АНАЛИЗ МОНОТОННОСТИ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА НА ИНТЕРВАЛЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. В России временно закрылись почти 40% всех торговых точек [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.rbc.ru/business/31/03/2020/5e8328349a79474694605c48. - (дата обращения: 05.01.2022).

5. Доля онлайн-продаж «Магнита» в 2021г. превысила 1% от общей выручки [Электронный ресурс]. -Режим доступа: https://kuban.rbc.ru/krasnodar/freenews/617ba7179a7947d322409e99. - (дата обращения: 05.01.2022).

6. Количество торговых точек в РФ из-за пандемии сократилось на 62%. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: https://www.interfax.ru/business/731142. - (дата обращения: 05.01.2022).

7. Коронавирус и ритейл. Посещаемость офлайн-магазинов снизится. Спрос на онлайн-покупки и доставку растет [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://retailers.ua/news/menedjment/10181-koronavirus-i-riteyl-poseschaemost-oflayn-magazinov-snizitsya-spros-na-onlayn-pokupki-i-dostavku-rastet. - (дата обращения: 05.01.2022).

8. Магнит запустил собственную доставку продуктов еще в 14 городах [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://retail-loyalty.org/news/magnit-zapustil-sobstvennuyu-dostavku-produktov-eshche-v-14-gorodakh/. - (дата обращения: 05.01.2022).

9. Магнит начал перевод сотрудников на удаленную работу [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://retail-loyalty.org/news/magnit-nachal-perevod-sotrudnikov-na-udalennuyu-rabotu/, свободный. -(дата обращения: 05.01.2022).

10.Сбер планирует стать лидером рынка e-commerce к 2030 году [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://retail-loyalty.org/news/sber-planiruet-stat-liderom-rynka-e-commerce-k-2030-godu/. -(дата обращения: 05.01.2022).

© Ласенко Д.В., 2022

УДК 330.42

Семикина Н.А.,

студент 4 курса Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

Россия, г. Саратов

АНАЛИЗ МОНОТОННОСТИ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА НА ИНТЕРВАЛЕ

Аннотация

Рассмотрена процедура определения параметра, пропорционального минимальному (для возрастающей кривой) или максимальному (для убывающей кривой) значению первой производной сплайна 3 порядка, необходимого для реализации итеративных алгоритмов поиска коэффициентов сплайна, обеспечивающих строго монотонное возрастание или убывание сплайна на заданном интервале. Показана возможность вычисления указанного параметра с использованием только коэффициентов сплайна для этого интервала.

Ключевые слова:

эконометрика, сплайн, численные методы

Semikina N.A., 4th year student

Yuri Gagarin State Technical University Saratov, Russia

ANALYSIS OF MONOTONICITY OF A CUBIC SPLINE ON AN INTERVAL

Annotation

A procedure is considered for determining a parameter proportional to the minimum (for an increasing curve) or maximum (for a decreasing curve) value of the first derivative of a third order spline, which is necessary for the implementation of iterative algorithms for finding spline coefficients that ensure a strictly monotonic increase or decrease of the spline over a given interval. The possibility of calculating the specified parameter using only the spline coefficients for this interval is shown.

Key words: econometrics, spline, numerical methods

Использование в эконометрике данных, публикуемых органами статистики, часто требует интерполяции выборочных значений, полученных усреднением, и построения на их основе непрерывных аппроксимирующих функций, пригодных для моделирования исследуемых явлений и объектов экономики. Применение сплайнов для решения этих задач позволяет относительно простыми средствами достичь приемлемой точности аппроксимации; полученные кривые отличаются гладкостью и легкостью вычисления многих характеристик аппроксимированных зависимостей с использованием только коэффициентов сплайна.

Однако, некоторые задачи эконометрики (например, построение при помощи сплайна кумулятивной кривой, пригодной для расчета обратной функции) связаны с большой вычислительной сложностью и решаются обычно численными методами. Это требует применения алгоритмов, использующих такие вычисляемые в процессе поиска решения характеристики интерполирующих функций, как средние значения на заданном интервале, производные и интегралы. В [1] рассмотрено вычисление этих характеристик при помощи коэффициентов сплайна. Отдельным важным вопросом является анализ аппроксимирующей функции на монотонность возрастания или убывания как обязательного условия существования обратной к ней функции. В настоящей работе предлагается алгоритм анализа отрезка сплайна на монотонность.

Признаком монотонного возрастания или убывания функции на заданном интервале является соответственно положительное или отрицательное значение первой производной этой функции на всем интервале. Для существования обратной функции требуется строгая монотонность исследуемой функции (отсутствие нулевого значения производной на интервале).

Контролируемым параметром Fj для алгоритмов поиска решения должно быть минимальное (для возрастающих функций) или максимальное (для убывающих) значение первой производной сплайна на интервале, являющееся непрерывной функцией от его коэффициентов. При выполнении итерационного алгоритма значения коэффициентов сплайна могут меняться так, что на данной итерации кривая сплайна может быть монотонно возрастающей, убывающей или иметь экстремум минимума или максимума. При этом Ft должен возвращать полученное значение производной, необходимое для выбора направления следующей итерации. Рассмотрим вычисление Fj, если стоит задача обеспечения строго монотонного возрастания сплайна: для выбора направления следующей итерации Ft должен возвращать минимальное значение производной на рассчитываемом интервале сплайна для любого поведения сплайна на этом интервале.

