CC BY
7
2022 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 58
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.17 DOI 10.17223/20710410/58/1
АНАЛИЗ МИНИМАЛЬНОГО РАССТОЯНИЯ АГ-КОДА, АССОЦИИРОВАННОГО С МАКСИМАЛЬНОЙ КРИВОЙ РОДА ТРИ1
Е. С. Малыгина, А. А. Кунинец
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград, Россия
E-mail: [email protected], [email protected]
Рассматривается класс алгебро-геометрических кодов, ассоциированных с максимальной кривой рода три. С помощью аппарата функциональных полей устанавливается вид и степень дивизоров, участвующих в построении кода, при которых код является или не является MDS-кодом.
Ключевые слова: алгебро-геометрический код, минимальное расстояние кода, mds-код, максимальная кривая, функциональное поле, дивизор.
ANALYSIS OF MINIMAL DISTANCE OF AG-CODE ASSOCIATED WITH MAXIMAL CURVE OF GENUS THREE
E. S. Malygina, A. A. Kuninets
Immanuel Kant Baltic Federal University, Kaliningrad, Russia
We consider a class of algebraic geometry codes associated with a maximal curve of genus three whose number of rational points satisfies the upper Hasse — Weil — Serre bound. It is proved that the number of rational points of such curve is odd and has a classification: the first type includes 4-tuples of conjugate points of multiplicity 1, the second type includes couples conjugate points of multiplicity 2, and the third type includes a single point of multiplicity 4. It is found out for which types of points the divisor of the functional field of the desired curve and consisting of these points is the principle. We consider special cases when deg(G) = 2,4, and establish the form of a divisor D when AG-code Cl (D, G) associated with the divisors D and G is MDS-code. It is shown that the AG-code Cl(D,G) is not an MDS-code if the divisor D — G is principle and deg(G) ^ 5. Also, it is proved that Cl(D,G) is an MDS-code if the divisor D consists only of the first type points of curve conjugated to each other for
deg(D) ^ 8 and G = deg^ + 2 Рте. Finally, it is shown that the dual equivalent
code CL(D, H)± to the code CL(D, G), which is not MDS, will also not be MDS with conditions deg(D) — a < deg(H) < deg(D), 4 < deg(G) < a + 4, 5 < a < deg(D) — 5, and D consists only of conjugate points of the first type.
Keywords: algebraic geometry code, minimal distance, mds-code, maximal curves, function field, divisor.
1 Работа выполнена за счёт гранта Российского научного фонда №22-41-0441 (https://rscf.ru/ project/22-41-04411/).
Введение
Рассмотрим класс алгебро-геометрических кодов, ассоциированных с максимальной кривой рода три. Под линейным кодом C над простым конечным полем Fp характеристики p понимаем линейное подпространство векторного пространства F™. Обозначая за n длину кодового слова пространства C, а за k = [C : Fp] —его размерность, считаем, что код C имеет параметры [n, k]. Кроме того, на векторном пространстве C в качестве метрики задаётся вес Хэмминга, то есть число ненулевых координат кодового слова. Ещё одним важным параметром кода является его минимальное расстояние d(C) — минимальный вес Хэмминга среди всех весов Хэмминга кодовых слов кода C. Оно позволяет определить число ошибок t = |_(d — 1)/2J, которое может быть исправлено кодом.
В 1981г. В. Д. Гоппа в [1] представил класс кодов, ассоциированных с алгебраическими кривыми над конечными полями, которые получили название алгебро-геомет-рических кодов (АГ-коды). Для построения АГ-кода будем использовать алгебраическую кривую, число точек которой достигает верхней границы Хассе — Вейля — Серра. Такие кривые называются максимальными и имеют большое число рациональных точек. Соответственно чем выше отношение числа точек к роду кривой, тем лучшими характеристиками обладает построенный на кривой код.
