CC BY
18
НАУЧНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИИ И НАУКЕ / SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE
УДК 519.718.2
DOI: 10.25559^тТО.16.202002.426-438
Анализ надёжности многороторного лётного модуля привязной телекоммуникационной платформы при работе в случайной среде
Д. В. Козырев1' 2*, З. Ф. Нгуен3
1 ФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук», г. Москва, Россия
117997, Россия, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65
2 ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов», г. Москва, Россия 117198, Россия, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
* kozyrev-dv@rudn.ru
3 ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», г. Долгопрудный, Россия
141701, Россия, г. Долгопрудный, Московская область, пер. Институтский, д. 9 Аннотация
Одним из перспективных направлений в рамках концепции создания сетей нового поколения 5G / 1МТ-2020 является развитие широкополосных беспроводных сетей на базе автономных и привязных беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Преимуществом таких сетей является их быстрое и гибкое развертывание, более широкая зона телекоммуникационного покрытия и повышенная надежность беспроводной связи, управляемая мобильность, снижение эксплуатационных расходов и т. д. Помимо интереса к высотным платформам, реализуемым на базе автономных БПЛА, в настоящее время ведущими исследователями передовых стран мира ведутся интенсивные научные работы по проектированию и реализации привязных беспилотных высотных платформ. Платформы этого типа предназначены для эксплуатации в течение длительного времени и широко используются как в гражданской, так и в военной сфере. Возможность длительной эксплуатации привязных беспилотных высотных платформ, являющаяся одним из основных преимуществ перед автономными БПЛА, выдвигает ряд новых требований к надежности как отдельных узлов, так и высотной платформы в целом. Высотные модули привязных беспилотных высотных платформ, как и большинство технических систем, функционируют в условиях изменяющейся внешней среды. Внешними факторами, влияющими на длительность безотказной работы привязных беспилотных высотных платформ, являются, в частности, погодные условия. Влияние этих факторов на надёжность системы представляет значительный интерес. Поэтому в данной статье решается актуальная задача исследования аналитической модели надёжности многороторного лётного модуля привязной мультироторной высотной платформы как однородной системы горячего резервирования, состоящей из п элементов, работающей в случайной среде. Предложена общая марковская модель надёжности системы, функционирующей в случайной среде, с учётом повышения функциональной нагрузки и расположения отказавших элементов.
Ключевые слова: система к-из-п, случайная среда, БПЛА, привязная высотная платформа, гексакоптер, анализ надёжности.
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 2. 2020
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
НАУЧНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИИ И НАУКЕ
Финансирование: публикация подготовлена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности «5-100» и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 19-29-06043_мк «Разработка теоретических основ проектирования привязных высотных беспилотных телекоммуникационных платформ длительного функционирования». Руководитель научного проекта: Вишневский Владимир Миронович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва, Россия.
Для цитирования: Козырев, Д. В. Анализ надёжности многороторного лётного модуля привязной телекоммуникационной платформы при работе в случайной среде / Д. В. Козырев, З. Ф. Нгуен. - DOI 10.25559^ШТО.16.202002.426-438 // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2020. - Т. 16, № 2. - С. 426-438.
Modern Information Technologies and IT-Education
SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE
Reliability Analysis of a Multi-Rotor Flight Module of a Tethered Telecommunications Platform when Operating in a Random Environment
D. V. Kozyrevab*, D. P. Nguyenc
a V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Russia 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russia b Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russia 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russia * kozyrev-dv@rudn.ru
c Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University), Dolgoprudny, Russia 9 Institutskiy per., Dolgoprudny 141701, Moscow Region, Russia
Abstract
Among the promising directions in the framework of the concept of creating the next-generation 5G/ IMT-2020 networks is the development of broadband wireless networks based on autonomous and tethered unmanned aerial vehicles (UAVs). The advantage of such networks is their fast and flexible deployment, a wider area of telecommunication coverage and enhanced reliability of wireless communications, controllable mobility, reduced operating costs, etc. In addition to the interest in high-altitude platforms implemented on autonomous UAVs, leading researchers from advanced countries of the world are currently carrying out intensive scientific work on the design and implementation of tethered unmanned high-altitude platforms, given the vastness of their practical application. Platforms of this type are intended to be operational over long periods of time and are widely used in both civilian and military areas. The possibility of long-term operation of tethered unmanned high-altitude platforms, which is one of the main advantages compared to autonomous UAVs, puts forward a number of new requirements on the reliability of both the individual components and the high-altitude platform as a whole. Thus, in the current paper we solve the relevant problem of studying the analytical reliability model of the multi-rotor flight module of the tethered high-altitude platform as a homogeneous hot standby system consisting of n elements operating in a random environment. A general Markov model of the reliability of the system operating in a random environment is proposed, which takes into account the increase in the functional load and the location of the failed elements.
Keywords: k-out-of-n system, random environment, UAV, tethered high-altitude platform, hexacop-ter, reliability analysis.
Funding: This publication was prepared with the support of the RUDN University Competitiveness Enhancement Program 5-100. The reported study was funded by RFBR, project number 19-29-06043_
MK.
