеспечении безопасности обработки передачи данных потоков. Это приводит к тому, что провайдерам крупных сетей необходимо искать новые механизмы сетевого управления, с возможностью оперативного конфигурирования сетей.
Технология программно-конфигурируемых сетей - ПКС (SDN - Software-Defined Networking) и функциональной виртуализации сетей NFV (Network Function Virtualization) с помощью настраиваемого программного обеспечения реализуют контроль сетевого управления, при этом управление становится более интеллектуальным и централизованным. Это делает сеть более гибкой, программируемой и инновационной [1, 2].
Внедрение ПКС влечет за собой необходимость разработки адекватных моделей, позволяющих быстро получить точные оценки параметров QoS, необходимые на этапе проектирования сетей и далее в процессе эксплуатации для возможности оперативного реагирования на изменения требований к сети и модификацию топологии сети [3].
Необходимо отметить, что вопросы производительности и масштабируемости ПКС еще мало исследованы с точки зрения построения аналитических моделей. Имитационные моделирование и эксперименты на реальных сетях имеют большое значение и широко применяются для оценки эффективности. Но аналитическое моделирование имеет свои преимущества.
Большинство работ, посвященных исследованию эффективности работы ПКС, направлены на разработку имитационных моделей и постановку экспериментов на реальном оборудовании. В работах [4-6] представлены математические модели для оценки производительности контроллеров и коммутаторов в условиях перегрузок. Аналитическая модель ПКС на основе OpenFlow в [7,8] аппроксимирует плоскость данных как открытую сеть Джексона с контроллером, моделируемым как очередь M/M/1. В [9] представлена модель производительности ПКС на основе протокола OpenFlow с несколькими коммутаторами OpenFlow, но данная модель получена при допущении, что обрабатываемые потоки являются простейшими, при этом производительность обработки входящих сообщений контроллера ПКС рассчитывается на основе модели M/G/1. Однако, известно, что потоки, генерируемые современными приложениями в сети, не являются пуассоновскими, что требует учета в применяемых моделях реальных свойств (параметров) трафика [10, 11].
В работах [12, 13] представлены математические модели для систем, обрабатывающих непуассоновские потоки, но рассмотрены лишь параметры функционирования отдельных участков ПКС, а не сети в целом.
Разработка аналитической модели ПКС как системы G/G/1 остается весьма актуальной. Представленную в работе [9] методику удобно использовать для расширения модели
обработки заявок в ПКС при обслуживании непуассонов-ских потоков на основе модели произвольной очереди 0/0/1.
Ниже рассматривается аналитическая модель функционирования программно-конфигурируемой сети на основе протокола OpenFlow, поскольку он является наиболее распространенным, и такая модель может использоваться как базовая и для других протоколов взаимодействия в ПКС. В качестве заявки рассматривается отдельный пакет, или пачка пакетов, или поток.
В качестве обрабатываемых потоков рассматривается пакетный трафик, формируемый в виде пачек пакетов, что наиболее точно соответствует характеру формирования современных потоков [14].
Аналогично подходу в [9] анализируется отдельно процесс поступления заявок и процедура пересылки заявок через коммутатор и контроллер OpenFlow, а затем система пересылки заявок в ПКС в целом.
Модель массового обслуживания для анализа
функционирования ПКС на основе протокола
В общем виде взаимодействие коммутатора и контроллера ПКС можно представить в виде схемы, показанной на рисунке 1.
Рис. 1. Типичный сценарий сети OpenFlow
Все аналитические модели сетей OpenFlow, разработанные на данный момент [9, 12, 13], построены на предположении, что трафик заявок в коммутатор ПКС соответствует распределению Пуассона. При этом исследования трафика в работах [10, 11, 15, 16] показали, что поступление заявок в инфокоммуникационных сетях имеет пачечный характер и отличается от пуассоновского потока [17].
Процедуру пересылки заявок на коммутатор иллюстрирует рисунок 2. Каждую полученную заявку коммутатор анализирует с целью идентификации потока для поиска назначенного правила его обработки или пересылки в своих таблицах. Если для данного потока запись для пересылки не найдена, коммутатор отправляет сообщение, содержащее данные о заявке контроллеру ПКС.
В контроллере сообщение анализируется, устанавливается правило обработки потока, к которому относится заявка, и установленное правило передается коммутатору для добавления в его таблицы потоков.
Рассмотрим случай, когда запросы к таблицам пересылки для всех заявок независимы друг от друга, тогда время обработки заявок можно представить, как случайную величину с показательным распределением, тогда при условии достаточной емкости буфера заявок для всех входящих очередей в коммутаторе модель очереди пересылки заявок в коммутаторе OpenFlow может быть представлена моделью очереди типа М/М/1 [9]. Далее этот подход можно развить на систему 0/0/1.
