CC BY
5достичь таких высоких уровней эффективности и устойчивости, какие существуют сегодня.
Библиография:
1. Родичев И.Д., Уварова М.Н. Математические методы в электроэнергетике // Профессия инженер: Сб. статей по материалам XI Всерос. молодеж. науч.-практ. конф. Под общ. ред. А.Л Севостьянова. Орел. Изд-во Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина, 2023. С. 593-596.
2. Мельников А.А., Успенский А.Е. Комплексный анализ проблем эксплуатации электроэнергетических систем. М. : Энергоатомиздат, 2014.
3. Левин С., Уварова М.Н. Использование математических методов в сельском хозяйстве // Студенчество России: век XXI: сб. материалов III Молодеж. науч.- практ. конф., 2016. С. 200-202.
4. Электрические сети на основе мультиконтактных коммутационных систем воздействия на экологию / А.А. Лансберг, Г.А. Игнатова, А.Е. Семенов, М.Н. Уварова, А.В. Виноградов // Экология и сельское хозяйство: на пути к инновациям: материалы Междунар. науч.- практ. конф., 2019. С. 184-191.
5. Кузнецов Н.Н., Мельников В.В. Комплексный анализ и моделирование в системах энергетики. М. : Энергоатомиздат, 2018.
6. Энергосбережение в энергетике и технологиях. Энергосбережение в низкотемпературных процессах и технологиях / А.Б. Гаряев, О.Л. Данилов, А.Л. Ефремов [и др.]. М. : Изд-во МЭИ, 2002. 48 с.
7. Данилов Е.В., Морозов Ю.А. Комплексный анализ и оптимизация показателей качества электроэнергетических систем. М. : Энергоатомиздат, 2019.
8. Чернова О.В., Тумаков И.А. Комплексный анализ и прогнозирование развитияэнергетики. М. : Энергоатомиздат, 2020.
9. Данилов Н.И., Щелоков Я.М. Основы энергосбережения: Учебное пособие. Екатеринбур: Автограф, 2010. 528 с.
10. Лукутин Б.В. Энергоэффективность преобразования и транспортировки электроэнергии: Учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2012. 112 с.
УДК 624.04
АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНОК
Сычев М.Е., Овешников В.Ю., магистранты 2 курса направления подготовки 08.04.01 «Строительство». Научный руководитель: к.т.н., доцент Фетисова М.А. ФГБОУ ВО Орловский ГАУ
АННОТАЦИЯ
В настоящее время по-прежнему в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений. В статье проведен анализ, состояния вопроса определения устойчивости пластинок различного очертания, с различными граничными условиями проведен на основании существующих методов и методологий по данной проблеме.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Изопериметрический метод, коэффициент формы, пластинка, граничные условия, здания, конструкции.
ABSTRACT
At present, as before, in computational practice, great importance is attached to the development and improvement of simple analytical methods for solving specific problems for typical structural elements of buildings and structures. The article analyzes the state of the issue of determining the stability of plates of various shapes, with various boundary conditions, based on existing methods and methodologies for this problem.
KEYWORDS
Isoperimetric method, shape factor, plate, boundary conditions, buildings, structures.
Введение. В настоящее время по-прежнему в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений. В статье проведен анализ состояния вопроса определения устойчивости пластинок различного очертания с различными граничными условиями на основании существующих методов и методологий по данной проблеме. Следует отметить, что применение изопериметрического метода в большинстве работ сводилось к достижению классического результата построению одно- или двусторонних изопериметрических неравенств в виде границ с известными решениями, относящимися к ограниченному классу геометрических фигур (круг, квадрат, прямоугольники, эллипсы, равносторонний треугольник). Устойчивость пластинок изопериметрическим методом связана с геометрической характеристикой формы области - коэффициентом формы.
Цель исследований. В статье провести анализ существующих методов решения задачи устойчивости пластинок и рассмотреть оптимальный метод.
Материалы и методы исследований. К типичным элементам конструкций зданий и сооружений, машин и агрегатов, расчет которых сводится к двумерным задачам теории упругости, относятся, в частности пластинки плоские несущие элементы зданий и сооружений, машин и агрегатов, работающие в условиях поперечного и продольного изгибов.