For citation: Kozyrev D.V., Nguyen D.P. Reliability Analysis of a Multi-Rotor Flight Module of a Tethered Telecommunications Platform when Operating in a Random Environment. Sovremennye informa-cionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2020; 16(2):426-438. DOI: https://doi.org/10.25559/SITIT0.16.202002.426-438
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 2. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
D. V. Kozyrev, SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE
D. P. Nguyen
Введение
Одним из перспективных направлений в рамках концепции создания сетей нового поколения 5G / 1МТ-2020 является развитие широкополосных беспроводных сетей на базе автономных и привязных беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Преимуществом таких сетей является их быстрое и гибкое развертывание, более широкая зона телекоммуникационного покрытия и повышенная надежность беспроводной связи, управляемая мобильность, снижение эксплуатационных расходов и т. д., что обеспечивает их эффективное и широкое применение. В связи с этим, исследование надежности БПЛА является очень важной задачей и становится новым трендом в научных работах многих исследователей [1,2]. Помимо интереса к высотным платформам, реализуемым на базе автономных БПЛА [3], в настоящее время ведущими исследователями передовых стран мира ведутся интенсивные научные работы по проектированию и реализации привязных беспилотных высотных платформ [4-9]. Платформы этого типа предназначены для эксплуатации в течение длительного времени и широко используются как в гражданской, так и в военной сфере. Возможность длительной эксплуатации привязных беспилотных высотных платформ, являющаяся одним из основных преимуществ перед автономными БПЛА, выдвигает ряд новых требований к надежности как отдельных узлов, так и высотной платформы в целом. Многороторная архитектура таких платформ позволяет платформе с п винтокрылыми двигателями оставаться в рабочем состоянии даже после отказа к - 1 двигателей. Однако выход из строя части двигателей вызывает увеличение нагрузки на остальные двигатели, что приводит к снижению их надежности. Более того, работоспособность системы зависит от расположения вышедших из строя двигателей. Таким образом, наихудший случай для этой системы - отказ рядом расположенных двигателей. Следовательно, при разработке моделей оценки надежности и поиске оптимальной архитектуры таких многороторных систем необходимо учитывать фактор «зависимости отказов». Таким образом, рассматриваемые системы могут быть смоделированы с помощью неоднородных к-из-п моделей, отказы компонентов которых зависят от конфигурации отказавших компонентов. Из-за широкой области практического применения изучению систем к-из-п было посвящено большое количество работ. В работе [10] был предложен обзор классических и современных работ [11-19], посвященных рассматриваемому классу систем, рассмотрены несколько вариантов такой модели, в том числе с учетом зависимости отказов системы от конфигурации отказавших компонент, и разработан алгоритм, позволяющий вычислять функцию надёжности такой системы, среднее значение и дисперсию её времени безотказной работы. Ранее, в [20] были получены результаты расчета характеристик надежности для системы типа «(2, 3)-из-6» с учетом увеличения функциональной нагрузки на оставшиеся элементы, а также с учетом расположения отказывающих элементов. Было проведено сравнение полученных результатов с аналогичными результатами классических моделей анализа надежности резервированных систем, и делан вывод о том, что несмотря на то, что последние дают ожидаемо более высокие оценки характеристик надежности, однако они не учитывают неоднородность структуры отказов мультироторных высотных модулей. Далее, в [21] рассмотренная ранее модель надеж-
ности мультироторных высотных модулей была обобщена на случай неэкспоненциального распределения времени безотказной работы элементов системы.
Высотные модули привязных беспилотных высотных платформ, как и большинство технических систем, функционируют в условиях изменяющейся внешней среды, которые носят как регулярный, так и случайный характер, причём частота этих изменений может быть как соизмеримой с частотой отказов системы, так и быть значительно больше или меньше частоты отказов системы. Влияние этих факторов на надёжность системы представляет значительный интерес в условиях быстро развивающихся технических возможностей современного мира. Существует ряд работ, посвящённых исследованию систем поведения массового обслуживания, работающих в случайной среде. Достаточно подробный обзор современных работ на эту тему можно найти, например в [22, 23]. В работах [24, 25] было исследовано влияние изменчивости внешней среды на стационарные характеристики надёжности технических систем, а также на распределение времени их безотказной работы. Была рассмотрена простейшая однородная бинарная модель системы холодного резервирования с одним ремонтным устройством, функционирующей в случайной марковской среде с конечным числом состояний. Внешними факторами, влияющими на длительность безотказной работы привязных беспилотных высотных платформ, являются, в частности, погодные условия (дождь, снег, град, ветровая нагрузка). Настоящая работа посвящена исследованию марковской модели надёжности системы типа к-из-п, функционирующей со случайной марковской среде, с учётом повышения функциональной нагрузки и расположения отказавших элементов.
Общая модель
В качестве модели надёжности многороторного лётного модуля привязной высотной телекоммуникационной платформы рассмотрим модель системы типа «к-из-п^», состоящей из п однородных элементов (роторов), в предположении, что система функционирует в случайной среде, принимающей т состояний. Такая система горячего резервирования работоспособна пока работают по крайней мере (п-к+1) из п её элементов, т.е. система считается неработоспособной если отказывают к элементов, причём к0 из к отказавших элементов не расположены рядом друг с другом (2 < к0 < к-1). Предполагается, что элементы системы работают и отказывают независимо друг от друга.
Такую систему будем обозначать «(к0, к)-из-п^» [20, 21]. Состояния системы «(к0, к)-из-п^» могут быть описаны векторами г = {гс,гх,...,zn}, первая компонента которых описывает состояние внешней среды и принимает т значений (= 1,т ), а компоненты указывают состояния элементов системы и принимают два значения: 0 — для работоспособного состояния элемента, и 1 — для его отказового состояния. Обозначим через
Е = {(ге > zl,..., 2я 2с = 1 т> zi = {ОДЬО' = 1"))
пространство возможных состояний такой системы, \Е\ = тх2п, и через Е0, Е1 - подмножества её работоспособных и отказовых состояний соответственно.
Modern Information Technologies and IT-Education
2.1 Модель однородной системы с учётом повышения функциональной нагрузки и расположения отказавших элементов
Рассмотрим однородную систему «(^0, ^-из-п^» в предположении, что все элементы системы имеют одинаковые распределения времени безотказной работы, и отказы одних элементов приводят к повышению функциональной нагрузки на остальные работоспособные элементы. Изучение неоднородных систем надёжности, функционирующих в случайной марковской среде связано со значительным расширением фазового пространства описывающих поведение системы случайных процессов и соответственно с усложнением соответствующих вычислительных алгоритмов и процедур. Будем рассматривать работу системы до её первого отказа, учитывая расположение отказавших элементов, без ограничений на число ремонтных устройств. Система неработоспособна, когда отказывают к0 рядом расположенных роторов или когда отказывают к любых роторов.
