CC BY
20
Прочность летательных аппаратов
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» В РАМКАХ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Вал. В. ФИРСАНОВ, д-р техн. наук, профессор
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» «МАИ»
125993 Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4 k906@mai. ru
Представлены два варианта уточненной теории расчета напряженно- деформированного состояния в краевой зоне цилиндрических оболочек. В качестве примера рассматривается оболочка, жестко защемленная по двум краям и подверженная действию локальных распределенных и сосредоточенных нагрузок. Проведено сравнение результатов расчета, полученных в данной работе и по классической теории.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: замкнутая цилиндрическая оболочка; два варианта уточненной теории расчета; аппроксимирующие полиномы; вариационный принцип Лагранжа; краевые условия; преобразования Лапласа; напряженно-деформированное состояние «погранслой»; локальная нагрузка; характеристическое уравнение; поперечные нормальные напряжения.
Введение
Построение уточненных теорий и методов определения НДС пластинок и оболочек позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.
Учет трёхмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений. Результаты расчета общего, местного НДС пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных испытаний на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.
Один из возможных путей построения математически обоснованной теории пластинок и оболочек состоит в применении метода прямого асимптотического разложения компонентов НДС в ряды по малому параметру -относительной толщине трехмерного тела и последующем интегрировании уравнений трехмерной теории упругости.
Сформулированные краевые задачи, в силу сложности соответствующих им дифференциальных уравнений и различного типа граничных условий, напрямую решить затруднительно. В связи с этим, в работах [1,4], указанные краевые задачи с помощью вариационного метода Власова-Канторовича решены и доведены до численных результатов для прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек переменной толщины.
Другой подход к построению уточненной теории, называемый энергетически согласованным, заключается в разложении перемещений в полиномиальные ряды по нормальной координате и последующем применении вариационного принципа Лагранжа. Особенность этого подхода при построении уточненной теории оболочек состоит в том, что деформации оболочки находятся с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются
из соотношений закона Гука и поперечные напряжения получаются интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости.
Следует отметить, что построенные в рамках энергетически согласованного подхода краевые задачи для цилиндрических оболочек[2] были обобщены на случай произвольных ортотропных оболочек [6], а также оболочек переменной толщины[5].
В данной работе на основе энергетически согласованного подхода представлены два варианта уточненной теории расчета, условно обозначаемые «К=2» и «К=3». Эти варианты отличаются степенью полиномов, аппроксимирующих искомые перемещения по толщине оболочки. Указанные полиномы имеют степень на одну или две выше по сравнению с аналогичными функциями классической теории типа Кирхгофа-Лява.
Приводится сравнение результатов расчетов по двум вариантам уточненной теории между собой и по классической теории. Оценивается влияние напряженного состояния «пограничный слой» на прочность оболочки.
Напряженное состояние «пограничный слой»
Рассматривается замкнутая круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины hm изотропного материала, отнесенная к ортогональной системе координат £, в , z^ro. 1).
Здесь £ представляет собой относительное (измеренное в долях R) расстояние по образующей, в - центральный угол, а ось z направлена по внешней нормали к срединной поверхности радиуса R.
Считаем, что на лицевых z = ±h поверхностях оболочки заданы следую-
щие граничные условия:
о-зз (±Ю = Ч}3,
где q±3 обозначают осесимметричные нагрузки, действующие на верхней и нижней поверхностях оболочки в направлении координаты z.
Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения U1,
U , допускают асимптотические представления вида:
U1 z ) = U0 (£) + U1 (£) z + u2 (£) ^ + u3 (£) ^,
2!
3!
(1)
z 2
U2 (^ Z) = W0 (£) + W1 (£) Z + W2 (£)^
где индексы 1,2 соответствуют осям £ и z соответственно.
Аппроксимирующие полиномы (1) соответствуют варианту теории K=3. Для варианта теории K=2 в формулах (1) отбрасываются последние слагаемые, для классической теории типа Кирхгофа - Лява - по два последних слагаемых.
Используя вариационный принцип Лагранжа, с учетом разложения (1), получим систему дифференциальных уравнений в перемещениях [6], которая для рассматриваемого случая принимает вид:
С d2 Л ( d2 Л ( d2 ^
^ -mu. -mu. W -mu -mu- W
KlU0 + KlU0-
V
+
dg2
U0 +
J
2 Л
KlU + Kl
V
11 dg2
u1+
KlU2 + KlU
V
dg2
U2 +
KlU3 + KlU3 —-
^0 ТЛП^С2
dg2
u3 + Kr0—w0] + Kl^—w, + KlW2—w2 = 0, l = 1,2,3,4,
3 1 dg 0 1 dg 1 1 dg 2
(2)
d
d
2
KjU0—Uo + KjW0 + Kj11 dg V dg
+Kj12 — U2 + dg
(
Kj7 + KjW
J
d2
dg<
Ud
w0 + Kji'^J U1 + dg
d_
dg
(
KjW + j
d
2
dgg
w1 +
w2 + Kj\3 ~rgU3 = KJtq+з -jq-, j = ±5,6,7
с граничными условиями на жестко защемленных краях оболочки следующего вида
U, = 0 (z' = 1,4); wk = 0, (k =1,3 при д
= о, д=L/R .
