АНАЛИЗ МЕТОДОВ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЁТА ФЕРМЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ТЕХНИЧЕСКИЕ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 624.4

А. С. Васильев, В. Ю. Чжоу

АНАЛИЗ МЕТОДОВ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЁТА ФЕРМЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В работе представлены различные методы расчёта усилий в фермах. Анализируются подходы для вычисления усилий в фермах: метод вырезания узлов, метод Риттера, графический метод на основе диаграмм Максвелла-Кремоны, численный метод. На основе полученных усилий в результате подбираются сечения растянутых и сжатых стержней при конструктивном расчёте. Показано, что численный расчёт, в отличие от аналитических и графических методов, учитывает не только продольные усилия в стержнях, но также изгибающий момент и поперечную силу.

Ключевые слова: усилия, ферма, аналитический метод, графический метод, численный метод. DOI: 10.24412/2227-1384-2023-150-9-14

Фермой называется система стержней (обычно прямолинейных), соединённых между собой в узлах и образующих геометрически неизменяемую конструкцию при шарнирных узлах. При узловой нагрузке жёсткость узлов несущественно влияет на работу конструкции, в первом приближении их можно рассматривать как шарнирные. В этом случае все стержни ферм испытывают только осевые усилия (растяжение или сжатие), что позволяет более полно использовать материал, чем в сплошной балке [3].

Применение ферм обусловлено экономичностью, по сравнению с балками, в связи с уменьшенным расходом стали. Однако фермы более трудоёмки в изготовлении, поэтому экономическая выгода от их использования наблюдается только при перекрывании больших пролётов.

Методы поиска усилий в стержнях ферм основаны на аналитических [2; 4], графических [2], а также численных подходах. Ферма для расчёта представлена на рисунке 1 [1].

Васильев Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой технических дисциплин (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан, Россия); e-mail: vasil-grunt@mail.ru.

Чжоу Валентина Юйляновна — студент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан, Россия);e-mail: chzhou2016@gmail.com.

© Васильев А. С., Чжоу В. Ю., 2023

9

Рис. 1. Расчётная схема фермы

Очевидно, что верхний пояс фермы работает на сжатие, в то время как элементы нижнего пояса растягиваются. Оптимальный угол наклона опорных раскосов составил 20° с верхним поясом фермы. Аналитические методы расчёта усилий в фермах: метод вырезания узлов и метод Риттера — давали приблизительно одинаковые результаты. Расчёты выполнялись в системе MathCAD15.

Метод вырезания узлов на примере узла А представлен на рисунке 2. Для решения уравнений равновесия и поиска усилий применялась функция given-find.

Рис. 2. Визуализация метода вырезания узлов на примере узла А

Метод Риттера дал близкие к методу вырезания узлов результаты. Он основывается на равновесии отсечённых частей рамы и оставшихся (метод сечений). Для оставшейся части фермы составляются три уравнения равновесия. Первое сечение Риттера и алгоритм вычисления в программном комплексе МаШСАО представлены на рисунке 3.

Графические методы в работе были представлены методом построения диаграмм Максвелла-Кремоны. Для этого сначала отмечались внешние области фермы между всеми внешними нагрузками (как активными и реактивными силами). Внутренние области фермы отмечаются между раскосами, стойками, поясами. В рассматриваемой ферме имеется 7 внешних областей и 10 внутренних, представленных на рисунке 4.

10

Рис. 3. Визуализация метода Риттера на примере рассечения стержней и поиска усилий N 4, N 5, N 6

Рис. 4. Разделение фермы на внешние области

Диаграмма Максвелла-Кремоны для данной фермы представлена на рисунке 5. Здесь длины отрезков при переходе из одной зоны в другую соответствуют усилиям в стержнях между соответствующими границами.

Рис. 5. Диаграмма Максвелла-Кремоны

11

Численные методы были представлены расчётом в ПК ЛИРА САПР. Эпюры усилий в стержнях представлены на рисунке 6.

Рис. 6. Эпюры продольных усилий стержней в ПК ЛИРА САПР

В таблице 1 представлены результаты расчётов усилий в ферме. Важно отметить, что численный расчёт, в отличие от аналитических и графических методов, учитывает не только продольные усилия в стержнях, но также изгибающий момент и поперечную силу.