Пусть сплайн 3 порядка 5(х) имеет на I — м интервале [X¡-1, коэффициенты аЬ^ с^ и

Б1(х) = а1 + Ь1(х — Х-1) + ч(х — Х-1)2 + а1(х — Х-1)3

3

Его производные на этом отрезке имеют вид

S'(x) = bi + 2Ci(x - Xi-1) + 3di(x - Xi-i)2 S['(x) = 2ci + 6di(x-Xi-1)

2

(1) (2)

При ^ = 0 условие Я!(х)>0 сводится к неравенству

Ь1 + 2С[(х — Х1-1) >0,УхЕ [Х1-1,Х1]

и для строго монотонно возрастающего

^ = тт{Ь0Ь1 + 2^1},

где И.1=Х1— Х1-1.

Вычисленный таким образом ^ пропорционален минимальному значению производной и становится отрицательным, если производная на интервале [Х^-^^^ имеет область отрицательных значений.

При di Ф 0 выражение для Б[(х) является полиномом 2 степени с дискриминантом = 4с2 — \2bidi, в зависимости от значения которого возможны следующие варианты расчета параметра ^:

1. < 0 : Корней нет, все значения Я!(х) либо положительны, либо отрицательны. Вычисление ^ в этом случае зависит от того, имеет ли 5'(х) экстремум на интервале [Х^т^^^, проверкой следующих условий, вытекающих из выражения (2):

1.1. {с1>0,е1>0}, е1 = с1 + 3а1к1

Экстремум отсутствует, Р( = тт{Ь(,Ь( + 2С(к( + З^Ъ2};

1.2. {С1 >0,в1< 0}

Экстремум максимума, ^ возвращает минимальное из значений 5'(х) на краях интервала: ^ =

1.4. {^ <0,в1 < 0}

Экстремум отсутствует, ^ = тт{Ь1,Ь1 + 20^1 + З^Ъ2};

2. > 0 : Парабола 1 производной пересекает ось абсцисс в одной

= 0) или двух (й^ > 0) точках и имеет экстремум на заданном интервале. Расчет Р1 производится аналогично пп.1.2 и 1.3.

После объединения однотипных условий расчет ^ сводится к следующему: 1. Вычисляют переменные е,- = с,- + и х„ = ——

min[bi,bi + 2cihi + 3dih2Y, 1.3. [Ci <0,ei> 0}

Экстремум минимума в точке хг = Х1-1 —Р^ возвращает значение 5'(х) в точке экстремума:

Fi= Si(.xz)

3. Если условие выполняется, вычисляют ^ = БКх^ = Ь± —

4. Если условие не выполняется, значение Р1 вычисляют как

Fi = min[bi,bi + 2сЬ + 3dih2})

Для случая строго монотонно убывающего сплайна 1. Вычисляют переменные е^ = с^ + йЪ и х2 = Х^-1 —

3di'

2. Проверяют условие {с1 > 0,в1 < 0};

3. Если условие выполняется, вычисляют Р1 = БКхг) = Ь^ —

4. Если условие не выполняется, значение ^ вычисляют как

^ = тах{Ь(, + +

Выводы:

1. Предложен простой алгоритм проверки минимального (поиск решения для случая монотонно возрастающей кривой) и максимального (случай монотонно убывающей кривой) значения первой производной кубического сплайна на интервале, соответствующем отрезку сплайна;

2. Предложенный алгоритм позволяет рассчитать переменную результата для итеративного поиска коэффициентов кубического сплайна, удовлетворяющего критерию строгой монотонности на заданном интервале;

3. Предложенный алгоритм позволяет осуществить построение кумулятивной кривой для расчета обратной к ней функции численными методами, а также найти экстремум табличной функции, аппроксимированной сплайном.

Список использованной литературы:

1. Научный журнал «COGNITO RERUM». Семикина Н.А. Сплайны в эконометрике: сплайн третьего порядка. Режим доступа: https://sciartel.ru/arhiv-journal/CR-2022-1.pdf

2. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

3. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

©Семикина Н.А., 2022

УДК 33

Стукалова Анна Сергеевна, Федорова Анастасия Вячеславовна,

г. Ставрополь, РФ

ПРОБЛЕМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА

В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Аннотация

Развитие социального предпринимательства на данный момент затрудняет ряд проблем, которые необходимо разрешить. Формирование и развитие институциональной среды это одна из первоочередных задач, позволяющая увеличить количество субъектов СП в РФ.

Ключевые слова

Социальное предпринимательство, предпринимательство, институт социального предпринимательства, социальная сфера.

Stukalova Anna S., Fedorova Anastasiya V.,

Stavropol, Russia

PROBLEMS OF THE FUNCTIONING OF SOCIAL ENTREPRENEURSHIP IN THE RUSSIAN FEDERATION

Abstract

The development of social entrepreneurship currently complicates a number of problems that need