Так как рассматриваемая система является однородной, допускается укрупнение её состояний путём объединения состояний с одинаковым числом отказавших элементов. В данном
случае пространство_состояний системы имеет вид
Е = с, z¡); zc = 1, т,( = 0, к)} с общим числом состояний N = (к + 1)х т, где:
= 1,т - состояние внешней среды, в которой система функционирует;
= 0 - начальное состояние системы, когда все роторы работоспособны;
z1 = 1 - состояние системы, в котором один ротор неисправен;
= 2 - состояние системы, в котором два ротора неисправны;
zk = к0,(к0 = 2,к -1) - состояние системы, в котором к0 роторов, стоящие не рядом, неисправны;
zk_ = k _1 - состояние системы, в котором ( k -1 ) роторов, стоящие не рядом, неисправны;
zk = k - состояние системы, в котором неисправны либо k0 стоящих рядом роторов, либо k любых роторов. Предположим, что длительности безотказной работы всех элементов и время их восстановления имеют показательные распределения.
Обозначим через а0,в0 параметры распределения времени безотказной работы (в.б.р.) элементов и времени их ремонта, а через ai (i = 1, к) параметры распределения в.б.р. оставшихся элементов после отказа i элементов соответственно в условиях стабильной внешней среды (видно, что а0 <at < ... < а^ < ... < ak ). Также обозначим через ac0,Pcl),ad(i = 1,к) соответствующие параметры, когда система работает в условиях случайной внешней среды, находящейся в состоянии A(c = 1, m).
При этом предполагается, что при изменении состояния внешней среды компоненты системы мгновенно меняют интенсивности отказов. Предположим далее, что изменения внешней среды описываются однородным марковским процессом с конечным числом m состояний.
На пространстве состояний Е введём двумерный случайный процесс
X (t ) = (Z0(t ), Z (t )),
первая компонента которого принимает m возможных значений и описывает состояния внешней среды, а вторая - число отказавших элементов системы в момент времени t и принимает к+1 возможных значений ( 0,k ).
На рис.1 представлен граф переходов процесса X(t) при работе системы в с-ом состоянии внешней среды, где: aci = (n - i)aci ,(i = 0,k) - интенсивности переходов процесса X(t) из-за отказов не рядом стоящих элементов. Начиная с состояния k0 -1, появляется возможность перехода процесса X(t) сразу в отказовое состояние к из-за отказа соседних элементов системы. Интенсивности соответствующих переходов равны 2acj для состояния j, j =к0 -1, к - 2.
А,: ("■*.-!>*« t.-i 0»-*.-2)a(ii (n-k+2)ac
с к-1
Р и с. 1. Граф переходов процесса X(t) при работе системы в с-ом состоянии внешней среды F i g. 1. The transition graph of the process X(t) when the system is operating in the c-th state of the external environment
Согласно сделанным предположениям, система может переходить только в «соседние» состояния. Далее используются матричные обозначения, при этом векторы, как обычно, понимаются как векторы-столбцы, штрих используется для операции транспонирования, в то время как производные обозначаются верхней точкой. Введём следующие обозначения: Л = [ХсЬ ] - матрица интенсивностей переходов (МИП) процесса изменений внешней среды;
Хс = (Яс 1,Хс 2,..., Хс т) - вектор-строка интенсивностей переходов внешней среды из состояния c (с = 1, т);
X = V X , - интенсивность изменения ^го состояния внеш-
с / . с,Ь Ь=1 Ь?с
ней среды;
Ас - МИП размерности ^+1) х ^+1) процесса надёжности системы при её работе в ^ой среде, с = 1, т.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 2. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
®„0 0 .. .0 0 0 0 0
0 -mc\ ®c1 .. .0 0 0 0 0
0 0 -®c2 . .. 0 0 0 0 0
0 0 0 .. -ack„-1 (n - (k0 + 1)) ach„ - 10 0 2ack0-1
0 0 0 .. 0 ~mch (n - (k0 + 2))ack0 ... 0 2ack0
0 0 0 .. 0 0 -ac k0+1 ... 0 2ack0+1
0 0 0 .. 0 0 0 -ack - 1 ®ck-1
ßc0 0 0 .. .0 0 0 0 ßc0
При сделанных предположениях процесс Х(й) = (20(л),2(0) является двумерным марковским процессом с пространством состояний Е и блочной МИП <2 = №ху], диагональные блоки Qx которой (при у = х) имеют вид матриц Qx х = Ас -Хс1 (с = 1,т), а вне диагональные блоки ^ (при у Т х) имеют вид Qx = Хс Ь1 (с ф Ь), где I - единичная матрица,
Q-
'A -\i
V
К,1I
Я,!1 A 1
К,!1
KJ KJ
A -Я I
2.2. Уравнения Колмогорова
Обозначимчерез:
ры(0 = Р{г0(о = с,г(о = I}, ры(0) = 1^0,(0 = 1,т,I = о,к) - вер°
ятности состояний процесса X^) и его начальное распределение при работе системы в с-ом состоянии внешней среды, где 5 - символ Кронекера;
П (t) = жс (t)(Ac -XcI) + I пъ (t)XbcI, жс (0) = !с €0,(0 = 1, m) (2)
ъ=1
b?c
2.3. Стационарные характеристики
Стационарные вероятности состояний системы pci = lim pci (t)
t
должны удовлетворить системе уравнений равновесия и условию нормировки, которые в векторной форме можно напи-с__ть:
п Q = 0, п 1 = 1.
Аналогично, учитывая структуру матрицы Q, получим систему уравнений для стационарных вероятностей состояний систе-мыв виде:
m — _
яс (Ac-Хс1) +Znb Xbcl = 0, (c = 1,m) (3)
b=l
b*c m ^ m k
которая с условием нормировки ЁпС l = Ё Ё pci = l позво-
c=1 c=1 i=0 С'
л (t) = 1 n-(t),n2(t),...,nm(t) I - вектор вероятностей состоя- ляет найти её единственное решение.