В уравнениях (2) коэффициенты Kl, Kj с буквенными и числовыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных материала оболочки; U,wk- коэффициенты разложений искомых перемещений в выражениях (1). Формулы для указанных коэффициентов в более общем случае нагружения приведены в [6].
В матричном виде однородные уравнения, соответствующие (2), записываются как
D[Uo, u,, U2, U3, Wo, w,, W2 ] = 0.
(3)
Здесь D - квадратная матрица размером 7^7 коэффициентов уравнений (3), 0 - нулевой вектор.
Пусть F (д ) есть решение уравнения (3), т.е.
det(D)F (д) = о,
где det (D ) - определитель матрицы D.
Тогда ut, wk, определяемые формулами
Uo =Zdet(DLF Ui = Zdet(DLF U2 =Zdet(DLF U = Zdet(DLF
m=1
m=1
m=1
m=1
w0 = Z det ( D)5mF W1 = Z det ( D LF W2 = Z det ( D )7 mF1,
m=1 m=1 m=1
дают решение однородного уравнения (3). Здесь det (D) - минор определителя
V ' sm
det (D ), соответствующий элементу (s,m) матрицы D (s = 1,7) .
Дифференциальному уравнению (3) соответствует характеристическое
уравнение, которое можно представить как
p2 Z H0 p2 n = p 2Ai = 0,
n=0
n = 1..6 ,
(4)
где H0,- постоянные коэффициенты, зависящие от величины s0 = hjRи коэффициента Пуассона ^.
2
Кроме нулевых корней, уравнение (4) имеет следующие корни:
± p ± ± р2 ± щ2, ± Pз, ± Р4.
Тогда Д1 можно представить в виде
А, = H 60
х
(p - Pi)2 + q ] (p+Pi )2 + q ][(p - P2)2 + 42
(P + P2 )2 + 42 ] (P2 - P32) (P2 - P42) •
Таким образом, общее решение уравнения (3) получается в виде
u0 = C13 + Ci4^+^det(u =Zdet(DLF U =Zdet(DLF
m=1 m=1
= Zdet(DL F W0 = -Q4P + Zdet (DL F
m=1
u
m=1
w
i = Ci4|+Zdet(DLFi> *2 =Zdet(DLF1,
m=1
7
R
m=1
m=1
где
F1 (£ ) = (C1 sin q£ + C2 cos q£ ) e~+ (C3 sin q£ + C4 cos q£ ) eP +
+ (C5 sin q2% + C6 cos q2% ) e~^ + (C7 sin q2% + C8 cos q2% ) ep^ +
+C9e~^ + C10ep3^ + C11e“ ™ + C12eP^.
Анализ результатов показывает, что при расчете оболочек корни характеристического уравнения разделяются на две группы: асимптотически малые ± P1 ± iq1 и большие ±p2 ± iq2, ±p3, ±p4 корни. Асимптотически малым корням соответствуют основные НДС, которые приближенно определяются по классической теории оболочек. Асимптотически большим корням ± p2 ± iq2,
± p3, ± p4 соответствуют напряженные состояния оболочки, которые назовем
дополнительными краевыми эффектами типа «погранслой».
Для нахождения частного решения уравнений (2) используется преобразование Лапласа. Частные решения для более общего случая нагружения цилиндрической оболочки приводятся в [3].
Результаты расчетов и их сравнение с классической теорией
На рис. 2- 5 показаны результаты расчета НДС оболочки, имеющей следующие параметры: относительная длина Е,0 = L/R = 4, радиус R = 0.1м, относительная полутолщина s0 = hfR = 1/80, коэффициент Пуассона {! = 0.3. Оболочка жестко защемлена на двух концах. Распределенная по контуру постоянная сосредоточенная сила P приложена в середине оболочки. На данных рисунках аббревиатура “Gol” соответствует результатам расчета по классической теории.
