CC BY
179
УДК 519.233.5:001.8 С.Г. РАДЧЕНКО*
АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», Киев, Украина
Анотаця. Проведено пор1вняльний анал1з системних властивостей теоретико-аналтичного та експериментально-статистичного метод1в моделювання реальних складних систем. Указанi переваги та недолти методiв.
Ключов1 слова: теоретичний метод, експериментальний метод, математичне моделювання, складна система.
Аннотация. Проведен сравнительный анализ системных свойств теоретико-аналитического и экспериментально-статистического методов моделирования реальных сложных систем. Указаны преимущества и недостатки методов.
Ключевые слова: теоретический метод, экспериментальный метод, математическое моделирование, сложная система.
Abstract. A comparative analysis of system properties of theoretical-analytical and experimental-statistical methods of modeling real complex systems has been conducted. The advantages and disadvantages of the methods are shown.
Keywords: theoretical method, experimental method, mathematical modeling, complex system. 1. Введение. Постановка проблемы
Математические модели сложных систем - технических, технологических, измерительных - получают теоретико-аналитическим и экспериментально-статистическим методами. Указанные методы характеризуются различными возможностями по критериям сложности и точности получения математических моделей. Теоретико-аналитический метод, при котором происходит раскрытие механизмов, происходящих в системе явлений, позволяет получить сравнительно несложные модели. Для более точных и сложных моделей аналитические решения удается получить сравнительно редко и в основном методами решения являются численные с проведением расчетов на вычислительных системах.
Основным методом является экспериментально-статистический. В качестве исходных данных используются результаты экспериментов, данные, полученные методом статистических испытаний (метод Монте-Карло), экспертного оценивания, трудоемких вычислений.
Практика решения многочисленных задач по моделированию реальных сложных систем показала, что используются математические (формализованные) и неформализованные, то есть эвристические методы. Решаемые задачи характеризуются огромным разнообразием условий и в значительной степени отсутствием необходимой для принятия решений исходной информации о свойствах моделируемых систем и процессов.
Классический регрессионный анализ предполагает выполнение его предпосылок [1, с. 43-53]. В реальной действительности предпосылки могут не выполняться, а их проверка может быть затруднена или невозможна из-за трудностей проведения эксперимента и затрат физических ресурсов. Из приведенного следует, что получение статистических моделей, как правило, проводится в условиях неопределенности, и полученные результаты в определенной степени не соответствуют ожидаемым. В общем случае приходится решать некорректно поставленные задачи [1, с. 17, 20]. Решение некорректно поставленных задач требует использования специальных устойчивых (робастных) методов. Отметим, что проблема некорректно поставленных задач является одной из основных при получении моделей реальных сложных систем [2].
© Радченко С.Г., 2015
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2015, № 4
Целью статьи является краткое изложение основных системных свойств математических и эвристических методов, используемых в регрессионном анализе [3, 4], и анализ их влияния на получаемые критерии качества статистических моделей.
2. Изложение результатов исследования
Математическая система теоретико-аналитического метода решения задачи характеризуется следующими основными свойствами.
1. Структура определяемой математической модели формируется исследователем на основании вскрытия механизмов происходящих явлений. В сложных реальных системах эти явления включают физические, химические процессы, геометрические изменения (преобразования) участвующих в работе элементов в микро- и макрообъемах пространства, в котором функционирует система. Предпосылки, на которых базируется используемый метод, должны выполняться, что обеспечивает получение конечных результатов с необходимыми свойствами. С увеличением сложности моделируемых систем, появлением новых систем получение структуры модели становится затруднительным и может стать невозможным. Тогда необходимо использовать экспериментально-статистический метод моделирования.
2. Исходные данные должны быть точными, то есть интервал неопределенности, в котором заключено «истинное» значение получаемого результата, должен быть достаточно малым по отношению к номинальному значению величины.
3. Проводимые преобразования математических выражений и проводимые вычисления должны быть устойчивые (робастные): «малым» исходным ошибкам должны соответствовать «малые» конечные изменения результатов.
4. Вся необходимая информация для решения задачи должна быть известна исследователю.
В общем предполагается, что решается корректно поставленная задача: решение задачи существует; решение однозначное; малым изменениям исходных условий соответствуют малые изменения конечных результатов.
Решение, полученное для определенной задачи, распространяется на все номинально одинаковые условия определенного класса А задач, то есть по умолчанию подразумевается, что условие рефлексивности аКа выполняется для всех элементов а множества А .
Экспериментально-статистический метод характеризуется следующими основными свойствами.
1) При использовании экспериментально-статистического подхода на получаемые исходные данные влияют управляемые X (.), неуправляемые 7. и неконтролируемые V ( .) факторы.