Исследование АГ-кодов примечательно тем, что, применяя аппарат теории функциональных полей, зачастую можно вычислить точные значения параметров кода, построенного на алгебраической кривой. Таким образом, анализ минимального расстояния кода проведём с использованием дивизоров функционального поля, ассоциированного с максимальной кривой. Основное преимущество рассмотрения в качестве базовых инструментов исследования именно функциональных полей, а не геометрии алгебраических кривых, обусловлено тем, что функциональные поля кривых инвариантны относительно бирациональных изоморфизмов кривых.
Вычисление значения размерности k АГ-кода можно осуществить посредством вычисления размерности линейного пространства Римана — Роха, ассоциированного с некоторыми дивизорами кривой. Известная теорема Римана — Роха [2] во многих случаях позволяет сделать это точно. В общем случае минимальное расстояние кода удовлетворяет следующим неравенствам: n +1 — д — k ^ d ^ n +1 — k. Задача вычисления точного значения минимального расстояния АГ-кодов затрагивает исследование так называемых MDS-кодов (Maximum Distance Separable codes), минимальное расстояние которых достигает границы Синглтона, т. е. d = n + 1 — k. В работе представлен анализ некоторых случаев, когда АГ-коды являются/не являются MDS-кодами в зависимости от задания дивизоров функционального поля кривой, с которыми этот код ассоциирован.
В п. 1 представлены предварительные сведения из теории функциональных полей, особое внимание уделено краткой теории дивизоров, поскольку именно они лежат в основе исследования. Пункт 2 посвящён описанию максимальной кривой рода три, на базе которой строится АГ-код, и её точек. В п. 3 отражён основной результат работы. Найдены ограничения на степени дивизоров D и G, ассоциированных с АГ-ко-дом Cl(D, G), относительно которых показано, когда Cl(D, G) является MDS-кодом, а когда нет.
1. Предварительные сведения из теории функциональных полей
На протяжении всех предварительных сведений под K будем понимать произвольное поле, при необходимости внося уточнения.
Определение 1. Алгебраическим функциональным полем F/K от одной переменной называется расширение F поля K, такое, что F является конечным алгебраическим расширением K(x) для некоторого элемента x Е F, являющегося трансцендентным над K.
Для краткости будем называть F/K просто функциональным полем. Точками функционального поля являются максимальные идеалы кольца нормирования поля F, определение которого можно посмотреть в [2, Definition 1.1.4]. Под кольцом нормирования точки P будем понимать следующее множество:
Op = {z Е F : z-1 Е P}.
Множество всех точек функционального поля F/K будем обозначать Pp . Степень точки P функционального поля F/K определим как степень расширения полей deg P =
= [Op/P : K].
Напомним, что, согласно [2], всякий элемент 0 = z Е F имеет единственное представление z = tnu, если P = tOP, u Е Op и n Е Z.
Определение 2. С каждой точкой P Е Pp ассоциируем функцию
vP : F ^ Z U {то},
которая играет роль дискретного нормирования функционального поля F/K:
vP(z) = n для z = tnu, vP(0) = TO.
Считаем, что точка P имеет нуль в z тогда и только тогда, когда Vp(z) > 0, и имеет полюс в z тогда и только тогда, когда vP (z) < 0.
Определение 3. Абелева группа Dp, порождённая точками функционального поля F/K, называется группой дивизоров поля F/K.
Элементы группы Dp называются дивизорами поля F/K. Дивизор представляет собой формальную сумму точек
D = nPP, где nP Е Z и почти все nP = 0. p ер F
Носителем дивизора D является множество
supp(D) = {P Е Pp : nP = 0}. Для P Е Pp и дивизора D определим vp(D) = np. Таким образом,
D = E vp(D) P.
p esupp(D)
На Dp определено также частичное упорядочивание, а именно:
Di ^ D2 ^ vp(Di) ^ vp(D2) для всех P Е Pp. Степень дивизора определяется следующим образом:
deg(D) = E vp (D) deg P.