Анализируя графики на рис. 2-3, можно установить: максимальные нормальные напряжения о11, соответствующие уточненной теории «К=3», превышают значения этих же напряжений, определяемых по классической теории, на 65%; различие в величинах этих напряжений, полученных по уточненным теориям «К=2» и «К=3», составляет 25%;
Максимальные нормальные напряжения о22, полученные по уточненной теории «К=3» превышают напряжения, соответствующие классической теории,
на 60%, разница в величинах этих напряжений, определяемых по уточненным теориям «К=3» и «К 2».составляет около 10%;
Рис. 2. Изменение тангенциальных нормальных напряжений по толщине оболочки в точке приложения силы: а) о11; б) а22
а)
б)
Рис. 3. Изменение поперечных напряжений по толщине оболочки в точке приложения силы: а) с33 , б) с13
Максимальные поперечные нормальные напряжения о33, величины которых составляют 55% от о1Ь по уточненным теориям «К=3» и «К=2» отличаются друг от друга в два раза, а также характером распределения по толщине.
Выводы
На основании полученных результатов, можно сделать вывод, что, по сравнению с классической теорией, уточненная теория оболочек учитывает дополнительные краевые эффекты типа «погранслой», которые вносят существенный вклад в общее НДС оболочки вблизи зон искажения напряженного состояния, например, вблизи жестко защемленного края, зоны действия локальной нагрузки, в окрестности скачкообразного изменения жесткостных характеристик и др.
Л и т е р а т у р а
1. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины// Вестник МАИ. 2010.Т. 17. №5.С.212-218.
2. V.V. Firsanov and Ch.N. Doan. Energy-Consistent theory of cylindrical shells. //Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 2011,Vol.40, No.6, pp.543-548.
3. Firsanov V.V., Doan T.N. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory// Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal/ Begell House, INC.,2015. Vol.6, Issue 2.Pp 135-166.
4. Фирсанов Вал.В. Напряженное состояние типа «пограничный слой» - краевое кручение прямоугольной пластинки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. №6. С.44-51.
5. Фирсанов Вал.В., Доан Ч.Н., Хиеу Л.Ч. Уточненная теория расчета напряженнодеформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ. 2013. Т.20. № 4. СЛ98-2П.
6. Фирсанов Вал.В., Доан Ч.Н. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии// Вестник МАИ. 2011. Т.18. №1. С.194-207.
References
1. Firsanov V.V. (2010). Boundary layer and its influence on strength of cylindrical shell with a variable thickness, VestnikMAI, Vol.17, №5, 212-218.
2. V.V. Firsanov and T.N. Doan (2011). Energy-Consistent theory of cylindrical shells, Journal of Machinery Manufacture and Reliability, Vol. 40, No.6, pp.543-548.
3. Firsanov V.V., Doan T.N. (2015). Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a neoclassical theory, Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal/ Begell House, INC., Vol.6, Issue 2, p 135-166.
4. Firsanov V.V. (2016). Stress state called as “boundary layer” is boundary torsion of the rectangular plate, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings , №6, pp. 44-51.
5. Firsanov Val.V., Doan T.N., Hieu L.T.(2013). The update theory calculation of the strain stress state of cylindrical shells with variable thickness, Vestnik MAI, Vol.20, №4, pp. 198-211.
6. Firsanov Val. V., Doan T.N. (2011). Energy concerted the approach to research of elastic arbitrary shells, Vestnik MAI, Vol.18, №1, pp. 194-207.
ANALISIS OF THE “BOUNDARY LAYER“ STRESS-STRAIN STATE IN FRAMES OF THE NONCLASSICAL CYLINDRICAL SHELL THEORY
Val.V. Firsanov
Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia
Two variants of a refined theory of determining the stress-strain state in the boundary zone of a cylindrical shells are represented. As an example the calculations of a shell with rigidly restrained on two edges and under the influence of local distributed and concentrated loadings is considered. The Comparison of calculation results of the stress-strain state shell obtained in this work and by the classical theory is given.
KEY WORDS: closed cylindrical shell, two variants of refined theory, approximation by polinomials, virtual principle of Lagrange, edge conditions, Laplace transform, local loading, the characteristic equation, “boundary layer”, normal transverse stress.
^ ^ ^
Расчет машиностроительных конструкций
ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ЗАГОТОВКИ НА КАЧЕСТВО ШТАМПОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ
Ю.А. МОРОЗОВ канд. техн. наук, доц.*
Е.Ю. ВЕРХОВ канд. техн. наук, доц.
Е.В. КРУТИНА канд. техн. наук, доц.
Московский политехнический университет
111250, Москва, Б. Семеновская, 38, т. 8(916)877-66-96*; akafest@mail.ru*
Исследуется возможность получения штампованных изделий из заготовок прямоугольной формы с обрезанными и необрезанными углами. Приводятся экспериментальные измерения упругих искажений боковых стенок от идеального контура детали. Даются рекомендации по проектированию штамповой оснастки и повышению качества вытягиваемых изделий коробчатых форм.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: листовая вытяжка; координатная сетка; искажение формы; потеря устойчивости.