ний, где подвекторы пс (0 = (рс0(О,рл(),...,рск(0),(с = 1,т) описывают вероятности состояний системы при её работе в с^>й среде;
I = (/1,..., 1т) - начальное распределение внешней среды;
е0 = (1,0,...,0) - вектор, первая компонента которого равна 1, а остальные 0, соответствующий полностью исправному состоянию системы.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей остояний марковского процесса Х(^) с начальным условием п (0) в векторной форме принимает вид:
2.4. Функция надёжности системы
Как предположено, подмножества работоспособных и отказо-вых состояний системы обозначены через Е0 и Ег соответственно. Обозначим далее через Т время безотказной работы системы до её первого отказа, Т = тф : г Ц) е Е1}.
Вычислим функцию надёжности через функцию распределения её времени безотказной работы (ф.р. в.б.р.)
F (t ) = Р{Г < t};
R(t) = 1 - F (t )
п а) = п Ц)Q, п (0) = (/1 е0 ,..., 1т е0 ), (1)
Отсюда, применив преобразование Лапласа для неё, мы получим решение системы:
п С« ) =
л (t)dt = s п (s) - л (0)
a (s)Q = s a (s) - п (0) или п (s) =
1
п (0).
путём исследования соответствующего процесса с отказовым множеством Ег в качестве поглощающего множества состояний.
Представляя матрицу ищенсивностей переходов Q, вектор вероятностей состояний п (г) и вектор начальных состояний в блочном виде:
(- Q)
Учитывая структуру матрицы Q, можем представить (1) в виде системы уравнений, соответствующих работе системы в различных средах:
Q0,0 Q0,1 Ö1,0 Qi,i
> n (t) = (tl ПE1 (t))' e0 = (e0,E0 > e0E ) ,
Modern Information Technologies and IT-Education
0
Q
где блоки матрицы с индексами 0 и 1 соответствуют переходам процесса из множе^ва состояний Е0 в множество Е1 и обратно, и полагая Q1 0 = е0Е = 0, приведём систему уравнений
(1) к виду: • ^ • ^
ЛЕ0 () = ЛЕ0 (1)Qo,0, ^ (1) = Яе0 (1 )О0,! .
В терминах преобразования Лапласа с учётом начального условия эта система может быть представлена в виде:
S П E0( s) - e0,E0 =ПЕ0( S)Q0,0,
и имеет ре ще ние:
П E (s) = '
0,Eo
Is - Q0,0
Откуда так как ф.р. в.б.р. имеет вид:
F(t) = Р{Г < t} = 2 nz (t) = nE(t) 1 zeE
s s) - e0E =nE0(s)Q0,1 '
щ'
1
1 (s) = -
(4)
0,E„
Щ
ПE,(S) =--ß0,1 .
s Is - Q0,0
И, следовательно, её преобразование Лапласа равно F(s) = nE (s) 1 , производящую функцию в.б.р. f (s) = sF(s)
можно представить ^ иде:
^ е ^
f (5) = (8) 1 = Q01 1 .
1 - Q°, °
Последнее выражение имеет вид дробно-рациональной функции относительно переменной 5, его обращение позволяет найти ф.р. в.б.р. и функцию надёжности системы соответственно.
Численный анализ
Для численного анализа рассмотрим систему лётного модуля беспилотной привязной высотной платформы на основе гек-сакоптера, состоящей из шести однородных роторов (рис.2), функционирующей в случайной среде, принимающей два состояния (т = 2) в таком же предположении, что система не работоспособна когда отказывают два рядом расположенных ротора или когда отказывают три любых ротора (система «(2, 3)-из-6^»). Все предположенные условия работы системы и обозначения сохранены со следующими значениями параметров: к0 = 2, к = 3, п = 6, т = 2, 1 = 1, 12 = 0.
Р и с. 2. Схема шестироторного лётного модуля F i g. 2. Diagram of a six-rotor flight module
Граф переходов процесса X(t) в этом случае представлен на Матрица интенсивностей переходов Q в данном случае имеет рис. 3. вид:
Р и с. 3. Граф переходов процесса X(t) = (Z0(t), Z(t)) F i g. 3. Process transition graph X(t) = (Z0(t), Z(t))
Q =
Yi,o 6«10 0 0 Л,2 0 0 0
0 — 3ап 2а11 0 0 0
0 0 — Yl,2 4а12 0 0 Л,2 0
ßio 0 0 — Yi,3 0 0 0 \г
^2,1 0 0 0 — Y,0 6а20 0 0
0 ^2,1 0 0 0 — /2,1 3а21 2а21
0 0 ^2,1 0 0 0 —/2,2 4а22
0 0 0 ^2,1 ß20 0 0 —/2,3
всех остальных элементов со-
где величины у., равны сумме ответствующей строки матрицы. При этом состояния (1.3) и (2.3) являются состояниями отказа системы, соответственно,
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 2. 2020
ISSN 2411-1473
sitito.cs.msu.ru
D. V. Kozyrev, D. P. Nguyen
SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE
433
при работе системы в первом и втором состояниях случайной среды.
Вычислим нестационарные вероятности состояний процесса Х(£). В данном случае система уравнений (2) примет вид:
Pío (t) = -(6«10 + Л,2 )Pío (t) + ß10Pí3 (t) + A2,íP20 (t) Plí(t ) = 6a10 Pí0(t ) - (5a11 +Л,2) Pl1(t ) + ^2,lP21 (t) Pí2(t) = 3«nPll(t) - (4а12 +Л,2)Pí2(t) + Я2Д P22(t)
Pí3(t) = 2«1^,Pl1(t) + 4a12Pí2(t) - (ß10 + Л,2)Pí3(t) + X2,lP23(t) P20 (t) = -(6a20 + Я2Д)P20 (t) + ß20P23 (t) + Л,2Pío (t) P21(t) = 6a20P20 (t) - (5a2í + Я2Д )P2í (t) + \,2Píí (t)
P22 (t) = 3a2íP2í(t) - (4a22 + Я2Д )Pu (t) + Я[,2Pu (t)
P23 (t) = ^nPn (t) + 4a22P22 (t) - (ß20 + )P23 (t) + Л,2Pí3 (t)
(2']
(3']
(4']
Тогда, ф. р. в.б.р. системы определена суммой вероятностей p13(t ) и p23(t ) и отсюда уже можно найти функцию надёжности системы:
F(t) = PB(t) + Р23 (t); R(t) = 1 - F(t).