P GPf
Определение 4. Пусть / € Г \ {0}. Обозначим через Z (через N) множество нулей (полюсов) функции / в Р^. Тогда для / определим её дивизор нулей:
(/)о = Е Ур(/) Р; р ez
дивизор полюсов:
главный дивизор:
Отметим также, что
(f)« = Е(—vp(f)) P;
p eN
(f) = (f )0 — (f )c
deg(f )o = deg(f)« = [F : K(f)].
Далее определим отношение эквивалентности в группе дивизоров Dp. Определение 5. Множество дивизоров вида
PrincF = {(x) : 0 = x G F}
называется группой главных дивизоров поля F/K.
Несложно проверить, что Princp действительно является подгруппой группы Dp относительно операции сложения (f) + (д) = (fg) для f, д G F \ {0}. Определение 6. Фактор-группа
CIf = Df/PrincF
называется группой классов дивизоров поля F/K. Элементами CIf являются классы [D], задаваемые представителями D. Будем говорить, что два дивизора D и D' из Dp эквивалентны (D ~ D'), если имеет место равенство D = D' + (f) для некоторой ненулевой функции f G F.
Дадим определение пространства Римана — Роха, одного из главных понятий в теории функциональных полей.
Определение 7. Для дивизора D G DF пространством Римана — Роха называется множество вида
L(D) = {f G F : (f) ^ —D}U{0}.
Отметим, что L(D) является конечномерным векторным пространством над полем K, при этом dim D = dimL(D) называется размерностью дивизора D.
Определение 8. Род функционального поля F/K определён следующим образом:
g = max{deg(D) — dim(D) + 1 : D G Dp}.
Отметим также, что благодаря некоторым ограничениям, накладываемым на степень дивизора, мы можем точно вычислить размерность пространства Римана — Роха, ассоциированного с этим дивизором, или для простоты размерность самого дивизора. Формула для подсчёта размерности непосредственно следует из известной теоремы Римана — Роха:
Теорема 1 [2, Theorem 1.5.15]. Если D —дивизор F/K и deg(D) ^ 2д — 1, то
dim(D) = deg(D) + 1 — д.
2. Максимальная кривая рода три Определение 9. Пусть О — гладкая неприводимая проективная кривая рода д, определённая над конечным полем Назовем кривую О оптимальной, если число её рациональных точек удовлетворяет границе Хассе — Вейля — Серра
#Ор +1 ± д(О)[2^р].
В случае « —» кривая называется минимальной, в случае «+» —максимальной.
Будем рассматривать максимальные кривые рода три. Максимальность обеспечит построение длинных кодов, а значение рода д(О) = 3 позволит задать кривую явно, согласно [3, Предложение 3.2.1]:
г2 = а0 + а^ж + а2ж2 + в0у, у2 = ж3 + аж + Ь,
где а0, «1, а2, в0, а, Ь € Fp.
Такие кривые существуют над определёнными конечными полями, а именно над полями с дискриминантами из множества {-19, -43, -67,-163} [3]. Под дискриминантом конечного поля Fp будем понимать число
ад = [2^р]2 - 4р.
Мы можем упростить уравнение (1), сведя его к переменным ж и г. Выражая из первого уравнения системы значение у = (г2 - а2ж2 - а1 ж - а0)/во и подставляя его во второе уравнение, получаем
,2 4 , /г. „ а2\Я , /г. „ I „2\ 2
г + (-2а2ж - 2а1ж - 2а0)г + (^ж + (2а1а2 - в0)ж + (2а0а2 + а^ж +
0а)ж + (а0 - во^
+ (2«0«1 - в02а)ж + (« - в02Ь)) = 0.
Очевидно, что при заданном значении ж € Fp уравнение может иметь четыре различных простых корня, либо два различных корня кратности 2 каждый, или один корень кратности 4. Сопоставим эти корни точкам кривой согласно трём типам:
— если уравнение имеет четыре различных корня, соответствующих точкам Р1, Р2, Р3 и Р4, то будем относить эти точки к типу I;
— если уравнение имеет два различных корня кратности 2, соответствующих точкам и ^2, то будем относить эти точки к типу II;
— если уравнение имеет единственный корень кратности 4, соответствующий точке Р, то будем относить эту точку к типу III.