Для описания очереди в коммутаторе OpenFlow введем следующие обозначения:
1) ^(ьу - интенсивность поступления потока пачек заявок на /-й коммутатор OpenFlow;
2) Х^ру - интенсивность, характеризующая распределение количества заявок в пачке;
3) у) - интенсивность обработки 5-ой заявки коммутатором.
В работе [9] авторами предлагается в качестве аналитической модели модель очереди типа М/М/1. При этом предполагается, что пачка из т заявок, поступает на /-й (1</<к) коммутатор OpenFlow, где п заявок ожидают своей очереди на обработку.
Поступающая /-я заявка должна ждать, пока не будут обработаны п ожидающих в буфере заявок и первые (/ - 1) заявок из этой же пачки. Исходя из данных предположений для системы М/М/1 можно получить соотношение между средней длиной очереди и средним временем пребывания заявок в очереди [9]
Ijp* =\b)I \
( p
(s)
(1)
Аналогично определяется среднее время пребывания заявки в коммутаторе
w> =■
Xt v +1 ( P )l
( ^ (S >■- \b)i Ь (p >■)
2
(2)
И на основании (1) и (2) можно записать выражение для оценки средней длины очереди коммутатора
(s)_ V>\p> (^(p)i +1)
L =
2
( ^(sу - \ьу\pу )
(3)
Теперь рассмотрим процедуру пересылки заявок через контроллер OpenFlow. Как было показано выше эта процедура соответствует схеме, показанной на рисунке 2.
Если предположить, что процесс поступления на /-м
коммутаторе является пуассоновским с параметром
к
if )i
процессы на всех к коммутаторах не зависят друг от друга, можно далее заключить, что суммарный поток заявок сообщений к контроллеру также является пуассоновским.
Рис. 2. Обработка входящих сообщений контроллера ПКС
Для ПКС-контроллера, отвечающего за к коммутаторов OpenFlow, процесс поступления потока на /-м (/ = 0, 1, 2, ..., к) коммутаторе является пуассоновским потоком с параметром
у , независимым от сообщений на других коммутаторах,
тогда все заявки входящих сообщений от к коммутаторов к контроллеру соответствуют распределению Пуассона с параметром ^
V ) )i ■
(4)
i=i
По прибытии сообщения-запроса от коммутатора контроллер определяет правило передачи потока (поступающий с интенсивностью согласно (4)), к которому принадлежит поступившая от коммутатора заявка. Для этого блок обработки контроллера считывает входящее сообщение из очереди после завершения обработки последнего сообщения. Затем входящее сообщение обрабатывается путем поиска таблиц пересылки (FIB - forwarding information base). Запись в FIB содержит маршрутную информацию, полученную, например, с помощью протоколов маршрутизации. Наконец, контроллер инкапсулирует найденное правило пересылки в пакетное сообщение для соответствующего коммутатора.
При обработке входящего от коммутатора запроса контроллером ПКС время обработки входящего пакетного сообщения в основном определяется поисками FIB, который выполняется путем сопоставления самого длинного префикса. В связи с этим в [9, 18] было сделано предположение, что время поиска в FIB считается распределенным усечённо нормально со средним значением у^ и дисперсией ^.
Параметр ц^ представляет собой среднюю интенсивность
обработки входящих сообщений в контроллере, а параметр
(C)
- среднеквадратическое отклонение. Очередь в кон-
троллере организована по типу FIFO (First In - First Out), причем поступление и обработка входящих сообщений независимы друг от друга.
В соответствии со сделанными предположениями можно охарактеризовать обработку сообщений контроллером ПКС с использованием модели массового обслуживания M/N/1, где символ N соответствует нормальному распределению.
Для анализа очереди в контроллере можно использовать в качестве модели полумарковский процесс, при этом в момент ухода заявок происходят изменения состояний.
T-Comm Том 16. #4-2022
Для таких моментов следует определить вложенную марковскую цепь как число требований, имеющихся в системе в момент ухода очередного обслуживаемого требования. В этом случае можно воспользоваться подходом, показанным в [19] в анализе системы М/0/1, который основан на применении метода дополнительных переменных. Следует отметить, что эта же методика применена для анализа очереди в контроллере ПКС в работе [9].
Длину очереди сообщений заявок, а в контроллере в момент времени t обозначим Ь(/). Для любого зафиксированного момента времени /, если есть обрабатываемое сообщение, распределение оставшегося времени обработки от времени / не зависит, а длина очереди [Ьф, / > 0} больше не имеет свойств марковского потока. Предположим, что ип - число входящих сообщений в контроллере за время обработки хп п-го сообщения. Тогда [ и п, п > 1} является встроенной марковской цепью.