Решения систем уравнений (2'), (3') и (4') находятся с применением обратного преобразования Лапласа с помощью программного модуля, разработанного в среде MATLAB. Далее, проведём сравнительный анализ характеристик надёжности системы, работающей в случайной и неслучайной (стабильной) средах с целью выявления влияния случайности среды и динамики её изменения на надёжность системы. Для этого необходимо согласовать соответствующие параметры отказов и восстановления элементов системы. Пусть все параметры для случайной среды заданы, вычисляем для стабильной среды усреднённые значения по следующим формулам:
о ^2,1 „ „ ,
Х2д Я[,2
-а, +-
Я1,2
Её нужно решить с начальными условиями:
Р°(°) = !Ри(°) = Р12(0) = Рз(°) = Р20(°) = Р21(°) = Р22(0) = Р2з(°) = 0 Аналогично, для вычисления стационарных вероятностей состояний системы, представляем систему уравнений (3) в виде:
-(6а10 + Л,2 )Pl0 +P10Pl3 + Я2,1 P20 = 0
6а10Pl0 - (5а11 +Л,2)Pli +Я2,1 P21 = 0 ЗапPli - (4а12 +Я1,2)P12 + \l P22 = 0 2а11 Pli + 4а12Pl2 - (в10 + Л,2)Pl3 + Я2,1 P23 = 0 -(6а20 + ^2,i) P20 + Р20 P23 + Л,2 Pl0 = 0
6а20P20 - (5а21 +Я2,1)P21 +Л,2Pli = 0 За21 P21 - (4а22 + Л21) P22 + Л 2 P12 = 0
2а21 P21 + 4а22P22 - (в20 + Я2,1)P23 + Л,2Pl3 = 0 её единственное решение можно найти с помощью условия нормировки:
P10 + P11 + P12 + P13 + P20 + P21 + P22 + P23 =1.
Я я я я
■ + а 22
Итак, стационарные вероятности состояний и функция надёжности R(t) системы, работающей в стабильной среде, имеют вид [20]:
10ß0aa2
ß0(10aa2 + 12a0a2 + 9a0a [) + 60a0aja2
12ß0«0«2
ß0(10ala2 + 12a0a2 +9a0aj ) + 60a0aja2 '
9ß0a0a1
ß0(10aja2 + 12a0a2 +9a0a [) + 60a0aja2
60a0aja2
ß0(10aa2 + 12а0а2 + 9a0aj) + 60а0аа2 .
. г -, -6аJ . „ . -5а/ 4а1(3а0- 5а2)е 0 12а0(а1 - 2а2)е 1
Для вычисления функции надёжности системы модифицируем процесс X ^), запретив выход из отказовых состояний (1.3) и (2.3). Система уравнений (5) в данном случае имеет следующий вид:
#10 СО - 1 = -(6«,о +Л,2)) + Х2±Р20 СО #ПСО = баюРю^ - (5а11 + ^1,2 ) Р11 ) + Я2,1Р21('0 Р12(0 = 3а11р>11(^) - (4а12 + \2)Р12<Х> + Я2,1Р22('$)
Р13 ) = 2а11р11 (О + 4а12Р12 СО - Л,2р13 (0 + Я2,1Р23 СО
Р 20^ ) = -(6а20 + Я2,1) Р 20^ ) + Л,2 Р10( О Р21 (|0 = 6а20Р20 ) - (5а21 +Я2,1)21(я) + Я1,2Р11('0 Р22 (я) = 3а21Р21 (О - (4а22 + Я2,1 )Р22 СО + Л,2Р12 СО
Р23 (О = 2а21Р21СО + 4а22Р22 (0 - Я2,1Р23 (О + Л,2Р13 (Я)
Решением системы уравнений (4') являются вероятности состояний системы в терминах преобразования Лапласа, зная которые, можем найти все вероятности состояний системы, в том числе р13^) и р23^).
R(t) = -
(6а0-5ajX6a0-4а2) (6а0 -5а])(5а]-4а2) (6а0-4а2)(5а]-4а2)
Результаты расчётов для систем, работающих в стабильной и случайной средах, для каждого варианта приведены в таблицах и представлены на соответствующих графиках при различных значениях параметра v, определяющего влияние внешней среды на интенсивности отказов элементов. Приняты следующие значения интенсивностей отказа: а10 = 1,an = 1.4,а12 = 1.6,а20 = v■а10,а21 = v■а11,а22 = v-а12.
Вариант 1. Интенсивности переходов внешней среды: Xi2 =Я21 = 1 и интенсивности восстановления соизмеримы:
Ао =р2о= 1.
