АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРИКОТАЖНОГО ПОЛОТНА В ПРОЦЕССЕ ДВУХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК: 677.054

Набиджанова Н.Н.

Наманганский инженерно-технологический институт

Алимова Х.А.

Шин И.Г.

Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРИКОТАЖНОГО ПОЛОТНА В ПРОЦЕССЕ ДВУХОСНОГО

РАСТЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ

Аннотация: В статье приведены результаты анализа напряженно-деформированного состояния, возникающего в трикотажном полотне при двухосном растяжении, реализуемом в процессе изгиба по цилиндрической поверхности. Рассматривая изгиб пластинки трикотажного полотна как изгиб балки при действии равномерной поперечной нагрузки и растягивающих осевых усилий, величина прогиба балки определяется выражением из тригонометрического ряда, получены его зависимости от цилиндрической жесткости и равномерно распределенной нагрузки для трикотажных полотен с различным сырьевым составом.

Ключевые слова: трикотажное полотно, пластина, напряженное состояние, относительная деформация, абсолютная деформация, нормальные напряжения, прогиб, жесткость цилиндрическая

Nabidzhanova N.N. Namangan Engineering Technological Institute

Alimova Kh.A.

Shin I.G.

Tashkent Institute of Textile and Light Industry

ANALYSIS OF THE STRESS-DEFORMED STATE OF A KNITTED FABRIC IN THE PROCESS OF TWO-AXIAL TENSION AT BENDING AROUND A CYLINDRICAL SURFACE

Abstract: The article presents the results of the analysis of the stress-strain state that occurs in a knitted fabric under biaxial tension, realized in the process of bending along a cylindrical surface. Considering the bending of a knitted fabric plate as a bending of a beam under the action of a uniform transverse load and tensile axial forces, the deflection of the beam is determined by an expression from the trigonometric series, its dependences on the cylindrical

stiffness and uniformly distributed load for knitted fabrics with different raw materials are obtained.

Key words: knitted fabric, plate, stress state, relative deformation, absolute deformation, normal stresses, deflection, cylindrical stiffness

Трикотажное полотно, подобно любому текстильному материалу в зависимости от направления действующих нагрузок может подвергаться различным видам простых деформаций: растяжению (сжатию), изгибу, сдвигу и кручению. Но чаще всего имеет место случай, когда в материалах под действием внешних силовых факторов формируется сложное напряженно - деформированное состояние, характеризуемое комплексом разнородных деформаций, например, растяжением и изгибом. Отметим также, что на величину деформаций текстильных материалов кроме уровня силовых воздействий влияет ряд других факторов: длительность и кратность числа нагружений, окружающая среда (температура и влажность), структура, волокнистой состав и физико - механические свойства.

Несмотря на то, что нагрузки, испытываемые материалом в одежде, составляют лишь небольшой процент от разрывной [1], они способны вызвать деформацию удлинения. Для прогнозирования формоустойчивости одежды в эксплуатационных условиях необходимо определить какую долю составляют упругие деформации при незначительных однократных или многократно изменяющихся нагрузках. Так как в процессе носки трикотажного изделия его отдельные участки подвергаются одновременному растяжению в нескольких направлениях, то важным представляется исследование деформируемости трикотажных полотен при двухосном растяжении, когда усилия приложены в плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Моделирование данного деформированного состояния можно

изгиба образца трикотажного полотна по цилиндрической поверхности, имитирующей поверхность тела человека [2].

Проведем аналитическое исследование напряженно-деформированного состояния трикотажного полотна на основе теории изгиба [3, 4] гибких тонких прямоугольных пластин размером axb и постоянной толщины h (рис. 1). Прямоугольные образцы из трикотажных полотен соответствуют тонким пластинам, так как ее толщина находится в пределах 1,3.. .1,8 мм и даже для толщин 2,2 и 2,7 мм (исследуемые поликомпонентные

реализовать с помощью

Рис. 1. Гибкая тонкая прямоугольная пластина постоянной толщины И и

размером ахЬ

трикотажные полотна) выполняется известное соотношение К/а < ОД.

Пусть прямоугольная пластина из трикотажного полотна постоянной толщины Ъ изгибается по цилиндрической поверхности с радиусом Я (рис.

2, а).