Если /п представляет собой требуемое время обработки (и+1)-го сообщения, для любого /п функцию плотности вероятностей в соответствии со сделанными выше предположениями можно записать в виде
-1/Ц(с))
/ (х ) =
2 а,
(с)
(5)
(с)
да (х х^
Р{Цп = Щ=\р(чп = к/ = х)/ (х)сЗХ = {^1
-X,
■(су
/ (х)сСх,
к = 0,1, 2,... (6)
где Р (цп = = х) - вероятность перехода за один шаг.
Обозначим ак = Р("лп = к)> 0. Тогда [ ип , п >1} составляет марковскую цепь, диаграмма изменения состояния которой показана на рисунке 3, а матрица переходов будет иметь следующий вид [9, 19]
Р =
0 а0
Рис. 3. Диаграмма вероятностей перехода вложенной марковской цепи типа М/О/1
Используя аппарат производящих функций, учитывая (5) и (6) для обработки последовательностей ип и цп , согласно [9, 19], для средней длины очереди входящих от коммутатора в контроллер сообщений в системе М/0/1 можно получить выражение
__„2 ,л2 „2
г(с) Р(с )+А(С
Ь> = Р(с) +
\с Г (с Г {с) 2 (1 - Р(с)) ^
(7)
где р^с) - коэффициент загрузки контроллера.
Учитывая (7), выражение для среднего времени пребывания пакетных сообщений в контроллере будет иметь вид
М- _Ы = + р(с)+ V )°(с)
V) ^(с) )(1 - Р(с))
=
(8)
Обозначим через количество вновь поступивших на контроллер заявок во время обработки (п+1)-го заявки при предположении о пуассоновском характере процесса поступления. Тогда
В сетях OpenFlow коммутатор поддерживает очередь для всех заявок, поступающих через любой входной порт, и пересылает их в соответствии со своими внутренними таблицами потоков. Процедура пересылки была описана выше и соответствует схеме, показанной на рисунке 2, где /'-й коммутатор OpenFlow с интенсивностью обрабатывает пачки заявок, поступающие со скоростью . Предположим, что поступившая заявка в / -й коммутатор принадлежит новому потоку с вероятностью qi, коммутатор посылает запрос со скоростью своему контроллеру ПКС. Контроллер получает запросы со скоростью Х^ от к коммутаторов OpenFlow и со скоростью ^ обрабатывает их.
Ответы на запросы направляются для пересылки и обновления таблиц потоков в соответствующем коммутаторе с интенсивностью
V > = Ч/\ь > р > .
Учитывая два возможных варианта обработки заявки в ПКС: прямая переадресация через коммутатор или переадресация с участием контроллера, можно вычислить время пересылки Wi заявки через / -й коммутатор OpenFlow. При этом следует принять во внимание, что время пересылки заявок с участием контроллера состоит из двух частей: времени обработки заявки в коммутаторе и времени обработки соответствующего сообщения в контроллере Ж^.
жУ^ с вероятностью! - (9)
Ж =-
Ж > + ж с с вероятностью
Среднее время обработки заявки в ПКС можно определить через среднее время пересылки заявок через коммутатор OpenFlow Ж/ согласно схеме, показанной на рисунке 2.
Т-Сотт Уо!.16. #4-2022
1
2
С
7ТЛ
Результаты для системы М/О/1
Можно показать, согласно [9], что среднее время пересылки заявок через коммутатор OpenFlow Ж , где времена
ожидания Ж^^ и Ж^ из (9) могут быть получены из выражений (2) и (8) соответственно. В итоге получим
Ж = Е [Щ ] = (1 - д) Е [Ж^ ] + <Ъ ]+ Е [ж(с) ]) =
= + дЖ =
X, v +1
(р >
(
2(^S)i ~X(b),X(p>■)
+q
1 +P(C )
ц(с )
7 2 2 /l(C) °(C)
2h.
Верхний предел интегрирования в (14) - и равен бесконечности для нормального распределения и равен некоторому конечному значению (максимальному значению времени обработки заявки в контроллере) для усеченного нормального распределения.
Для системы М/0/1, где в качестве примера произвольного распределения используется нормальное распределение, то есть для системы МЖ/1, выражение для плотности вероятностей времени обработки заявки в системе можно записать в виде:
> ,с >(и ) = (! - д )8/е~5, и +
-(с)(! -Р(с)) (10)
где и ) - интенсивности обслуживания в /-м коммутаторе и контроллере соответственно.
Результат для оценки среднего времени обработки заявок в ПКС, полученный в виде формулы (10), соответствует математической модели МЖ/1.
8,- _ +Я ¡—е ' 2R
'(C)
2
п(с)s' -
(
1 - Ф
7(с )
(
V2
M
5(с )• °2C )
x
2 r 2 1
где Ф(x) = le_t dt [20], R =1
1 + Ф
(15)
N
-v/25
(C )■ °(C )
Введем обозначения 5г- =1/ Ж для / -го коммутатора нормирующая константа, которая определяется из условия
(с)
и 5^с) = 1 / Ж' ' для контроллера, где 8г и ) - параметры плотностей времени обработки заявок в коммутаторе и контроллере соответственно и находятся из уравнения 5 = ц(1 - ) [19], £ - корень уравнения £ = ЛК (ц - ) . Здесь Ау - преобразование Лапласа плотности распределения временных интервалов между заявками, ц - средняя интенсивность обработки заявки в системе. Методика определения данных параметров описана [19, 26].