Отметим, что число рациональных точек рассматриваемой кривой является нечётным.
Утверждение 1. Число рациональных точек кривой всегда нечётно и имеет вид 4й1 + 2^2 + 1.
Доказательство. Согласно границе Хассе — Вейля — Серра, число точек максимальной кривой удовлетворяет условию
|О^р)| = р + 1 + 3[2^р].
Мы рассматриваем кривые над конечными полями с нечётными дискриминантами й = ([2^/р] )2 - 4р. Учитывая, что характеристика поля р — нечётное число, имеем, что [2^] нечётно, откуда |Онечётно.
Принимая во внимание типы точек, получаем
|С = п = 4^1 + 2^2 + 1,
где 51—число четвёрок типа I; в2—число двоек типа II. Заметим, что точка с координатой (ж, 0) у рассматриваемой кривой всегда одна. ■
Замечание 1. Отметим, что бесконечно удалённая точка кривой С, которую обозначим Рх, не является Fp-рациональной.
Согласно [3, Предложение 3.1.2], оптимальная кривая С рода 3 над Fp является двойным накрытием оптимальной эллиптической кривой. Обозначив это накрытие f : С ^ Е, получаем, что при отображении f бесконечно удалённая точка кривой С лежит над бесконечно удалённой точкой то эллиптической кривой Е, которая, в свою очередь, лежит над бесконечной точкой проективной прямой Р1. При этом deg Рх = 2, что соответствует степени накрытия.
3. Основной результат
Пусть ^ = Fp(C) —функциональное поле кривой, заданной уравнением (1), Р1, Р2,... , Рп — попарно различные точки поля F/Fp степени один и Д = Р1 + ... + Рп. Напомним, что Рх — бесконечно удалённая точка поля F/Fp степени два. Обозначим через С дивизор поля F/Fp, кратный Рх, тогда вирр(С) П вирр(Д) = 0.
Определение 10. АГ-кодом С%(Д,С), ассоциированным с дивизорами Д и С, является образ гомоморфизма:
ev
IL(G) ^ Fpn, " \f ^ (f(Pi),...,/(P„)).
Очевидно, что ядро этого гомоморфизма Ker(ev) = L(G — D). Если degG < n, то L(G — D) = {0}. Следовательно, ev инъективно и
dimCl(D, G) = dim(G) = dimL(G) = deg(G) + 1 — g = deg(G) — 2
при условии, что deg(G) ^ 2g — 1 = 5. Здесь используем утверждение теоремы 1.
Отметим, что, согласно [2, Theorem 2.2.2], Cl(D, G) является [n, k, ^]-кодом с параметрами
k = dim(G) — dim(G — D) и d ^ n — deg(G).
Для вычисления минимального расстояния d = d(C) проведём следующие рассуждения. Пусть c £ Cl(D, G) — кодовое слово веса 5. Тогда существует функция / £ L(G), такая, что ev(f) = c и f обнуляется в точках {Pi : i £ I} для некоторого I С {1,... , n} и |I| = n — 5.
Если изначально рассмотреть f £ L(G — ЕI Pi) С L(G), то по определению пространства Римана — Роха имеем соотношение (f) ^ Е Pi — G. Кроме того,
deg ^Е Р - ^ = п - 5 - deg(G). Если deg(С) = п - 5, то deg Е Р - С ) =0 и ^) = ^ Рг - С. Соответственно Е Рг - С — главный дивизор.
I I
Поскольку С - 22 Р < С, то dim ^С - 22 < dim(G). Тогда, очевидно, йт ГС - 22 рЛ + ¿(С) < йт(С) + ¿(С) ^ п +1.
Согласно вышесказанному и принимая во внимание, что deg(G) ^ 5 и deg(G) = |{Pi}|, имеем следующее утверждение:
Утверждение 2. Обозначим D = Е Pi, где I С {1,... , n}. Если дивизор D — G
I
является главным при условии, что deg(G) ^ 5, то код Cl(D,G) не является MDS-кодом.