Таблица 1

Результаты расчётов контрольных усилий в ферме

Метод N1 N2 N21 N4 N8 N12 N16 N20

Вырезания -315,96 336,238 394,714 -522,021 -618,182 -618,182 -576,97 -370,909

узлов

Риттера -316,25 336,546 395,076 -522,311 -618,662 -618,712 -577,311 -371,25

Максвелла- -313 333 384 -514 -611 -603 -570 -384

Кремоны

Численный -295,53 315,566 370,042 -487,125 -586,165 -590,063 -539,451 -346,536

расчёт ПК ЛИРА САПР

Изображения усилий от изгибающего момента и поперечной силы представлены на рисунке 7.

Рис. 7. Усилия в рассматриваемой ферме при расчёте в ПК ЛИРА САПР:

а — моменты в стержнях, б — поперечная сила в стержнях

12

Эти усилия имеют небольшие значения, которые, однако, уменьшают значения основных продольных усилий. В таблице 2 представлены результаты отклонений используемых методов от численного метода в ПК ЛИРА САПР.

Таблица 2

Отклонения результатов от численного расчёта в ПК ЛИРА

Метод N1 N2 N21 N4 N8 N12 N16 N20

Вырезания узлов 6,9 % 6,5 % 6,7 % 7,2 % 5,5 % 4,8 % 6,9 % 7,0 %

Риттера 7,0 6,6 6,7 % 7,2 % 5,5 % 4,9 % 7,0 % 7,1 %

Максвелла-Кремоны 5,9 % 5,5 % 3,8 % 5,5 % 4,3 % 2,2 % 5,7 % 10,8 %

Выводы

Принимая за эталонные усилия результаты численного расчёта, мы получили следующие отклонения.

Список литературы

1. Вебер А. ВС: Расчёт фермы. URL: https://www.youtube.com/watch?v=G0Af7YD_ KHM&t=1334s

2. Кирсанов М. Н. Решебник. Теоретическая механика / под ред. А. И. Кириллова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 384 с.

3. Металлические конструкции: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования / [Ю. И. Кудишин, Е. И. Беленя, В. С. Игнатьева и др.]; под ред. Ю. И. Кудишина. 13-е изд., испр. М.: Академия, 2011. 688 с.

4. Рябченко В. Н., Канделя М. В., Васильев А. С. Основы теоретической механики:

учебное пособие. Биробиджан: ИЦ ПГУ им. Шолом-Алейхема, 2016. 192 с.

* * *

Vasil'ev Alexey S., Chzhou Valentina Y. ANALYSIS OF METHODS OF STATIC CALCULATION OF TRUSS STRUCTURES

(Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan, Russia)

The paper presents various methods for calculating forces in trusses. Approaches for calculating forces in trusses are analyzed: knot cutting method, Ritter method, graphical method based on Maxwell-Cremona diagrams, numerical method. On the basis of the forces obtained, the sections of tensioned and compressed rods are selected as a result of the structural analysis. We demonstrate that the numerical calculation, in contrast to analytical and graphical methods, takes into account not only the longitudinal forces in the rods, but also the bending moment and the transverse force.

Keywords: efforts, construction truss, analytical method, graphical method, numerical method.

DOI: 10.24412/2227-1384-2023-150-9-14

References

1. Veber A. VS: Raschot fermy (VS: Calculation of the farm). Avilable at: https://www.youtube.com/watch?v=G0Af7YD_KHM&t=1334s

13

2. Kirsanov M. N., Kirillova A. I. (ed.) Reshebnik. Teoreticheskaya mekhanika (Reshebnik. Theoretical mechanics), Moscow, FIZMATLIT Publ., 2002. 384 p.

3. Kudishin Yu. I., Belenya E. I., Ignatieva V. S. and others, Kudishina Yu. I. (ed.). Metallicheskiye konstruktsii: uchebnik dlya stud. uchrezhdeniy vyssh. prof. obrazovaniya (Metal structures: a textbook for students. institutions of higher prof. Education), 13th ed., rev., Moscow, Academy Publ., 2011. 688 p.

4. Ryabchenko V. N., Kandelya M. V., Vasil'yev A. S. Osnovy teoreticheskoy mekhaniki: uchebnoye posobiye (Fundamentals of theoretical mechanics: a textbook), Birobidzhan, PGU im. Sholom-Aleykhema Publ., 2016. 192 p.

•Jc -Jc -Jc

14