Т а б л и ц а 1. Стационарные вероятности безотказной работы системы для варианта 1
T a b l e 1. Stationary probabilities of system uptime for the variant 1
v В стабильной среде i"'*' e^. = l-n3 В ил;кч^айной С1еедт! 1 "Потк. = 1 -(n1l+ni23)
0.1 0.4230 0.4854
1.0 0.2874 0.2874
5.0 0.1185 0.1678
10.0 0.0683 0.1446
Modern Informaron Technologies and IT-E d ucation
П
2
n
-4a2t
о.э
0.3
о. 7 0.6 0.5 о. 4 о.з 0.2 0.1 о
у=ал
11 \ • - — v=5 0 —•-v-10.0
1 .и
11 ]
1 \ 1 1 1 \ \ \ ■ • •
1 1
\ Д_ Ч
0.2 0.4 0.6 0.3
1.2 1.4 16 1.8
Р и с. 4а. Нестационарные вероятности безотказной работы си—емы (1-Поее (0)) в стабильнойсреде F i g. 4а. Non-staeicnary systHHH евКты THobaHilTTeos бст^^отмро^ато. фоиаулув скобках)(1-Поту (б))inastableenvironment
Рис.4г.Функциянадёжности системы fi(t) = 1 - с-оту (е) к дцттайной овете F i g. 4г. SystemReliabilityFunction(скопироватьформулу fi(t) = 1- пооее (0) inarandomenvironment
Полученные результаты показывают, что при соизмеримых интенсивностях переходов внешней среды и интенсивностях восстановления характеристики надёжности для системы, работающей в стабильной и случайной средах, достаточно близки, а при v =1 они совпадают. С ростом значения пареметра v, характеризующего агрессивность случайной среды, уменьшаются нестационарные вероятности безотказной работы и функция надёжности системы,каквстабильной, так и в случайной средах. Вариант 2. Интенсивности переходов внешней среды Х12 = Л21 = 1 соизмеримы при «быстром восстановлении» Ао =Р2о= 100 ■
Т а б л и ц а 2. Стационарные вероятности безотказной работы системы для варианта 2
T a b l e 2. Stationary probabilities of system uptime for the variant 2
Р и с. 4б. Несеационанные веронтностн баесткатеой оаатты системы (1-Поте (0)) вслучайнойсреде F i g. 4б. Non-s tetioaaiy system uptime ргоТыЫббТс5(Ткопиоо ааоь осрмулув скобках)(1-етоте (iT)inarandomenvironment
С S 0.3 0.7 06 0.5 0.4 03 0.2 0.1 о
ft v=Q 1
]i \ V 11 \ \ 11 \ \ i \ -----v=5.0 -•-0.0
11 \ 1 \
\ 1 1 \ \ IV \ \ li \ \ - 1 V \ 1 \ \ \
\ \ \ ^^ \ \ \ \ V ^S 1, \ч
\
V В стабильной тнедя 1 -П^н' т1-п3 В снсучайнсийлредт 1 -П0оту = 1 - (Л^т + ПоН
0.1 0.9865 0.9867
1.0 0.9758 0.9758
5.0 0.9308 0.9327
10.0 0.8800 0.8884
• V =0.1
_ ____
——v=10.0
1
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.В 2
Р и с. 4в. Функция надёжности системы ^(t) = 1 - тсоте (о) встабильной среде
F i g. 4в. System Reliability Function ( скопироватьформулу fi(t) = 1- ооео (0) in a stableenvironment
Р и с. 5а. Нестацооннрные вероятности безотказной оаботы1 системы (1-Рсойе (X Т)встабилбнодсродн Fig.5а.Non-stationarysystemuptimeprobabilities(1-^7Tiрто (o))inastable environment
Современные информационные технологии и ИТ-образование
То^ 16, о^^ :т. ISSN2411-1473 sitito.cs.msu.ru
D. V. Kozyrev, SCIENTIFIC SOFTWARE IN EDUCATION AND SCIENCE
D. P. Nguyen
Р и с. 5б. Нестационарные вероятности безотказной работы системы (1-пПбнк (t)) в случайной соедр F i g. 5б. Non-stationarysystemuptimeprobabilities(1-;rOHK O?))inarandom environment
as 0.8 0.7 0.6 0 5 0.4 0 3 0.2 0.1 0
0 0.5 1 1.5
Р и с. 5в. Функция надёжности системы = 1 -потк (t) встабильной сре де
F i g. 5в. System Reliability Function Я(£) = 1-(готк (0) inastableenvironment
о.э о.в 0.7 0.6 0 5 0.4 0 3 0.2 0.1 О
О 0.5 1 1.5
Р и с. 5г. Функция надёжности систрмде йф = 1- ;г0тк (ё) в ссртчайной срере F i g. 5г. System Reliability Function = 1 - nстк (t) inarandomenvironment
В этом случае динамика поведения системы в стабильной и случайной средах также оказывается достаточно схожей. При быстром восстановлении надёжность системы возрастает. Однако, с ростом значения пареметра v, характеризующего агрессивность случайной среды, уменьшается вероятность
безотказной работы системы, но она ещё больше, чем в варианте 1 за счет достаточной быстроты восстановления. Функция надёжности системы в данном случае не изменилась по сравнению с первым вариантом, так как изменены только интенсивностси восстановления, что не влияет на функцию надёжности системы в целом.
Вариант 3. Медленное изменение внешней среды: Л 2 = Л 1 = 0.01; интенсивности восстановлений соизмеримы между собой: в10 = в20 = 1.
Т а б л и ц а 3. Стационарные вероятности безотказной работы системы для варианта 3
T a b l e 3. Stationary probabilities of system uptime for the variant 3
V Встабильной среде 1 - 3>н = 1 - Оз Вслучайной среде 1-Я"сН =1-f ТОр +ЯР<б
0.1 0.4230 0.5434
1.0 0.2874 0.2874
5.0 0.1185 0.1808
10.0 0.0683 0.1629
0 9 0.9 0.7 06 0.5 0.4 0 3 0.2 0.1 0
0 0.2 0.4 0.6 0.3 1 1.2 1.4 1.6 1.B 2 Рис.ба. Нестсциенаснти осроярнрсти ресоссазной работы срстемы (1--Сртк (О))встабильеорсорде Fig.6а.Non-statюnaIysystemuptimeprobaЫlities(1-рт'0тк (a))inastable environment
о э о а
0.7 06 О 5 0.4 0.3 0.2
0123456769 10
Ри с.бб.Нестаяионарные вероятности безтекаентй рабеты снстбмы (1-ебнк (О))вслучайоой срняр Fig.66.Non-stationarysystemuptimeprobabilities(1-crOTK ( ?))inarandom environment
v=0.1
-----v=5.0 —•—v=1Q.O
.........
ModeHo I nformation Technologie s and iT-ndooation
О 0.5 1
Р и с. 6в. Функция надёжности системы R(t) = 1 -Птотк (t) встабильной сре де
F i g. 6в. System Reliability Function й(Г) = 1-нтотк (0) inastableenvironment
Р и с. 6г. Функция надёжности систем де Ц ф = 1- Пт (угк (t) в сотоайной среде F i g. 6г. System Reliability Function = 1 - потк (t) inarandomenvironment
Из приведенных графиков видно, что при медленном изменении внешней среды пареметр v, характеризующий агрессивность случайной среды, не сильно влияет на функцию надежности системы. Характер сходимости нестационарных вероятностей безотказной работы системы к стационарным и поведение функции надёжности в случайной среде значительно отличаются от соответствующих характеристик для систем, работающих в среде стабильной.
