CC BY
31
УДК 519.615, 519.63
АНАЛИЗ МОДЕЛИ ВИЧ: ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
© С.И. Солодушкин, И.Ф. Юманова
Ключевые слова: уравнение переноса с запаздыванием; численные методы; ВИЧ. Рассматривается модель динамики ВИЧ — система функционально-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных. Задача идентификации параметров по наблюдениям за динамикой системы формализуется, как задача минимизации функционала рассогласования, которая сводится к системе нелинейных уравнений. Для решения последней предложен адаптивный алгоритм на базе метода Вегстейна.
Функционально-дифференциальные уравнения в частных производных возникают при моделировании взаимодействия иммунной системы и ВИЧ. Например,
^т - „Т М+гт а - п) --1) - ь Т т т
I (г, 0) = ку т (г)У (г)
д1 (г, а) д1 (г, а) У (г - Т2) (1)
-»Г+~^~=->‘-1 (ь’а) - г1 (г - Т2'а - Т2) С+у (г - т2)
ЛУ () = №г У ( - Т2) [ I(г - Т2,а - т2)ёа - ктТ(г)У(г) + вУ У ^
м с + у (г - т2) Уо в + у (г)
где Т, I, У — число неинфицированных ОБ4+, инфицированных ОБ4+ и ВИЧ на мл крови, соответственно, является обобщением [1]. Введено временное запаздывание т\ — время, требующееся на пролиферацию после встречи ОБ4+ с ВИЧ; инфицированные клетки также могут быть стимулированы к пролиферации, в результате чего гибнут ввиду высокой вирусной нагрузки [2]; Т2 — время, в течение которого гибнут пролиферирующие инфицированные ОБ4+. Популяция I(г, а) структурирована по длительности инфицирования а, а € [0,атах] , атах —время жизни инфицированных ОБ4+. Динамика системы изучается на временном промежутке [0, в].
Для проведения экспериментов необходимо оценить параметры модели. Введем следующие обозначения: р* = (р*,...,р*) — вектор оцениваемых параметров; Т(г; р), I(г, а; р), У (г; р) — решение (1) при некотором р; Т *(г)^ *(г, а), У *(г) — наблюдаемое решение, причем ||Т* (г) - Т (г; р*)\\ <£т, III*(Ъ а) -1 (г,а; р*)\\ <&, \\У*(г) - У (г; р*)\\ <(у. Задачуиден-тификации формализуем как задачу минимизации функционала рассогласования
(т(г;р) - т*(1))2 + (У(г;р) - У*(г))2 + р- (I(г, а;р) -1*(г,а))2 а (Т (у Уо СI
Перейдем от задачи минимизации к задаче решения системы нелинейных уравнений
(і
д^(р) др,
гв
= 2
я Jо
Т(і; р) - Т*(і) дТ(і; р) + V(і; р) - V*(і) дУ (і; р) +
га
тах
Іт дря Іу дря
(і = 0, д = 1,...,1. (2)
I(і, а; р) - I*(і,а) ді(і, а; р) ^ .'о ІІ дря .
2683
Система (2) решается с помощью адаптивного алгоритма на базе метода Вегстейна:
1. Сводим систему (2) к задаче о неподвижной точке р = Ф(р), где Ф : Rl ^ Rl.
2. Выполняем построение итерационного процесса типа Манна-Ишикавы (иначе, процессов фейеровского типа) вида
\(.к) 1
р(ш) = T+W>Pm + ТТа®Ф(р“>) (k = и 2■■■)'
где \(к^ — векторный параметр; р(0> — задаваемое начальное приближе-
ние, р (l> = Ф (р (0>) . В основе выбора параметров Л (k> покомпонентное, более тонко отслеживающее смещение приближений по каждой координате, применение метода Вегстейна к решению нелинейных систем в виде задачи о неподвижной точке [3].
Преимущество предложенного метода в том, что на каждом итерационном шаге производится одно вычисление функции Ф , не требуется вычисления ее производных и обращения матрицы Якоби.
Уравнения для T и V решаем методами типа Рунге-Кутта [4]. Уравнение для I решаем на сетке xi = ih, tj = jA, где A = 9/M, h = X/N. Приближенное значение I(tj ,ai) обозначим Ij. Пусть \j2/h\ = n, \т2/A\ = m; для вычисления I (tj — T2,ai — т2) применяется кусочно-билинейная интерполяция, результат интерполяции обозначим Ij—n• При s = 0.8
Ti _ Ti Im_ ji I m_ ji V
+sj+l-jhH1—s)j^ = —*Ij—rjn j; (3)
разностная схема является устойчивой [5, с. 324], и разностный метод (3) сходится.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kirschner D. Using mathematics to understand HIV Immune Dynamics // Notices of the AMS, 1996. V. 43. №. 2. P. 191-202.
2. Ho D.D., Neumann A.U., Perelson A.S. Rapid turnover of plasma virions and CD4 lymphocytes in HIV-1 infection // Nature. 1995. Jan. V. 12. № 373 (6510). P. 123-126.
3. Юманова И.Ф. О применении метода Вегстейна к нелинейным системам // Современные проблемы математики. Тезисы международной (44 Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2013. С. 166-169.
4. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.
Работа проведена при поддержке гранта РФФИ 13-01-00089 и АВЦП 1.994.2011.
Solodushkin S.I., Yumanova I.F. ANALYSIS OF HIV MODEL: PARAMETER ESTIMATION AND NUMERICAL EXPERIMENTS
We consider a model of HIV dinamics which is described by system of equations functional-differential equations. A parameter estimation problem according to the observations of the system dynamics is formalized as a mismatch functional minimization problem. The last is reduced to a system of nonlinear equations. To solve this system an adaptive algorithm based on Wegstein method is offered.
Key words: advection equation with time delay; numerical methods; HIV.
2684