Получаемая математическая модель, как правило, включает только управляемые факторы. Влияние неуправляемых и неконтролируемых факторов рассеивает значения критерия качества у в номинально одинаковых (повторных) опытах. Необходимо обеспечить ортогональность всех эффектов управляемых факторов и оценить влияние неуправляемых и неконтролируемых факторов путем использования поправки RASTA [1, с. 122133].
Коэффициенты модели определяют методом наименьших квадратов путем аппроксимации полученных исходных данных. Решаемые задачи относятся к классу обратных задач: по полученным данным У и структуре модели X найти коэффициенты модели В. В матричной записи искомая модель имеет вид У=ХВ+Е, Е - значение случайной ошибки 8
[1, с. 17].
2) Структура многофакторной статистической модели в большинстве случаев исследователю не известна. Предложено формализованную структуру многофакторной статистической модели задавать выражением [1, с. 92]
П(1 + Х0) + *?>+... + X«"1} N
1=1
где 1 - значение фиктивного фактора х0 ее 1;
л-:1'з х\2',..., л";(Л,~1) - ортогональные контрасты факторов X;;
^ - число различных уровней фактора X ;
к - общее число факторов, 1 < / < к;
(1), (2), ..., (^ —1) - порядок контрастов фактора X ;
Л',, - число структурных элементов полного факторного эксперимента, равное числу опытов эксперимента.
По теореме Бродского В.З., все эффекты полного факторного эксперимента ортогональны друг к другу. При использовании многофакторных регулярных планов все главные эффекты ортогональны друг к другу.
3) Информация о силе влияния управляемых факторов может отсутствовать.
4) Исходные данные, полученные в виде результатов экспериментов, содержат систематические и случайные ошибки.
5) Получаемые в моделях эффекты - главные и взаимодействия - могут быть смешаны между собой. Для получения статистически независимых оценок необходимо использовать расширенную концепцию ортогональности: план эксперимента, структура модели, эффекты модели должны быть ортогональны или близки к ортогональным.
6) Условие задачи может быть некорректно поставленным и требовать использования специального метода ее решения [1, с. 156-200].
Важным свойством экспериментально-статистического метода описания является определенное отсутствие необходимой информации о предметной области моделирования. Многофакторная статистическая модель должна включать ортогональные или близкие к ортогональным эффекты, нормированные и статистически значимые. Модель должна быть адекватная, информативная, устойчивая [1, а 65-80]. Для выполнения приведенных требований необходимо использовать методы теории планирования эксперимента.
Сложность и специфичность решения математических задач с неточными исходными данными заключаются в том, что реализация решения на вычислительных системах в рамках классических методов не гарантирует устойчивых результатов. Акад. А.Н. Тихонов считает, что «устойчивые математические методы решения неустойчивых задач с неточными данными относятся к классу математических задач, выходящих за пределы классической математики» [5, а 94].
При использовании теоретико-аналитического метода исследователь для введения в модель должен выбрать факторы, наиболее сильно влияющие на критерии качества. Необходимая для этого информация может отсутствовать. В экспериментально-статистическом методе введенные в модель факторы могут быть проверены на статистически значимое влияние их на моделируемый критерий качества.
Теоретико-аналитическое описание применяется при упрощении действительности, обобщая, отвлекаясь от деталей и индивидуальных подробностей, и объясняет основные, наиболее общие законы, то есть относится к номографическим наукам (Л. Кутюра (Ь. СоШша)) [6, а 33-34].
Экспериментально-статистическое описание проводится с использованием закономерностей конкретных явлений в детальных условиях, не отрывая изучаемую систему от
определенных рамок времени и места. Такое научное описание относится к идиографиче-ским наукам (В. Виндельбанд (W. Windelband)). Экспериментально-статистическое описание является необходимым при моделировании технологических процессов, средств измерений, некоторых сложных технических систем, агробиологических систем [6, c. 33-34].
По мнению акад. К.В. Фролова, для улучшения технических решений знания только общих законов природы недостаточно. Необходим анализ математическими средствами построенных математических моделей машин, процессов с целью управления их качеством и создания научных основ проектирования в технике. Переход от общих - номографических законов к математическим моделям - идиографическим закономерностям и законам реальных машин, процессов представляет объективную необходимость проникновения в сущности более высокого порядка.
Математические модели сложных систем могут быть получены с использованием логических умозаключений дедукции и индукции. Дедукция - логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам. Дедукция используется в теоретико-аналитическом подходе в виде математического описания свойств элементов или процессов а определенного множества A. Элементы а должны быть однородны по своим свойствам, что позволяет использовать общее описание к различным элементам. С увеличением сложности систем, появлением новых систем получение общего описания может стать невозможным. Тогда необходимо применить метод индукции.