Рис. 2. Изгиб прямоугольной пластины из трикотажного полотна толщиной h по цилиндрической поверхности с радиусом R (а) и представление полоски единичной ширины АВ в виде балки прямоугольного поперечного сечения

длиной l (б)

Такой изгиб наблюдается для длинных прямоугольных пластин при постоянной силе, действующей по ее длине. При этом рассматривается участок пластины, удаленный на значительное расстояние от концов А и В. Для данного случая достаточно рассмотреть одну полоску единичной ширины Ь = 1(рис. 2, а) из трикотажного полотна, подобную АВ, как балку прямоугольного поперечного сечения длиной 1 (рис. 2, б).

Из условия непрерывности деформаций и гипотезы жесткой нормали следует, что при изгибе поперечное прямоугольное сечение пластинки не искажается. Поэтому на продольное волокно полоски, например, тт (рис. 3, а) действует не только продольное растягивающее ах, но и растягивающее напряжение а2 в поперечном направлении.

\

Рис. 3. Плоское напряженное состояние полоски из трикотажного полотна при изгибе по цилиндрической поверхности и схема действующих растягивающих нормальных напряжений ох (а) и <тг (б) в соответствующих координатных

плоскостях хоу и уог

Из предположения, что поперечное сечение полоски остается плоским при изгибе, относительные деформации удлинения по направлениям осей хиг соответственно будут равны:

(1)

где у - расстояние от нейтрального слоя волокна тш, подвергающегося продольной деформации, мм;

1/Я - радиус кривизны пластинки, мм-1;

Соответствующие относительным деформациям (1) нормальные напряжения а в направлении осей х и г определяются как в случае растяжения по двум взаимно перпендикулярным направлениям:

- Е£*

Еу

Ъ =

ЦЕХ Е

цЕу

(2)

2 1-ц2 '

где Е - модуль продольной упругости пластинки, Па; и - коэффициент Пуассона.

Если рассматривать изгиб пластинки трикотажного полотна так же, как изгиб балки, то можно определить изгибающий момент М в любом поперечном сечении деформируемой полоски в зависимости от нормальных напряжений:

М = ] п охуЛу

I ¿у2¿У

Е1г

О

(3)

где О

■ - жесткость пластинки при цилиндрическом изгибе

12(1-^)

или цилиндрическая жесткость Н.мм2; И - толщина пластинки, мм.

Поэтому с учетом выражения для цилиндрической жесткости о уравнение (3) принимает простой вид:

(4)

При изгибе пластинки из трикотажного полотна цилиндрическая жесткость соответствует жесткости Е1г при изгибе балки, где 1Х - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси

При малых прогибах полоски АВ (рис. 2, а) кривизну 1/Я можно выразить ее приближенным значением А2 у ¡Ах2- [5] и тогда дифференциальное уравнение упругой линии полоски:

[)-=-?4. (5)

йх2

которое имеет общее решение в виде

(6)

О 2

Постоянные интегрирования С1 и С2 найдены с учетом начальных условий:

у = 0 при х = 0 и у' = о при х = 0 постоянные интегрирования С, = 0 и с2 = 0. Тогда частное решение уравнения принимает вид:

Максимальное удлинение соответствует значению х = I/2 :

пластинки в направлении оси у

(8)

Важное практическое значение может иметь случай, когда изгиб пластинки по цилиндрической поверхности вызывается действием равномерно распределенной нагрузкой д. Если равномерно нагруженная прямоугольная пластинка из трикотажного полотна имеет длину значительно большую, чем ширина, то можно предположить, что вблизи ее центра будут наибольший прогиб и напряжения. При этом пластинка изгибается по поверхности, приблизительно совпадающей с цилиндрической и для определения прогиб, следует воспользоваться уравнением (5).

Вычисление прогибов, представляет научно-практическую задачу при проектировании, изготовлении и эксплуатации изделий из трикотажных полотен, так как прогиб пластины, моделирующей трикотажную оболочку (одежду) на локальном участке изделия, способствует процессу складкообразования и свидетельствует о начале потери его формоустойчивости.

Равномерно нагруженная прямоугольная пластина из трикотажного полотна, как и полоска АВ на рис.2, а, находится в том же напряженном состоянии, что и растянутый стержень с равномерной поперечной нагрузкой Р и растягивающими усилиями Б (рис.4). Растягивающая сила Б соответствует абсолютному удлинению полоски, вычисляемому как разность между длиной изогнутой оси и длиной хорды полоски АВ (рис.2, б). Данная схема нагружения пластинки со свободно опертыми краями и возникающая деформация в первом приближении описывает локальную деформацию деталей одежды из трикотажного полотна.