При решении задач теории пластинок требуется определить напряжения по любому сечению и вертикальные перемещения (прогибы) любой точки. Такие задачи решаются, как правило, в перемещениях на основании дифференциальных уравнений поперечного изгиба пластинок и с учетом условий на границе. Если удается подобрать функцию прогибов, удовлетворяющую дифференциальному уравнению равновесия и граничным условиям, то в этом случае задача имеет точное решение и через функцию прогибов (перемещений) определяются и изгибающие, и крутящие моменты, и поперечные силы, а через них находятся напряжения (нормальные и касательные) по любому сечению.
Прямыми методами решения задач теории пластинок можно отнести задачи поперечного изгиба равномерно распределенной нагрузкой круглых пластинок с шарнирно опертым и жестко-защемленным контуром, эллиптической жестко-защемленной пластинки, прямоугольной шарнирно опертой пластинки [1]. Известно несколько задач, решенных точными методами и при других видах нагружения.
Как правило, большинство разрешающих уравнений теории пластинок записываются в прямоугольных координатах, а при решении задач, связанных с пластинками в виде частей круга - в полярных координатах. Известно преобразование разрешающих уравнений в косоугольных координатах [2].
Матричный метод перемещений является мостом между классическим методом перемещений строительной механики и методом конечных элементов. В матричном методе перемещений приняты гипотезы, как и в методе перемещений [3].
Преимущества матричного метода перемещений.
1 Метод является универсальным для всех систем как статически определимых, так неопределимых.
2 При расчете матричным методом перемещений не требуется строить единичные и исправленные эпюры моментов, а также определять единичные реакции. Для расчета необходимо лишь составить три исходные матрицы: статическую, матрицу жесткостей, деформационную. Вся работа по получению расчетных усилий сводится к простым матричным операциям умножения и сложения, что уменьшает вероятность появления ошибок.
3 Матричный метод перемещений допускает все упрощения метода перемещений, такие, как использование симметрии системы, симметрии нагрузки и т.д.
4. Алгоритм расчета легко запрограммировать и поручить ЭВМ все матричные операции.
К недостаткам метода относятся необходимость вручную готовить исходные матрицы, что для сложных систем бывает весьма трудоемко. Кроме того, исходные матрицы являются слабо заполненными, поэтому память машины используется нерационально. Частично указанные проблемы решались в некоторых специализированных программах, но решить кардинально проблему - полностью автоматизировать расчетный алгоритм удалось только с помощью метода конечных элементов (МКЭ).
Первоначально МКЭ формировался без использования вариационных принципов, и процесс сопряжения отдельных элементов в узлах пересечения сетки трактовался в духе метода перемещений строительной механики стержневых систем с той разницей, что аналитические выражения функций формы назначались простейшими в поле элемента. МКЭ носил название метода прямых жесткостей. В дальнейшем наибольшее распространение получил МКЭ в сочетании с методом перемещений, который позволяет уменьшить трудности, связанные с удовлетворением граничных условий.
Сущность метода конечных элементов заключается в том, что он как вариационно-разностный метод минимизирует функционал энергии, сводит решение краевой задачи теории упругости к решению системы алгебраических уравнений и состоит из следующих этапов:
1 Идеализация исследуемой конструкции, то есть назначение расчетных узлов, в которых определяются величины разрешающей функции, и расчленение исследуемого объекта на конечные элементы желаемой формы.
2 Выбор основных неизвестных и вида аппроксимирующих функций в элементе.
3 Построение матриц жесткости, т.е. установление зависимости между усилиями и перемещениями в контактных узлах элемента.
4 Составление системы алгебраических уравнений.
5 Решение составленных уравнений и вычисление значений разрешающей функции в расчетных узлах.