Вариант 4. Быстрое неоднородное изменение внешней среды: Х12 = 1000,Я21 = 10; интенсивности восстановления соизмерима во =Рю= 1.
Т а б л и ц а 4. Стационарные вероятностибезотказнойработысистемы дляварианта4
T a b l e 4. Stationary probabilities of system uptime for the variant4
V В стабильнойчноди 1 -П ^ = 1 - Яр В сыучайыыой^еде 1 -сЛс-п, = 1 - По +
0.1 0.7874 0.7874
1.0 0.2874 0.2874
5.0 0.0752 0.0752
10.0 0.0391 0.0391
1
0.9 0.3 0 7 0.6 0.5 04 0.3 02 0 1 0
- -1- • * V -и."
V
V-3.U
1 1 J 1
1 \ 1 1
1 1 1 1
| 1 1 \
1 '
\ \
\
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.9
Рис.8а. Несирцденарные версячности ресорсазной работы си—емы (1- ртсее (?))встабильной саеде Fi g.8а.Non-statюnarysystemuptimeprobaЫlities(1-еГ0тк (t))inastable environment
Г ^ * V =0.1
|t .11 1 i 1 ' -----v-5.0 -V=10.0
I 1 *
1 » I 1 1 \ 1 *
1 \ \ \ \ \ ч
1
0 9 0.3 0.7 06 0.5 0.4 0 3 0.2 0.1 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.9 1 Р ис.8б.Нистациднааные -срончностн еeз00кндн0р дааоты сисоемы (1-(^вслучийшш среде
е оно'
environment
09 О 0.7 06 0.5 0.4 03 0.2 0.1 0
0.2 0.4 0.6 0.
Рис.8в.Функциянадёжности системыR(t) = 1- поетщ (t) встабильной сре де
Fig.8в.SystemReliabilityFunctionR(t) = 1- нстк (0) inastableenvironment
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, N2 2.2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Р и с. 8г. Функция надёжности системы R[t) = 1 -сготк (?) в случайной среде F i g. 8г. System Reliability Function ^(t) = 1 -потк (?) inarandomenvironment
При достаточно быстром неоднородном изменении внешней среды (т.е. ухудшении внешних условий), характеристики нестационарных вероятностей системы при работе в стабильной и случайной средах одинаковы. А функция надёжности системы при работе в случайной среде стремится к нулю быстрее чем, при работе в стабильнойсреде.
Заключение
В настоящей работе была рассмотрена аналитическая модель надёжности лётного модуля привязной мультироторной высотной платформы как однородной системы горячего резервирования, состоящей из n элементов, работающей в случайной среде с учётом конфигурации отказавших компонент. Предложена общая марковская модель надёжности системы, функционирующей в случайной марковской среде. Приведены соотношения для вычисления стационарных и нестационарных характеристик надёжности работы такой системы. Проведено численное исследование и сравнение характеристик надёжности для системы, работающей в стабильной и случайной средах с двумя состояниями. Результаты численного исследования, представленные в виде таблиц и графиков, показали как общие черты, так и различия в работе систем в случайной и стабильной средах.
References
[1] Perelomov V.N., Myrova L.O., Aminev D.A., Kozyrev D.V. Efficiency Enhancement of Tethered High Altitude Communication Platforms Based on Their Hardware-Software Unification. In: Vishnevskiy V., Kozyrev D. (ed.) Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2018. Communications in Computer and Information Science. 2018; 919:184-200. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: http://doi-org-443.webvpn.fjmu.edu.cn/10.1007/978-3-319-99447-5_16
[2] Vishnevsky V.M., Efrosinin D.V., Krishnamoorthy A. Principles of Construction of Mobile and Stationary Tethered High-Altitude Unmanned Telecommunication Platforms of Long-Term Operation. In: Vishnevskiy V., Kozyrev D. (ed.) Distributed Computer and Communication Networks.
DCCN 2018. Communications in Computer and Information Science. 2018; 919:561-569. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-99447-5_48
[3] Khan M.A., Hamila R., Kiranyaz M.S., Gabbouj M. A Novel UAV-Aided Network Architecture Using Wi-Fi Direct. IEEE Access. 2019; 7:67305-67318. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1109/ACCESS.2019.2916041
[4] Kiribayashi S., Yakushigawa K., Nagatani K. Design and Development of Tether-Powered Multirotor Micro Unmanned Aerial Vehicle System for Remote-Controlled Construction Machine. In: Hutter M., Siegwart R. (ed.) Field and Service Robotics. Springer Proceedings in Advanced Robotics. 2018; 5:637-648. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-319-67361-5_41
[5] Wang G., Samarathunga W., Wang S. Uninterruptible Power Supply Design for Payload Tethered Hexaroters. International Journal of Emerging Engineering Research and Technology. 2016; 4(2):16-21. Available at: https://www.ijeert. org/pdf/v4-i2/3.pdf(accessed 10.08.2020).(lnEng.)