Рассмотрим другой подход для анализа системы М/0/1, основываясь на формуле (9). Запишем формулу для плотности вероятностей временных интервалов обработки заявок 5
в контроллере у (•) и временных интервалов обработки заявок с в коммутаторе /с) (•) в виде
rT
J f {и= 1.
Для усеченного нормального распределения
( 1 >
R = - Ф 2
я--(C )
5(C) 1 '
V2
f[sy (u) = ^,e~5'u
I и—1/S,
'(C))
fC >(u ) =
2a,
(C )
(11)
(12)
Оценка значений интегральной функции Ф связана с некоторыми трудностями, которые приводят к необходимости применения различных способов аппроксимации в виде бесконечных степенных рядов [21], бесконечных цепных дробей [22], полиномов специального вида [23] и эмпирических формул [24]. В случае выражения (15) значение функции
Ф (х) можно определить таблично [25].
Сравним плотности времени обработки заявки в системе М/Ы/1 согласно формуле (15) при различных параметрах распределения. Результат сравнения показан на рисунке 4.
(C )
Предполагая, что C и S независимы, и учитывая (11) и (12) в выражении (9), получим
w(s,CУ (и ) = (! - Я, )f(sУ (и ) + Я, [ f(sУ (и ) О f(C) (и ) ,
где О - символ свертки
Второе слагаемое в выражении (13) можно представить в виде
П(г) ........ i-t/i'-i,!.- fi ' =
flifj----^-4,^=1,21,
-----A 1. 1,11, ft?> U4S
1
" i
0(C )
2a.
0 у/2жо
C .S. е~5'(и - x W
(14)
(C )
Рис. 4. Плотности вероятностей времен обработки заявок в ПКС согласно формуле (15)
Щ) - 8г = 0,2, 5(С^ = 0,5; 1^1(г) - 8,- = 1, ^ = 1; -8, = 0,2, 5(С^ = 0,8; £3(г) - 8г = 0,2, ) = 0,45. (15)
2
e
2
Из сравнения графиков, показанных на рисунке 4 следует, что при значениях параметров распределения 8,- = 1,
5(с^ = 1 распределение вырождается в экспоненциальное, в
других случаях появляется незначительный пик, определяемый параметрами нормального распределения.
Окончательно выражение для оценки среднего времени обработки заявки в системе МЖ/1 для ИКС будет иметь вид
Ж(5,с), (и) = (1 - ^ + чМ
о,- 6,
где
М =
2Я
Г, Л 2 >
— I /2с? > +с?>5,2-28: —
1 - ф
( ( Л
V V
(16)
5,- -
Учитывая формулы (1) и (16), выражение для оценки средней длины очереди запишется в виде
Ь
'(^ с)
= х!' >><р >.{(1 - Ч,).! + ЧМ^ }.
(17)
Сравним значение среднего времени обработки заявки в системе М/М1 согласно формуле (16) и на основе подхода, показанного в [9] (формула (10)). Возьмём следующие значения параметров:
V) - 0,5 ^(с )=0,2, \ьу =0,5, \р ),■ =1, )/ =1, 5, =1'
5(с) =0,02.
вать нормальное распределение (для случайной величины с) (12), а для случайной величины 5 - плотность вероятностей в виде аппроксимации гиперэкспоненциальным распределением:
8 - /{5), (и) = рЗь-е+(1 - р)52,е
(18)
где р 81г-, 82/- - параметры распределения.
Тогда модель 0/0/1 будет аппроксимирована моделью ^/N/1, и выражение (15) примет вид
^,с), (и)=(1—Ч,)(+(1-р)^) + ч, {м^ +(1-р) М2е-2
(19)
где
М,
2Я
^(с)5''-28'-гг
1 - Ф
( (
V V
81,
1
8 18ы 1 (с' М2 = -(-в^ {) 2 2Я
О(с)°21-2021 7
1 - Ф
( (
>1
82, -
8/ а • о(
(с) (с
Значение среднего времени обработки заявки в системе при использовании аппроксимации гиперэкспоненциальным распределением плотности распределения времени обработки заявок в коммутаторе, исходя из (19) можно записать в виде:
Ж(5,с), (и) = (1 -ч,)
(
р, С - р)
у81, 82,
Л
Тогда среднее время обработки заявки в ИКС получится: по формуле (10) - 2,3 мс, по формуле (16) - 2,88 мс.