Рис. 4. Одновременное действие на стержень растягивающих сил Г и поперечной

нагрузки Р

При допущении, что изогнутая ось балки длиной 1 представляет синусоиду величина прогиба в сечении х составляет [3]: у = / ■ sin у, мм (9)

где / - прогиб балки посредине ее длины 1. Выражение (9) следует из тригонометрического ряда

где аг а2 а3 ... - наибольшие ординаты соответствующих синусоид (рис.5), а числа 1, 2, 3,... отражают число полуволн.

Применение тригонометрического ряда (10) при исследовании напряженно - деформированного состояния в процессе изгибаполоски из трикотажного полотна удобно при описании совместного действия поперечной и продольной растягивающей (сжимающей) силы, т.е. при двухосном напряженном состоянии.

Рис. 5. Балка с опертыми концами (а) и представление кривой изгиба балок в виде тригонометрического ряда (наложение простых синусоид с различным

числом полуволн)

Рассмотрим балку, показанную на рис.6, где подвижный шарнир В приближается к неподвижному шарниру А на величину, равную разности между длиной изогнутой оси балки и длиной хорды АВ.

Рис. 6. Балка на шарнирно неподвижной А и подвижной В опорах, воспринимающая одновременно продольно сжимающую Г и поперечную силу Р

Абсолютная деформация или удлинение осевой линии полоски составит:

мм (11)

В зависимости от направления осевой продольной силы Б, являющейся сжимающей или растягивающей, происходит увеличение прогиба f или его уменьшение. Для определения прогиба посередине балки обычно пользуются приближенным выражением

/ = , мм (12)

где /0 - прогиб, вызываемый только поперечными нагрузками, мм; а - коэффициент, выражающий отношение продольной (осевой) силы Б к критическому значению осевой нагрузки (эйлеровая нагрузка).

Если продольная сила Б является растягивающей, то в выражении (12) для изогнутой оси необходимо подставить - а вместо а и тогда для прогиба посередине получаем приближенную формулу:

А = -/п (~)2 <&= — 2 ■'0 \ах/ 41

мм (13)

Необходимо отметить, что в случае продольных растягивающих сил Б коэффициент а может быть больше 1, что вызывает некоторое снижение точности приближенного выражения (13). Для расчета прогиба / по этой формуле необходимо подставить значения /0 и а, определяемые согласно Тимошенко С.П. по зависимостям:

(14)

которые позволяют определить абсолютную деформацию (11) в виде

" Й

^ 41 (1+а)2

(15)

Для нахождения коэффициента а воспользуемся уравнением [3]:

а(1+ а) =

(16)

где правая часть выражения легко вычисляется для заданной равномерно распределенной нагрузки q и размеров пластины И, если положить 1 + а = х с целью упрощения. Получим уравнение в следующем виде

В уравнении (17) разность между кубом величины х и ее квадратом имеет определенное фиксированное значение, которое легко определить расчетным способом. А коэффициент а далее уже определить из выражения 1 + а = х.

Прогиб и напряжения в полоске АВ обычно вычисляют при помощи специальных таблиц [3], где имеются данные для растянутых стержней с поперечной нагрузкой с необходимыми множителями, используемыми в расчетах. При одновременном действии осевых сжимающих (растягивающих) Б и поперечной нагрузки Р (приложена посредине) справедливо соотношение:

(18)

где коэффициент и указывает в каком соотношении прогиб, вызванный силой Р, увеличивается от действия осевых сжимающих сил Б, а параметр р служит обозначением: F/(£7) = р2 , где Е - модуль продольной

упругости Н/мм2,

I - осевой момент инерции поперечного сечения

полоски, мм4

В качестве численного примера рассмотрим прямоугольную пластинку единичной ширины, длиной I = 20 мм и толщиной 11=1 мм, нагруженную равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q=0,074...0Д53Н/мм2. Этот диапазон значений распределенной нагрузки установлен исходя из того, что по данным Торкуновой З.А [6] в процессе эксплуатации на трикотажное полотно, как правило, действуют нагрузки не более 10Н, а толщина исследуемых трикотажных полотен находится в пределах 1,3.2,7 мм.