Наиболее важными являются первые три пункта, определяющие количество и расположение расчетных узлов, геометрическую форму используемых конечных элементов, вид приближающих функций и гипотеза о распределении перемещений или напряжений в области конечного элемента. В этих трех этапах и заключаются недостатки МКЭ:
- сложность установления формы конечного элемента континуальной системы;
- основной трудностью второго этапа решения задачи по МКЭ является выбор интерполирующего полинома, удовлетворяющего условиям неразрывности, так как функции перемещений в точках контакта двух соседних элементов должны обеспечивать непрерывность перемещений и углов поворота;
- определенные трудности появляются при получении глобальной матрицы жесткости, которая выражает реакции в углах элемента через неизвестные узловые перемещения;
- МКЭ для континуальных систем является приближенным методом.
Достоинствами мКэ являются:
- процедура МКЭ не зависит от характера граничных условий задачи;
- без усложнения расчета можно выбирать нерегулярную сетку различной формы;
- матрица коэффициентов при основных неизвестных получается симметричной и имеет ленточную структуру.
Самое широкое применение среди численных методов получил метод конечных разностей для решения задач об изгибе пластин.
Суть метода конечных разностей заключается в замене обыкновенных или частных дифференциальных операторов, входящих в разрешающие уравнения задачи, приближенными разностными выражениями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения, заменяют соответствующими разностными соотношениями, то есть линейной комбинацией значений функций в узлах. При этом дифференциальные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений (разностных уравнений), а начальные и краевые условия - разностными начальными и краевыми условиями, где неизвестными являются значения функции в узлах выбранного типа сетки.
Вариационно-разностный метод для расчета прямоугольных плит использован в работах, в которых рассматриваются плиты ступенчато-переменной толщины на винклеровом основании с переменным коэффициентом жесткости.
Разработкой и совершенствованием методов расчета различных элементов конструкций занимаются науки: теории упругости, строительная механика и механика деформируемого твердого тела (МДТТ), которые имеют в настоящее время целый ряд достижений. Современная теория расчета пластинок считается достаточно разработанной. Имеются классические аналитические методы, которые дают точные решения для ограниченного набора форм областей в некоторых задачах (квадрат, прямоугольники, равносторонний треугольник). В большинстве же практически важных случаев применяются приближенные методы расчета, с помощью которых найдены решения для некоторых задач, связанных с областями в виде ромбов, параллелограммов, равнобедренных треугольников, равнобочных трапеций. Такие решения приводятся в соответствующей справочной литературе. Они получены, как правило, численными методами для конкретного вида областей с различной степенью точности.
Развитием изопериметрического метода применительно к задачам устойчивости пластинок занимался А. Хусточкин [4], данной работе много интересных результатов в задачах устойчивости пластинок, где также использованы некоторые идеи метода интерполяции решений по коэффициенту формы. В совместной статье Коробко А.В. и Хусточкина А.Н. приведены решения задач устойчивости и поперечного изгиба для параллелограммных пластинок.
Началом целенаправленной реализации идеи получения приближенных аналитических решений для определенного множества фигур с использованием в качестве геометрического аргумента интегральной характеристики формы области следует считать публикация Коробко А.В., в которых на основе графического анализа известных решений задач о геометрической жесткости треугольных и секториальных сечений при кручении упругих призматических стержней и графиков изменения интегральной характеристики формы (коэффициента формы) треугольных и секториальных областей была обнаружена высокая степень подобия этих графиков. С учетом этой закономерности были предложены элементарные аналитические зависимости, дающие решение для всего множества треугольных и секториальных сечений с высокой степенью точности.
К числу проблем теории упругости, которые могут исследоваться с помощью МИКФ, относится и устойчивость пластинок.
Следует отметить, что применение изопериметрического метода в большинстве работ сводилось к достижению классического результата - построению одно- или двусторонних изопериметрических неравенств в виде границ с известными
решениями, относящимися к ограниченному классу геометрических фигур (круг, квадрат, прямоугольники, эллипсы, равносторонний треугольник). Попытки получения аналитических зависимостей к задачам технической теории пластинок на основе изопериметрического подхода с использованием в качестве аргумента коэффициента формы были сделаны в статье [5], в которой аналитически описаны границы изменения максимального прогиба всего множества выпуклых жестко защемленных пластинок. В этой же статье сделано предположение о возможности получения простых аналитических зависимостей в изопериметрическом виде, относящихся к фигурам какого-либо ограниченного множества.