Полученные значения среднего времени обработки заявки в ПКС позволяют сделать вывод, что подход, основанный на применении формулы (16), является обоснованным, поскольку известные результаты, полученные в работе [9] (формула (10)) сопоставимы с результатами, полученными по формуле (16).
Выражения для определения среднего времени обработки заявки позволяют оценить производительность ПКС и значения параметров качества обслуживания заявок в ПКС в случае обработки потоков, интервалы времени между заявками которого распределены экспоненциально. Учитывая, что современные приложения генерируют непуассоновский трафик, системы очередей лучше описываются моделями типа 0/0/1.
Результаты для системы О/О/1
Интересным представляется сравнение значений оценок параметров функционирования ПКС, полученных для систем М/0/1 и 0/0/1. Очевидно для этого следует воспользоваться результатом, показанным выше, в виде выражений (15), (16) и (17) для системы МЖ/1 и найти выражение для плотности времени ожидания заявок в системе 0/0/1. В качестве примера произвольного распределения вероятностей для времени обработки запросов в контроллере аналогично подходу, показанному для системы МЖ/1, можно использо-
М Л+М( М
. 1 З"2 2 82,2 (20)
Аналогично полученному в (17) и с учетом (20), выражение для оценки средней длины очереди запишется как:
льы р)
Ь 5 с г>.Г XI». К1 -«>|£^
М^ + М = 1
Далее аппроксимацию произвольных плотностей в системе 0/0/1 представим в виде гиперэкспоненциальных распределений для случайных величин 5 и с, то есть используем для 5 выражение (18), а для с
Ас)(и) = <с>1и +(1 - г)28(с)2,
где г , 5^, 5(с)2 - параметры плотности временных интервалов обработки заявок в контроллере. Такая замена позволяет аппроксимировать систему 0/0/1 системой Н2/Н2/1.
В системе Н2/Н2/1 в ПКС для плотности времени обработки заявки можно получить
^ ,с), (и ) = (1 - Ч,) (р^^ + (1 - р) 52гв-52iU ) -
(А + в )5(с)1в"5(с)1и + (Ь + В )5(с)2в"
"5(с)2и
где
7тл
А = ■
Р8 51/
В =
(1" Р) ^ ь = р (1 - я)51г
Б =
51/ "5(с)1 (1 - р)(1 - я^
52/ "5(с)2
52/ "5(с)1
51/ "5(с)2
На рисунке 5 показан график плотности времени обработки пакета в системе согласно формуле (21).
Рис. 5. Плотность распределения вероятностей, согласно (21)
Используя (21), аналитическое выражение для среднего времени обработки заявки в системе Н2/Н2/1 для ИКС можно записать в виде:
Ж^су (и) =(1-дг)
Р , (1-Р)
+д
{АгЩ , (Ч+Б
5(с)1 5(с)2
. (22)
Из (22) выражение для оценки значения средней длины очереди в ИСК записывается как
р.'
(А+В + (ЫБ±
с)1
с)2
Вариацию задержки можно определить с учетом (21) в виде выражения
Ч5 ,с )
(и ) =
+Чг
(1 - д)
(А+в
(
Ж
С)1 5(с)1
■(1 - р)
(
1
V
ч2
V"2/ "2/ у (
+б
1
2
с)2
В итоге были получены формулы для плотности распределений времен обработки заявок в ИКС, если система очередей представляется моделью 0/0/1 для следующих случаев:
1) плотность распределения времени обработки заявок в коммутаторе аппроксимируется экспоненциальным распределением, плотность распределения времени обработки заявок в контроллере - нормальным распределением, система М/Ш;
2) плотность распределения времени обработки заявок в коммутаторе аппроксимируется гиперэкспоненциальным распределением, плотность распределения времени обра-
ботки заявок в контроллере - нормальным распределением, система Н2/Ы/1;
3) плотность распределения времени обработки заявок в коммутаторе и в контроллере аппроксимируется гиперэкспоненциальным распределением, система Н2/ Н2/1.
Численные результаты
Формула (16) позволяет оценить среднее время обработки заявки в ИКС согласно модели МЖ/1, но ранее авторами работы [9] для оценки среднего времени обработки заявки в системе М/Ы/1 была получена формула (10). Для анализа точности полученных оценок необходимо сравнить значения, полученные для различных моделей, включая результаты, полученные для М/Ы/1 и Н2/Ы/1.
Сравним численные оценки средних времен обработки в системе МЖ/1 для двух данных подходов. Примем следующие условия функционирования сети:
\ь)/ = ^ \р)/ =1, ^ =1' И(с) = 0,5, а(с) = 1, числ0
коммутаторов - 1.
Параметры гиперэкспоненциальных распределений получены с использованием БМ-алгоритма в соответствии с подходом, показанным в [27].
Значения параметров функционирования ПКС: среднее время обработки заявки, средняя длина очереди представлены в таблице.