Расчетные значения разрывных напряжений этих трикотажных полотен, полученных после проведения испытаний полуцикловых характеристик, составили соответственно по длине/ширине образца значения: 0,54... 1,41/0,45... 0,91 Н/мм2. Данный диапазон величин напряжений значительно превосходит ц = о,0 74... од53 н/мм2, что убедительно свидетельствует о том, что эксплуатационные нагрузки на одежду из трикотажных полотен существенно уступают по интенсивности разрывным.

Рассчитаем наибольший прогиб Го, возникающий под действием только одной поперечной силы Р:

где о = Ек3/12(1— ¿/2) - цилиндрическая жесткость пластины,

Н.мм2

и - коэффициент Пуассона;

Е - модуль продольной упругости, МПа.

Для приближенной оценки прогиба трикотажного полотна из хлопчатобумажных волокон примем Е = 1350МПаи^ = 0,3 [7]. С учетом приведенных данных при <7 = 0,0 74 н/мм2 получим

О = 123,6 Н.мм2; /о = 1,247 мм;

З/о2

к2

Тогда растягивающие напряжения, возникающие от продольной силы равны

_ кр _

1,081 ■ 3,14 ■ 123,6

Л-1 к М2 1 ■ 202

Наибольший изгибающий момент посредине полоски

4,96 Н/мм"

М = =

11 тса

где значение ^(и) = 0,520 по табл. [3], найденное методом интерполирования для и = 1,63. Тогда наибольший изгибающий момент:

М,

= 1,924 Н.мм

Этому моменту соответствует наибольшее напряжение изгиба 6-1,924

= 11,4 Н/мм2

г, ^ ^ так <*х ~

1-Н2 I2

Складывая нормальные напряжения от растяжения и от изгиба, получим наибольшее напряжение

< = 16,36Н/мм2

^тах ^х

Если повторить следующие данные:

И = 123,6 н/мм2;

з/02

расчет для = од53 н/мм^

= 2,о8 мм;

то получим

и2

;

^ = 6,3 7 Н/мм2;

м

тах

= 2,46 Н- мм; ^ (и) = 0,321

Из анализа напряженно-деформированного состояния полоски трикотажного полотна, нагруженной поперечной силой и растягивающими усилиями, края которой свободно опираются и могут поворачиваться при изгибе, следует, что благодаря продольной силы наибольшие напряжения возрастают непропорционально интенсивности нагрузки (медленнее нагрузки). Расчетные значения напряжений а'х и о", соответствующие единичной ширине полоски, в действительности будут еще существенно меньше, так как следует учесть реальную ширину полоски. Поэтому возрастают как площадь поперечного сечения, так и момент сопротивления сечения которые учитываются при расчете напряжений.

На рис. 7 и 8 представлены соответственно зависимости наибольшего прогиба ^ полоски трикотажного полотна единичной ширины от цилиндрической жесткости Э и равномернораспределенной нагрузки д при изгибе. Для трикотажного полотна с волокнистым составом х/б + шелк предварительно был рассчитан так называемый приведенный модуль упругости Епр

МПа

где Е1 и Е2 - соответственно модуль упругости хлопчатобумажной пряжи и шелкового волокна [8], Е2 = 3 ... 41ГПа = 3000 ...41000 МПа.

Рис. 7. Зависимости наибольшего прогиба Л пластины из трикотажного полотна единичной ширины от цилиндрической жесткости Б: а) - полотно из х/б; б) - полотно из х/б + шелк; 1-Я = 0,074 Н/мм2; 2-я = 0,153 Н/мм2

Коэффициент Пуассона, учитывая, что для текстильных волокон нитей деформация состоит из трех компонентов, имеет условный характер и в расчетах при первом приближении был принят равным значению для хлопчатобумажной пряжи: ^ = 0,3 . При Е2 = 3000 МПа приведенной модуль упругости, учитывающий значения модулей упругостей

компонентов структуры трикотажного полотна, равен Епр = 1862 МПа.

Как следует из графических зависимостей рис.7, наибольший прогиб Го, возникающий под действием только одной поперечной силы Р, уменьшается нелинейно при возрастании цилиндрической жесткости О и при этом прогиб пластины при ц = 0,153 н/мм2 составил /о = 0,323 ...2,581 мм, что превосходит значение ^ при ц = 0,074 н/мм2

I

НИ

--------- ..... > •tf- I

..... ,2

Л

/ щ

ГП "Г

ух уо qe щ у

Ом

qoe ою

.Н/гт

а) ' 6)

Рис. 8. Зависимости наибольшего прогиба /о пластины из трикотажного полотна единичной ширины от равномерно распределенной нагрузки я: а - полотно из х/б; 1-0=123,6 Н.мм2; 2-Б=270,7 Н.мм2; 3-Б=506,3 Н.мм2

б - полотно из х/б + шелк; 1-D=170,6 Н.мм2; 2-D=373,6 Н.мм2; 3-D=698,7 Н.