Выясним, какие дивизоры в функциональном поле кривой F/Fp являются главными.
Лемма 1. Пусть F = Fp(C) —функциональное поле оптимальной кривой C рода три. Тогда
1) Точка P является точкой типа III тогда и только тогда, когда дивизор 4P — является главным.
2) Точки Qi и Q2 являются точками типа II тогда и только тогда, когда дивизор 2(Qi + Q2) — 2Рте является главным.
3) Точки Р1,Р2,Р3 и Р4 являются точками типа I тогда и только тогда, когда дивизор Р1 + Р2 + Р3 + Р4 — 2Рте является главным.
Доказательство. Отметим, что для f е F \ {0} выполняется
deg(f )о = deg(f)те = [F : Fp(x)] = 4.
Приведём доказательство только первого случая, поскольку для оставшихся случаев рассуждения аналогичны.
Достаточность. По условию существует функция f е F, такая, что её главный дивизор имеет вид
(f ) = 4Р — 2Рте.
Вычислим dim(2Px). Учитывая, что кривая C не является гиперэллиптической [3, Лемма 3.1.3] и тот факт, что в гиперэллиптическом случае, если deg(Px) = 2, то dim(Px) ^ 2 [2, Lemma 6.2.2], получаем dim(Px) = 1. Согласно теореме Клиффорда [2, Theorem 1.6.13], имеем
dim(2Px) ^ 1 + 1 deg(2Px) = 3.
Определение оптимальной кривой уравнением (1) соответствует случаю dim(2Px) = = 3 [3]. Тогда в качестве f можем рассмотреть функцию f е L(2Px) = (1,x,z). Следовательно, f е Fp(x, z) и 4P является дивизором нулей функции f в Fp(x, z), а значит, Р — нуль функции f с кратностью 4. Таким образом, точка Р относится к типу III.
Необходимость. Если точка Р над Fp(x) относится к типу III, значит, Р является нулём некоторой функции f е Fp(x,z) кратности 4. Тогда дивизор 4P — 2Px имеет нулевую степень и по построению является главным, т. е. (f) = 4P — 2Px. ■
Замечание 2. Отметим, что различные линейные комбинации представленных выше главных дивизоров также дадут главный дивизор.
Замечание 3. Поскольку в утверждении 2 в записи дивизора D фигурируют точки без учёта их кратности, то D является главным, если Pi, 1 ^ % ^ 4, относятся к типу I и образуют четвёрки сопряжённых точек.
Следовательно, Cl(D,G) является MDS-кодом, если дивизор D — G не является главным, причём дивизор D = Е Pi, I С {1,... , n}, также состоит из четвёрок сопря-
I
жённых точек, относящихся к типу I, и deg G ^ 5. Однако не ясно, чему в этом случае равна степень дивизора G.
Прежде чем определить вид дивизора С при deg(G) ^ 5, чтобы код являлся МВБ-кодом, рассмотрим случаи, когда deg(G) < 5.
Теорема 2. (Д,Рх) является МВБ-кодом для некоторого дивизора Д степени 2.
Доказательство. Поскольку С = Рх, то deg(G) = 2 и dim(С) = 1. Следовательно, базис пространства Римана — Роха % (С) состоит из единственной функции {1}. В качестве дивизора Д рассмотрим Д = Р1 +... + Рп, где Рг, 1 ^ % ^ п, — точки степени один любого типа. Соответственно порождающая матрица кода имеет вид
(1(Р1) ... 1(Рп)) = (1 ... 1).
Очевидно, к =1 и вес единственной строки матрицы равен числу точек п дивизора Д. Таким образом, минимальное расстояние кода равно ^(С) = п, что есть верхняя граница Синглтона. Следовательно, код (Д,Рх) является МВБ-кодом. ■
Теорема 3. (Д, 2Рх) является МВБ-кодом, если дивизор Д имеет следующий вид:
1) Д = Р1 + Р2 + Р3 + Р4, где Рг — четвёрка сопряжённых точек;
2) Д = Р1 + Р2 + + ^2, где Рг и Qi — пары сопряжённых точек типа I или II;
3) Д = Р1 + Р2 + Q + Б, где Рг — пара сопряжённых точек типа I или II; Q = Б — точки любого типа.