Таблица
Значение параметров функционирования ПКС
Значения параметров ,су, усл. ед. Ь, усл. ед.
Система М/Ы/1 (11) 2,3 0,23
Система М/Ы/1 (17) 2,88 0,29
Система Н2/Ы/1 1,5 0,15
Система Н2/Н2/1 29 2,9
На рисунке 6 представлена зависимость задержки в ПКС в зависимости от коэффициента загрузки сети для рассмотренных случаев.
Очевидно, что среднее время обработки заявки в ПКС ожидаемо растет с увеличением коэффициента загрузки сети.
Заключение
В процессе проектирования, развертывания и эксплуатации сетей необходим учет параметров качества обслуживания обрабатываемых в сети потоков. В данной работе построена модель функционирования ПКС на основе математического аппарата теории массового обслуживания.
В результате получены аналитические выражения для оценки основных параметров качества обслуживания трафика в ПКС для системы М/0/1 и для системы 0/0/1 при условии взаимной независимости поступающих в систему потоков. Получены формулы для оценки основных параметров качества обслуживания трафика в ПКС для систем: МЖ/1, Н2/Ш, Н2/ Н2/1.
Т-Сотт Том 16. #4-2022
Рис. 6. График зависимости задержки от коэффициента загрузки
в ПКС
Литература
1. Feamster N., Rexford J., Zeguraz E. The road to SDN: An intellectual history of programmable networks // Networks. 2013. Vol. 11. No. 12. P. 20-40.
2. Astutoz B.N., Mendonca M., Nguyen X.N., Obraczkaz K., Turletti T. A survey of software-defined networking: Past, present, and future of programmable networks // IEEE Communications Surveys & Tutorials. 2014. Vol. 16. No. 3, pp. 1617-1634.
3. McKeown N., Anderson T., Balakrishnan H., Parulkar G., Peterson L., Rexford J., Shenker S., Turner J. Openflow: Enabling innovation in campus networks // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. 2008. Vol. 38. No. 2, pp. 69-74.
4. Bozakov Z., Rizk A. Taming SDN controllers in heterogeneous hardware environments // Proceedings of the Second European Workshop on Software Defined Networks (EWSDN), 2013, pp. 50-55.
5. Azodolmolky S., Wieder P., Yahyapou R. Performance evaluation of a scalable software-defined networking deployment // Proceedings of the Second European Workshop on Software Defined Networks (EWSDN), 2013, pp. 68-74.
6. Azodolmolky S., Nejabati R., Pazouki M., Wieder P. An analytical model for software defined networking: A network calculus-based approach // Proceedings of the 2013 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM), 2013, pp. 1397-14021.
7 Jarschel M., Oechsner S., Schlosser D., Pries R., Goll S., Phuoc T.G. Modeling and performance evaluation of an openflow architecture // Proceedings of the Twenty-third International Teletraffic Congress (ITC), 2011, pp. 1-7.
8. Mahmood K., Chilwan A., Osterbo O., Jarschet M. Modelling of open-flow-based software-defined networks: the multiple node case // IET Networks. 2015. Vol. 4. No. 5, pp. 278-284.
9. Xiong B., Yang K., Zhao J., Li W., Li K. Performance evaluation of OpenFlow-based software-defined networks based on queueing model // Computer Networks. 2016. No. 102, pp. 174-183.
10. Шелухин О.И., Осин A.B., Смольский C.M. Самоподобие и фракталы // Телекоммуникационные приложения. М.: Физматлит, 2008. 368 с.
11. Taggu M.S. Self-similar processes // In S. Kotz and N. Johnson, editors, Encyclopedia of Statistical Sciences. New York: Wiley. 1988. Vol. 8, pp. 352-357.
12. Самуилов K.E., Шалимов И.А., Бужин И.Г., Миронов Ю.Б. Модель функционирования телекоммуникационного оборудования программно-конфигурируемых сетей // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2018. Т. 14. № 1. С. 13-26.
13. Muhizi S., Shamshin G., Muthanna A., Kirichek R., Vladyko A., Koucheryavy A. Analysis and Performance Evaluation of SDN Queue Model // Lecture Notes in Computer Science. 2017. Vol. 10372, pp 26-37.
14. Okamura H., Dohi T., Trivedi K.S. Markovian arrival process parameter estimation with group data // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2009.Vol. 17. Iss. 4, pp. 1326-1339.
15. Jain R., Routhier S.A. Packet trains: measurements and a new model for computer network traffic // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1986. Vol. 4. Iss. 6, pp. 986-995.
16. Choi B.D., Choi D.I., Lee Y., Sung D.K. Priority queueing system with fixed-length packet-train arrivals // IEE Proceedings - Communications, 1998. Vol. 145. Iss. 5, pp. 331-336.