[6] Vishnevsky V., Meshcheryakov R. Experience of Developing a Multifunctional Tethered High-Altitude Unmanned Platform of Long-Term Operation. In: Ronzhin A., Rigoll G., Meshcheryakov R. (ed.) Interactive Collaborative Robotics. ICR 2019. Lecture Notes in Computer Science. 2019; 11659:236-244. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-030-26118-4_23
[7] Vishnevsky V.M., Tereschenko B.N., Tumchenok D.A., Shirvanyan A.M., Sokolov A. Principles of Building a Power Transmission System for Tethered Unmanned Telecommunication Platforms. In: Vishnevskiy V., Samouylov K., Kozyrev D. (eds) Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2019. Lecture Notes in Computer Science. 2019; 11965:94-110. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-36614-8_8
[8] Vishnevskiy V.M., Shirvanyan A.M., Tumchenok D.A. Mathematical Model of the Dynamics of Operation of the Tethered High-Altitude Telecommunication Platform in the Turbulent Atmosphere. In: 2019 Systems of Signals Generating and Processing in the Field of on Board Communications. Moscow, Russia; 2019. p. 1-7. (ln Eng.) DOl: https://doi. org/10.1109/SOSG.2019.8706784
[9] Barabanova E., Vytovtov K., Vishnevskiy V.M., Podlazov V. Model of Optical Non-blocking Information Processing System for Next-Generation Telecommunication Networks. In: Vishnevskiy V., Samouylov K., Kozyrev D. (ed.) Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2019. Communications in Computer and lnformation Science. 2019; 1141:188-198. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-030-36625-4_16
[10] Kozyrev D.V., Rykov V.V., Vishnevsky V.M. Reliability Modeling of the Rotary-Wing Flight Module of a High-altitude Telecommunication Platform. In: Proceedings of the Thirteenth International Conference on New Information Technologies in the Study of Complex Structures. Tomsk; 2020. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44189928 (accessed 10.08.2020). (ln Eng.)
[11] Trivedi K.S. Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications. John Wiley & Sons, Inc., New York; 2016. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1002/9781119285441
Modern Information Technologies and IT-Education
[12] Chakravarthy S.R., Krishnamoorthy A., Ushakumari P.V. A (k-out-of-n) reliability system with an unreliable server and Phase type repairs and services: The (N, T) policy. International Journal of Stochastic Analysis. 2001; 14(4): 361-380. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1155/ S1048953301000326
[13] Zhang T., Xie M., Horigome M. Availability and reliability of k-out-of-(M+N):G warm standby systems. Reliability Engineering & System Safety. 2006; 91(4):381-387. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j.ress.2005.02.003
[14] Gertsbakh I., Shpungin Y. Reliability Of Heterogeneous ((k, r)-out-of-(n, m)) System. Reliability: Theory & Applications. 2016; 11(3):8-10. Available at: http://www.gned-enko.net/RTA/index.php/rta/article/view/471 (accessed 10.08.2020). (In Eng.)
[15] Levitin G., Lisnianski A. Multi-state System Reliability Analysis and Optimization (Universal Generating Function and Genetic Algorithm Approach). In: Pham H. (ed.) Handbook of Reliability Engineering. Springer, London; 2003. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/1-85233-841-5_4
[16] Ushakov I. Universal Generating Function. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 1986; 24(5):118-129. (In Eng.)
[17] Ushakov I. Optimal standby problem and a universal generating function. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 1987; 25(4):79-82.
[18] Levitin G.The Universal Generating Function in Reliability Analysis and Optimization. Springer Series in Reliability Engineering. Springer, London; 2005. (In Eng.) DOI: https:// doi.org/10.1007/1-84628-245-4
[19] Yuge T., Maruyama M., Yanagi S. Reliability of a k-out-of-n System with Common-cause Failures Using Multivariate Exponential Distribution. Procedia Computer Science. 2016; 96:968-976. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j. procs.2016.08.101
[20] Kozyrev D.V., Nguyen D.P. Calculation of the reliability characteristics of the flight module of a tethered multi-rotor unmanned high-altitude platform based on a hexacopter. In: Proceedings of the 22nd International Scientific Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN-2019). Moscow, RUDN; 2019. p. 504-513. Available at: https://www. elibrary.ru/item.asp?id=41384279 (accessed 10.08.2020). (In Russ.)
[21] Kozyrev D.V., Phuong N.D., Houankpo H.G.K., Sokolov A. Reliability Evaluation of a Hexacopter-Based Flight Module of a Tethered Unmanned High-Altitude Platform. In: Vishnevskiy V., Samouylov K., Kozyrev D. (ed.) Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2019. Communications in Computer and Information Science. 2019; 1141:646-656. Springer, Cham. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.1007/978-3-030-36625-4_52
[22] Kim C.S., Klimenok V., Mushko V., Dudin A. The BMAP/PH/N retrial queueing system operating in Markovian random environment. Computers & Operations Research. 2010; 37(7):1228-1237. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016/j. cor.2009.09.008
[23] Kim C.S., Dudin A., Klimenok V., Khramova V. Erlang loss queueing system with batch arrivals operating in a random environment. Computers & Operations Research. 2009;
36(3):674-697. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1016A cor.2007.10.022
[24] Rykov V.V., Chan A.N. Investigation of the reliability of a homogeneous system of lightweight redundancy in a random environment. Proceedings of the 17th International Scientific Conference on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN-2013). Moscow, Technosphere; 2013. p. 156-162. (In Russ.)
[25] Rykov V.V., Nghia T.A. On reliability of binary systems in a random environment. Automatic Control and Computer Sciences. 2013; 47(6):342-351. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.3103/S0146411613060096
Поступила 10.08.2020; принята к публикации 10.09.2020; опубликована онлайн 30.09.2020.
Submitted 10.08.2020; revised 10.09.2020; published online 30.09.2020.
|об авторах:|
Козырев Дмитрий Владимирович, старший научный сотрудник, ФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук» (117997, Россия, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65); доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, факультет физико-математических и естественных наук, ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» (117198, Россия, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6); кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0538-8430, kozyrev-dv@rudn.ru Нгуен Зуи Фыонг, аспирант физтех-школы радиотехники и компьютерных технологий, ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)» (141701, Россия, г. Долгопрудный, Московская область, пер. Институтский, д. 9), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-3003-5613, zui.fyong.nguen@phystech.edu
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
Dmitry V. Kozyrev, Senior Researcher, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS (65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russia); Associate Professor of the Department of Applied Probability and Informatics, Faculty of Science, Peoples' Friendship University of Russia (6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russia), Ph.D. (Phys.-Math.), ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0538-8430, kozyrev-dv@rudn.ru
Duy P. Nguyen, PhD student of Phystech School of Radio Engineering and Computer Technology, Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University) (9 Institutskiy per., Dol-goprudny 141701, Moscow Region, Russia), ORCID: http://orcid. org/0000-0002-3003-5613, zui.fyong.nguen@phystech.edu
All authors have read and approved the final manuscript.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 2. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