мм

2

Характер нелинейной зависимости прогиба f для трикотажных полотен из х/б и х/б + шелк одинаков, но прогиб пластин из х/б + шелк меньше, чем полотна из х/б: /0 = 0,269 ... 1,871 мм при q = од53 н/мм2 . Данное уменьшение прогиба /0 составляет в среднем 38% при q = 0,074 и 0,153 Н/мм2.

В соответствие с зависимостью (14) прогиб пластин/0 изменяется линейно и увеличивается с возрастанием равномерно распределенной нагрузки (рис.8). При этом с увеличением значений цлиндрической жесткости D прогиб пластин закономерно уменьшается.

Для поликомпонентных трикотажных полотен, имеющих в структуре волокнистого состава еще и волокна Lycra, прогиб пластин останется практически неизмененным, так как, во-первых, модуль упругости полиуретановых (эластомерных) волокон очень мал [9]: Е = (2 ...5) ■ ;0"2 ГПа и во-вторых, высокая деформируемость этих волокон реализуется при осевом растяжении, а не при действии поперечной силы.

Аналитическое определение деформируемости трикотажных полотен по величине прогиба пластин позволяет перейти к сравнительной оценке важнейшего эксплуатационного показателя изделия -

формоустойчивости и дает предпосылки для ее прогнозирования по физико-механическим и геометрическим параметрам трикотажного полотна.

Выводы

1. Выполнено аналитическое исследование напряженно -деформированного состояния трикотажных полотен с помощью моделирования в виде гибких тонких прямоугольных пластин постоянной толщины, соответствующей толщинам полотна 1,3 ... 1,8 мм.

2. Исследована деформируемость трикотажных полотен при двухосном растяжении, реализуемом при изгибе образца трикотажного полотна по цилиндрической поверхности.

3. Равномерно нагруженная прямоугольная пластина из трикотажного полотна подобно полоске единичной ширины находится в том же напряженном состоянии, как и растянутый стержень с равномерной поперечной нагрузкой и растягивающими усилиями.

4. При допущении, что изогнутая ось балки представляет синусоиду, величина ее прогиба определяется выражением из тригонометрического ряда. Получены зависимости наибольшего прогиба пластины из трикотажного полотна единичной ширины в зависимости от цилиндрической жесткости и равномерно распределенной нагрузки.

5. Методом суперпозции получены расчетные значения нормальных напряжений от растяжения и изгиба, соответствующих единичной ширине образца в виде полоски.

Использованные источники:

1. Рогова, Л.П. Изготовление одежды повышенной формаустойчивости [Текст] / А.П.Рогова, А.И.Табакова.-М.: Легкая индустрия, 1979.-184 с.

2. Цитович, И.Г. Проектирование изделий из эластомерных полотен с учетом их деформационных свойств [Текст] / И.Г.Цитович, Г.А.Набутовская // Текстильная промышленность. - 2004. - №2 7-8.-С.26-28.

3. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов [Текст]: в 2-х т. / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1965. - Т.2. - 480 с.

4. Тимошенко, С.П. Теория упругости [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж.Гудьер. - М.: Наука, 1975. - 560 с.

5. Биргер, И.А. Сопротивление материалов [Текст]: учеб. пособие для вузов / И.А.Биргер, Р.Р.Мавлютов. - М.: Наука, 1986. - 560 с.

6. Флерова, Л.Н. Материаловедение трикотажа [Текст]. / Л.Н. Флерова, Г.И.Сурикова. -М.: Легкая индустрия, 1972. -184 с.

7. Кукин Г.Н. Текстильное материаловедение волокна и нити [Текст]: учеб. для вузов / Г.Н. Кукин, А.Н.Соловьев, А.И.Кобляков. -М.: Легпромбытиздат, 1989. - 352 с.

8. Алимова, Х.А. Безотходная технология переработки шелка [Текст]: монография / Х.А.Алимова. - Ташкент: ФАН, 1994. - 309 с.

9. Перепелкин, К.Е. Структура и свойства волокон [Текст] / К.Е.Перепелкин. - М.: Химия, 1985. - 208 с.