Доказательство. По условию С = 2Рх и dim(G) = 3. Соответственно базис пространства Римана — Роха % (С) равен {1,ж,г}, тогда порождающая матрица кода (Д,С) имеет вид
/1 1 1 1 М = ( ж(Р) ж^) ж(Б) ж(Т) \*(Р) г^) г(Б) г(Т)
где Р, Q, Б,Т е вирр(Д).
1) Пусть Д = Р1 + Р2 + Р3 + Р4. Порождающая матрица кода (Д, С) имеет вид
( 1 1 1 1 I
М = ( ж(Р1) ж(Р2) ж(Рз) ж(Р4) I . \г(Р1) г(Р2) г(Рз) ¿(Р*)/
Поскольку {Рг}1^г^4 образуют четвёрку сопряжённых точек, то ж(Р1) = ж(Р2) = = ж(Р3) = ж(Р4) и, следовательно, первая и вторая строки матрицы эквивалентны. Это значит, что размерность кода к = 2 и гапк(М) = 3 = ^(С), и (Д, С) — МВБ-код, так как ^(С) = п +1 - к.
2) Пусть Д = Р1 + Р2 + Q1 + Q2, где (Рь Р2) и (Q1, Q2) — пары сопряжённых точек типа I или II. Порождающая матрица кода (Д, С) имеет вид
( 1 1 1 1 I
М = ( ж(Р1) ж(Р2) Ж^1) жШ I . \*(Р1) г(Р2) г (Ql) г^)/
Имеем ж(Р1) = ж(Р2) и ж^^ = ж(Q2). Следовательно, к = 3 и гапк(М) = 2 = ^(С). Тогда (Д, С) — МВБ-код, так как ^(С) = п + 1 - к.
3) О = Р1 + Р2 + Q + Б, где (Р1, Р2) —пара сопряжённых точек типа I или II; Q = Б — точки любого типа. Порождающая матрица кода С% (О, С) имеет вид
/1 1 11 М = ( ж(Р1) х(Р2) ж^) х(Б) \г(Р1) *(Р2)
Поскольку х(Р1) = х(Р2), получаем, что к = 3 и гапк(М) = 2 = ^(С). Тогда (О, С) — МВБ-код. ■
Замечание 4. Отметим, что теорема 3 работает в том случае, когда третья строка матрицы М состоит из различных элементов.
Замечание 5. Если О = Р1 + Р2 + Р3 + Q, где {Р^} сопряжённые точки
типа I и Q — точка любого типа, то к = 3, ^(С) = 1 и (О, С) не является МВБ-кодом.
Теперь сформулируем и докажем теорему для случая, когда О состоит из четвёрок сопряжённых точек типа I, а deg(G) = 2, 4, п.
Теорема 4. (О, С) является МВБ-кодом, если дивизор О состоит только из
п + 2
четвёрок сопряжённых точек типа I, deg(D) = п, п ^ 8 и С = —2— Р».
Доказательство. Поскольку число точек п в записи дивизора О равно 0 по модулю 4, то п = 4к для к € N и
О = Р(1) + Р2(1) + Р3(1) + Р4(1) + ... + + Р2(к) + Р3(к) + Р4(к),
(7)
где все точки р , 1 ^ г ^ 4, 1 ^ j ^ к, являются точками типа I.
Согласно утверждению 2, (О, С) не является МВБ-кодом, если deg(G) = п, поскольку в этом случае дивизор О — С является главным.
Определим, при каком С код (О, С) будет являться МВБ-кодом. Так как
пРсх> — (Р(1) + ... + Р4к)) ^ (п + 1) Р» — (Р(1) + ... + Р4к)),
то
% (IР» — (Р(1) + ... + Р^)) С % ( + 1) Р» — (Р(1) + ... + Р^)) .