17. Paxson V., Floyd S. Wide area traffic: The failure of Poisson modeling // IEEE/ ACM Transactions on Networking. 1995. Vol. 3. Iss. 3. pp. 226-244.
18. Liang Z., Xu K., Wu J. A novel model to analyze the performance of routing lookup algorithms // Proceeding of the 2003 IEEE International Conference on Communication Technology (ICCT), 2003, pp. 508-513.
19. Kleinrock L. Queueing Systems, Vol. I: Theory. Wiley, New York, NY, 1975. 432 p.
20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
21. Митропольский А.К. Интеграл вероятностей. Л.: Изд. ЛГУ, 1972. 86 с.
22. Попов Б.А., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ. К.: Наукова думка, 1984. 595 с.
23. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.
24. Тамм Ю. А., Гомозова Т.А. К аппроксимации интеграла вероятностей // Электросвязь. 1970. No 9. С. 77-78.
25. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1964. 344 с.
26. Kartashevskiy I., Buranova M. Calculation of Packet Jitter for Correlated Traffic // Lecture Notes in Computer Science. 2019. Vol. 11660. P. 610-620. DOI: 10.1007 / 978-3-030-30859-9_53.
27. Буранова M.A., Карташевский И.В Применение EM-алгоритма для аппроксимации гиперэкспонентами плотностей вероятностей коррелированного трафика // Труды учебных заведений связи. 2021. Т.7. № 4. С. 10-17.
T-Comm Vol.16. #4-2022
G/G/1 QUEUE ANALYSIS FOR OPENFLOW SOFTWARE DEFINED NETWORKS
Marina A. Buranova, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia, buranova-ma@psuti.ru
Vyacheslav G. Kartashevskiy, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia,
kartashevskiy-vg@psuti.ru
Abstract
The SDN imposes requirements on manufacturers of infocommunication equipment related to the support of new scenarios for working with network applications, for example, with cloud technologies, with the ability to transmit large amounts of traffic over long distances. All this leads to the need to analyze the features of the SDN networks, assess their performance both at the design stage and in the process of operation. Quality of service (QoS) parameters in networks, such as delay and delay variation, can be used as characteristics to evaluate the quality of operation. An analysis of the functioning of a software-defined network using the M/G/1 and G/G/1 systems was made. Solutions based on two approaches are given, when the truncated normal distribution and the hyperexponential distribution are used as an example of an arbitrary distribution. When analyzing the G/G/1 system, an assumption was made about the mutual independence of flows entering the system and the absence of correlations within the sequences of time intervals between requests and processing times of requests. In the work, an expression for the probability density of processing times of applications in the systems M/N/1, H2/N/I and H2/H2/I, analytical expressions for estimating the average values of the delay time of applications in the systems M/N/1, H2/N /1 and H2/H2/I for software defined networks. The paper presents the result of comparing the average values of estimates of the delay time of applications in the systems M/N/1, H2/N/I and H2/H2/I for the SDN. An analysis of the dependence of the average delay time of a request in the system on the load factor in the queuing systems under consideration is given.
Keywords: queue model, software defined networks, quality of service, hyperexponential distribution, average service time of a request in the system References
1. N. Feamster, J. Rexford, E. Zeguraz (20I3). The road to SDN: An intellectual history of programmable networks. Networks. Vol. II. No. I2. P. 20-40.
2. B.N. Astutoz, M. Mendonca, X.N. Nguyen, K. Obraczkaz, T. Turletti (20I4).A survey of software-defined networking: Past, present, and future of programmable networks. IEEE Communications Surveys & Tutorials, vol. I6, no. 3, pp. I6I7-I634.
3. N. McKeown, T. Anderson, H. Balakrishnan, G. Parulkar, L. Peterson, J. Rexford, S. Shenker, J. Turner (2008). Openflow: Enabling innovation in campus networks. ACM SIGCOMM Computer Communication Review, vol. 38, no. 2, pp. 69-74.
4. Z. Bozakov, A. Rizk (20I3). Taming SDN controllers in heterogeneous hardware environments. Proceedings of the Second European Workshop on Software Defined Networks (EWSDN), pp. 50-55.
5. S. Azodolmolky, P. Wieder, R. Yahyapou (20I3). Performance evaluation of a scalable software-defined networking deployment. Proceedings of the Second European Workshop on Software Defined Networks (EWSDN), pp. 68-74.
6. S. Azodolmolky, R. Nejabati, M. Pazouki, P. Wieder (20I3). An analytical model for software defined networking: A network calculus-based approach. Proceedings of the 2013 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM), pp. I397-I402I.
7. M. Jarschel, S. Oechsner, D. Schlosser, R. Pries, S. Goll, T.G. Phuoc (201 I). Modeling and performance evaluation of an openflow architecture. Proceedings of the Twenty-third International Teletraffic Congress (ITC), pp. I-7.