Индукция - логическое умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям. Индукция применяется в экспериментально-статистическом методе в виде исследования отдельных элементов a множества A, и полученная информация используется для всех элементов a . Исследуемые элементы должны быть однородные, репрезентативные и статистические по своим свойствам и представлять выборку из гипотетической генеральной совокупности множества A .
Авторы книги [2] предлагают называть все те разделы математики, в которых коэффициенты и параметры математических моделей (или же законы их изменения) предполагаются известными и заданными, «Математикой-1» [2, с. 5]. Если коэффициенты и параметры заданы приближенно и их точные значения находятся в неравенствах, то задача оценки свойств возможных решений, в частности, оценка их устойчивости, относится к «Математике-2». При моделировании реальных систем и процессов необходимо убедиться в надежности полученных решений.
В «Математику-2» входят правила приближенных вычислений, интервальный анализ, исследование на устойчивость решений систем линейных алгебраических уравнений, системы дифференциальных уравнений. Известны случаи, когда из-за погрешностей и неточностей методов расчета происходили аварии и катастрофы [2, с. 179-183]. «Математи-ка-2» лучше отражает особенности расчетов конкретных объектов техники и физики [2, с. 153].
Решение некорректно поставленных задач требует разработки специальных устойчивых (робастных) методов [7, с. 71-75]. Отметим, что успешное решение регрессионных задач возможно при системном использовании разработанных методов.
Применение теоретического подхода в получении математических моделей неизбежно включает абстрагирование и идеализацию свойств реальной сложной системы. Такие действия могут существенно изменить описываемые свойства моделируемой системы, и полученный результат не будет ответом на поставленную задачу. На это указывали акад. А.А. Самарский [8, с. 39] и акад. ЯЗ. Цыпкин [9, с. 23].
При использовании экспериментально-статистического подхода абстрагирование и идеализация не применяются.
Модели, полученные теоретико-аналитическим методом, позволяют интерпретировать влияние факторов на моделируемые критерии качества. При использовании экспериментально-статистического метода интерпретация возможна для простых эффектов 1...3 степени, а в общем случае затруднительна, так как структура модели формальна.
3. Выводы
1. Использование теоретико-аналитического метода возможно, если известна необходимая информация для получения модели. При моделировании реальных сложных систем необходимая информация может отсутствовать и для ее восполнения используют абстрагирование и идеализацию, которые могут существенно изменить свойства моделируемой системы.
2. Применение экспериментально-статистического метода позволяет получать модели при неполном знании необходимой информации. Используемые методы должны быть устойчивые (робастные): план эксперимента, структура модели, эффекты модели должны быть ортогональны или близки к ортогональным.
3. Для построения оптимизированных моделей целесообразно использование новых методов теории планирования эксперимента и эвристических решений, таких как поправка RASTA, формализованная структура многофакторной статистической модели, расширенная концепция ортогональности, использование специальных (робастных) методов оценивания моделей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Радченко С.Г. Методология регрессионного анализа / Радченко С.Г. - К.: «Коршйчук», 2011. -376 с.
2. Петров Ю.П. Введение в теорию инженерных расчетов, учитывающую вариации параметров исследуемых объектов / Ю.П. Петров, И.А. Петров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2014. - 272 с.
3. Лаборатория экспериментально-статистических методов исследований (ЛЭСМИ) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.n-t.org/sp/lesmi.
4. Сайт кафедры «Технология машиностроения» Механико-машиностроительного института Национального технического университета Украины «Киевский политехнический институт» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://tm-mmi.kpi .ua/index.php/ru/1/publications/.
5. Тихонов А.Н. Выступление на годичном общем собрании Академии наук СССР / А.Н. Тихонов // Вестник Академии наук СССР. - 1989. - № 2. - C. 94 - 95.
6. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении / Радченко С.Г. - К.: ЗАО «Укрспецмонтажпроект», 1998. - 274 с.
7. Радченко С.Г. Системное оптимальное планирование регрессионного эксперимента / С.Г. Радченко // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2012. - Т. 78, № 7. - С. 71 - 75.
8. Попов Ю.П. Вычислительный эксперимент / Ю.П. Попов, А.А. Самарский // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. - (Серия «Кибернетика - неограниченные возможности и возможные ограничения»). - М., 1988.- С. 16 - 78.
9. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах / Цыпкин Я.З. - М.: Наука, 1968. - 399 с.
Стаття над1йшла до редакцп 16.02.2015