Здесь мы рассматриваем ближайшее по включению пространство, учитывая, что dim % (Рс») = 1. Соответственно
п- (Р(1) + + Р(к))= (п + 1) Р _(р(1) + + р(к)
2Р» — (рГ +... + РГ) = (2 + 1)Р» — (Р +... + Р4 ) — Р»,
откуда имеем
(2к + 1) Р» — (Р(1) + ... + Р4к)) = 2кР» — (Р(1) + ... + Р4к)) + Р».
Поскольку дивизор 2кР» — (Р'1(1) + ... + Р4к)) главный, получаем
(2к + 1) Р» — (Р(1) + ... + Р4(к)) - Р».
Так как Р» не является главным дивизором, то дивизор (2к + 1) Р» — (Р1(1) +... + Р4(к)) также неглавный. Следовательно, код (О, С) является МВБ-кодом при О = Р1(1) +
+ ... + Р<В и С =( Рс.
Рассмотрим более общий случай, когда степень дивизора, с помощью которого вычисляется размерность кода, меньше числа точек дивизора О.
Теорема 5. Пусть n ^ 12, a G N, 5 < a < n — 5 и пусть задан дивизор D = = + ... + P4(k), где образуют четвёрки сопряжённых точек типа I и n = 4k, а также задан дивизор G, где supp(G)nsupp(D) = 0 и 4 < deg(G) < a+4. Будем считать, что Cl (D, G) не является MDS-кодом. Тогда существует дивизор H функционального поля F, такой, что supp(H) П supp(D) = 0 и n — a < deg(H) < n, и код CL(D, H) не является MDS-кодом.
Доказательство. От противного. Предположим, что существует дивизор H, удовлетворяющий условиям теоремы, но код Cl(D,H) является MDS-кодом. Согласно [4, Theorem 2.5], существуют дивизор G, supp(G) П supp(D) = 0 и 0 ^ deg G ^ n, и вектор a G Fp веса n, такие, что
a ■ Cl(D,G) = Cl(D,H
Для более детального ознакомления со структурой дуального кода см. [2]. Здесь мы только отметим, что если Cl(D, H) —дуальный код к Cl(D, G), то
dim(G) + dim(H) = k.
Если Cl (D, H) — MDS-код, то Cl (D, Hтакже является MDS-кодом тогда и только тогда, когда a ■ Cl(D, G) — MDS-код, а это выполняется тогда и только тогда, когда Cl (D,G) —MDS-код.
При этом если deg(G) ^ 5 и deg(H) ^ 5, что выполняется по условию, то
deg(G) — 2 = dim(G) = n — dim(H) = n — (deg(H) — 2) = n + 2 — deg(H).
Следовательно, deg(H) = n + 4 — deg(G). Поскольку n — a < deg(H) < n, то
n — a<n + 4 — deg(G) < n,
откуда
4 < deg(G) < a + 4, что противоречит тому, что Cl(D, G) не является MDS-кодом. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Goppa V. D. Geometry and Codes. Kluwer Academic Publishers, 1988.
2. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer Verlag, 1991.
3. Алексеенко Е. С. Явные конструкции оптимальных кривых рода три: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2016. http://iitp.ru/upload/content/1203/AES_disser.pdf.
4. Stichtenoth H. Self dual Goppa codes //J. Pure Appl. Algebra. 1988. V. 55. P. 199-211.
REFERENCES
1. Goppa V. D. Geometry and Codes. Kluwer Academic Publishers, 1988.
2. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer Verlag, 1991.
3. Alekseenko E. S. Yavnye konstruktsii optimal'nykh krivykh roda tri [Explicit Constructions of Optimal Curves of Genus Three]. PHD-thesis, Moscow, 2016. http://iitp.ru/upload/ content/1203/AES_disser.pdf.
4. Stichtenoth H. Self dual Goppa codes. J. Pure Appl. Algebra, 1988, vol. 55, pp. 199-211.