Рисунок 1 - Фигура с криволинейным контуром
Коэффициент формы выражается через контурный интеграл [7, 8, 9]:
к =$ *
^п (1) где дв - линейный элемент контура области (рис. 1); Л - высота опущенная из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура; L -периметр области.
Для фигур с криволинейным контуром выражение (1) можно преобразовать к следующему виду [5, 6]:
к*=$ т=
Ь " 0
$ т==И1+к= +тт Ц 7Г к
Г й)
2п-( Г'2
(2)
где г = г(ф)- полярное уравнение контура области с полюсом в точке «а». Из выражения (2) следует теорема 1: из всех плоских фигур наименьшее значение К = 2п имеет круг, так как для него г" = 0.
а
/V
11
Рисунок 2 - Фигура с полигональным контуром
Для областей с полигональным контуром выражение (1) примет вид [18]:
п I п п
К а = = 2 + ) = 2 + _1)
г=1 п г=1 г=1
0
0
где ¡¡, hi - длина /-ой стороны многоугольника и высота, опущенная из полюса на
i-ю сторону (рис. 2); а и ^ - углы, прилежащие к ¡-той стороне и ограниченные отрезками прямых, проведенными из полюса в углы полигона; n - количество сторон многоугольника.
Точность решения задач теории упругости с помощью МИКФ достаточно хорошая. Но она может и повышаться путем выбора способа получения исходной фигуры различными геометрическими преобразованиями и выбора аппроксимирующего полинома.
Началом целенаправленной реализации идеи получения приближенных аналитических решений для определенного множества фигур с использованием в качестве геометрического аргумента интегральной характеристики формы области следует считать публикации [7, 8, 9], в которых на основе графического анализа известных решений задач о геометрической жесткости треугольных и секториальных сечений при кручении упругих призматических стержней и графиков изменения интегральной характеристики формы (коэффициента формы) треугольных и секториальных областей была обнаружена высокая степень подобия этих графиков. С учетом этой закономерности были предложены элементарные аналитические зависимости, дающие решение для всего множества треугольных и секториальных сечений с высокой степенью точности.
Выводы. 1. Изопериметрический метод, является наиболее простым и доступным геометрическим методом получения оценок интегральных характеристик в двумерных задачах теории упругости.
2. Проведенные ранее исследования и обобщения известных свойств и закономерностей коэффициента формы, графического его представления показали, что коэффициент формы является геометрическим аналогом интегральных характеристик.
Библиография:
1. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трёх томах. М. : Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с; Т.2. 463 с; Т.3. 567 с.
2. Гухман А.Л. Введение в теорию подобия. М. : Высшая школа, 1963. 254 с.
3. Синицин С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М. : Изд-во АСВ, 2002.
4. Хусточкин А.Н. Развитие и применение изопериметрического метода к решению задач устойчивости пластинок. Дисс. канд. техн. наук. Ставрополь, 1991.
5. Polya G. Sur la frequence fondamental des membranes vibranes et la resistance elestique des tiges a la torsion // Comptes Rendus de I Academie des saences. London. V. 228. Pp. 346-348.
6. Pragger W. Mathematical programming and theory of structures // J. Soc. Indust. and Appl. Math. 1965. Vol. 1. Pp. 157-172.
7. Коробко А.В., Фетисова М.А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинок // Строительство и реконструкция. 2010. № 1 (27). С. 36-39.
8. Фетисова М.А., Володин С.С. Аналитические и численные соотношения максимального прогиба ромбических пластинок с комбинированными граничными условиями // Вестник строительства и архитектуры: сб. науч. тр. Т. Вып. 3. Орел: Изд-во Картуш, 2014. С. 90-94.
9. Фетисова М.А., Володин С.С. МИКФ в строительной механике при решении задач максимального прогиба пластинок в виде многоугольника // Продовольственная безопасность как фактор повышения качества жизни: материалы Национальной (Всероссийской) научно-практической конференции. Орел: Изд-во Орловский государственный аграрный университет им. Н.В. Парахина, 2021. С. 45-49.