8. K. Mahmood, A. Chilwan, O. Osterbo, M. Jarschet (20I5). Modelling of open-flow-based software-defined networks: the multiple node case. IET Networks, vol. 4, no. 5, pp. 278-284.
9. B. Xiong , K.Yang , J.Zhao , W. Li , K. Li (20I6). Performance evaluation of OpenFlow-based software-defined networks based on queueing model. Computer Networks, no. I02, pp. I74-I83.
10. O.I. Sheluhin, A.M. Tenyakshev, A.V. Osin (2003). Fraktalnie processi v telekommunikaciyah [Fractal Processes in Telecommunications]. Edited by. O.I. Sheluhin. Radiotehnika. 480 p. (in Russian)
11. M.S. Taggu (I988). Self-similar processes. In S. Kotz and N. Johnson, editors, Encyclopedia of Statistical Sciences. Wiley, New York, vol. 8, pp. 352-357.
12. K.E. Samujlov, I.A. Shalimov, I.G. Buzhin, Yu.B. Mironov (20I8). Model funkcionirovaniya telekommunikacionnogo oborudovaniya programmno-kon-figuriruemyh setej [Model of functioning of telecommunication equipment of software-defined networks]. Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT-obrazovanie, vol. I4, no I, pp. I3-26.
13. S. Muhizi, G.Shamshin, A. Muthanna, R. Kirichek, A. Vladyko, A. Koucheryavy (20I7). Analysis and Performance Evaluation of SDN Queue Model. Lecture Notes in Computer Science, vol. I0372, pp. 26-37.
14. H. Okamura, T. Dohi, K.S. Trivedi (2009). Markovian arrival process parameter estimation with group data. IEEE/ACM Transactions on Networking, vol. I7, iss. 4, pp. I326-I339.
15. R. Jain, S.A. Routhier (1986). Packet trains: measurements and a new model for computer network traffic. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 4, iss. 6, pp. 986-995.
16. B.D. Choi, D.I. Choi, Y. Lee, D.K. (1998). Sung Priority queueing system with fixed-length packet-train arrivals. IEE Proceedings - Communications, vol. 145, iss. 5, pp. 331-336.
17. V. Paxson, S. Floyd (1995). Wide area traffic: The failure of Poisson modeling. IEEE/ ACM Transactions on Networking, vol. 3, iss. 3, pp. 226-244.
18. Z. Liang, K. Xu, J. Wu (2003). A novel model to analyze the performance of routing lookup algorithms. Proceeding of the 2003 IEEE International Conference on Communication Technology (ICCT), pp. 508-513.
19. L. Kleinrock (1975). Queueing Systems, Vol. I: Theory, Wiley, New York, NY. 432 p.
20. I.S. Gradshtejn, I.M. Ryzhik (1963). Tablicy integralov, summ, ryadov i proizvedenij [Tables of integrals, sums, series and products]. 4-e izd. Moscow: Fizmatgiz. 1100 p. (in Russian)
21. A.K. Mitropolskij (1972). Integral veroyatnostej [Integral of probabilities]. L.: Izd. LGU. 86 p. (in Russian)
22. B.A. Popov, G.S. Tesler (1984). Calculation of functions on the electronic. Kiev: Naukova dumka. 595 p.
23. Spravochnik po special'nym funkciyam [Special Functions Reference.]. Ed. M. Abramovits, I. Stigan. Moscow: Nauka, 1979. 830 p. (in Russian)
24. Yu. A. Tamm, T.A. Gomozova (1970). K approksimacii integrala veroyatnostej [Approximation of the Probability Integral]. Elektrosvyaz', no 9, pp. 77-78. (in Russian)
25. E. Yanke, F. Emde, F. (1964). Lyosh Special'nye funkcii: Formuly, grafiki, tablicy [Special functions: Formulas, graphs, tables]. Moscow: Nauka. 344 p. (in Russian)
26. I. Kartashevskiy, M. Buranova (2019). Calculation of Packet Jitter for Correlated Traffic. International Conference on "Internet of Things, Smart Spaces, and Next Generation Networks and Systems. NEW2AN 2019", vol. 11660, pp. 610-620. (Lecture Notes in Computer Science, Springer, Cham). DOI: 10.1007 / 978-3-030-30859-9_53.
27. M.A. Buranova, I.V. Kartashevskiy (2021). Primenenie EM-algoritma dlya approksimacii gipereksponentami plotnostej veroyatnostej korrelirovanno-go trafika [Application of the EM Algorithm for Hyperexponential Approximation of Probability Densities of Correlated Traffic]. Trudy uchebnyh zave-denij svyazi, Vol.7, no. 4, pp. 10-17. (in Russian)
Information about authors:
Marina A. Buranova, Associate Professor of Information Security Department, PhD in Technical Sciences, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia
Vyacheslav G. Kartashevskiy, Head of the Department of information security Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Doctor of Technical Sciences, Professor, Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, Russia
